Matematika fanidan 6-sinf darslik
4) x ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo`yib, y ning qiymatini topish kerak
5-10 Sinflar Yosh Matematik to’garak rejasi va ishlanmalari
5-10 Sinflar Yosh Matematik to’garak rejasi va ishlanmalari
QUVA TUMANI
XTMFMTTEB TASARRUFIDAGI
4-O’RTA TA’LIM MAKTABI
MATEMATIKA FANI O’QITUVCHISI
ERGASHOV JALOLIDDINNING
“YOSH MATEMATIK”
TO’GARAGI
HUJJATLARI
2016-2017-o`quv yili
Maktab direktori: D.Eraliyeva
“___” _____________2017 -yil
to’garagining yillik ish rejasi.
| № | Mavzular | Manba | Soat | Kalendar vaqti | O’tish vaqti |
| 1 | Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy-jahonning buyuk matematigi. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 2 | Sonlarning bo’linish belgilari. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 3 | Chiziqli funksiya va uning grafigi | Algebra-8 | 1 | ||
| 4 | Matematik fokus:”Ajoyib xotira’’. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 5 | Chiziqli tenglamalar sistemasi. | Algebra-8 | 1 | ||
| 6 | G’iyosiddin Jamshid Koshiy. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 7 | Tenglamalar sistemasini yechish usullari. | Algebra-8 | 1 | ||
| 8 | Amallar belgilari va bir xil raqamlar bilan sonlarni yozish. | Sanamay sakkiz dema | 1 | ||
| 9 | Masalalarni tenglamalar sistemasi yordamada yechish. | Algebra-8 | 1 | ||
| 10 | Rim raqamlari. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 11 | Sonli tengsizliklar va ularning xossalari. | Algebra-8 | 1 | ||
| 12 | Matematik o’yin.”ZO’R”. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 13 | Tengsizliklarni qo’shish va ko’paytirish | Algebra-8 | 1 | ||
| 14 | Matematik sofizm. | Sahnada matematika | 1 | ||
| 15 | Bir noma’lum tengsizliklarni yechish. | Algebra-8 | 1 | ||
| 16 | Tengsizliklar sistemalarini yechish. | Algebra-8 | 1 | ||
| 17 | EKUB. | Matematika-6 | 1 | ||
| 18 | EKUK. | Matematika-6 | 1 | ||
| 19 | Ikki sonni ularni yig’indisi va nisbati bo’yicha toppish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 20 | Ikki sonni ularning ayrimasi va nisbati bo’yicha toppish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 21 | Ikki sonni ularni yig’indisi va ayrimasi yordamida topish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 22 | Tezlikni aniqlashga doir masalalar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 23 | Uchrashma harakatga doir masalalar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 24 | Quvlab yetishga doir xarakatlar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 25 | Bir miqdorni ikkinchisi bilan almashtirish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 26 | e sonini tarixi. | Matematika tarixi | 1 | ||
| 27 | Berilganlarni tenglashtirish va bundan birini chiqarish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 28 | Birgalikdagi ish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 29 | Ikki ko’paytuvchini, ularning berilgan ko’paytuvchilari va ko’paytmalari teng bo’lganda ayrimalai yordami b-n topish. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 30 | Oxiridan boshlab yechiladigan masalalar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 31 | Qiziqarli va turli hayotiy vaziyatlarga doir masalalar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 32 | Pi sonining tarixi. | Matematika tarixi | 1 | ||
| 33 | Faraz qilish yo’li bilan yechiladigan masalalar. | Masalalar yechish | 1 | ||
| 34 | Matematik kecha. | Tadbir | 1 |
1-MAVZU:Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy-jaxonning buyuk matematigi.
Muhammad ibn Muso al- Xorazmiy 787 yilda qadimiy Xorazmda dunyoga keladi. Al- Xorazmiy o’n yoshidayoq vazmin , harakatlari sust ko’rinsa ham, uning miyasi murakkab masala va misollar uchun yuzlab yechimlarni o’ylash bilan band bo’lgan. Lekin o’z yurtida vaziyat tobora qiyinlashgani uchun Xorazmni tark etib , al- Xorazmiy Bobilga boradi. Halifalikning poytaxti bo’lgan Bog’dod shahriga Muhammad ibn Muso al – Xorazmiy o’z mustaqil fikriga ega bo’lgan, “ Fil hisob al- Hind” nomli mashhur shoh asarini yozgan, o’n sakkiz yoshda bo’lishiga qaramay, fan olamida nom qozongan, istedodli yosh olim sifatida keladi. Xorun ar-Rashid al- Xorazmiyni shirin so’z, izzat –ikrom bilan kutib oladi va o’z saroyida ishlashga taklif qiladi. Xorun ar-Rashid o’sha zamondagi mashhur olimlarni Bog’dodga yig’ib, ularga boshchilik qilishni al- Xorazmiyga topshiradi.
Olimning kuchli fikr va bilim egasi ekanligini bilgan Xorun ar- Rashid al-Xorazmiyning Bog’dodda “Baytul hikma” ni tashkil qilishdek qaltis fikrini qo’rqmay maqullaydi va ilm uyini moddiy qo’llab turadi. Bu qurilishni al- Xorazmiy boshqarar va uni tezroq ishga tushirish bilan band bo’lgan paytda halifa Xorun ar-Rashid 807 yilda to’satdan vafot etadi. Uning vafotidan keyin o’g’li al-Ma’mun taxtga o’tiradi . Al – Xorazmiy ilmiy faoliyatining ayni porlagan payti al-Ma’munning halifaligi, uning homiylik qilgan davriga to’g’ri keladi.
Al-Xorazmiyning taklifi bilan Muhammad al-Farg’oniy , Ahmad al-Murvaziy, Abbos al-Gavhariy, Tohir Yassaviy, Rizo Turkistoniy kabi o’sha zamondagi ulug’ matematiklar, mashhur astranomlar Turkiston yerlaridan Bog’dodga ko’chib keldilar va jahon fani tarihida keyinchalik “arab matema-tika maktabi “ deb nom olgan taraqqiyot mo’jizasini yaratdilar.
Al –Xorazmiy o’z yurtdoshlari bilan olamshumul kashfiyotlar yaratdilar, Sanjar yassi tekisligida qadimiy yunon alimi Erotosfen hisoblariga aniqlik kiritib, Yer meridian bir gradusining uzunligini o’lchashga erishdilar. Bu o’lcham keyinchalik astronomiya va geografiya fanlarining rivojida muhim o’rin tutadi.
Al-Xorazmiy boshchiligida ko’p ilmiy ishlar olib borgan “Baytul-Hikma” Bog’dod matematika maktabi jahon madaniyatining rivoji tarixida o’chmas iz qoldirdi. “Ma’mun astronopmiya jadvali”, “olam suvratlari kitobi”, matematika va astronomiya, geografiya va geodeziya sohasidagi uning qator buyuk asarlari keyingi asrlarda shu fanlarning ravnaq topishida muhim rol o’ynaydi. O’z uyidan “qo’zg’alon tugaguncha “ deb chiqib ketgan ulug’ olim al-Xorazmiy umrining so’ngi kunlarigacha, ya’ni qirq besh yil Bog’dodda yashadi, ilm-fanga o’zini baxshida qilib, hatto oila ham qurmay, farzand ham ko’rmay, 63 yoshida vafot etadi.
2-MAVZU:Sonlarning bo’linish belgilari.
- 2 ga bo’linish belgilari.
Berilgan sonning oxirgi raqami juft son , yoki nol bo’lsa, u sonning o’zi ham 2 ga qoldiqsiz bo’linadi.
- 3 ga bo’linish belgilari.
Berilgan sonning raqamlari yigindisi 3 ga bo’linsa ,u sonning o’zi ham 3 ga qoidiqsiz bo’linadi.
- 4 ga bo’linish belgilari.
Berilgan sonning oxirgi ikkita raqamidan tashkil topgan son 4 ga yoki oxirgi ikkita raqam 0 bo’lsa,berilgan son 4 ga bo’linadi.
- 5 ga bo’linish belgilari.
Oxirgi raqami 0 yoki 5 bilan tugaydigan sonlar 5 ga qoldiqsiz bo’linadi.
- 6 ga bo’linish belgilari.
Berilgan son 2 ga va 3 ga bo’linsa, bu sonlar 6 ga qoldiqsiz bo’linadi.
- 7 ga bo’linish belgilari.
Berilgan sondagi o’nlar xonasidagi sondan birlar xonasidagi raqamning ikkilangani ayrilib, ayirmasi 7 ga bo’linsa, berilgan son 7 ga bo’linadi.
- 8 ga bo’linish belgilari.
Berilgan sonning oxirgi uchta raqami 0 yoki 8 ga bo’linsa, berilgan son 8 ga bo’linadi.
- 9 ga bo’linish belgilari.
Raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linadigan sonlar 9 ga qoldiqsiz bo’linadi.
- 10 ga bo’linish belgilari.
Oxirgi raqami 0 bo’lgan sonlar 10 ga qodiqsiz bo’linadi.
- 25 ga bo’linish belgilari.
Oxirgi ikkita raqami 0 yoki 25 ga bo’linsa, berilgan son 25 ga bo’linadi.
3-MAVZU: Chiziqli funksiya va uning grafigi.
Chiziqli funksiya deb, y = kx + b ko`rinishidagi funksiyaga aytiladi, bu yerda k va b berilgan sonlar. b = 0 bo`lganda, chiziqli funksiya y = kx ko`rinishga ega bo`ladi va uning grafigi koordinatalar boshidan o`tuvchi to`g`ri chiziq bo`ladi. Bu dalilga asoslanib, y = kх+ b chiziqli funksiyaning grafigi to`g`ri chiziq bo`lishini ko`rsatish mumkin. Ikki nuqta orqali birgina to`g`ri chiziq o`tganligi sababli, y = kx+b funksiyaning grafigini yasash uchun shu grafikning ikki nuqtasini yasash yetarli bo`ladi.
1-masala. y = 2x + 5 funksiya grafigini yasang.
x = 0 bo`lganda, y = 2x + 5 funksiyaning qiymati 5 ga teng, ya’ni (0; 5) nuqta grafikka tegishli.
Agar x = 1 bo`lsa, u holda y = 2·1 + 5 = 7 bo`ladi, ya’ni (1; 7) nuqta ham grafikka tegishli. (0; 5) va (1; 7) nuqtalarni yasaymiz va ular orqali to`g`ri chiziq o`tkazamiz. Bu to`g`ri chiziq y = 2x + 5 funksiyaning grafigi bo`ladi ▲
y = 2x + 5 funksiya grafigi har bir nuqtasining ordinatasi y = 2x funksiya grafigi o`sha abssissali nuqtasining ordinatasidan 5 birlik katta bo`lishini ko`rib turibmiz. Bu y = 2x + 5 funksiya grafigining har bir nuqtasi y=2x funksiya grafigining mos nuqtasini ordinatalar o`qi bo`ylab yuqoriga 5 birlik siljitish yo`li bilan hosil qilinishini bildiradi.
Umuman, y = kx + b funksiyaning grafigi y = kx funksiya grafigini ordinatalar o`qi bo`ylab b birlikka siljitish yo`li bilan hosil qilinadi. y = kx va y=kx+b funksiyalarning grafiklari parallel to`g`ri chiziqlar bo`ladi
2-masala. y = -2x + 4 funksiya grafigining koordinata o`qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
Grafikning abssissalar o`qi bilan kesishish nuqtasini topamiz. Bu nuqtaning ordinatasi 0 ga teng. Shuning uchun -2x + 4 = 0, bundan x = 2.
Shunday qilib, grafikning abssissalar o`qi bilan kesishish nuqtasi (2; 0) koordinataga ega bo`ladi.
Grafikning ordinatalar o`qi bilan kesishish nuqtasini topamiz. Bu nuqtaning abssissasi 0 ga teng bo`lgani uchun y = -2·0 + 4 = 4.
Shunday qilib, grafikning ordinatalar o`qi bilan kesishish nuqtasi (0; 4) koordinataga ega bo`ladi (16-rasm).
- 1) Sabzavot omborida 400 t kartoshka bor edi. Har kuni omborga yana 50 tonnadan kartoshka tashib keltirildi. Kartoshka miqdori (p) ning vaqt (t) ga bog`liqligini formula bilan ifodalang.
- Sayyoh shahardan chiqib avtobusda 10 km yo`l bosdi, so`ngra esa shu yo`nalishda 5 km/soat tezlik bilan piyoda yura boshladi. Sayyoh x soat piyoda yurganidan keyin, shahardan qancha (y) masofada bo`lgan?.
4-MAVZU:Matematik fokus:”Ajoyib xotira’’.
Bu fokusni ijro qilishda o’quvchi to’garak a’zolari oldiga chiqib, ularga qarata shunday deydi: “Men sizlarga xotiramning ajoyibligini ko’rsatmoq-chiman. Mening qo’limdagi to’rtburchak qog’ozlarga tartib raqami va yetti xonali son yozilgan. Bu qogozlarni sizlarga tarqataman. Sizlar navbat bilan bu qog’ozning tartib raqamini aytasiz, men esa unda yozilgan yeti honali sonni darhol hisoblab, aytib beraman”. Shunday deb fokuschi tortburchak shaklidagi qog’ozlarni to’garak a’zolariga tarqatadi. Ular navbat bilan qo’l ko’tarib, qog’ozdagi har xil tartib raqamlarini aytaveradilar, fokuschi esa undagi yeti xonali sonni yozuv taxtasiga yozib boraveradi. Masalan, o’quvch 13 desa, fokuschi yozuv taxtasiga 4 million 718ming 976 sonini yozib, o’qib beradi. Bu hol bir necha marta takrorlangach, fokuschi o’quvchilardan so’raydi: -Qani, aytingchi men bu sonlarni yodlab oldimmi, yoki bunda biror sir bormi?
Fokuschi tarqatgan qog’ozdagi sonlar turli xil qonuniyatlar asosida hosil qilinadi.
1-usul. Masalan, qog’ozdagi tartib raqami ikki xonali son bo’lsin, ya’ni quyidagi ko’rinishni olaylik:
To’rtburchak shaklidagi bu qog’ozga yozilgan yetti xonali sonning hosil bo’lishi quyidagicha: tartib raqami 2 va 3 ning yigindisi 2+3=5; keyingi raqam 3 bilan 5 ning yig’indisi 3+5=8; 5 bilan 8 ning yig’indisi 5+8=13 (bunda oxirgi raqam 3 yoziladi); 8+3=11 (oxirgi raqam 1 yoziladi) va hokazo yettita raqam hosil qilinadi. Agar maxsus qog’ozdagi tartib nomeri bir xonali son bo’lsa, ya’ni quyidagi hol:
Bunda 2 ni o’zini o’ziga qo’shib 4 hosil qilinadi, qolgan sonlar yuqoridagi kabi hosil bo’ladi. 2+4=6; 4+6=10 (0 yoziladi) va hokazo.
5-MAVZU: Tenglamalar sistemasini yechish usullari.
- O`rniga qo`yish usuli quyidagilardan iborat:
1) sistemaning bir tenglamasidan (qaysinisidan bo`lsa ham farqi yo`q) bir noma’lumni ikkinchisi orqali, masalan, y ni x orqali ifodalash kerak;
2) hosil qilingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yish kerak bir noma’lumli tenglama hosil bo`ladi;
3) bu tenglamani yechib, x ning qiymatini topish kerak;
4) x ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo`yib, y ning qiymatini topish kerak
Tenglamalar sistemasini yeching:
Tenglamalar sistemasida shakl almashtiramiz (umumiy maxrajga keltiramiz):
- Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yechish uchun:
1) noma’lumlardan birining oldida turgan koeffitsiyentlar modullarini tenglashtirish;
2) hosil qilingan tenglamalarni hadlab qo`shib yoki ayirib, bitta noma’lumni topish;
3) topilgan qiymatni berilgan sistemaning tenglamalaridan biriga qo`yib, ikkinchi noma’lumni topish kerak.
Tenglamalar sistemasini yeching.
1) Birinchi tenglamani o`zgarishsiz qoldirib, ikkinchi tenglamani 4 ga ko`paytiramiz:
2) (3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan birinchi tenglamani hadlab ayirib, topamiz: 11y =-22, bundan y =-2.
3) y =-2 ni (2) sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yib, topamiz: x + 2 · (-2) =-2, bundan x = 2.
- Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli quyidagilardan iborat:
1) sistema har bir tenglamasining grafigi yasaladi;
2) yasalgan to`g`ri chiziqlar kesishish nuqtasining (agar ular kesishsa) koordinatalari topiladi. Tenglamalar grafiklari kesishish nuqtasining koordinatalari shu tenglamalar sistemasining yechimi bo`ladi.
Tekislikda ikki to`g`ri chiziq— tenglamalar sistemasi grafiklarining o`zaro joylashuvida uch hol bo`lishi mumkin:
1) to`g`ri chiziqlar kesishadi, ya’ni bitta umumiy nuqtaga ega bo`ladi. Bu holda tenglamalar sistemasi bitta (yagona) yechimga ega bo`ladi
2) to`g`ri chiziqlar parallel, ya’ni ular umumiy nuqtalarga ega emas. Bu holda tenglamalar sistemasi yechimlarga ega bo`lmaydi;
3) to`g`ri chiziqlar ustma-ust tushadi. Bu holda sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega bo`ladi.
1-masala. Quyidagi tenglamalar sistemasi yechimlarga ega emasligini ko`rsating:
sistemaning birinchi tenglamasini 2 ga ko`paytiramiz va hosil bo`lgan tenglamadan berilgan sistemaning ikkinchi tenglamasini hadlab ayiramiz:
Noto`g`ri tenglik hosil bo`ldi. Demak, x va y ning (5) sistemaning ikkala tengligi ham to`g`ri bo`la oladigan qiymatlari yo`q, ya’ni (5) sistema yechimlarga ega emas. ▲
Bu, geometrik nuqtai nazardan, (5) sistema tenglamalarining grafiklari parallel to`g`ri chiziqlar bo`lishini anglatadi.(20-rasm)
- Tenglamalar sistemasini o`rniga qo`yish usuli bilan yeching:
- Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yeching:
- Tenglamalar sistemasini grafik usulda yeching:
6-MAVZU:G’iyosiddin Jamshid Koshiy.
Ulug’bek ilmiy maktabining yirik olimlaridan biri Jamshid Ko-shiydir. Koshiy 1385 yilda Koshon shahrida tug’ildi. Koshiy yoshligi-danoq o’z davrining yetuk matematik, astronom olimi sifatida shuh-rat qozongan. Ulug’bek uni ham Samarqandga taklif etadi, bu taklif-ni qabul qilib, Koshiy 1417 yilda Samarqandga keladi va Ulug’bek ra-sadxonasini qurishda faol qatnashadi, katta ilmiy ishlar olib boradi.
Ilmiy ishlar natijasini o’zining 10 ta astronomiyaga oid, 3 ta matematikaga oid asarlarida bayon etdi. Jamshid Koshiyning asarla-ridan biri “ Arifmetika kaliti”dir. Bu asar o’rta asr elementar mate-matika ensiklopediyasi hisoblanadi. Koshiy bu asarini 1427 yilda yozgan. “ Arifmetika kaliti” asari kirish va besh qismdan iborat. Kirish qismida arifmetikaning ta’rifi, son va uning turlari haqida yo-zilgan bo’lib, 6 bobdan iborat.
Ikkinchi qism esa kasr sonlar arifmetikasiga bag’ishlangan bo’-lib, 12 bobdan iborat. Bu qismda u turli xil kasrlar, ular ustida amallar bajarish va o’nli kasrlar haqida muhim fikrlar bayon etgan. Koshiy maxrajlari 10, 100, 1000, … bo’lgan kasrlarni, ya’ni o’nli kasrlarni yozish, o’qish terminlarini kiritgan. Koshiy bu kasrlarni ta’riflab, “o’ndan”, “yuzdan”, “mingdan”,…deb o’qishni, yozishda esa butun qismdan keyin kasr qismini yozishni yoki o’nli kasrning butun qismini boshqa rangli siyohda yozishni tushuntiradi. O’nli kasrlar ustida amallar bajarishga oid juda ko’p misollar keltiradi. Shunday qilib, Koshiy o’nli kasrlar nazariyasini asoslagan birinchi olim hisoblanadi.
1424 yilda Samarqandda Koshiy “ Aylana haqida risola”asarini taraqqiyotining eng yuqori cho’qqisi hisoblanadi. Ma’lumki, aylana uzunligining diametrga nisbati o’zgarmas son bo’lib, uni “” harfi bilan belgilanadi. Koshiy bu asarda “” ning qiymatini juda kata aniqlikda verguldan keyin 17 ta raqam bilan aniqlaydi.
Koshiyning yuqorida ko’rilgan hisoblashlari katta aniqlikka ega bo’lib, hammani hayratga soladi va Koshiy matematika tarixida o’chmas iz qoldiradi.
7-MAVZU: Tenglamalar sistemasini yechish usullari.
- O`rniga qo`yish usuli quyidagilardan iborat:
1) sistemaning bir tenglamasidan (qaysinisidan bo`lsa ham farqi yo`q) bir noma’lumni ikkinchisi orqali, masalan, y ni x orqali ifodalash kerak;
2) hosil qilingan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yish kerak bir noma’lumli tenglama hosil bo`ladi;
3) bu tenglamani yechib, x ning qiymatini topish kerak;
4) x ning topilgan qiymatini y uchun ifodaga qo`yib, y ning qiymatini topish kerak
Tenglamalar sistemasini yeching:
Tenglamalar sistemasida shakl almashtiramiz (umumiy maxrajga keltiramiz):
- Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yechish uchun:
1) noma’lumlardan birining oldida turgan koeffitsiyentlar modullarini tenglashtirish;
2) hosil qilingan tenglamalarni hadlab qo`shib yoki ayirib, bitta noma’lumni topish;
3) topilgan qiymatni berilgan sistemaning tenglamalaridan biriga qo`yib, ikkinchi noma’lumni topish kerak.
Tenglamalar sistemasini yeching.
1) Birinchi tenglamani o`zgarishsiz qoldirib, ikkinchi tenglamani 4 ga ko`paytiramiz:
2) (3) sistemaning ikkinchi tenglamasidan birinchi tenglamani hadlab ayirib, topamiz: 11y =-22, bundan y =-2.
3) y =-2 ni (2) sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo`yib, topamiz: x + 2 · (-2) =-2, bundan x = 2.
- Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli quyidagilardan iborat:
1) sistema har bir tenglamasining grafigi yasaladi;
2) yasalgan to`g`ri chiziqlar kesishish nuqtasining (agar ular kesishsa) koordinatalari topiladi. Tenglamalar grafiklari kesishish nuqtasining koordinatalari shu tenglamalar sistemasining yechimi bo`ladi.
Tekislikda ikki to`g`ri chiziq— tenglamalar sistemasi grafiklarining o`zaro joylashuvida uch hol bo`lishi mumkin:
1) to`g`ri chiziqlar kesishadi, ya’ni bitta umumiy nuqtaga ega bo`ladi. Bu holda tenglamalar sistemasi bitta (yagona) yechimga ega bo`ladi
2) to`g`ri chiziqlar parallel, ya’ni ular umumiy nuqtalarga ega emas. Bu holda tenglamalar sistemasi yechimlarga ega bo`lmaydi;
3) to`g`ri chiziqlar ustma-ust tushadi. Bu holda sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega bo`ladi.
1-masala. Quyidagi tenglamalar sistemasi yechimlarga ega emasligini ko`rsating:
sistemaning birinchi tenglamasini 2 ga ko`paytiramiz va hosil bo`lgan tenglamadan berilgan sistemaning ikkinchi tenglamasini hadlab ayiramiz:
Noto`g`ri tenglik hosil bo`ldi. Demak, x va y ning (5) sistemaning ikkala tengligi ham to`g`ri bo`la oladigan qiymatlari yo`q, ya’ni (5) sistema yechimlarga ega emas. ▲
Bu, geometrik nuqtai nazardan, (5) sistema tenglamalarining grafiklari parallel to`g`ri chiziqlar bo`lishini anglatadi.(20-rasm)
- Tenglamalar sistemasini o`rniga qo`yish usuli bilan yeching:
- Tenglamalar sistemasini algebraik qo`shish usuli bilan yeching:
- Tenglamalar sistemasini grafik usulda yeching:
8-MAVZU:Amallar belgilari va bir xil raqamlar bilan sonlarni yozish.
- Beshta 3 raqami va amal ishoralari bilan 37 sonini yozing.
- To’rtta 2 raqami va amal ishoralari yordamida 111sonini yozing.
- Ming sonini beshta 9 raqami va amal ishoralari yordamida yozing.
9 : 9 + 9 9 9 = 1000
- Beshta 2 va faqat qo’shish amali yordamida 28 sonini hosil qiling.
- Oltita bir xil raqamlar bilan 101 ni qanday yozish mumkin?
a a a a : a a = 101
- 1 dan 9 gacha bo’lgan raqamlardan va amal ishoralaridan foydalanib , raqamlarning kattalashib borishi tartibida yozish sharti bilan 100 sonini yozing.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ( 8 * 9 ) =100
1 + 2 + ( 2 * 3 ) + ( 4 + 5 ) + 6 – 7 + 8 * 9 =100
1 * 2 + 3 4 + 5 6 + 7 – 8 + 9 = 100
- Uchta bir xil raqamllar va amallar yordamida 30 sonini yozing.
6 * 6 – 6 = 30 3 3 + 3 = 30
5 * 5 + 5 = 30 3 3 – 3 = 30
- Million sonini faqat 3 raqamlari va amallar yordamida yozing.
( ( 333-33): 3) 3 =1000000
- Uchta ikki raqami va amallar yordamida 24 ni yozing.
- Beshta 2 raqami bilan 20 dan 25 gacha bo’lgan sonlarni yozing.
2 2 – 2 – 2 + 2 =20 2 2 – 2 + ( 2 : 2 ) = 21
2 2 * 2 – 2 2 = 22 2 2 + 2 – ( 2 : 2 ) = 23
2 2 – 2 + 2 + 2 = 24 2 2 + 2 + ( 2 : 2 ) = 25
9-Mavzu: Masalalarni tenglamalar sistemasi yordamada yechish.
Masalalarni tenglamalar sistemasi yordamida yechish ko`pincha quyidagi sxema bo`yicha olib boriladi, ya’ni:
1) noma’lumlar uchun belgilashlar kiritiladi va masala mazmuniga mos tenglamalar sistemasi tuziladi;
2) tenglamalar sistemasi yechiladi;
3) masala shartiga qaytib, javob yoziladi.
Masala. Agar ikki son yig`indisining ikkilangani ularning ayirmasidan 5 ta ortiq, shu sonlar yig`indisining uchlangani esa ular ayirmasidan 8 ta ortiq bo`lsa, bu sonlarni toping.
1) Tenglamalar sistemasini tuzish.
Aytaylik, x, y — izlanayotgan sonlar bo`lsin. Bu holda masalaning shartiga ko`ra, quyidagiga ega bo`lamiz:
2) Sistemani yechish.
Avval (3) sistemaning tenglamalarini soddalashtiramiz:
(4) dagi ikkinchi tenglamani hadlab, 2 ga bo`lamiz va uni birinchi tenglamadan ayiramiz: _ x + 3y = 5
y = 1 ni (4) sistemaning birinchi tenglamasiga qo`yib, x + 3·1 = 5, x = 2 ekanini topamiz.
Javob. Izlanayotgan sonlar 2 va 1. ▲
| Birinchi o`quvchi 3 soat ikkinchisi esa 2 soat ishlab birgalikda 36 ta detal tayyorlaganlar. Agar ular birgalikda 1 soatda 14 ta detal tayyorlashgan bo`lsa, har biri nechtadan detal tayyorlaganlar? | |
| A | 24 ta, 12 ta |
| B | 30 ta, 16 ta |
| C | 18 ta, 18 ta |
| D | 14, ta 22 ta |
| Bolalar bog`chasi uchun kilogrami 2000 so`m va 2500 so`mlik ikki xil 10 kg pechenye sotib olindi va hammasiga 22000 so`m to`landi. Har turdagi pechenyedan necha kilogram olingan? | |
| A | 6 kg, 3 kg |
| B | 5 kg, 5 kg |
| C | 6 kg, 4 kg |
| D | 3 kg, 7 kg |
| 4 ta ot va 10 ta sigir uchun kuniga 88 kg ozuqa ajratishdi. Agar 2 ta otga 5 ta sigirga qaraganda 4 kg ortiq berishganligi ma`lum bo`lsa, har bir otga va har bir sigirga kuniga qanchadan ozuqa berishgan? | |
| A | 12 kg, 3 kg |
| B | 10 kg, 6 kg |
| C | 12 kg, 4 kg |
| D | 12 kg, 6 kg |
10-MAVZU:Rim raqamlari.
Rim raqamlarini har bir madaniyatli kishi bilishi kerak, chunki ulardan hamon sanalarni yozishda, ro’yxatlar tuzishda, kitoblardagi bob va bo’limlarni belgilash va boshqa shu kabi ishlarda foydalanib kelinmoqda. O’quvchilarga quyidagi jadval ko’rsatiladi va rim raqamlari hamda ularning o’nli sanoq sistemasidagi qiymatlari tushuntiriladi.
| Rim raqamlari | I | V | X | L | C | D | M |
| Ularning qiymati | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Rim raqamlarining kelib chiqishi bevosita lotin alfabitidagi harflar nomi bilan bogliq: I-,,i”; V-,,ve”; X-,,iks”; L-,,el”; C-,,se”; D-,,de”; M-,,em”; bu harflar yordamida miliongacha bo’lgan istalgan sonlar yozilgan. Sonlarni rim raqamlari bilan yozishda ma’lum qoidalar bor, ya’ni bitta raqam bir sonni yozishda uch martadan ortiq yonma yon yozilmaydi.
Yozilish tartibi: I-bir; II-ikki; III-uch; IV-to’rt; V-besh; VI-olti; VII-yetti; VIII-sakkiz; IX-toqqiz; X-o’n. Shunga o’xshash 20-XX gacha bo’lgan sonlarni ham xuddi shunday usulda yozish mumkin: XI; XII; XIII; XIV; XV; XVI; XVII; XVIII; XIX; XX;……
Rim raqamlari bilan yozilgan sonlar qiymatini aniqlashda shunga e’tibor berish kerakki, agar kichik raqam katta raqamning chap tomoniga yozilgan bo’lsa, katta raqamdagi birliklar sonidan kichi raqamdagi birliklar sonini ayriladi. Agar kichik raqam katta raqamning o’ng tomoniga yozilgan bo’lsa, katta raqamdagi birliklar soniga kichik raqamdagi birliklar soni qo’shiladi.
1-misol. XXXVII=10+10+10+5+1+1=37 CLXIII=100+50+10+1+1+1=163 CXL=100+(50- 10)=140 XL=50-10=40
2-misol. 102=100+2=CII 374=100+100+100+50+10+10+(5-10)=CCCLXXIV
29635 kabi katta sonlar quyidagi ko’rinishda yoziladi:
XXIXmDCXXXV=(10+10+(10-1))m+500+100+10+10+10+5 kichik m harfi lotincha mille so’zidan olingan bo’lib, ming sonini belgilaydi.
- Quyidagi sonlarni arab raqamlari bilan yozing: XXIII, XXXIV, DXIV, MDCLXVI, DmIX, MCXLVI, XXXIV, XXIX, CDXXI, CMIII, MCMXLV.
- Ushbu sonlarni rim raqamlari bilan ifodalang: 49, 574, 1147, 1974, 5003.
Sana:______
11-Mavzu: Sonli tengsizliklar va ularning xossalari.
Agar a>b va b>c bo`lsa, u holda a>c bo`ladi.
Agar tengsizlikning ikkala qismiga ayni bir son qo`shilsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi.
Istalgan qo`shiluvchini tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga shu qo`shiluvchining ishorasini qarama-qarshisiga almashtirgan holda ko`chirish mumkin.
Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa ko`paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi.
Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa ko`paytirilsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi.
Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir musbat songa bo`linsa, u holda tengsizlik ishorasi o`zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala qismi ayni bir manfiy songa bo`linsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi
1-masala. Agar a>b bo`lsa, u holda —ab bo`lishini isbotlang.
>b tengsizlikning ikkala qismini -1 manfiy songa ko`paytirib, —ab ni hosil qilamiz. ▲
Masalan, 1,9-2,01 tengsizlik kelib chiqadi, tengsizlikdan — tengsizlik kelib chiqadi.
2-masala. Agar a va b — musbat sonlar va a>b bo`lsa, u holda bo`lishini isbotlang.
b tengsizlikning ikkala qismini ab musbat songa bo`lib, ni hosil qilamiz.▲
| Agar bo`lsa, quyidagi tengsizliklarning qaysi biri o`rinli? |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Berilgan tengsizlikning ikkala qismini ga bo`lsak, qanday tengsizlik hosil bo`ladi? |
| A |
| B |
| C |
| D |
| tengsizlikning ikkala qismini ga bo`linsa, qanday tengsizlik hosil bo`ladi? |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Berilgan tengsizlikning ikkala qismini ga ko`paytirsa, qanday tengsizlik hosil bo`ladi? |
12-MAVZU:Matematik o’yin.”ZO’R”.
Maqsad: O’quvchilarni tez fikrlashga, hushyorlikka, matematik amallarni og’zaki tez va aniq hisoblashga o’rgatish.
Bu o’yin o’quvchilarni ko’paytirish va bo’lishni og’zaki tez bajarishga o’rgatadi, ulardagi diqqatni barqaror bo’lishiga, hushyorlikka, xotirani mustaxkamlashga yordam beradi. Bundan tashqari o’quvchilar bu o’yinni juda qiziqib, aslo zerikmay, qayta qayta o’ynaydilar. O’yin tartibi quyidagicha olib boriladi. Bir nechta o’quvchilar terilib turadi va sonlarni birdan boshlab tartib bilan sanaydilar. Masalan, 7ga qoldiqsiz bolinadigan va oxiri 7 bilan tugaydigan sonlar kelganda shu sonni aytadigan o’quvchi bu son o’rniga “zo’r” so’zini aytishi kerak. Agar o’quvchi bu so’zni darrov aytmasa yoki adashsa o’yin to’xtab, o’sha o’quvchi o’yindan chiqadi va o’yin yangidan, undan keying o’quvchidan boshlanadi. Oxiriga yetib brogan yagona o’quvchi g’olib hisoblanadi.
Masalan: 6 ga bo’linadigan sonlar:
1, 2, 3, 4, 5, “zo’r”, 7, 8, 9, 10, 11, “zo’r”, 13, 14, 15, “zor”, 17, “zo’r”, 19, 20, 21, 22, 23, “zo’r”, 25, “zo’r”, 27, 28, 29, “zo’r”…… o’yin shu tarzda davom etadi.
13-Mavzu: Tengsizliklarni qo’shish va ko’paytirish
1- teorema. Bir xil ishorali tengsizliklarni qo`shishda xuddi shu ishorali tengsizlik hosil bo`ladi: agar a>b va c>d bo`lsa, u holda a+c>b+d bo`ladi.
2- teorema. Chap va o`ng qismlari musbat bo`lgan bir xil ishorali tengsizliklarni ko`paytirish natijasida xuddi shu ishorali tengsizlik hosil bo`ladi: agar a>b, c>d va a, b, c, d — musbat sonlar bo`lsa, u holda ac>bd bo`ladi.
Agar a, b — musbat sonlar va a>b bo`lsa, u holda a 2 >b 2 bo`ladi.
a>b tengsizlikni o`z-o`ziga ko`paytirib, quyidagini hosil qilamiz: a 2 >b 2 .
Shunga o`xshash, a, b — musbat sonlar va a>b bo`lsa, u holda istalgan natural n uchun a n >b n ekanligini isbotlash mumkin.
Masalan, 5>3 tengsizlikdan 5 5 >3 5 , 5 7 >3 7 kabi tengsizliklar kelib chiqadi.
| Tengsizliklarni qo`shing: va . |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Tengsizliklarni ko`paytiring: va . |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Tengsizliklarni ko`paytiring: va . |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Agar bo`lsa, quyidagi tengsizliklardan qaysi biri to`g`ri? |
| A |
| B |
| C |
| D |
| Agar va bo`lsa, u holda quyidagi tengsizliklarning qaysi biri o`rinli? |
| A |
| B |
| C |
| D |
14-Mavzu: Matematik sofizmlar
Xalq orasida «ikki karra ikkidek ma’lum» degan ibora mavjud, bu tasdiqning mantiqiy ravishda matematika qonuniyatlar va ularga asoslangan haqiqatlar asosida isbotlanganini bildiradi. Shuning uchun agar biror mulohaza yuritish asosida mantiqiy qarama-qarshilikka, masalan, 2×2=5 natijani olsak, olib borgan mulohazalarimizning biror joyida xatoga yo’l qo’yilganligidan dalolat beradi. Lekin ko’p hollarda ana shu xatoni topish ham oson bo’lmaydi.
Haqiqatdan, birinchi qarashda mutlaq to’g’ri mulohazalarda xaton topish qiyinchilik tug’diradi:
- bo’lsin, u holda va . Oxirgi tengliklarni hadma had qo’shib quyidagini olamiz , endi ikkala tomonidan ni ayirib yoki ni olamiz. Bundan kelib chiqadi.
2.To’g’ri sonli tenglikni olamiz: 225:25+75+100-16 va bir necha almashtirishlardan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz:
25(9:1+3)=84, 25×12=7×12, 5×5=7
3.Tenglikni quyidagicha almashtiramiz:
4.81-171=100-190tenglikning ikkala tomoniganiqo’shib
Bu yerda hyech qanday isbot yo’q, faqat matematika qonun va qoidalari buzilyapti. Birinchi keltirilgan misolda mumkin bo’lmagan amal nolga bo’lish bajarilgan (), ikkinchisida esa ko’paytirishning taqsimot qonuni bo’linish amaliga noo’g’ri qo’llanilgan(
Uchinchi holda 0 ga bo’linishi bajarilgan, to’rtinchisida esa sonlar kvadratlari tengligidan ularning ham tengligi keltirib chiqarilgan (teng bo’lsada )
Keltirilgan misollar matematik sofizmlar deb ataladi. Sofizm (grekcha -boshqotirma, ayyorlik so’zlaridan olingan) haqiqatga yaqin mulohazalar ketma-ketligidan iborat bo’lib, unda xato yashiringan bo’ladi, shuning uchun absurd, paradoksli, zid xulosaga olib keladi;
Matematika tarixida sofizmlar katta rol o’ynagan. Ular yangi qonuniyatlarni ochishga va nazariyalarni yaratishga turtki bo’lgan. Sofizmlar yechilgan deyiladi, agar xato topilib fikrlangan bo’lsa. Sofizmlar haqida ilk kitob V.Litsman va F.Trirlarning «Xato qayerda?» kitobi 1919 yilda Petrogradda nashr etilgan bo’lib,unda qator matematik sofizmlar keltirilgan va muhokama etilgan.
15-Mavzu: Bir noma’lum tengsizliklarni yechish.
Chiziqli tengsizlikka keltiriladigan bir noma’lumli tengsizliklarni yechish uchun:
1) noma’lum qatnashgan hadlarni chap tomonga, noma’lum qatnashmagan hadlarni esa o`ng tomonga o`tkazish (1- xossa);
2) o`xshash hadlarni ixchamlab, tengsizlikning ikkala qismini noma’lum oldidagi koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo`lmasa) bo`lish (2- xossa) kerak.
1-masala. Tengsizlikni yeching:
Tengsizlikning chap va o`ng qismlarini soddalashtiramiz. Qavslarni ochamiz:
Noma’lum qatnashgan hadlarni tengsizlikning chap qismiga, noma’lum qatnashmagan (ozod) hadlarni esa o`ng qismiga olib o`tamiz (1- xossa):
O`xshash hadlarni ixchamlaymiz: — 3x
va tengsizlikning ikkala qismini -3 ga bo`lamiz (2- xossa):
Javob. ▲
Bu yechilishni qisqacha bunday yozish mumkin:
1) a ning qanday qiymatlarida kasr kasrdan katta bo`ladi?
2) b ning qanday qiymatlarida kasr kasrdan kichik bo`ladi?
3) x ning qanday qiymatlarida kasr kasrlar ayirmasidan katta bo`ladi?
4) x ning qanday qiymatlarida va kasrlar yig`indisi kasrdan kichik bo`ladi?
16-Mavzu: Tengsizliklar sistemalarini yechish.
1-masala. Tengsizliklar sistemasini yeching:
Birinchi tengsizlikni yechamiz:
Shunday qilib, birinchi tengsizlik x>2 bo`lganda bajariladi.
Ikkinchi tengsizlikni yechamiz:
Shunday qilib, (1) sistemaning ikkinchi tengsizligi x>-3 bo`lganda bajariladi.
Son o`qida (1) sistemaning birinchi va ikkinchi tengsizliklarining yechimlari to`plamlarini tasvirlaymiz.
Birinchi tengsizlikning yechimlari x>2 nurning barcha nuqtalari, ikkinchi tengsizlikning yechimlari x>-3 nurning barcha nuqtalari bo`ladi
(1) sistemaning yechimlari x ning ikkala nurga bir vaqtda tegishli bo`lgan qiymatlari bo`ladi. Rasmdan ko`rinib turibdiki, bu nurlarning barcha umumiy nuqtalari to`plami x>2 nur bo`ladi.
Tengsizliklar sistemasining yechimlari bo`lgan barcha butun sonlarni toping:
Masalar shartiga mos tengsizlik tuzing va uni yeching.
1) x ning qanday qiymatlarida y=0,5x+2 va y=3-3x funksiyalarning qiymatlari bir vaqtda: 1) musbat; 2) manfiy; 3) 3 dan katta; 4) 3 dan kichik bo`ladi?
2) x ning qanday qiymatlarida y=x-2 va y=0,5x+1 funksiyalarning qiymatlari bir vaqtda: 1) nomanfiy; 2) nomusbat; 3) 4 dan kichik emas; 4) 4 dan katta emas bo`ladi?
3) Uchburchakning bir tomoni 5 m, ikkinchi tomoni esa 8 m. Agar uchburchakning perimetri: 1) 22 m dan kam; 2) 17 m dan ortiq bo`lsa, uning uchinchi tomoni qanday bo`lishi mumkin?
4) Agar butun sonning qismidan uning qismi ayrilsa, u holda 29 dan katta son hosil bo`ladi, agar xuddi shu sonning qismidan uning qismi ayirilsa, u holda 29 dan kichik son hosil bo`ladi. Shu butun sonni toping.
5) Agar butun sonning ikkilanganiga uning yarmi qo`shilsa, u holda 92 dan kichik son hosil bo`ladi, agar xuddi shu butun sonning ikkilanganidan uning yarmi ayrilsa, u holda 53 dan katta son hosil bo`ladi. Shu butun sonni toping.
17- Mavzu: Eng katta umumiy bo’luvchi (E K U B)
Agar, EKUB(a,b)=1 bo’lsa, a vab sonlar o’zaro tub sonlar deyiladi.
Masalan: (1;2) , (2;3) , (15;28) , (10;21) va hakazo
- a= 2²∙ 5² ∙7 va b=2 ∙5³∙ 11 bo’lsa,EKUB(a,b) ni toping.
Yechish: EKUB(a,b)=2∙ 5² =50
- EKUB(345 , 285 , 315) ni toping.
Yechish: 345 , 285 , 315 sonlarini tub ko’paytuvchilarga ajratamiz. 345=3∙ 5∙ 23; 285=3∙ 5∙ 19; 315=3²∙ 5∙ 7→EKUB(345,285,315)=3 ∙5=15
24 va 90 sonlarining barcha bo’luvchilarini yozib chiqaylik:
24 va 90 sonlarning umumiy bo’luvchilari quyidagilar: 1, 2, 3, 6. Bu umumiy bo’luvchilar ichida eng kattasi: 6.
6 soni 24 va 90 sonlarining eng katta umumiy bo’luvchisi deyiladi.
m va n natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi quyidagicha belgilanadi: EKUB(m, n).
1-misol. EKUB (84, 96)ni toping.
2-misol. EKUB (15, 46)ni toping.
15 va 46 sonlarining umumiy tub bo’luvchilari yo’q. Bunday hollarda berilgan sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi 1ga teng bo’ladi. Demak, 15 va 46 sonlari uchun .
1.Matematika fanidan o’tkazilgan tanlov g’oliblarini daftar va qalam bilan mukofotlashmoqchi.42 ta daftar va 30 ta qalamdan har bir g’olib o’quvchiga nechta daftar,nechta qalam beriladi? G’oliblar soni ko’pi bilan necha nafar?
Yechish: 42 va 30 ning umumiy bo’luvchilarini topamiz.
Ular: 1,2,3,6 ;demak g’oliblar soni shuncha bo;lishi mumkin.Eng kattasi 6 J: 6 ta .
- EKUB(720 , 540)=?
Yechish: 720=2∙ 3²∙ 5 va 540=2² ∙3³∙ 5
EKUB(720,540)=2²∙ 3²∙ 5=180 Javob: 180
18-Mavzu: ENG KICHIK UMUMIY KARRALI
Matematika fanidan o’tkazilgan tanlov g’oliblarini daftar va qalam bilan mukofotlashmoqchi.42 ta daftar va 30 ta qalamdan har bir g’olib o’quvchiga nechta daftar,nechta qalam beriladi? G’oliblar soni ko’pi bilan necha nafar?
Yechish: 42 va 30 ning umumiy bo’luvchilarini topamiz.
Ular: 1,2,3,6 ;demak g’oliblar soni shuncha bo;lishi mumkin.Eng kattasi 6 J: 6 ta .
- EKUB(720 , 540)=?
Yechish: 720=2∙ 3²∙ 5 va 540=2² ∙3³∙ 5
EKUB(720,540)=2²∙ 3²∙ 5=180 Javob: 180
36 va 48 sonlariga karrali sonlarni yozib chiqaylik:
Bu sonlar orasida ikkala qator uchun umumiy bo’lgan sonlar bor:
Ular 36 va 48 sonlarining umumiy karralisidir.
36 va 48 ga bo’linadigan sonlarning umumiy karralisi: bo’ladi, bunda k-ixtiyoriy natural son.
Ammo 144 soni 36 va 48 ga karrali barcha sonlar ichida eng kichigidir. 144 sonini 36 va 48 sonlarining eng kichik umumiy karralisi (bo’linuvchisi) deymiz.
Demak, EKUK (36, 48) = 144.
EKUK ni topishning quyidagi ikki usulini keltiramiz.
1-misol. EKUK (15, 12) topilsin.
1-usul. Sonlarning kattasi 15. Unga karrali sonlarni yoza borib, ularning 12 ga bo’linishi yoki bo’linmasligini aniqlab boramiz:
soni 12 ga bo’linmaydi, soni 12 ga bo’linmaydi, soni 12 ga bo’linmaydi soni 12 ga bo’linadi.
Demak, EKUK (15, 12) = 60.
2-usul. 15va 12 sonlarini tub ko’paytuvchilarga ajratamiz:
EKUK (15, 12) soni ham 15ga, ham 12ga bo’linadigan sondir. Shuning uchun uning yoyilmasida 15 va 12 sonlarining umumiy bolmagan barcha tub ko’paytuvchilari ham qatnashadi. Umumiy tub ko’paytuvchilar esa bittadan olinadi.
2-misol. EKUK (20, 33) topilsin.
va -o’zaro tub sonlar, ularning umumiy tub bo’luvchilari yo’q.
- 48 va 60 ning EKUK ini toping.
Yechish: 48=2∙ 24=2 ∙3 60=15 ∙4=2²∙ 3 ∙5
EKUK(48,60)=2∙ 3 ∙5=16 ∙15=240
- 24,35 va 74 sonlarining EKUK ini toping
Yechish: 24=3 ∙8=2³∙ 3 35=5 ∙7 74= 37 ∙2
EKUK(24 , 35 , 74)=2³ ∙ 3∙ 5 ∙7 ∙37=31080
a)Matoni 4 metrdan yoki 5 metrdan qilib sotishmoqchi. Laxtak qolmasligi uchun eng kamida necha metr mato bo’lishi kerak?
Yechish: Biz 4 va 5 ga bo’linadigan sonni izlashimiz kerak.
Bu 4 va 5 ning EKUKI hisoblanadi. EKUK(4 , 5)=20
b)Ikki sonning ko’paytmasi 294 ga, ulrning eng katta umumiy bo’luvchisi 7 ga teng. Bu sonlar uchun EKUK ni toping.
Yechish: EKUB(a , b) EKUK(a , b)=a b ekanligidan EKUK=294:7=42
19-Mavzu: Ikki sonni ularning yig`indisi va bo`linmasi (nisbati) bo`yicha topish.
Tayanch masala. Ikki sonning yig`indisi 200 ga teng . bir son ikkinchisidan 3 marta katta, shu sonlarni toping.
Yechilishi : kichik son 1 qism Katta son 3 qism Yig`indisi 4 qism
Kichik sonni topish uchun 200 ni 4 ga bo`lamiz; olingan bo`linmani 3 ga ko`paytirsak; katta sonni topamiz.
Tekshirish uchun xar ikkala sonni qo`shamiz
- 200 : 4 = 50;
- 50 3 = 150;
Tekshirish: 50 + 150 = 200
1-masala. Sutkaning qolgan qismi o`tgan qismidan besh marta ko`p bo`lsa, hozir vaqt qancha?
Yechilishi: yig`indi 24 ga, bo`linma esa 5 ga teng. Demak, sutkaning o`tgan qismi soat va qolgan qismi esa soqtga teng.
2-masala. Onasining yoshi qizining yoshidan uch marta katta, otasi esa, onasi bilan qizining yoshi birgalikda qancha bo`lsa, shuncha yoshda, agar har uchalasining yoshini birga olganda hosil bo`lgan son eng kichik uch honali son bilan to`rtning yig`indisiga teng bo`lsa, ularning har biri necha yoshda bo`ladi?
Yechilishi: hammasining yoshi birgalikda : 100 + 4 = 104 yosh. Onasiga bundan uch qismi, qiziga bir qismi va otasiga 3 + 1 = 4 qismi to`g`ri keladi. Bunday bo`laklardan hammasi bo`lib, 3 + 1 + 4 = 8 bo`lgan.
Demak, qizining yoshi : da ; onasi yoshda; otasi
yoshda. Xuddi shu usul bilan quyidagi masalalarni ham yechish mumkin.
3-masala. Ikki sonning yig`indisi 410 ga teng, katta sonni kichik songa bo`lganda 7 tadan tegib, 10 ta ortib qoladi. Shu sonlarni toping.
4-masala. Ikki sonning bo`linmasi 3 ga va qoldig`i 10 ga teng. Agar bo`linuvchi, bo`luvchi, bo`linma va qoldiqlar qo`shilsa 143 ga teng bo`ladi. Bo`linuvchi va bo`luvchini toping.
20-Mavzu: Ikki sonni ularning ayirmasi va bo`linmasi (nisbati) bo`yicha topish.
Tayanch elementar masala: Otasining yoshi o`g`linikidan uch marta katta . otasi 24 yoshda ekanida o`g`il tug`ilgan bo`lsa, xar birining yoshi nechada bo`ladi?
Agar otasi yoshining sonidan o`g`li yoshining sonini, ya`ni 1/3 qismini ayirib tashlasak, otasining 2/3 yoshi qoladi, bu esa 24 yoshni tashkil qiladi. Sonning bo`lagi bo`yicha sonning hammasini topamiz: yosh.
1-masala. Aka bilan singilning pullari bor edi. Akasi singlisiga 24 so`m bersa, ularning pullari bir-birinikiga teng bo`ladi, agar singlisi akasiga 27 so`m bersa, akasidagi pul singlisinikiga qaraganda ikki marta ortiq bo`ladi. Ularning xar birida qanchadan pul bo`lgan?
Yechilishi: 1) Akasida singlisinikiga qaraganda 48 so`m ortiq
2) Singlisi akasiga 27 so`m bersa, ayirma 54 so`mga ortgan bo`lib, 102 so`m (48 + 54) bo`lar edi;
3) Shu vaqtda akasida singlisiga qaraganda ikki marta ortiq pul bo`lar edi. Ayirmasi va nisbati bo`yicha singlisida qancha pul bo`lish kerakligini aniqlaymiz: so`m;
4) Akasiga 27 so`mni bergandan keyin singlisida 102 so`m qolgan. Demak, avval uning 129 so`m (102 + 27) puli bo`lgan ekan;
5) Akasiniki 48 so`m ortiq bo`lgan. Demak, akasining 129 + 48 = 177 so`m puli bo`lgan ekan.
2-masala. Bir bola ikkinchisiga: « menga bir olmangni ber shunda meniki senikidan ikki marta ko`p bo`ladi» degan. Ikkinchisi bunga javoban: « yo`q, sen menga 1 olma ber shunda ikkimizniki baravar bo`ladi» degan. Ularning har birida qanchadan olma bo`lgan?
Yechilishi: 1) ikkinchi bolaning so`zidan ma`lum bo`ladiki, uning olmasi birinchi bolanikidan ikkita kam ekan.
2) agar ikkinchi bola birinchiga yana bir olma bersa bu farq yana ikkita ortar edi va 4 ga teng bo`lar edi.
Ikkinchi bola birinchi bolaga bir olma bersa, uning olmasi bo`lar edi. Demak, uning olmasi 4+1=5 ta ekan. Birinchiniki esa 5+2=7 ta ekan.
Quyidagi masalalar ham shu usul bilan yechilishi mumkin.
3-masala. Temir yo`li shox bekatida ikki sostav yuk vagonlari turibdi. (hamma vagonlar bir xil uzunliklarda) Bir sostavdagi vagonlarning soni ikkinchi sostavdagidan 12 ta ortiq; xar ikkala sostavdan 4 vagondan ajratib olgandan keyin, birinchi sostav ikkinchi sostavdan ikki marta uzun bo`lib qoldi. Xar qaysi sostavda qancha vagon bo`lgan?
4-masala. Boladan nechta akang va nechta singling bor deb so`raganda, u : « qancha akam bo`lsa, shuncha singlim bor » deb javob bergan. Keyin singlisidan nechta akang va nechta singling bor deb so`ralganda, u : « singillarim akalarimdan ikki marta kam» deb javob bergan. Shunday bo`lishi mumkinmi ?
21- Mavzu:Ikki sonni ularning yig`indisi va ayirmasi yordamida topish
Tayanch masala: ikki sonning yig`indisi 1000 ga, shu sonlarning ayirmasi 292 ga teng bo`lsa, shu sonlarni toping.
Katta son, kichik son + ayirma bo`lgani uchun, ikki sonning yig`indisini, kichik sonning ikkilanganiga ayirmaning qo`shilgani deb qarash mumkin.
Ikki sonning yig`indisidan ularning ayirmasi ayrilgandan keyin, kichik sonning ikkilanganini hosil qilamiz. Yig`indiga ayirmani qo`shsak, katta sonning ikkilanganini hosil qilamiz.
1-usul: 1) 1000 — 292 = 708
2) 708 : 2 = 354 (kichik son)
3) 354 + 292 = 646 (katta son)
Tekshirish: 354 + 646 = 1000.
2-usul: 1) 1000+292=1292 2) 1292 : 2 = 646 (katta son)
3)646 – 292 = 354 (kichik son) Tekshirish : 354 + 646 = 1000.
1-masala. Uchta qopdagi kartoshka 156 kg keladi. Birinchi qop ikkinchisidan 18 kg og`ir, ikkinchisi esa uchinchisidan 15 kg yengil. Xar bir qopda qanchadan kartoshka bor.
3) (kg) Tekshirish: 59+41+56=156 (kg)
2-masala. Qizi tug`ilganda onasi 32 yoshda , o`g`li tug`ilganda 35 yoshda edi. Xar uchalasining yoshini birga olganda 59 bo`lsa, xozir xar biri necha yoshda bo`ladi?
Yechish: Eng kichkina yoshdagisi – o`g`li. Opasi undan (35-32) yosh katta. Onasi o`g`lidan 35 yosh katta. O`g`li yoshda. Qizi 10 yoshda. Onasi 42 yoshda.
22-Mavzu:Tezlikni aniqlashga doir masalalar yechish.
Elementar masala. Kema suvning oqimi bo`ylab soatiga 20 km, suvning oqimiga qarshi soatiga 15 km tezlik bilan yurdi. Suvning oqim tezligini toping.
Yechilishi: kemaning oqim bo`ylab tezligi, kemaning o`zining tezligi bilan oqim tezligining yig`indisiga teng bo`ladi; oqimga qarshi borgan vaqtdagi tezligi esa bularning ayirmasiga teng. Shundan ko`rinadiki, kemaning oqim bo`ylab yurgan tezligi bilan oqimga qarshi tezligi orasidagi farqi oqimning ikkilangan tezligiga teng.
Demak, suvning tezligi km bo`lar ekan.
1-masala. Qayiq turg`un suvdan soatiga 7 km dan suza oladi. U ikki punkt orasidagi masofani oqim bo`ylab suzib o`tish uchun oqimga qarshi suzganiga qaraganda marta kam vaqt sarf qiladi. Suv oqimining tezligini toping.
Oqim bo`ylab qayiq 1 soatda MC masofani o`ta oladi, buning DC = 7 km bo`lagi qayiqning o`z tezligi bo`lib, MD bo`lagi esa oqim tezligidir. Xuddi shunday AB masofani, qayiq oqimga qarshi soatda o`tadi. Agar oqim bo`lmaganda edi, u soatda undan katta bo`lgan AN = km masofa o`tgan bo`lar edi. Bu km ni qayiq o`z xarakati hisobiga 1 soatda ( CD = BD = 7 km ) va suv oqimi hisobiga soatda ( MD = AD va BN = AD ) o`ta oladi. Demak, suv oqimining soatdagi tezligi : km, ya`ni bir soatdagi tezligi esa km bo`ladi.
Xuddi shu tipga quyidagi masalalarni ham kiritish mumkin.
2-masala. Suv soatiga 3 km tezlik bilan oqadi; qayiq bilan suvning oqimi bo`ylab ma`lum masofani bosib o`tishi uchun oqimga qarshi suzishga qaraganda 3 marta kam vaqt kerak bo`ladi. Qayiqning turg`un suvdagi tezligini toping.
3-masala. Qayiq suvning oqimi bo`ylab ketayotib ikki punkt orasini soatda o`tgan. Orqaga qaytayotib shu masofani 6 soatda o`tgan. Suvga tashlangan yog`och suvning oqimi bo`ylab shu masofani qancha vaqtda o`tgan?
23-Mavzu:Uchrashma harakatga doir masalalar.
Elementar masala. Qishloqdan shaxargacha masofa 45 km. bir vaqtda bir-biriga qarama-qarshi bo`lib, piyoda va velosipedchi yo`lga chiqdi. Piyodaning tezligi soatiga 5 km, velosipedchiniki esa 10 km. qancha vaqtdan keyin ular uchrashadilar?
Piyoda bilan velosipedchi orasidagi masofa xar soatda 10+5 (km) qisqaradi. Piyoda bilan velosipedchi tezliklari yig`indisi, 45 km ichida necha marta bo`lsa, ular uchrashguncha shuncha vaqt o`tadi: soat. Javob: 3 soatdan keyin uchrashadilar.
1-masala. Bir poyezd ikkinchi ro`paradan kelayotgan poyezdning yonidan o`tib borayotir; birinchisi soatiga 50 km tezlik bilan, ikkinchisi esa 58 km tezlik bilan xarakatlanmoqda. Birinchi poyezddagi yo`lovchi ikkinchi poyezdning 10 sekundda o`tib ketganini kuzatgan. Ikkinchi poyezdning uzunligini toping.
Yechilishi. Ikkinchi poyezd 10 sekund davomida birinchi poyezddagi kuzatuvchi yonidan xar ikkala poyezd tezliklarining yig`indisiga teng bo`lgan tezlik bilan o`tgan. Demak, ikkinchi poyezdning uzunligi
Javob: ikkinchi poyezd uzunligi 300 m.
2-masala. Qo`qondan marg`ilongcha bo`lgan masofa 75 km. ertalab soat 9 da qo`qondan velosipedchi yo`lga chiqqan. Ertalab soat 9 dan 36 minut o`ganda esa , Marg`ilondan ikkinchi velosipedchi yo`lga tushgan va brinchidan soatiga km dan kam yo`l yurgan. Velosipedchilar tush vaqtida uchrashganlar, ular Marg`ilondan qancha masofada uchrashganlar, xar biri necha km tezlik bilan yurgan, birinchisi Marg`ilonga qachon yetib kelgan?
Yechilishi: ikkinchi velosipedchi birinchiga qaraganda soatiga km dan kam yo`l yurgan. Uchrashish paytigacha u, soat yurgan. Agar birinchi velosipedchi ikkinchisining tezligigacha tezlik bilan yurganda edi, u 3 soatda kam yurgn bo`lar edi. Demak, agar xar ikkala velosipedchi, ikkinchi velosipedchining tezligidek tezlik bilan yurganlarida edi, , ya`ni yo`l o`tgan bo`lar edilar. Bundan ikkinchi velosipedchining tezligi km/soat ekanligi kelib chiqadi. Uchrashuv Marg`ilondan 30 km masofa bo`lgan. Birinchi velosipedchining tezligi km/soat bo`lib, uchrashganlaridan 2 soat (30:15=2) keyin, ya`ni kunduzgi soat 2 da Marg`ilonga yetib borgan.
24-Mavzu: Quvlab yetishga doir xarakatlar.
Elementar masala. Otasi o`g`lini shaxardan kitoblar olib kelish uchun yuborgan. Lekin qaysi kitoblarni olib kelish kerakligini aytishni unutgan. 3 soat o`tib o`zi velosipedda quvib ketgan. Agar o`g`li bir soatda 5 km , otasi esa bir soatda 8 km yursa, otasi o`g`lini necha soatda quvlab yetadi?
Yechilishi: o`g`li uch soatda 15 km () yurdi, otasi esa xar soatda uch km dan ortiq (8-5=3) yuradi. Ortiqcha 15 km ni yurib o`tishi uchun otasiga 5 soat (15:3=5) vaqt sarf qilishi kerak bo`ladi, ya`ni soat.
1-masala. It tulkini quvlab borayotir, lekin ular orasidagi masofa itning yuz marta sakraganida o`tadigan masofaga teng. It uch marta sakraganida, tulki 5 marta sakraydi, biroq, uzunlik jixatidan itning olti marta sakrashi tulkining 11 marta sakrashiga teng edi. It tulkini qancha sakrashda quvlab yetadi?
Izoh: bu masalaning qiyinligi shundaki, vaqt ham masofa ham bir xil birlik bilan, ya`ni sakrash bilan ifodalangan. Bu tushunchalarni almashtirish yaramaydi. Bu qiyinlik itning sakrashini tulkining sakrashiga va teskarisiga aylantirish kerak bo`lganligidan yana murakkablashadi.
Endi masalaning yechilishini ko`raylik.
Yechilishi: 1) tulki 5 marta sakraganda it uch marta sakraydi.
Demak, it olti marta sakraganda tulki 10 marta sakrar ekan.
- Itning 6 marta sakragani uzunlik jixatidan tulkining 11 marta sakraganiga teng . demak, it 6 marta sakraganida tulkiga, uning bir sakrashi miqdorida yaqinlashib boradi (uzunlik jixatidan).
- Tulkining 11 sakragani uzunlik jixatidan itning 6 sakrashiga Demak, tulkining bir sakrashi uzunlik jixatidan itning sakrashiga teng.
- It 6 sakrashda tulkiga o`z sakrashining qismi qadar yaqinlashadi, bir sakrashida bo`lagi qadar yaqinlashib
- It qancha sakraganda tulkiga yeta olishini bilish uchun, itning 100 ta sakrashini it sakrashiga bo`lish kerak, shunda masalada qo`yilgan savolga sakrashda degan javobni
Bu yechimning turli xil variantlari bo`lishi mumkin. Ularning ayrimlarini keltirib o`tamiz. 1-variant. It o`zining 6 sakrashida tulkiga, uning bir sakrashi miqdorida yaqinlashib boradi, ya`ni it bir sakraganda tulkining sakrashi qadar yaqinlashib boradi. Itning 100 sakrashini tulki sakrashiga aylantiramiz: va buni ga bo`lsak, 1100 it sakrashi kelib chiqadi.
2-variant. Ham itning, ham tulkining tezliklari bir vaqtda bo`lgan sakrashlariga teskari proporsionaldir () ya`ni itning tezligi tulkining tezligiga kabi nisbatda bo`ladi. Demak, it xar bir sakrashida tulkiga uning sakrashicha yaqinlashib boradi, tulkini sakrashda quvlab yetgan..
3-variant. 1) it o`zining olti sakrashida tulkiga, uning bir sakrashicha miqdorda yaqinlashib boradi.
2) it 66 sakrashda tulkining 11 sakrashi qadar yo`lni () ortiq o`tadi.
3) tulkining ikki sakrashi itning 6 sakrashiga teng. Demak, it o`zining 66 sakrahida tulkiga qaraganda o`zining 6 sakrashi miqdorida ortiq yo`l bosadi.
4) it o`zining bir sakrashida tulkiga ikki sakrashi miqdorida yaqinlashadi.
5) it tulkini 1100 sakrashda quvlab yetadi.
2-masala. Piyoda kishi A dan B ga qarab yo`lga chiqdi. 12 soatdan keyin A dan B ga qarab avtomobil jo`nab ketdi. Avtomobil piyoda kishiga qaraganda 5 marta tezroq yuradi. Necha soatdan keyin avtomobil piyodani quvib yetadi?
Yechilishi: piyoda yuruvchi 12 soatda, avtomobilni 5 marta kamroq vaqtda , ya`ni soatda yuradigan yo`lini yurgan. Avtomobilning tezligi 1 va piyodaning tezligi deb qabul qilinsa, avtomobil piyodani xar soatda o`z tezligining yaqinlashib boradi. Piyodaning 12 soatda yurgan masofasini avtomobilning tezligi orqali ifodalasak, ga teng bo`lib, avtomobil piyodani o`zi yura boshlagandan 3 soat o`tgandan keyin, yoki piyoda yuraboshlagandan 15 soat (12+3=15) o`tgandan keyin quvlab yetadi.
25-Mavzu:Bir miqdorni ikkinchisi bilan almashtirish.
Elementar masala. 8 m satin bilan 5 m chit 835 so`m turadi. Bir metr satin 1 metr chitga qaraganda 28 so`m qimmat bo`lsa, satin bilan chitning xar metri qanchadan turadi?
Yechilishi: 1) agar 8 m satin o`rniga 8 m chit sotib olsak, satinning xar bir metridan 28 so`mdan iqtisd qilib qolingan bo`lar edi va hammasi bo`lib so`m tushgan bo`lar edi, ya`ni 835-224=611 so`m turgan bo`lar edi.
2) 13 metr (8+5=13) chit 611 so`m, 1 metr chit esa 611:13=47 so`m turgan bo`lar edi.
3) bir metr satin bir metr chitdan 28 so`m qimmat, ya`ni bir metr satin 47+28=75 so`m turadi.
Murakkabroq masalalar yechimini ko`raylik.
1-masala. kub.m quruq o`rik yog`ochi bilan kub.m quruq archaning og`irligi t bo`lib, bir kub.m o`rik yog`ochi bir kub.m archadan marta og`ir bo`lsa, bir kub.m o`rik yog`ochi va bir kub.m archaning og`irligi qanchadan bo`ladi?
Yechilshi: 1) archani o`rik yog`ochi bilan almashtiramiz. Agar o`rik archaga qaraganda marta og`ir bo`lsa, og`irligi archa yog`ochining og`irligi bilan birday bo`lgan o`rik yog`ochining xajmi archa xajmining qismini tashkil etadi, ya`ni kub.m bo`ladi.
2) kub.m va kub.m o`rik yog`ochi t keladi, bir лги metr o`rik yog`ochi esa, t va bir kub.m archa t keladi.
3-masala. 32 m chit, 40 m satin, 25 so`m surup 4998 so`mga sotilgan. Bir metr surup bir metr chitga qaraganda 2.4 marta qimmat, bir metr satin bir metr surupga qaraganda 1.44 marta arzon bo`lsa, chit, satin, surupning xar birining metri qanchadan turadi?
Yechilishi : 1) surupni chit bilan almashtiramiz. Surup chitdan 2.4 marta qimmat, demak, 25 m surup o`rniga 2.4 marta ortiq chit olish mumkin ( 25 m surupga to`langan pulga 2.4 marta ortiq chit olish mumkin), ya`ni .
2) satinni avval surupga, so`ngra chitga almashtiramiz. Satin surupga qaraganda 1.44 marta arzon. Demak, 40 m satin uchun to`langan pulga 1.44 marta kam surup sotib olish, ya`ni 40 m : 1.44 = m surup olish mumkin. m surup uchun to`langan pulga 2.4 marta ortiq, ya`ni chit sotib olish mumkin.
3) 4998 so`mga xammasi bo`lib chit sotib olish mumkin, shuning uchun bir metr chit turadi, bir metr surup turadi, bir metr satin 75 s. 60 t : 1.44 = 52 s. 50 t turadi.
26-Mavzu: ye soni tarixi
Bu son yaqinda paydo bo’lgan. Uni ba’zida «neper soni» ham deyishadi, shotland matematigi Djon Nepera (1550-1617) nomi bilan bog’laydilar, bu asossiz chunki Neper ye soni haqida puxta tasavurga ega degan ishonch yo’q. «ye» belgilashni Leonard Eyler(1707-1783) kiritgan. ye ning cheksiz qator ifodasidan foydalanib 23 ta raqamni topgan. » 1873 yilda Ermit ye ning transsendent son ekanligini isbotlagan. L.Eyler ye va orasida ajoyib munosabatni topgan. ye asos bo’yicha logarifmlar qaraladi va Lnx deb belgilanadi.
ye sonining o’nli raqamlari
e = 2.718281 8284590452 3536028747 1352662497 7572470936 9995957496 6967627724 0766303535 4759457138 2178525166 4274274663 9193200305 9921817413 5966290435 7290033429 5260595630 7381323286 2794349076 3233829880 7531952510 1901157383 4187930702 1540891499 3488416750 9244761460 6680822648 0016847741 185374234
27-Mavzu: Berilganlarni tenglashtirish va bundan birini chiqarish.
Elementar masala. 400 g konfet bilan kg pechene uchun 144 so`m to`langan. Yana bir xaridda esa xuddi shunday 600 g konfet bilan bir kg pechnega 136 so`m to`langan. Bir kg konfet va bir kg pechene qanchadan turadi?
Yechilishi: 1) berilgan ikkita miqdordan birini tenglashtiramiz: 1200 g konfet bilan kg pechne 432 so`m turadi, 1200 g konfet bilan 2 kg pechene 272 so`m turadi.
2) demak, konfet bilan pechene baxolari orasidagi ayirma (432-272=160 so`m) faqat sotib olingan pechene miqdorlari orasidagi ayirmaga bog`liq bo`lsa kerak.
3) pechenening narxini topamiz. so`m.
4) bir kg pechene 64 so`m turar ekan, 600 g ( ikkinchi xarid qilishda) 136-64=72 so`m turadi va bir kg konfet so`m turadi.
1-masala. Ikkita do`konga 4365 kg gurunch keltirilgan: bir do`konga keltirilgan gurunchning qismi bilan ikkinchi do`konga keltirilgan gurunchning qismi kg ga teng. Har bir do`konga qanchadan gurunch keltirilgan?
Yechilishi: I do`kon II do`kon keltirilgan
Birinchi qatordan hamma
Ikkinchisini ayiramiz gurunch
So`nggi qatorning yarmi
So`nggi ikki qatorning
So`nggisini ikkinchi qatordan
Demak, ikkinchi do`konga keltirilgan gurunch:
506 kg : = 1518 kg
Birinchi do`konga keltirilgan gurunch esa:
4365 kg – 1518 kg = 2847 kg
2-masala. Kamonda uch so`mlik va 5 so`mlikdan 50 ta qog`oz pul bor. Agar uch so`mlikdan ikki marta va 5 so`mlikdan uch marta kam bo`lsa, edi, xar ikkala turdagi pullarning soni 19 ta bo`lar edi. Karmonda qancha pul bor?
Yechilishi: kasr son chiqishini oldini olish maqsadida, masalaning ikkinchi shartiga muvofiq yechamiz (karmonda 19 ta qog`oz pul bor; uch so`mliklarning sonini ikki marta va 5 so`mliklarning sonini uch marta oshirsak, qog`oz pullarning soni 52 ta bo`ladi), shunda masala quyidagicha yechiladi:
3 so`mliklarning soni + 5 so`mliklarning soni = 19;
3 so`mliklarning ikkilangan soni + 5 so`mliklarning ikkilangan soni = 38;
3 so`mliklarning ikkilangan soni + 5 so`mliklarning uchlangan soni = 50.
So`nggi ikki tenglikni tenglashtirib, birinchi holda 5 so`mliklarning 50-38=12 ta ekanini aniqlaymiz, biroq bu karmonda bo`lganning 1/3 qismi, demak, 5 so`mliklar 123=36 ta bo`lgan ekan; 3 so`mliklar esa 50-36=14 ta bo`lgan ekan.
28-Mavzu: Birgalikdagi ish.
Elementar masala. Bir ishchi ma`lum bir ishni soatda, ikkinchisi esa 5 soatda tugallaydi. Xar ikkala ishchi shu ishni necha soatda tugallaydi?
Yechilishi: 1) birinchi ishchi hamma ishni soatda, bir soatda esa marta kam, ya`ni ishning qismini bajardi.
2) ikkinchi ishchi esa bir soatda ishning qismini bajaradi.
3) ikkisi birga ishlaganda bir soatda ishning qismini bajaradilar.
4) hamma ishni esa ikkalasi 3 soatda (1:1/3=3) tugallaydilar.
1-masala. Nasos bir soatda hovuzga 900 litr suv beradi. Nasos to`xtovsiz ishlab turgan chog`da hamma suv birinchi quvur orqali 12 soatda, ikkinchisi orqali esa 10.5 soatda oqib tamom bo`ladi. Nasosni ham har ikkala quvurni ham ishga solinsa, hovuz 5 soatda suvdan bo`shatdi. Hovuzning hajmini toping.
Yechilishi: 1) birinchi quvur orqali bir soatda to`la hovuzning qismi va nasos bergan 900 litr suvi oqib chiqadi, ikkinchi quvurdan esa to`la hovuzning qismi va nasos bergan 900 litr suv oqib chiqadi.
2) har ikkala quvur orqali bir soatda to`la hovuzning qismi va nasos orqali berilgan 900 litr2=1800 litr suv oqib chiqadi; 5 soatda esa, to`la hovuzning qismi va nasos orqali berilgan 1800=9000 litr suv oqib chiqadi.
3) nasos orqali 5 soatda 4500 litr suv keladi. Demak, 5 soatda xar ikkala quvur orqali to`la hovuzdagi suv va 4500 litr suv oqib chiqadi; bu hovuzning qismini tashkil qilib, 9000 litr bo`ladi, ya`ni hovuzning qismini tashkil qilib, 4500 litr bo`ladi.
4) endi sonning bo`lagi bo`yicha sonning hammasini topamiz: hovuzning hajmi 4500 litr : = 42000 litr.
29-Mavzu: Ikki ko`paytuvchini, ularning berilgan ko`paytuvchilari va ko`paytmalari teng bo`lganda ayirmalari yordami bilan topish.
Elementar masala. Baravar miqdordagi pulga bir necha tovuq va bir necha g`oz sotib olingan, biroq, tovuq g`ozga qaraganda 20 ta ortiq olingan . bir g`oz 126 so`m va bir tovuq 70 so`m turadi. Nechta g`oz va nechta tovuq sotib olingan?
Yechilishi: 1) 20 ta ortiq tovuq 1400 so`m turadi (70 20=1400 so`m) . bu pul qanday hosil bo`ldi? Bir tovuq va bir g`ozni sotib olganda, bir g`ozga qaraganda bir tovuqqa 56 so`m (126 so`m – 70 so`m = 56 so`m) kam sarf qilingan. Ikkinchi tovuq va g`ozni sotib olganda ham o`shanchadan iqtisod qilib borishgan. Xullas, 1400 hosil bo`lgunga qadar shu xilda iqtisod qilib borishgan va bu 1400 so`mga 20 ta ortiqcha tovuq sotib olingan.
2) Demak, 1400 so`mni ichida 56 so`m necha marta bo`lsa, shuncha g`oz sotib olingan 1400 : 56 = 25. Shunday qilib, 25 ta g`oz sotib olingan, tovuqlar esa 20 ta ortiq, ya`ni 45 ta tovuq olingan.
Murakkab masala. Poyezd 2 stansiya orasidagi masofani 3 kunda bosib o`tdi, u har kuni 18 soatdan yo`l yurdi. Agar poyezd har kuni yo`lda 22 soat 30 minutdan yursa va bir soatda 11 km dan ortiq yursa, shu masofani necha kunda bosib o`tadi?
Yechilishi. 1) stansiyalar orasidagi masofani poyezd odatdagi yurishi bilan 54 soatda (183=54) yuradi. Agar poyezd tezligini bir soatda 11 km ga orttirsa, bu masofani 45 soatda , ya`ni 9 soat oldin bosib o`tgan bo`lar edi.
2) poyezd oshiqroq tezlik bilan yurganida 45 soatda ortiqcha 495 km o`tgan bo`lar edi, odatdagi yurishda bu masofani o`tishi uchun ortiqcha 9 soat sarf qiladi.
3) Demak, poyezdning odatdagi tezligi, 495:9=55 km/soat ga, stansiyalar orasidagi masofa esa 55 km 54= 2970 km bo`ladi.
30-Mavzu: Oxiridan boshlab yechiladigan masalalar.
Elementar masala. Yashikda bir qancha olma bor edi. Birinchi bola yashikdagi olmaning to`rtdan birini va yana 3 tasini olgan. Ikkinchi bola qolgan olmaning uchdan birini va 4 tasini oldi. Uchinchi bola qolganining yarmini va yana 6 tasini olgan. Shundan keyin yashikda 2 ta olma qolgan. Yashikda qancha olma bo`lgan va har bola qanchadan olma olgan?
Yechilishi. Bunday tipdagi masalalarni oxiridan boshlab yechish osonroq bo`ladi.
1) yashikda 2 ta olma qolgan, bundan oldin uchinchi bola 6 ta olma va undan ham oldin yashikda qolgan hamma olmaning yarmini olgan. Bundan ko`rinadiki, uchinchi bola yashikdagi olmaning yarmini olibdi. 8 olmaga (2+6=8) teng bo`lgan ikkinchi yarmi yashikda qolibdi. Demak, uchinchi bola 8+6=14 ta olma olgan va yashikda ikkita olma qolgan. Shunday qilib, ikkinchi bolada yashikda 16 ta olma qolgan edi.
2) ikkinchi bola 4 ta olma olgan, bundan keyin 16 ta olma qolgan. Demak, ikkinchi bola qolgan hamma olmaning ni olgandan keyin yashikda olmaning qismi yoki 20 dona olma qolgan. U hamma olmaning ni, ya`ni 10 ta olma va yana 4 dona olma – hammasi bo`lib, 14 dona olma olgan; bundan keyin 16 dona olma qolgan. Demak, birinchi boladan keyin 30 dona olma (14+16=30) qolgan.
3) birinchi bola uchta olma va bundan oldin yashikda bo`lgan hamma olmaning qismini olgan. U qismini olganda yashikda hamma olmaning qismi, ya`ni 33 olma (3+30=33) qolgan. U , hamma olmaning qismini, ya`ni 11 ta olma (33:3=11) olgan va yana 3 ta olma olgan, hammasi bo`lib, 14 ta olma olgan, yashikda esa 44 ta olma (114=44) bo`lgan.
31-Mavzu: .Qiziqarli va turli hayotiy vaziyatlarga doir masalalar
1-masala. Stakanda bakteriyalar bor. Bir sekunddan so’ng bakteriya-ning har biri teng ikkiga bo’linadi, so’ngra har bir hosil bo’lgan bakteriya-lar bir sekunddan so’ng teng ikkiga bo’linadi va h.k. Bir minutdan so’ng stakan to’ladi. Qancha vaqtdan so’ng stakan yarmigacha to’lgan bo’ladi?
Javob. 59 sekundan so’ng.
2-masala. Anya, Vanya va Sanya avtobusga o’tirishdi, ularda mayda mis tangalar yo’q edi, lekin yo’l haqini to’lashdi. har biri besh tiyindan to’ladilar. Bunga ular qanday erishdilar?
Yechish. Anya va Vanya Sanyaga 15 tiyin to’lashdi, undan 10 tiyindan qaytim olganlar. Shundan so’ng u 15 tiyin pul to’lagan.
3-masala. Kitobdan bir qismi tushib qoldi, uning birinchi beti 328 tartib raqamiga ega, oxirgisining nomeri o’sha raqamlar bilan yozilgan lekin qandaydir boshqa tartibda yozilgan. Tushib qolgan qismda nechta bet bor?
Javob: 495 bet
4-masala. Qopda 24 kg mix bor. Millarsiz taroziga ega bo’lmasdan 9 kg mixni qanday tortib olish mumkin?
Yechish. Dastlab mixlarni teng ikkiga — 12 kg dan ikki guruhga ajratamiz, so’ngra bu guruhlardan birini ham teng ikkiga bo’lamiz, so’ngra yana bir marta teng ikkiga bo’lamiz Olingan 3 kg mixni olib qo’yamiz va qoldiqda 9 kg ni olamiz.
5-masala Shilliqqurt ustun bo’ylab uning asosidan boshlab o’rmalamoqda, har kuni u yuqoriga 5 sm, har oqshom esa 4 sm pastga tushadi. Agar ustunning balandligi 75 sm bo’lsa, u qachon ustun uchiga yetadi?
Yechish. Shilliqqurt ustun uchida 71- kun kechqurun bo’ladi.
6-masala Biror yilning yanvarida to’rtta juma va to’rtta payshanba bo’lgan edi. Bu oyning 20-chi kuni haftaning qanday kuni bo’lgan?
Javob: Yakshanba.
7-masala 199 × 991 o’lchovli xonali to’g’ri to’rtburchakda diagonal nechta xonani kesib o’tadi?
Yechish. Diagonal 199 + 991 – 1 = 1189 xonani kesib o’tadi.
8-masala. 1234512345123451234512345 sonidan 10 ta raqamni shunday o’chiringki, qolgan son maksimal mumkin bo’lgan son bo’lsin.
Javob: Maksimal son bu- 553451234512345.
9-masala Petya aytdi: «Kechadan oldin men 10 yoshda edim, kelgusi yilda menga 13 yosh to’ladi» .Bunday bo’lishi mumkinmi?
Yechish: ha, bo’lishi mumkin, agar Petyaning tug’ilgan kuni – 31 dekabr bo’lsa, va u bu gapni u 1 yanvarda aytgan bo’lsa.
10-masala Petyaning mushugi yomg’ir oldidan hamma vaqt aksiradi. Bugun u aksirdi. «Demak, yomg’ir bo’ladi» – deb o’yladi Petya. U haqmi?
Javob:Yo’q, haq emas.
32-Mavzu: soni tarixi
soni tarixi eramizdan oldingi 2000 yilikdagi misr papirusidan boshlanadi. lekin u qadimgi kishilarga ham ma’lum bo’lgan. soni odamlar o’z bilimlarni taassurotlarini, xotiralarini yoza olmagan paytlarda e’tiborini tortgan.O’shandan boshlab 1,2,3,4,… natural sonlar inson fikrining ajralmas yo’ldoshlar bulib, narsalar sonini yoki ularning uzunliklari yuzalari yoki hajmlarin aniqlashga yordam bergani kabi odamlar soni bilan tanishganlar. O’shanda u grek alifbosining hyech qanday harfi bilan belgilanmagan va uning rolini 3 soni bajarar edi. Tushunishi qiyin emaski, nima uchun soniga bunchalik ko’p e’tibor berilgan. Aylana uzunligi va uning diametri munosabatini miqdori ni ifodalab, u doira yuzi yoki aylana uzunligi bilan bog’liq barcha masalalarda paydo bo’ldi». Lekin qadimda ham matematiklar 3 soni pi soni sifatida unchalik to’g’ri ifodalamasligini aniqlaganlar. Shubhasizki bunga natural onlar qatorida kasr yoki rasional sonlar paydo bo’lgandan keyingina kelganlar.
Arximed yuqori va quyi yaqinlashishlar usulidan foydalanib pi sonining boshqa chegaralarini topgan. sonining belgilanishi grekcha («aylana so’zidan olingan. Birinchi marta bu belgilashdan 1706 yilda ingliz matematigik U.Djons foydalangan, lekin 1736 yildan ) sistematik ravishda Leonard Eyler ishlata boshlagandan so’ng qo’llanila boshladi XVIII asr oxirida I.Lambert i A.Lejandr irrasional son ekanligini isbotladilar. 1882 yilda F.Liderman uning transsendent ekanligini isbotladi, ya’ni hyech qanday butun koeffisiyentli algebraik tenglamani qanoatlantirmaydi.
sonini butun mavjudligi davrida, uning o’nli xonalari raqamlarini topish uchun o’ziga xos quvish olib borildi. Leonard Fibonachchi 1220 yilda uning uchta to’g’ri o’nli raqamini aniqlagan. 16 asrda Andrian Antonis bunday 6 ta raqamni topgan.. Fransua Viyet (Arximedga o’xshab ichki va tashqi chizilgan 322216-burchakning perimetrlarini hisoblab 9 ta aniq raqamni topgan. Andrian Van Romen shu usul bilanl 15 ta raqamni topgan 1073741824-burchaklar perimetrlarini hisoblagan. Ludolf Van Kyolen, 32512254720-burchkaklar perimetrlarni hisoblab 20 ta aniq raqamni hisoblagan.. Avraam Sharp 72 ta aniq raqamni topgan. 1844 yilda Z.Daze soning vergudan keyingi 200 ta raqamini topgan., 1847 yilda T.Klauzen 248 ta raqamni, 1853 yilda Rixter 330 ta raqamni ,o’sha 1853 yilda 440 raqamni Z.Daze topgan va o’sha yili U.Shenks 513 raqamni topadi. EHM paydo bo’lishi bilan to’g’ri o’nli raqamlar soni tez oshdi:
1949 yil — 2037 ta o’nli raqam (Djon fon Neyman, ENIAC),
1958 yil — 10000 ta o’nli raqam (F.Jenyui, IBM-704),
1961 yil — 100000 ta o’nli raqam (D.Shenks, IBM-7090),
1973 yil — 10000000 ta o’nli raqam (J.Giyu, M.Buye, CDC-7600),
1986 yil — 29360000 ta o’nli raqam (D.Beyli, Cray-2), sonining o’nli raqamlari
= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
33-Mavzu: Faraz qilish yo’li bilan yechiladigan masalalar.
Elementar masala. Xo`jalikda tovuqlar va qo`ylar bor. Ularning xammasining 19 ta boshi va 46 ta oyog`i bor bo`lsa, tovuqlar va qo`ylar sonini aniqlang.
Yechilishi . 1) xo`jalikda faqat tovuqlar bor deb faraz qilaylik. Bunda ularning 38 ta oyog`i bo`lar edi (219=38). Xaqiqatda esa oyoqlar 38 ta emas, balki 46 ta, ya`ni 8 ta ortiq. Nima uchun. Chunki, qo`ylarni tovuqlar bilan almashtirganimizda xar bir qo`ydagi oyoqlarni 2 ga kamaytirgan bo`lamiz (4-2=2) shunday qilib bizda oyoqlarning soni 8 ta kam bo`ldi. Demak, 8 ichida nechta 2 bo`lsa, xo`jalikdagi qo`ylar soni o`shanga teng ekan.
2) xo`jalikda faqatgina qo`ylar bor deb ham faraz qilishimiz mumkin. Bunda ularning 79 ta oyog`I bo`lar edi (419=76) нфётш haqiqatdagidan 30 ta oyoq ortiq bo`lar edi. Tovuqlarni qo`ylarga almashtirganimizda, xar tovuqqa ikkitadan oyoq qo`shgan bo`lamiz va xammasi bo`lib 30 ta oyoq qo`shgan bo`lamiz. 30 ning ichida nechta 2 bo`lsa, xo`jalikdagi tovuqlar soni shuncha bo`ladi. 30 : 2 = 15 ta tovuq.
1-masala. Do`konchi 95 kg 3 xil qand sotgan: 1- xilining 1 kg 137 s. 50 tiyindan, 2-xili 135 so`mdan, 3-xili esa 124 so`mdan. Xamma sotilgan qandga 12730 so`m olingan bo`lib, 1-xili 2- xiliga qaraganda 2 marta ko`p sotilgan bo`lsa, xar qaysi xilidan necha kg dan sotilgan bo`ladi?
Yechilishi: 1) 2- xilining 1 kg ga birinchi xilining 2 kg to`g`ri keladi. Demak, 2 kg bilan 2- xilining bir kg i 137.5 s 2 + 135 s = 410 s turadi, bu ikki xilning bir kg aralashmasi 410 : 3 = so`m turadi.
2) xamma 95 kg qandni 3- xili deb faraz qilaylik, bunda qand 124 s 95 = 11780 so`m, ya`ni xamma qandga to`langan puldan 950 so`m kam turar edi ( 12730-11730=950). Bu esa shuning uchun bo`ldiki, biz birinchi xil bilan ikkinchi xil qandning bir kilogrammining baxosini so`mga kamaytirdik.
3) 95 ning ichida necha marta bo`lsa, birinchi xil bilan ikkinchi xil qandlardan shuncha sotilgan bo`ladi: kg.
4) birinchi xil qand, ikkinchgi xiliga qaraganda ikki marta ortiq sotilgan. kg birinchi xilidan kg, 3-xildan kg sotilgan.
2-masala. Bir tonnasi 2380 so`mdan 435 t sement sotib olingan. Bu sementning bir qismi qop bilan bir qismi esa bochkada keltirilgan. Bir qopga ham bir bochkaga ham t sement joylashgan. Sement, qop, bochkalar uchun 1263900 so`m to`langan bo`lib, xar bir bochkaning o`ziga 100 so`mdan, xar qopga 75 so`mdan to`langan bo`lsa, qop bilan qancha, bochka bilan qancha sement keltirilgan?
Yechilishi: 1) sof sementga 2380435=1035300 so`m to`langan.
2) qop bilan bochkalarga to`langan pul
3) qop bilan bochkaning hammasi 6435=2610 ta bo`lgan.
4) agar idishlarning xammasi bochkalardan iborat bo`lganda edi, u 1002610=261000 so`m turgan bo`lar edi.
5) xaqiqatda esa u 32400 so`m arzon turadi
chunki bir qop 100 so`m emas, balki, 75 so`m, ya`ni 25 so`m arzon turadi.
6) 32400 so`mning ichida 25 necha marta bo`lsa, qoplarning soni ham shuncha bo`ladi 32400:25=1296, buning ichida sement 1296:6=216 t bo`ladi.
7) bochkalar 2610-1296=1314 bo`lib bularning ichidagi sement 1314:6=219 t bo`ladi.
Javob: qop bilan 216 t , bochka bilan 219 t sement keltirilgan.
Matematika fanidan 6-sinf darslik
6-sinf o’quvchilar uchun matematika fanidan darslik. matematika 6-sinf kitobni yuklab oling pdf formatda.
6-sinf matematika.
Maktablar, litseylar uchun 6-sinf maktab darsligi.
Yuklab olish.
| O’zbek tilida | Rus tilida |
| Skachat | Skachat |
ЭТО МОЖЕТ БЫТЬ ИНТЕРЕСНОЕЩЕ ОТ АВТОРА
7-sinf fizika fanidan darslik kitob pdf
7-sinf matematika (algebra) darslik kitob
7-sinf adabiyot darslik
Вопросы олимпиады по ЭкономикеIqtisod fanidan olimpiada savollari
Вопросы олимпиады по экономике. Чтобы загрузить вопросы об Олимпийских играх, щелкните один раз нужный файл или нажмите кнопку «скачать». 9-iqtisod-yozma скачать 9-iqtisod-test скачать iqtisodiy-bilim-asoslari скачать Iqtisod fanidan olimpiada.
Вопросы олимпиады по ГеографияGeografiya fanidan olimpiada savollari
Вопросы олимпиады по географии. Чтобы загрузить вопросы об Олимпийских играх, щелкните один раз нужный файл или нажмите кнопку «скачать». 9-geografiya-yozma скачать 9-geografiya-test скачать 9-10-11-geografiya скачать 10-geog-test-uzbek-rus-40-talik-скачать 10-geografiya-yozma скачать Geografiya fanidan.
Вопросы олимпиады по биологииBiologiya fanidan olimpiada savollari
Вопросы олимпиады по биологии. Чтобы загрузить вопросы об Олимпийских играх, щелкните один раз нужный файл или нажмите кнопку «скачать». 9-biologiya-test скачать 9-sinf-biologiya-yozma скачать 9-sinf-biologiya-yozma скачать 9-10-11-sinf-olimpiada biologiya скачать 9-biologiya-yozma.
Вопросы олимпиады по химииKimyo fanidan olimpiada savollari
Вопросы олимпиады по химии. Чтобы загрузить вопросы об Олимпийских играх, щелкните один раз нужный файл или нажмите кнопку «скачать». 9-kimyo-test скачать 9-kimyo-yozma скачать kimyo-olimpiyada-savollari-9-klas скачать 1-kimyo скачать 11-laborat скачать 11-kimyo-test.
Вопросы олимпиады по правуHuquq fanidan olimpiada savollari
Олимпиада по вопросам права. Чтобы загрузить вопросы об Олимпийских играх, щелкните один раз нужный файл или нажмите кнопку «скачать». 9-10-11-huquq скачать 11-huquq-yozma скачать 11-huquq-test скачать 10-huquq-yozma скачать 10-huquq-test_ скачать 9-huquq-yozma.