Geometriya 8- sinf darslik

800 руб. 4000 руб.

Geometriya 8 toshkent «O‘zbekiston»

Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 8- sinfi
uchun darslik
Qayta ishlangan va to‘ldirilgan 4- nashri
O‘zbekiston Respublikasi Xalq ta’limi
vazirligi tasdiqlagan
GEOMETRIYA
8
TOSHKENT
«O‘ZBEKISTON»
2019
http://eduportal.uz

2
M u a l l i f l a r :
A.A. RAHIMQORIYEV, M.A. TOXTAXODJAYEVA
© À.À. Rahimqoriyev. Barcha
huquqlar himoyalangan,
2006, 2010.
© À.À.Rahimqoriyev,
Ì.À.Toxtaxodjayeva.
Barcha huquqlar himoya-
langan, 2014, 2019.
© «O‘zbekiston», 2019.
Respublika maqsadli kitob
jamg‘armasi mablag‘lari
hisobidan ijara uchun chop
etildi.
T a q r i z c h i l a r :
Darslik Respubllika ta’lim markazi tomonidan 2018-yil 25-noyabrda berilgan
«Aniq fanlar blok moduli bo‘yicha umumiy o‘rta ta’limning o‘quv dasturi (VIII sinf)»
asosida yozilgan. Darslikda belgilangan umumiy o‘rta ta’limda matematika fanini
o‘qitishning maqsadi va vazifalari, o‘quvchilarga o‘quv faoliyati natijasida qo‘yiladigan
talablar aks etgan. Darslik o‘quvchilarda shakllantiriladigan tayanch kompetensiyalar
elementlarini qamrab olgan.
Qayta ishlash jarayonida ekspertlar va taqrizchilarning takliflari inobatga olindi.
Har bir bob oxirida yozma nazorat ishlaridan namunalar va testlar keltirilgan
bo‘lib, ular o‘quvchilarning nazorat ishiga puxta tayyorgarlik ko‘rishlarida yordam beradi.
Tarixiy ma’lumotlar ruknida yurtimiz va dunyo olimlarining fanga qo‘shgan
ulkan hissalari va tarixiy-ilmiy ishlari bilan tanishasiz.
«Ingiliz tilini o‘rganamiz» ruknida mavzularda uchraydigan muhim geometrik
tushunchalarning ingliz tilidagi tarjimasi berib o‘tilgan.
Takrorlashga berilgan masalalardan yil davomida foydalanishingiz mumkin.
Mavzularda yoritilgan bilimlarni o‘rganishingizda Sizlarga muvaffaqiyatlar tilaymiz!
– qoida, xossa, ta’riflar;
– faollashtiruvchi savol va topshiriqlar;
– sinfda ishlanadigan mashqlar;
– rivojlantiruvchi mashqlar;
– masala yechish namunasi;
– uy vazifasi uchun mashqlar.
DARSLIKDAGI SHARTLI BELGILAR:
?
UO‘K: 514(075)
KBK 22.151
R 29
ISBN 978-9943-25-794-8
Rahimqoriyev A.A.
Geometriya 8: Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 8- sinfi uchun darslik.
/ A.A. Rahimqoriyev, M.A. Toxtaxodjayeva. – Qayta ishlangan va to‘ldirilgan
4- nashri. — T.: O‘zbekiston, 2019. -160 b.
ISBN 978-9943-25-794-8
UO‘K: 514(075)
KBK 22.151ya721
http://eduportal.uz

3
1.
Uchburchakning perimetri, medianasi, balandligi va bissektrisasi deb
nimaga aytiladi?
2. Perimetri 18 cm ga teng bo‘lgan uchburchakning bissektrisasi uni peri-
metri 12 cm va 15 cm ga teng bo‘lgan uchburchaklarga ajratadi. Uchbur-
chakning bissektrisasini toping (1- rasm).
3. Uchburchakning asosiga tushirilgan medianasi uni perimetri 18 cm
va 24 cm ga teng ikkita uchburchakka ajratadi. Berilgan uchburchak-
ning kichik yon tomoni 6 cm ga teng. Uning katta yon tomonini toping
(2- rasm).
4. ABC uchburchakda AB = BC va BD mediana 6 cm ga teng. ABD uch-
burchakning perimetri 24 cm ga teng. Berilgan uchburchakning peri-
metrini toping (3- rasm).
Berilgan: rABC da: AB = BC, BD = 6 cm – mediana, P
ABD
= 24 cm.
Topish kerak: P
ABC
= ?
Yechish. 1) P
ABD
= AB + BD + AD, bundan:
24 = AB + AD + 6, AB + AD = 24 – 6, AB + AD = 18 (cm).
2) AB = BC va AC = 2AD, u holda
P
ABC
= AB + BC + AC = 2(AB + AD) = 2 · 18 = 36 (cm).
Javob: P
ABC
= 36 cm.
5. Uchburchakning ikki tomoni 0,5 dm va 8,7 dm ga teng. Uchinchi to-
moni uzunligi natural son ekanini bilgan holda shu tomonini toping.
6. Perimetri 30 cm ga teng bo‘lgan uchburchakning bissektrisasi uni peri-
metrlari 16 cm va 24 cm ga teng bo‘lgan uchburchaklarga ajratadi. Uch-
burchakning bissektrisasini toping.
Savol, masala va topshiriqlar
7- SINFDA
O‘TILGANLARNI
TAKRORLASH
1. Uchburchakning perimetri, bissektrisasi va
balandligiga doir masalalar
A
C
A
D
C
A
D
C
B
B
B
D
l
A
m
b
m
b
1
2
3
http://eduportal.uz

4
7. Perimetri 36 cm ga teng bo‘lgan uchburchakning balandligi uni pe-
rimetrlari 18 cm va 24 cm ga teng bo‘lgan uchburchaklarga ajratadi.
Uchburchakning balandligini toping.
8. Teng yonli uchburchakning perimetri 22,5 cm, yon tomoni esa 0,6 dm.
Shu uchburchakning asosini toping.
9. ABC va DEF uchburchaklarda: AB = DE, AC = DF, ÐA = ÐD. Bu uch-
burchaklar tengmi?
10. Uchburchakning 117° li tashqi burchagiga qo‘shni bo‘lmagan ichki bur-
chaklarining nisbati 5 : 4 kabi. Uchburchakning ichki burchaklarini
toping.
11. Teng tomonli ABC uchburchakning AD va BE bissektrisalari O nuqtada
kesishadi. Bissektrisalar orasidagi AOE burchakni toping.
12. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi o‘tmas bo‘la oladimi?
Yechish. Bizga ma’lumki, teng yonli uchburchakning asosidagi burchak-
lari teng. Ammo ikkita o‘tmas burchakning yig‘indisi 180° dan katta
bo‘ladi. Bu uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi haqidagi
teoremaga zid. Javob: yo‘q, bo‘la olmaydi.
13. Uchburchakning 108° li tashqi burchagiga qo‘shni bo‘lmagan ichki bur-
chaklarining nisbati 2 : 7 kabi. Uchburchak ichki burchaklarini toping.
14. Bir uchburchakning ikki tomoni va burchagi mos ravishda ikkinchi
uchburchakning ikki tomoni va burchagiga teng. Bundan shu uchbur-
chaklarning tengligi kelib chiqadimi?
15. ABC va A
1
B
1
C
1
uchburchaklarda AB va A
1
B
1
, BC
va B
1
C
1
tomonlar teng hamda mos ravishda AB va
A
1
B
1
tomonlarga o‘tkazilgan CD va C
1
D
1
media-
nalar ham teng. Uchburchaklarning tengligini
isbotlang.
16. 4- rasmda AB = AC va AE = AD. BD = CE eka-
nini isbotlang.
17. 5- rasmda AD = CF, AB = FE va CB = DE.
Ð1 = Ð2 ekanini isbotlang.
18. ABC uchburchakning B burchagi 42° ga, A uchi-
dagi tashqi burchagi esa 100° ga teng. ACB bur-
chakni toping.
19. To‘g‘ri burchakli ABC uchburchakning C bur-
chagi to‘g‘ri, A uchidagi tashqi burchagi esa
136° ga teng. B burchakni toping.
2. Uchburchaklar tengligining alomatlari, uchburchak
burchaklarining yig‘indisi va tashqi burchagining
xossasiga doir masalalar
B
E
D
4
C
B
E
A
D
C
F
1
2
5
A
http://eduportal.uz

5
1. Ko‘pburchaklar.
A
1
A
2
, A
2
A
3
, . A
n – 1
A
n
, A
n
A
1
kesmalardan tuzilgan
shaklni ko‘rib chiqamiz. Kesmalar shunday joylashganki, hech qaysi ikki
qo‘shni kesma (ular umumiy uchga ega) bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydi,
qo‘shni bo‘lmagan kesmalar esa umumiy nuqtaga ega emas (1- rasm).
Bunday shakl ko‘pburchak deyiladi. A
1
, A
2
, . A
n
nuqtalar (uchlar)
ko‘pburchakning uchlari, A
1
A
2
, A
2
A
3
, . A
n – 1
A
n
, A
n
A
1
kesmalar esa ko‘pbur-
chakning tomonlari deb ataladi.
Ko‘pburchak tomonlari soni uning uchlari soniga,
ya’ni burchaklari soniga teng. Ko‘pburchaklar uchlari (to-
monlari) soniga ko‘ra uchburchaklar, to‘rtburchaklar,
beshburchaklar va hokazolarga bo‘linadi.
Agar yopiq siniq chiziq o‘z-o‘zi bilan kesishmasa,
bunday siniq chiziq sodda yopiq siniq chiziq deyiladi. U
tekislikning shu siniq chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqtalarini
ikki sohaga – ichki va tashqi sohaga ajratadi hamda
umumiy chegara vazifasini bajaradi. 1- rasmda ichki soha
bo‘yab ko‘rsatilgan.
1- ta’rif.
Agar ko‘pburchak uning ixtiyoriy tomonini o‘z ichiga olgan
to‘g‘ri chiziq bilan bitta yarim tekislikda yotsa, u qavariq ko‘pburchak
deyiladi. Bunda to‘g‘ri chiziqning o‘zi ham shu yarim tekislikka tegishli hi-
soblanadi.
1- §.
ASOSIY TO‘RTBURCHAKLAR VA
ULARNING XOSSALARI
1. KO‘PBURCHAK ICHKI VA TASHQI
BURCHAKLARINING XOSSASI
1
A
1
A
2
A
3
A
n
I BOB
TO‘RTBURCHAKLAR
A
B
C
3
a
B
A
E
A
C
D
B
D
E
C
2
b
http://eduportal.uz

6
2- t e o r e m a .
1- t e o r e m a .
2- a va 3- rasmda qavariq ko‘pburchak, 2- b rasmda esa noqavariq
ko‘pburchak tasvirlangan. Ixtiyoriy uchburchak – qavariq ko‘pburchakdir
(3- rasm).
2. Ko‘pburchak ichki va tashqi burchaklarining xossasi.
2- ta’rif.
Ko‘pburchakning berilgan uchidagi ichki burchagi deb, uning
shu uchida uchrashuvchi tomonlari hosil qilgan burchakka aytiladi.
Qavariq n burchak ichki burchaklarining yig‘indisi 180°(n – 2) ga teng,
bunda n – tomonlar soni.
Isbot. A
1
A
2
A
3
. A
n
– berilgan qavariq n bur-
chak va n > 3 bo‘lsin (4- rasm). Biror uchidan,
masalan A
1
dan, ko‘pburchakning barcha diago-
nallarini o‘tkazamiz. Bu diagonallar uni (n – 2) ta
uchburchakka ajratadi. Haqiqatan, ikki chetki
uchburchaklar (rA
1
A
2
A
3
va rA
1
A
n – 1
A
n
) ko‘p-
burchakning ikki tomoni va bir diagonali, qolgan
uchburchaklar esa ko‘pburchakning bir tomoni va
ikki diagonalidan tuzilgan. Shuning uchun uchburchaklar soni (n – 2) ta, ya’ni
ko‘pburchakning tomonlari sonidan ikkitaga kam bo‘ladi. Ko‘pburchakning
burchaklari yig‘indisi uni tashkil qiluvchi uchburchak burchaklari yig‘in-
disiga, ya’ni S
n
= 180°(n – 2) ga teng bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
3- ta’rif.
Ko‘pburchakning berilgan uchidagi tashqi burchagi deb,
uning shu uchidagi ichki burchagiga qo‘shni burchakka aytiladi.
Qavariq n burchakning har bir uchidan bittadan olingan tashqi bur-
chaklarining yig‘indisi 360° ga teng.
Isbot. Ko‘pburchakning har qaysi uchida
bittadan tashqi burchak yasaymiz. Ko‘pburchak
ichki burchagi va u bilan qo‘shni bo‘lgan tashqi
burchagining yig‘indisi 180° ga teng (5- rasm).
Shu sababli barcha ichki va har bir uchidan bit-
tadan olingan tashqi burchaklarining yig‘indisi
180°n ga teng. Ammo ko‘pburchakning hamma
ichki burchaklari yig‘indisi 180°(n – 2) ga teng. U holda har qaysi uchidan
bittadan olingan tashqi burchaklarning yig‘indisi
180°n – 180°(n – 2) = 180°n – 180°n + 360° = 360°
ga teng bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
1- masala.
Tomonlari teng bo‘lgan (muntazam) n burchakning har bir
ichki burchagi (a
n
) nimaga teng?
A
2
A
n – 1
A
n
A
1
A
3
4
A
E
D
B
C
5
http://eduportal.uz

7
Yechish. Bizga ma’lumki, ixtiyoriy qavariq n burchakning burchaklari
yig‘indisi 180°(n – 2) ga teng. Muntazam ko‘pburchakning burchaklari teng
bo‘lgani uchun ularning har biri quyidagiga teng:

180 (
2)
n
n
n
–
a =
o
.
2- masala.
Tomonlari teng bo‘lgan (muntazam) n burchakning har bir
tashqi burchagi (b
n
) nimaga teng?
Yechish. Bizga ma’lumki, ixtiyoriy qavariq n burchakning har bir uchi-
dan bittadan olingan tashqi burchaklarining yig‘indisi 360° ga teng.
Shunday qilib, tomonlari teng bo‘lgan n burchakning har bir tashqi
burchagi quyidagiga teng:

360
n
n
b =
o
.
1. 1) Ko‘pburchakning berilgan uchidagi ichki burchagi deb qanday
burchakka aytiladi? Tashqi burchagi deb-chi?
2) Qavariq n burchakning ichki burchaklari yig‘indisi nimaga teng?
2. Ko‘pburchak burchaklarining yig‘indisi: 1) 1080° ga; 2) 1620° ga;
3) 3960° ga teng. Ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
3. 1) To‘rtburchak; 2) o‘nikkiburchak; 3) o‘ttizburchak; 4) ellikburchak-
ning ichki burchaklari yig‘indisini toping.
Namuna. 1) S
13
= 180° · (13 – 2) = 180° · 11 = 1980°.
4. Agar to‘rtburchakning uchtadan olingan burchaklari yig‘indisi mos ra-
vishda 240°, 260° va 280° bo‘lsa, uning eng kichik burchagini toping.
5. Har bir ichki burchagi: 1) 150° ga; 2) 170° ga; 3) 171° ga teng bo‘lgan
qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
6. Ko‘pburchak ichki burchaklarining yig‘indisi har bir uchidan bittadan
olingan tashqi burchaklari yig‘indisidan uch marta katta. Shu ko‘pbur-
chakning tomonlari soni nechta? Bo‘sh joylarga mos sonlarni qo‘ying.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra, 180°(n – 2) = . · 360°. Bundan
180°(n – 2) = . · 2 · 180°, n – 2 = 6, n = . .
Javob: n = . .
7. Tashqi burchagining har biri: 1) 18° ga; 2) 24° ga; 3) 60° ga teng bo‘lgan
qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
8. Agar to‘rtburchakning uchta burchagi o‘tmas bo‘lsa, u holda to‘rtinchi
burchagi o‘tkir bo‘ladi. Shuni isbotlang.
9. Tashqi burchagining har biri: 1) 15° ga; 2) 45° ga; 3) 72° ga teng bo‘lgan
qavariq ko‘pburchakning nechta tomoni bor?
10. Qavariq to‘rtburchakning burchaklari 1, 2, 3 va 4 sonlariga proporsional.
Shu burchaklarni toping.
?
Savol, masala va topshiriqlar
http://eduportal.uz

8
1- t e o r e m a .
1. Pàràllålîgràmm.
Tekislikda ikkita parallel to‘g‘ri chiziqning boshqa
ikkita parallel to‘g‘ri chiziq bilan kesishishidan hosil bo‘lgan to‘rtburchakni
ko‘rib chiqamiz (1- rasm). Bu to‘rtburchak maxsus nomga ega bo‘lib, uni
parallelogramm deb ataymiz.
Ta’rif.
Qarama-qarshi tomonlari o‘zaro
parallel bo‘lgan to‘rtburchak parallelogramm
deb ataladi.
Agar ABCD parallelogramm bo‘lsa, AB || DC va
AD || BC bo‘ladi (1- rasm).
1- masala.
2- rasmda rABC = rCDA. ABCD
to‘rtburchak parallelogramm ekanini isbotlang.
Yechish. ABC va CDA uchburchaklarning tengligidan quyidagi kelib chi-
qadi: Ð 1 = Ð3 va Ð2 = Ð4. 1 va 3 burchaklar – AB va CD parallel to‘g‘ri
chiziqlar va AC kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani
uchun teng. Xuddi shuningdek, 2 va 4 burchaklar BC va AD parallel to‘g‘ri
chiziqlar hamda AC kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar
bo‘lgani uchun teng. Parallel to‘g‘ri chiziqlarning alomatiga ko‘ra quyidagiga
ega bo‘lamiz: AB || DC va BC || AD. Demak, ABCD to‘rtburchakda qarama-
qarshi tomonlar jufti-jufti bilan parallel, ya’ni ta’rifga ko‘ra, ABCD – paral-
lelogramm.
Parallelogrammning bir tomonida yotgan nuqtadan qarama-qarshi to-
monni o‘z ichiga olgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikular parallelo-
grammning balandligi deyiladi. Parallelogrammning bir tomoniga cheksiz
ko‘p balandliklar o‘tkazish mumkinligi ravshan (3- rasm), ular parallel to‘g‘ri
chiziqlar orasidagi masofalar bo‘lgani uchun o‘zaro teng. Parallelogrammning
bir uchidan uning turli tomoniga bir-biridan farq qiladigan ikkita balandlik
o‘tkazish mumkin. Masalan, 4- rasmda BP va BF – balandliklardir.
2. Parallelogrammning xossalari.
(1- x o s s a . ) Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan burchak-
lari yig‘indisi 180° ga teng.
2. PARALLELOGRAMM VA UNING XOSSALARI
A
D
B
C
44
1
B
A
D
C
1
4
2
3
A
P
D
B
C
F
2
4
A
D
B
C
h
3
h
h
http://eduportal.uz

9
3- t e o r e m a .
2- t e o r e m a .
Isbot. Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan burchaklar ichki bir
tomonli burchaklar bo‘ladi. Shuning uchun ularning yig‘indisi 180° ga teng.
Teorema isbotlandi.
( 2 – x o s s a . ) Parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari va
qarama-qarshi burchaklari o‘zaro teng.
Isbot. ABCD – berilgan parallelogramm bo‘lsin, ya’ni AB || CD va
BC || AD. Parallelogramning AC diagonalini o‘tkazamiz (2- rasmga q.) hamda
ABC va CDA uchburchaklarni ko‘rib chiqamiz. Ularda AC tomon –
umumiy, 1 va 3 burchaklar – AB va CD parallel to‘g‘ri chiziqlar hamda
AC kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani uchun
teng, 2 va 4 burchaklar esa AD va BC parallel to‘g‘ri chiziqlar hamda
AC kesuvchi hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar bo‘lgani uchun
teng. Demak, uchburchaklar tengligining ikkinchi alomatiga ko‘ra, ABC va
CDA uchburchaklar teng. Xususan bundan, AB = CD, AD = BC va
ÐB = ÐD hamda Ð1 + Ð4 = Ð2 + Ð3, ya’ni ÐA = ÐC ekani kelib chiqadi.
2- masala.
Parallelogramm burchaklaridan ikkitasining yig‘indisi 172° ga
teng. Uning burchaklarini toping.
Yechish. ABCD parallelogramm berilgan bo‘lsin. Parallelogrammning
qo‘shni burchaklari yig‘indisi 180° ga teng bo‘lgani uchun berilgan burchak-
lar qo‘shni burchaklar bo‘la olmaydi, demak, ular qarama-qarshi bur-
chaklardir. ÐA + ÐC = 172° bo‘lsin. Parallelogrammning qarama-qarshi
burchaklari teng bo‘lgani uchun bu holda burchaklarning har biri
ÐA = ÐC = 172° : 2 = 86° bo‘ladi. Parallelogrammning hamma burchaklari
yig‘indisi 360° ga teng, shuning uchun qolgan ikki burchagi ÐB = ÐD =
= (360° – 172°) : 2 = 94° dan bo‘ladi. Javob: 86°, 94°, 86°, 94°.
( 3- x o s s a . ) Parallelogrammning diagonallari kesishadi va kesishish
nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi.
Isbot. ABCD berilgan parallelogramm va O – AC va BD diagonallarning
kesishish nuqtasi bo‘lsin (5- rasm). AO = OC va DO = OB ekanini isbot
qilamiz.
AOD va COB uchburchaklarni ko‘rib chiqamiz. Bu uchburchaklarda
AD = BC (parallelogrammning 2-xossasiga ko‘ra uning qarama-qarshi to-
monlari teng), Ð1 = Ð2 va Ð3 = Ð4 (AD va
BC parallel to‘g‘ri chiziqlarning, mos ra-
vishda, AC va BD kesuvchilar bilan kesishi-
shidan hosil bo‘lgan ichki almashinuvchi
burchaklar bo‘lgani uchun). Demak, uch-
burchaklar tengligining ikkinchi alomatiga
ko‘ra, rAOD = rCOB. Bundan AO = ÑÎ
va DO = ÎB, ya’ni AC va BD diagonal-
A
D
O
B
C
5
1
2
4
3
http://eduportal.uz

10
70°
50°
a
O
a
B
3
4
3
3
a
C
B
B
C
A
5
D
A
D
A
E
D
C
a
2
b
d
7
larning har biri kesishish nuqtasi O da teng ikkiga bo‘linishi kelib chiqadi.
Teorema isbotlandi.
3- masala.
3- xossadan foydalanib parallelogramm yasang.
1- qadam. Ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va ularning kesi-
shish nuqtasini O harfi bilan belgilaymiz (6- a rasm).
2- qadam. Sirkul yordamida to‘g‘ri chiziqlarning birida o‘zaro teng OA va
OC, ikkinchisida esa o‘zaro teng OB va OD kesmalarni qo‘yamiz (6-b rasm).
3- qadam. A, B, C va D nuqtalarni ketma-ket tutashtirib, izlanayotgan
ABCD parallelogrammni hosil qilamiz (6- d rasm).