Algebra, 8 sinf, Mirzaahmedov М. А, 2019

Примеры.
Bitta albomning bahosi 2000 so’m, bitta daftarning bahosi 40 so’m, bitta ruchkaning bahosi 600 so’m. с ta albom, a ta daftar va b ta ruchkaning umumiy (so’mlardagi) bahosini p harfi bilan belgilab, uni formula shaklida vozing. Agar с = 9, a = 21, b = 4 bo’lsa, bu formula bo’yicha p ni hisoblang.

Учебник Алгебра 8 класс Мерзляк Полонский Якир

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).

Учебник Алгебра 8 класс Мерзляк Полонский Якир – 2014-2015-2016-2017 год: Читать онлайн (cкачать в формате PDF) – Щелкни!

Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа – СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Алгоритм успеха ФГОС Москва Издательский центр «Вентана-Граф» 2013 ББК 22.141я721 М52 Учебник включён в федеральный перечень Мерзляк А.Г. М52 Алгебра : 8 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М. ; Вентана-Граф, 2013. — 256 с. : ил. ISBN 978-5-360-04345-4 Учебник предназначен для изучения алгебры в 8 классе общеобразовательных учреждений. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к алгебре. Учебник входит в систему «Алгоритм успеха». Содержание учебника соответствует федеральному государственному образовательному стандарту основного общего образования (2010 г.). ББК 22.141я721 ISBN 978-5-360-043454 Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., 2013 Издательский центр «Вентана-Граф», 2013 От авторов Дорогие восьмиклассники! В этом учебном году вы продолжите изучение алгебры. Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую науку, а значит, с интересом будете овладевать новыми знаниями, и этому будет способствовать учебник, который вы держите в руках. Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой. Учебник разделён на три главы, каждая из которых состоит из параграфов. В параграфах изложен теоретический материал. Жирным шрифтом напечатаны тексты определений, теорем, математические термины. Курсивом напечатаны отдельные слова или предложения, важные для понимания текста. Обычно изложение теоретического материала завершается примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных образцов оформления решения. К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, к которым мы советуем приступать лишь после усвоения теоретического материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, так и трудные задачи (особенно те, которые обозначены звёздочкой). Свои знания можно проверить, решая задачи в тестовой форме из рубрики «Проверьте себя». Каждый параграф завершает особая рубрика, которую мы назвали «Учимся делать нестандартные шаги». В ней собраны задачи, для решения которых нужны не специальные знания по алгебре, а лишь здравый смысл, изобретательность и смекалка. Они помогут вам научиться принимать неожиданные и нестандартные решения не только в математике, но и в жизни. Если после выполнения домашних заданий останется свободное время и вы захотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, непростой. Но тем интереснее испытать свои силы! Дерзайте! Желаем успеха! Условные обозначения оо V Простые задачи TV Задачи среднего уровня сложности Сложные задачи Задачи высокой сложности Задачи, которые можно решать с помощью компьютера ◄ Окончание доказательства теоремы, решения задачи 340 Задания, рекомендованные для домашней работы 310 Задания для устной работы Глава 1. Рациональные выражения в этой главе вы познакомитесь с дробями, числитель и знаменатель которых — выражения с переменными; научитесь складывать, вычитать, умножать и делить такие дроби, познакомитесь с уравнениями, составленными с помощью этих дробей. Вы узнаете, с помощью каких правил можно заменить данное уравнение на более простое. Вы расширите свои представления о понятии «степень», научитесь возводить числа в степень с целым отрицательным показателем. Вы научитесь строить математические модели процессов, в которых увеличение (уменьшение) одной величины в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) другой величины в то же количество раз. S 1. Рациональные дроби Перед изучением этого параграфа рекомендуем повторить содержание п. 1 на с. 219 и п. 6 на с. 221-222. В курсе алгебры 7 класса были рассмотрены целые выражения, то есть выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число. Вот примеры целых выражений: х – г/, ^ ^ ^+ 2т + п^, -4, 5 3 с , d к ^ ^ • 5, у, V. В 8 классе мы рассмотрим дробные выражения. Дробные вырг1жения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными. ^ Приведём примеры дробных выражений: 2х + ^, (х-р) : (х + у), d Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Если в рациональном выражении заменить переменные числами, то получим числовое выражение. Однако эта замена возможна только тогда, когда она не приводит к делению на нуль. Например, выражение 2 + fl + 2 а-1 при а = 1 не имеет смысла, то есть числового значения этого выражения при = 1 не существует. При всех других значениях а это выражение имеет смысл. & Определение Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Например, в рассмотренном выше выражении допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 1. Допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются все числа. Отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены^ Так, рациональные выражения X х^ – 2ху 12 а + Ь 7 у » 9 к X + У а 5 являются примерами рациональных дробей. Отметим, что рациональная дробь может быть как целым выражением, так и дробным. Знаменатель рациональной дроби не может быть нулевым многочленом, то есть многочленом, тождественно равным нулю. Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых значение знаменателя дроби не равно нулю. Схема на рисунке 1 иллюстрирует связь между понятиями, которые рассматриваются в этом параграфе. Пример. Найдите допустимые значения переменной, входящей в вы- ражение —I——. X X – 5 Решение. Дробь — имеет смысл при всех значениях х, кроме х = О, 3 ^ а дробь —g имеет смысл при всех значениях х, кроме х= 5. Следовательно, искомыми допустимыми значениями переменной являются все числа, отличные от О и 5. ◄ ^ Напомним, что числа и одночлены считают отдельными видами многочленов (см. п. 6 на с. 221-223). 3. Какие значения переменных называют допустимыми? 4. Какие дроби называют рациональными? 5. Отдельным видом каких выражений являются рациональные дроби? 6. Какой многочлен не может быть знаменателем рациональной дроби? Упражнения „ -6t +15 х-2 » ■эм —J-, -— 2t X + 2 тл „ $а^ 5х^ , X 8 Какие из выражении —,——–h —, — ^ 46^ 4 7 6w +1 1 . 1 тп^-Ътп – тгтг, – 4) + “ » ——- являются: 1) целыми выражениями; 2) дробными выражениями; 3) рациональными дробями? Чему равно значение дроби ^ ^ ^ , если: 1)с = -3; 2)с = 0? ^171 “ Т1 Найдите значение выражения ——-, если: ^ Ът + 2п 1) m = -1, гг = 1; 2) гтг = 4, гг = -5. Чему равно значение выражения: 1) -1 а-5 при а = -4; 2) X + 5 У X + 2 при X = -5, у = 5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение: 6. оо V. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 1) 2дг-5; 2) 15; т 3) X 5’ 4) 5) 6) лг-5 . 9 ’ 2 +j/ . 1+1/ ’ 1 + 4 7) 8) 9) -4 5 1д:| – 4 2 + Ъх 10) И) 12) д: – 2 д: + 1 При каких значениях переменной имеет смысл выражение: тп-1 кч 4 . 1 д: + 4 , д:(д: – 6) ’ X . 1д:1 +1 ’ (х – 3)(х + 5) ’ 2) X + 7 ^ X + 9 ’ 3) 4) – 9 ’ X IX 1-3’ 5) 6) Q + , . X – 8 X – 1 2х-3 (х + 2)(х-10) Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную х и имеет смысл при всех значениях х, кроме: 1)х=7; 2)х = -1; 3)х=0их = 4. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную у, допустимыми значениями которой являются: 1) все числа, кроме 5; 3) все числа, кроме 3, -3 и 6; 2) все числа, кроме -2 и 0; 4) все числа. Автомобиль проехал по шоссе а км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге h км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при а = 150, Ь = 20. Ученик купил тетради по 8 р., заплатив за них m р., и по 14 р., заплатив за них п р. Сколько тетрадей купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при т = 24, п = 56. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: 1) ^ положительное; 2) х^ Х-^ +1 ——–2 отрицательное. бх — 9 — X Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: — Х^ 4- 4 т + 4 неотрицательное. 1) х^ -1-5 неположительное; 2) х^ – 2х -f 1 Известно, что 5х- 15^ = 1. Найдите значение выражения: 18^ – 6х 1) X- 3^; 8 2) 2х -6у ‘ 3) 4) 1 х^ – бху + 9у^ 14. Известно, что 4 а + 16; 3) АОху + 16.г^ + 2Ъу\ 2) 9д:^ + 6х + 1; 4) а^ – Аа% + 46^. Разложите на множители: 1) – 9; 4) с^Ь^ – 81; 2) 25-4^2; 100т®- 1; 2\8 3) 36т” – 49гг”; 6) а’® – 6®; 7) – d\ 8) + 8; 9) 27т® – г^. Разложите на множители: 1) 7^2-7; Ъ)2^^-2ху\ 2) 36^ – 36; 4) -8а® + 8а® ■ 2а; 5) X – 4^ + – 16^^; 6) ab^-ab^-b^ + b\ 9 25. Какое из равенств является тождеством: 1) Зд:^ – Ъ^ху + 108^^ = 3(д; – 6^)^; 2) 4т^ – 500?2® = 4(т – Ъп) Расстояние от села Вишнёвое до железнодорожной станции на 14 км меньше расстояния от села Яблоневое до той же станции. Время, за которое автобус преодолевает расстояние от села Вишнёвое до станции, составляет 45 мин, а время, за которое легковой автомобиль проезжает от села Яблоневое до станции, на 5 мин больше, причём скорость автомобиля на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса и скорость легкового автомобиля. Готовимся к изучению новой темы 66. Выполните действия: 67. 1)^-ьА. ‘ 18 18 ’ Мб 16 ’ 04 23 _ 15 ’ 32 32 4) 4-1 — ’ 11 Учимся делать \— нестандартные шаги На сторонах квадрата записаны четыре натуральных числа. В каждой вершине квадрата записано число, равное произведению чисел, записанных на сторонах, для которых эта вершина является общей. Сумма чисел, записанных в вершинах, равна 55. Найдите сумму чисел, записанных на сторонах квадрата. 6 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями Вы знаете правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Их можно выразить такими равенствами: а _Ь _а-Ь с с с ‘ По таким же правилам складывают и вычитают рациональные дроби с одинаковыми знаменателями. а _1_ _ а + Ь с с с ^ Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же. 19 Пример 1. Выполните вычитание: 7х -5 Зх- 5 Решение. 1) 12У-25 2_ок „2 ______ «ч ^ 2а-3 8х^ ‘ -25 г/2 – 25 ’ 2а -1 1 – 2а 7х-5 Зх-5 7х-5-(Зх-5) 7д: – 5- Зл: + 5 4х _ J_ 8х^ 2х 8х^ 8х^ 8х^ 8х^ +2у _ \2у-2Ъ ^ у^ +2у- <\2у - 25) ^ у^ + 2у- \2у + 25 у^ -25 у^ - 25 у^ - 25 у'^ - 25 _ у-^ _у2-10у + 25_ ^ nf’rpoStf» у жикксмг ffixi *юиИ ri’nofi/u^iiauM ’лктнилп fjLxo anSfuulA xiln^juiaituft ^(яикл\^ OTjenan « MBiAiiavi ■ош Rie^ftfrj uijuN ндса^тх лк«Зс -з =3^ = 27. 6Г‘” (5-‘-‘^ 5 25 ,2 ^ Ч-15 5 5 Г Г5Т‘= 5 Пример 3. Упростите выражение: 2) О , то есть ^ > 0; если jc о, то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а если ^ где 4. Как называют фигуру, которая является графиком обратной пропорциональности? 5. Как называют части, из которых состоит гипербола? k 6. Что является областью значений функции У > где кф01 7. В каких координатных четвертях расположен график функции У = —. если ^ > О? если к -1; Постройте график функции: 2) у = ^ -2х + 10, если X 4. У = —, если X 2. X 342. 343. Постройте график функции: х^ – 2х Постройте график функции у X – Х-^ 10х^ -40 х^ – 4х Упражнения для повторения 344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений а и Ь: -Ь^ а + Ь a + Sb \ – 2аЬ -Ь^ ] а-Ь’ 83 345. 346. 347. Решите уравнение: 3 1 + 348. 5х + 25 2х- 10 х^ -25′ Цену шкафа снизили на 30 %, а спустя некоторое время повысили на 30 %. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной и на сколько процентов? о, то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицательными ординатами. Область значений функции у ■= — все неотрицательные числа. Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению у = то получилась бы фигура — график функции у = которую называют параболой (рис. 13). Точка с координатами (0; 0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной параболы. Заметим, что если верно равенство у^ = х^, то и верно равенство у^ = (~Xq)^. Тогда можно сделать такой вывод: если точка А (х^; у^ принадлежит параболе у = х^, то точка В (-лГр; у^^ также принадлежит этой параболе. Следовательно, парабола является симметричной фигурой. Ось ординат является осью симметрии параболы у = х^. в таблице приведены свойства функции у = л;^, рассмотренные в этом параграфе. ,,Область определения Все числа Область значений Все неотрицательные числа График Парабола Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0) X = 0 Свойство графика Ось ординат является осью симметрии параболы 90 Пример. Решите графически уравнение = X + 2. Решение. В одной системе координат построим графики функций у = х^ иу = х +2 (рис. 14). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 2 и -1. Следовательно, как при X =2, так и при X = -\ значения выражений х^ 1\ X + 2 равны, то есть числа 2 и -1 являются корнями уравнения х^ = = X 2, Проверка это подтверждает. Действительно, 2^ = 2 -н 2 и (-1)^ = -1 и- 2. ◄ Рис. 14 1. Что является областью определения функции у = 2. Что является областью значений функции у = х^1 3. При каком значении аргумента значение функции равно нулю? 4. Сравните значения функции у при противоположных значениях аргумента. 5. Какая фигура является графиком функции у – х^1 6. Какая прямая является осью симметрии параболы у = х^1 Упражнения 350. Функция задана формулой у = х^. Найдите: 1) значение функции, если значение аргумента равно: -6; 0,8; -1,2; 150; 2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 49; 0; 2 500; 0,04. 351. Не выполняя построения графика функции у – хр-, определите, проходит ли этот график через точку: 1) Л (-8; 64); 3) С (0,5; 2,5); 2) В (-9;-81); А) D (0,1; 0,01). 352. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций у = хР vi у = 4х — 4. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки. 353. Решите графически уравнение: \)х^ = х-\; 2)хР-2х-3 = 0; 354. Решите графически уравнение: 1) х^ = -4х – 3; 2) – Зл’ -н 5 = 0; 3) -I- — = 0. 3) х2 = -. X X 91 355. Определите графически количество решений системы уравнений: 1) 2) 356. Определите графически количество решений системы уравнений: У = х^, 3) \у-х^ =0, у = 2; [д: – ^ + 6 = 0; У = х^, 4) \у-х^ = 0, У = -2; 12д: + 5у = 10. 1) у = х^. Ъх + 2у = -6; 2) у = х^, х-Ъу = -3. “❖V 4, если X 1. 1) Найдите/(-3),/(-2),/(-1), /(1),/(3), /(0,5).’ 2) Постройте график данной функции. 2дг + 3, если X 2. 1) Найдите/(-4),/(-0,3)./(1,9),/(3),/(-1)./(2). 2) Постройте график данной функции. дг^, если д: 0. 1) Найдите/(-7),/(0),/(2). 2) Постройте график данной функции. * —, если X -1. 1) Найдите/(-12), /(-1), /(-0,9), /(3), /(0). 2) Постройте график данной функции. 361. Постройте график функции: 1) ^ = д: 4-1 2) г/ = х‘^ -х^ -4 J4 362. Постройте график функции у = —. 363. Найдите область определения, область значений и нули функции у = -дг^. Постройте график этой функции. 92 364. Постройте график уравнения: 1), 2) У-Х^ _ = 0. 365. 366. 367. у-х Постройте график уравнения: .2 _ = 0. X” У (д: + 2)2 +(г/-4)2 Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 15. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16. Рис. 16 Упражнения для повторения 368. Докажите тождество: 369. 370. 0 и 3^ = 9; 5 5 . ^ / 5 f 25 V 4 2 2 \ 2 / 4 у/6 = о, так как 0 > 0 и 0^ = 0. Вообще, равенство ^/a = Ь выполняется при условии, что Ь > Q п Ы = а. Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа а справедливо, что 4а > 0 и (4а) = а. 95 2 /2 i^—^— Например, >/4 > О и (V4) =4, V2 > О и (>/2) =2, 7^ > О и (Tsif = 5.2. Подчеркнём, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида = а, где а>0. Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа а. Поиск корней уравнения = а проиллюстрируем, решив графически уравнение = 4. В одной системе координат построим графики функций у = х^и у = 4 (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и -2, которые и являются корнями данного уравнения. Уравнение = а при о, то уравнение = 0, имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения = а являются числа и -7я. Действительно, (Та) = а. Например, уравнение х^ = 5 имеет два корня: Тб и -Тб. Пример 1. Найдите значение выражения (-8^Г. 96 Решение. Применив правило возведения произведения в степень и тождество Ш – а, получим: (-8ч/2 f = (-8)2 . (>/2 f = 64 • 2 = 128. ◄ Пример 2. Решите уравнение: 1) ^ 4х -3 = 0; 2) Vl + = 2. Решение. 1) Имеем: ^ у[х = 3; у[х = 6. Тогда х= х = 36. Ответ: 36. 2) Vl + ‘Jx~^ = 2; 1 + yjx + 2 = 22; yjx + 2 = Ъ\ x + 2 = x =1. Ответ: 7. ◄ Пример 3. Решите уравнение /2; Зх = 1 – >/2 или Зх = 1 + \/2; 1->/2 1 + л/2 X = –или X = ——–. Ответ: . 1-л/2 . 1 + л/2 2) Пример 5. При каких значениях х имеет смысл выражение: 1) >/-5х; л/х – 2 Решение. 1) Выражение л/-5х имеет смысл, если подкоренное выражение —5х принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель х будет принимать неположительные значения. Ответ: при х О и л/х – 2 0. Отсюда x>0vLX^^. Ответ: при x>0nxit 4. 0, тогда jc 01 Чему они равны? 11. Имеет ли корни уравнение = а при = 0? при /% – л/49; 4) V36 • V49; 5) 5л/4 – ^/^; 6) + 7) iVo09-2; О 8) -2/ОДб-кО,7; 100 7) 8) (|Vi4f; 9) (-0,34/2f. 5) (-ft 6) (i^J. 9) (Visf-3 (78f: 10) 11) 50.(-172); 12) V4-52 -62. оо \_ 390. Вычислите значение выражения: 1) л/з + л/%; 4) + 3 2) л/72-ч/б4; 5) (2>/б^ – 3) >/Тб • л/^; 6) л/Ю2 -4-32. 391. Найдите значение выражения: 1) л/12 + й, если а = 0,25; 2) V7 – Sb, если 5 = 2; 3) >/2fl – 5, если а = 34, 5 = 19. 392. Найдите значение выражения: 1) + т, если т = 54; 2) у1гп – Ъп, если m = 0,13, гг = – 0,04. 393. Решите уравнение: 1) n/x=9; 3)n/x-0,2 = 0; 2) yfx=^\ 4) >/х + 7 = 0. 394. Решите уравнение: l)Vj^=20; 2)Vx = -16; 395. Решите уравнение: 1) ^2 = 25; 3)х2 = 3; 2) = 0,49; 4) = -25. 396. Решите уравнение: 1) д:2=100; 3)д:2 = 7; 2) Jc2 = 0,81; 4) д;2^3 б. 397. Найдите значение выражения: 1) -0,06-710000 + -Щ-2,5 2) Тб4-763 + 72^+17; 3) ^^ + 3^-0,б7^; 2 4) (|>/^) +7262-242; 5) (37^)4(873f-2(7^f; 6) 7144 : 7^ – • 72500. 3) Д-| = 0. 101 398. Найдите значение выражения: 1) ОДбТЗбОО-0,187400+ (l0VO08f; 2) + +152; 14 V 169 3) -8^ + ^^ V12,25 :(0,1>Яз/. 399. При каких значениях х имеет смысл выражение; 1 1) л/^; 2) 3) 7^; 4) 7-^; 5) 7^^ – 8; 6) 78 – JC; 7) л/х2 + 8; 9) 10) 11) 7(^-8)^’ 1 7^ – 3 1 \/jc + 3 8) 7(-^ – 8)^ ; 12) yfx-^Fx; 400. При каких значениях у имеет смысл выражение: 3) у1?; 14) \l\x\; 15) 7^; 1) -Ду-, 5) 7^; 2) 7=%; 4) 401. Решите уравнение: 1) 7^-4 = 0; ■у^\ 6) у!у 16) 7) 8) 1 Ты 1 7^ + 1 2) V5X-4 = 0; 402. Решите уравнение: 1) ^7х-2 = 0; 3 3) yjbx-^ = 6; 4) ^ = 6; yjx 5) 18 yjx + S = 9; 6) Vx2 – 36 = 8. 3) >/л: – = 6; 2) V2x + 3 =11; 403. Решите уравнение: 1) (х+6)2 = 0; 2) (X + 6)2 = 9; 404. Решите уравнение: 1) (2х-3)2 = 25; 4) Vl30-x2 9_ 3) (х +6)2 = 3; 4) (7х+6)2 = 5. 2) (х-3)2 = 7; 3) (2х-3)2 = 7. 1) 7з + V2 + X = 4; 2) >/2 + 7з + 7х = 3; 3) ^4-7ю + \^ = 2. 405. Решите уравнение: 102 406. 407. 408. 409. 410. 411. Решите уравнение: 1) >/l7 +VV^-б = 5; 2) = 1. При каких значениях аи Ь имеет смысл выражение: 1) у[аЬ\ 2) у1-аЬ\ 3) yjab^\ 5) 4) yja^b^; Можно ли утверждать, что при любом значении х имеет смысл выражение: 1) -4х + 4; 2) у1х^ -4×4-5? Докажите, что не существует такого значения х, при котором имеет смысл выражение yj-x^ -ь бх – 12. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении х: 1) л1х^ +8Х + 15-, Решите уравнение: 1) yfx = -х; 2) л/х + Vx -1 = 0; 2) Vx2 -10x-h27? 4) Vx^ + 2x + yjx^ – 4 = 0; 5) (X – l)Vx -H 1 = 0; 6) (x + l)yjx -1 = 0. 3) yjx^ – 2x -I-1 + yjx^ -1 = 0; 3) yjx^ -X + Vx -1 = 0; Решите уравнение: 1) л/х -t- yPx = 0; 2) yfx + = 1; 4) (x – 2)Vx-3 = 0. При каком значении a уравнение x^ = a + 1: 1) имеет два корня; 2) имеет один корень; 3) не имеет корней? Постройте график функции: 1) у = V-x2; 8) у = г. который мы и используем сегодня. ^ 13. Множество и его элементы Мы часто говорим: косяк рыб, стая птиц, рой пчёл, коллекция марок, собрание картин, набор ручек, букет цветов, компания друзей, парк машин, отара овец. Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно. Например: букет овец, косяк картин, коллекция друзей и т. д. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция картин, коллекция ручек, коллекция машин и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть всеобъемлющее слово, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество. Приведём ещё несколько примеров множеств: • множество учеников вашего класса; • множество планет Солнечной системы; • множество двузначных чисел; • множество пар чисел [х] у), являющихся решениями уравнения + у^ = 1. Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения: • множество точек плоскости — геометрическая фигура; • множество точек, обладающих заданным свойством, — геометрическое место точек (ГМТ); • множество значений аргумента функции/— область определения функции /, которую обозначают D (f)\ • множество значений функции / — область значений функции /, которую обозначают Е (f)\ • множество натуральных чисел, которое обозначают буквой N. Как правило, множества обозначают прописными латинскими буквами: А, В, С, D тл т. д. Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными латинскими буквами: а, Ь, с, d и т. д. Если элемент а принадлежит множеству Л, то пишут а е А (читают: «а принадлежит множеству А»). Если элемент Ь не принадлежит множеству А, то пишут Ь € А (читают: «Ь не принадлежит множеству А»). Например, 12 е N, -S i N, — ^ N. 3 105 Если множество А состоит, например, из трёх элементов а, Ь, с, то пишут А = . Так, если М — множество натуральных делителей числа 6, то пишут М = . Множество делителей числа б, являющихся составными числами, выглядит так: . Это пример одноэлементного множества. Задание множества с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов. 0 Определение Два множества АмВ называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А принадлежит множеству В и наоборот — каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Если множества А и В равны, то пишут А = В. Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, множество, состоящее из трёх элементов а, Ь, с, допускает шесть вариантов записи: , = . Заметим, что [а] Ф [[а]>. Действительно, множество [а] состоит из одного элемента а\ множество [<а)] состоит из одного элемента — множества . Чаще всего множество задают одним из двух следующих способов. Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество чётных чисел так задать невозможно. Второй способ состоит в том, что указывается характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 даёт в остатке 1» задаёт множество нечётных чисел. Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает. 106 Обратимся к примерам. • Множество треугольников, стороны которых пропорциональны числам 1, 2, 5. Из неравенства треугольника следует, что это множество не содержит ни одного элемента. • Обозначим через А множество учеников вашего класса, являющихся мастерами спорта по шахматам. Может оказаться, что множество А также не содержит ни одного элемента. • Рассматривая множество корней произвольного уравнения, следует предусмотреть ситуацию, когда уравнение корней не имеет. Приведённые примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести ещё одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом 0. Заметим, что множество не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество. 1. Как обозначают множество и его элементы? 2. Как обозначают множество натуральных чисел? 3. Как обозначают область определения и область значений функции? 4. Как записать, что элемент принадлежит (не принадлежит) множеству А? 5. Какие множества называют равными? 6. Какие существуют способы задания множеств? 7. Какое множество называют пустым? Как его обозначают? Упражнения 427. 428. Как называют множество точек угла, равноудалённых от его сторон? Как называют множество волков, подчиняющихся одному вожаку? Назовите какое-нибудь множество учеников вашей школы. Как называют множество учителей, работающих в одной школе? Поставьте вместо звёздочки знак е или ^ так, чтобы получилось верное утверждение: 1)5*N; 2)0*N; 3)-5 * N. Дана функция (х) = х^. Поставьте вместо звёздочки знак g или ^ так, чтобы получилось верное утверждение: 1)3 *D(/); 2)0*D(/); 3)0 *£(/); 4) Какие из следующих утверждений верны: 1) 1 G G U, 2>; 5) 0 g е>; 6) 0 g (0)? 107 оо V 429. Запишите множество корней уравнения: 1) л:(х-1) = 0; 3)х=2; 2) (х – 2)(д^ – 4) = 0; 4)х^ + Ъ = 0. 430. Задайте с помощью перечисления элементов множество: 1) правильных дробей со знаменателем 7; 2) правильных дробей, знаменатель которых не больше 4; 3) букв слова «математика»; 4) цифр числа 5555. 431. 432. 433. Равны ли множества А и В, если: 1) Л = ,Б=; 3)Л = .Б=>? 2) Л = <(1; 0)>,5= <(0; 1)>; Равны ли множества А и В, если: 1) Л — множество корней уравнения |х| = х, В — множество неотрицательных чисел; 2) Л — множество четырёхугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; В — множество четырёхугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам? Какие из следующих множеств равны пустому множеству: 1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°; 2) множество горных вершин высотой более 8 800 м; 3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена; 4) множество функций, графиками которых являются окружности? – 4 Упражнения для повторения ^——— 434. Упростите выражение: ,. 55 Ь + 6 90 . 5-к2 .__________ ^5-3 25-б’52-ьб5’ ^ 52-25-И ‘ 35-3 5-2‘ 435. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки? 436. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей — красные, 16 карандашей — синие, а остальные — зелёные. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим? di Учимся делать нестандартные шаги 437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день 108 Петя записывает число 1, а Коля — число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой-то день Коля записать число, оканчивающееся на 101? ^ 14. Подмножество. Операции над множествами Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Л = , все элементы которого являются элементами множества А. 0 Определение Множество В называют подмножеством множества Л, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Рис. 19 В Это записывают так: В cz А или А z> В (читают: «множество В — подмножество множества А» или «множество А содержит множество В»). Рассмотрим примеры: • множество учеников вашего класса является подмножеством множества учеников вашей школы; • множество млекопитающих является подмножеством множества позвоночных; • множество точек луча СВ является подмножеством множества точек прямой АВ (рис. 19); • множество прямоугольников является подмножеством множества параллелограммов; • с [а, Ь). Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера. На рисунке 20 изображены множество А (больший круг) и множество В (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что В (Z А (или А z> В). Если В а А, то с помощью рисунка 20 можно сделать такие выводы: 1) для того чтобы элемент х принадлежал множеству А, достаточно, чтобы он принадлежал множеству В\ 109 2) для того чтобы элемент х принадлежал множеству В, необходимо, чтобы он принадлежал множеству А. Например, если Л — множество натуральных чисел, кратных 5, г. В — множество натуральных чисел, кратных 10, то очевидно, что В а А. Поэтому для того, чтобы натуральное число п было кратным 5 (п е А), достаточно, чтобы оно было кратным 10 , , [а, Ь], , , 0. Всего получили восемь подмножеств. В старших классах будет доказано, что количество подмножеств ?г-элементного множества равно 2”. ◄ Пусть Л — множество решений уравнения х-\-у = 5, г.В — множество решений уравнения х – у = 3. Тогда множество С решений системы уравнений х-\- у = 5, X -у = 3 состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству Л, и множеству В. В этом случае говорят, что множество С является пересечением множеств А и В. 0 Определение Пересечением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству Л, и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначают так: Л П Б. 110 Легко убедиться, что решением рассмотренной системы уравнений является пара (4; 1). Тогда можно записать: Л П j5 = <(4; 1)>. Если множества Л и 5 не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, то есть Л П Л = 0. Также заметим, что для любого множества Л выполняется равенство Л П 0 = 0. Из определения пересечения двух множеств следует, что если А а. В, то Л П Л = Л, в частности, если 5 = Л, то Л П Л = Л. Пересечение множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера. На рисунке 21 заштрихованная фигура изображает множество А (Л В. Для того чтобы решить уравнение – х) — множество корней первого уравнения, В = — множество корней второго уравнения. Понятно, что множество С = . Заметим, что для любого множества А выполняется равенство AU0 = A. Из определения объединения двух множеств следует, что если А а В, то Л и 5 = jB, в частности, если J3 = Л, то Л U Л = Л. Объединение множеств удобно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера. На рисунке 22 заштрихованная фигура изображает множество Лив. Часто приходится рассматривать пересечение и объединение трёх и более множеств. Пересечение множеств А, В и С — это множество всех элементов, которые принадлежат и множеству Л, и множеству jB, и множеству С (рис. 23). Объединение множеств А, В п С — это множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству Л, или множеству В, или множеству С (рис. 24). Например, объединение множеств остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников — это множество всех треугольников. 112 Пример 2. Найдите пересечение множеств Ап В, если: \) А — множество ромбов, В — множество прямоугольников; 2) А — множество чётных чисел, В — множество простых чисел. Решение. 1) Множество А С\ В состоит из всех четырёхугольников, которые одновременно являются и ромбами, и прямоугольниками. Следовательно, искомое множество — это множество квадратов. 2) Поскольку множество простых чисел содержит только одно чётное число (число 2), то Л П Л = . ◄ Пример 3. Найдите объединение множеств А и В, если: 1) Л — множество нечётных натуральных чисел, В — множество чётных натуральных чисел; 2) Л — множество целых выражений, В — множество дробных выражений. Ответ. 1) Л и 5 — это множество натуральных чисел, то есть А^ В = JW. 2) А и В — это множество рациональных выражений. ◄ 1. Какое множество называют подмножеством данного множества? 2. Как наглядно иллюстрируют соотношение между множествами? 3. Какое множество является подмножеством любого множества? 4. Что называют пересечением двух множеств? 5. Что называют объединением двух множеств? 440. 441. 442. 443. Упражнения \—- Назовите несколько подмножеств учащихся вашего класса. Назовите какие-нибудь геометрические фигуры, которые являются подмножествами: 1) множества точек прямой; 2) множества точек круга. Пусть Л — множество букв слова «координата». Множество букв какого из слов является подмножеством множества Л: 1) нора; 4) крокодил; 7) дар; 10) дорога; 2) трактор; 5) нитки; 8) подарок; 11) корона; 3) картина; 6) корка; 9) ордината; 12) кардинал? Пусть Л — множество цифр числа 1958. Является ли множество цифр числа X подмножеством множества Л, если: 1) х = 98; 3)х = 519; 5) х= 195 888; 2) х = 9 510; 4)х=5 858; 6) х = 91 258? Пусть Л 5^ 0. Какие два разных подмножества всегда имеет множество Л? Найдите пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел: 1) 555 288 и 82 223; 2) 470 713 и 400 007. 113 оо V 449. 450. 444. Пусть А — множество двузначных чисел, В — множество простых чисел. Принадлежит ли множеству А И В число: 5, 7, 11, 31, 57, 96? 445. Найдите множество общих делителей чисел 30 и 45. 446. Найдите объединение множеств цифр, используемых в записи чисел: 1) 27 288 и 56 383; 2) 55 555 и 777 777. 447. Запишите все подмножества множества . 448. Какие из следующих утверждений верны: 1) е [а, Ь>\ 3) я с ’, 2) [а) с < О, то это уравнение имеет два корня: V2 И -л/2 (рис. 27). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в разделе «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа V2 И -V2 не являются рациональными. Эти числа являются примерами иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание). Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества Q. Никакое иррациональное число не может быть представлено в виде дроби —, где т G Z, п & N, 2i следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что V2 = 1,4142135623730950488016887242097. . 118 Числа л/2 и - V2 — ЭТО не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число к, равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным: к = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937. . Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби. Например, число 0,10100100010000100000. (после запятой записываются последовательно степени числа 10) является иррациональным. Если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из п цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей, то есть начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа. Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел называют множеством действительных чисел. Его обозначают буквой R (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»). Теперь «цепочку» N а Z cz Q можно продолжить: N /2 = 1,414 или л/2 » 1,415. Первое из них называют приближённым значением числа ^/2 по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближённым значением числа л/2 по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближённых значениях будет рассказано в 9 классе. 120 в заключение подчеркнём, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число, то есть действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества R, 1. Какие числа образуют множество целых чисел? 2. Какой буквой обозначают множество целых чисел? 3. Какие числа образуют множество рациональных чисел? 4. Какой буквой обозначают множество рациональных чисел? 5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число? 6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби? 7. Как называют числа, не являющиеся рациональными? 8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел? 9. Какой буквой обозначают множество действительных чисел? 10. Как взаимосвязаны числовые множества N, Z, 0\л R7 Упражнения 468. Какое из данных утверждений неверно: 1) -3 — действительное число; 2) -3 — рациональное число; 3) -3 — целое число; 4) -3 — натуральное число? 469. 470. Верно ли утверждение: л/7 й /?; 1) 1е Л^; 4) 1 Е R, 7) 2) 1 Е Z; 5)- 2,3 Е Л^; 8) 7Ш й R, 3) 1 Е а 6)- 2,3 Е R, 9) 5 Е /г? 3 Верно ли утверждение: 1) 0 Е N; 4) - 3 -7 ^ Q; 7) •J9 € Z; 2) Ой Z, 5) - -1* R; 8) л/9 е К? 471. 3) Ое R, 6) V9 Е а, Верно ли утверждение: 1) любое натуральное число является целым; 2) любое натуральное число является рациональным; 3) любое натуральное число является действительным; 121 472. 473. 474. 475. 476. оо V 477. 478. 479. 480. 481. 4) любое рациональное число является целым; 5) любое действительное число является рациональным; 6) любое рациональное число является действительным; 7) любое иррациональное число является действительным; 8) любое действительное число является рациональным или иррациональным? Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных: 1) 0.(3); 2) 0,4(32); 3) 0,20200200020. (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)? Сравните: 1) 6,542. и 6,452. ; 2) -24,064. и -24,165. . Сравните: 1) 0,234. и 0,225. ; 2) -1,333. и -1,345. . С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа V3 С точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку. С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа с точностью до 0,01: 1) по недостатку; 2) по избытку. Укажите какое-нибудь значение а, при котором уравнение = а: 1) имеет два рациональных корня; 2) имеет два иррациональных корня; 3) не имеет корней. Сравните числа: 1) f и 6,12; 2) 3,(24) и 3,24; Сравните числа: 1) i и 0,2; 6 3) 71 И 3,(14); 4) -2,(36) и -2,36; 5) 7,(18) и 7,(17). 2) ^ и 0,77; 3) -1,(645) и-1,(643). 482. 483. Запищите в порядке убывания числа: 3,(16); к; -1,82. ; -0,08. ; 2,(136). Запишите в порядке возрастания числа: 1,57; 1,571. ; —; 1,(56); 1,(572). Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным. 122 484. Верно ли, что: 1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным; 2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным; 3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным? E!ZBi Упражнения для повторения 485. 486. В каждом подъезде на каждом этаже девятиэтажного дома по восемь квартир. В каком подъезде и на каком этаже находится квартира X» 186? Натуральные числа а п Ь таковы, что а — чётное число, а — нечётное. Значение какого из данных выражений не может быть натуральным числом: 4а 2) 3)^; 4) —? а 487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения 3 4 - 4а -I- а‘^^ а^ - 4 (а-2)2- 2а-4 а + 2 488. не зависит от значения а. В ведре несколько литров воды. Если отлить половину воды, то в нём останется на 14 л воды меньше, чем помещается. Если долить 4 л, 2 то объём воды составит — того, что помещается в ведре. Сколько 3 литров воды помещается в ведре? Готовимся к изучению новой темы 489. Найдите значение выражения: 1) |-3,5| - 12,61; 2) |-9,6| - |-32|. 490. Модуль какого числа равен 6? 491. Для каких чисел выполняется равенство: 1) \а\ = а\ 3) \а\ = \-а\\ 2) |а| =-а\ 4) \а\ =-\а\>492. Для каких чисел одновременно выполняются оба равенства \а\ = а VL \а\ = -а> 493. Найдите значение каждого из выражений а^, | и при а = 1. Сделайте вывод. 123 494. Известно, что О, с /2 — иррациональное. Предположим, что число \1% рациональное. Тогда его можно предста- т Рис. 29 \ / п 1 1 Л ‘ 1 Г/ ■ 1 ■ 1 : . —1—; ‘ к 1 \-)^о ж 1 , 1 вить в виде несократимой дроби —, где т VLTI — натуральные числа. Имеем: п ТогдаШ^ =(^J;2 = = Из последнего равенства следует, что число чётное. А это значит, что чётным является и число т. Тогда т = 2k, где k — некоторое натуральное число. Имеем: (2^)^ = 2п^\ = 2п\ = 2^‘^. Отсюда следует, что число п^, а следовательно, и число п — чётные. Таким образом, числитель и знаменатель дроби — — чётные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие. Этот пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки ОА и ОВ на рисунке 29), длины которых не выражаются рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно. Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого учёного Пифагора. 124 Пифагор около 570 — около 500 г. до н. э. Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков ЛВ и CD всегда можно найти такой отрезок MN, который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом. Например, на рисунке 30 имеем: АВ = 5MN, ЛВ 5 CD = 2MN и – – . Отрезок MN называют общей мерой отрезков ЛВ и CD. Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки ЛВ и CD (см. рис. 30) являются соизмеримыми. Итак, древнегреческие учёные считали, что любые два отрезка являются соизмеримыми. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом. Действительно, пусть некоторый отрезок ЛВ выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка ЛВ и любого другого отрезка CD существует отрезок длиной е, являющийся их общей мерой. Получаем АВ = пе, CD 7YIB тп CD = те, где mvin — некоторые натуральные числа. Отсюда = — = —. Поскольку ЛВ = 1, то CD = —. п Однако сами же пифагорейцы сделали вьщающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть доказали, что если сторону квадрата взять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя. Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат ABCD и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна ЛВ^ = 1. На диагонали АС построим квадрат ACEF (рис. 31). Понятно, что площадь 125 квадрата ACEF в 2 раза больше площади квадрата ABCD. Отсюда АС^ = 2, то есть Л С = V2. Следовательно, длина диагонали АС не может быть выражена рациональным числом. Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих учёных, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел. Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении. 1. 2. Упражнения \—- Докажите, что число >/3 — иррациональное. Докажите, что если натуральное число п не является квадратом натурального числа, то число >/й — иррациональное. ^ 16. Свойства арифметического квадратного корня Легко проверить, что = 5, = 1.4. = О- Может показать- ся, что при любом значении а выполняется равенство = а. Однако это не так. Например, равенство = -5 является ошибочным, поскольку -5 /(-5)^ = 5. Также можно убедиться, что, например, .Jp7f=7, V(-2,8)2 = 2,8. Вообще, справедлива следующая теорема. & Теорема 16.1 Для любого действительного числа а выполняется равенство ,2 _ = 0 = а. Имеем: | О при любом а. Также из определения модуля следует, что \а\ = а^. О и 6 > О, выполняется равенство = 4а 4Ь. Доказательство ^ Имеем: >/й > О и 4Ь > 0. Тогда 4а ■ 4Ь > 0. Кроме того, <4а-4ь) = = <4а) -<4Ь) = й/). Следовательно, выражение 4а • 4Ь принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен аЬ. ◄ Эту теорему можно обобщить для произведения трёх и более множителей. Например, если 0, ^ >0 и с > 0, то 4аЬс = л] <аЬ)с = 4аЬ -4с = 4а -4Ь ■ 4с. 0 Теорема 16.4 (арифметический квадратный корень из дроби) Для любых действительных чисел а ч Ь таких, что а >0 ч Ь > о, выполняется равенство t _ Л ь 4ь‘ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 16.3. Проведите это доказательство самостоятельно. Понятно, что из двух квадратов с площадями и (рис. 32) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если 5j > то > 1^3^. Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квад- 127 ратного корня: для любых неотрицательных чисел и таких, что > а^, выполняется неравенство ^ja^ > Пример 1. Найдите значение выражения: 4) Л– ^ V49 1) yl 0, п о, [-а^, если а 0, то \т \ =т. Поскольку а 0, то = |а^^| = а Пример 4. Найдите значение выражения: ,18 1) V372 -122; 2) >/8 • 648; 3) 716,9-0,4. 128 Решение. 1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем: л/3?2 -122 = V(37-12)(37 + 12) = V25 • 49 = 5 • 7 = 35. 2) Представив подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел, получаем: л/8 • 648 = л/8-2-324 = V16-324 = 4 • 18 = 72. 3) Vl6,9 0,4 = Vl69-0,04 = 13.0,2 = 2,6. ◄ Пример 5. Постройте график функции = |х|, то ^ = ^ = vJi:2 -I- X. Решение. Поскольку = \х\ +х. Если дг>0, то у = X + х = 2х. Если X о. Следовательно, у = о, если X 0; 2) У^, если й 0; 4) yO,36F, если k 0; 8) УоДЙй^, если й 0; 131 9) -1,2хл/б4х^^, если х 0; 3) -5л/4лг2, если х 0; 5) если р > 0; 6) yj25m^n^^, если w о, с 0. 144m0 514. 515. 516. 517. ч____ 518. 519. Какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях /^ = ? Постройте график функции: 1) ^ = 7х^ – X, если X /^ ‘ 7х; 2) у = 2х + л/jc^; 4) г/ ^ + 3. Постройте график функции: I) У = – 2х, если X > 0; У = 7^ • 7^. При каком значении х выполняется равенство: 1)Тх^ = л:-4; 2)7%^ = 6-х; 3)2Тх^ = х + 3? Решите уравнение: 1)Тх^ = х + 8; 2)7х2=6х-10. Упражнения для повторения 520. Найдите значение выражения «2 – 5а + 25 125 – а^ а2 -10а + 25 ‘ а2 -25 )■ 5 + а при а = 4,5. 132 521. 522. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из-за плохой погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому выполнил работу за 10 дней. Какова площадь поля? Число а — чётное, а число Ь — нечётное. Значением какого из данных выражений обязательно является чётное число: 1) /48. Имеем: Vis = V16-3 = Vie • >/з = 4>/з. Выражение >/48 мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа >/3. Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке: 4>/3 = Vl6 • >/3 = V16-3 = V48. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесён под корень множитель 4. Пример 1. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) Vl50; 2) yj72a^; 3) >/^; 4) ; 5) yja^b^, если а /б. 2) = V36«8.2 = ба^у/2. 133 3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Ь>0. Тогда 4^ = Vpift = WA-Jb = Ь’’’4ь. 4) Из условия следует, что Ь 0. Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Ь >0. Тогда = yja^b^b = \а\ – \b\4h = -аЬ4Ь. /7 = -у/4 ■ л/7 = -у/28. 2) Если а >0, то a^Jl = 4^ ■ 4^ = 4т^; если а 0. Тогда с44^ = 4^ ■ 44^ = 4^• Пример 3. Упростите выражение; 1) 4ЬАа + ^24й – V600 /2 f –((4Tof-<45f) = 49 - 42V2 + 18 - (10 - 5) = 62 - 42V2. ◄ Пример 4. Разложите на множители выражение: 1) 0; 3) 9с - б44с -ь 5; 4) а + 4а\ 5) 4ъ -н б; 6) 44ь - 44ъ. Решение. 1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим: а^-2 = а^-<42) =(а-4^)[а +4^). 134 2) Поскольку по условию ^>0, то ^-4 = ( у/Ь) – 4 = (yjb – 2) (yjb + 2). 3) Применим формулу квадрата разности: 9с – + 5 = (з^/c f – 2 • sVc • Vs + (V5 f = (Зл/с – yfbf. 4) Имеем: a + yfa = о, о > 0. Решение. 1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем: о h-\ ^ 0и^>0, TO числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители, и полученную дробь сократить: а-Ь + S. /l4; 7) i^/32; 10) -0,3>/l(S; 2) 3>/13; 5) 5>/8; 8) -|ч/54; 11) 3) -2ч/П; 6) Qyfa; 9) О 12) ‘ 9V28 528. Внесите множитель под знак корня: 1) 2V6; 3) -11ч/3; 5) -7>/Зс; 7)8j|; 2) 9Д; 4) 12>/б; 6) -10V0,7m; 8) 529. Упростите выражение: 3) 5л/с + 2>yfd — у/с + Syfd’, 4) >/5 + 7>/5 – 4V5. 1) 4yja + Злй – ъ4а\ 2) ь4Ь + 24Ь- Syfb; 530, Упростите выражение: 1) Злй – 2nG; 2) Vc + 10^/c – 14л/с; 3) 9л/б – 2л/3 + 8л/3 – З7б. 531. Упростите вырг1жение: 3) 2л/0,04с -О.ЗлЯбс +^>/0.81с; 3 1) у1^ + уМа-4Ш\ 2) %/б4^-^л/^; 6 532. Упростите выражение: 1) 2>/4х + – лУб25х; 4) 0,4л/100т + – 1,2у/2,25т. 2) з7о;09^-0,6ч/Й4^ + ^^/^. 533. Упростите выражение: 1) 2) б7з – 3) V96 – Зл/б 4) 2у[Ш-8у1Ь; 5) 5V7 6) 2>/^-^л/45-0,б7ш. 3 534. Рациональным или иррациональным является значение выражения: 1) V48 – 6 – 4л/3; 2) >/Тб2 – 9л^ + >/27? 535. Упростите выражение: 1) 4у1ш – 27V7; 4) 5>/l2 – 7>/3; 2) у/75- 6>/3; 5) 3>/^ – 4>Д + 2V^; 3) 2%/^ – 8л/^; 6) + 3 9 137 536. Упростите выражение: 1) л/2(х/М + лЙ); 2) (^/3-^/T2)•^/3; 537. Упростите выражение: 1) ^/7(^/7-7Й); 2) (718 + ч/Й) ч/2; 538. Выполните умножение: 1) (2-^/з)(^/з + l); 2) i^ + JE)(2~j2-45); 3) /з)(4-ч/з); 539. Выполните умножение: 1) (n/7+3)(34/7-1); 2) (4л/2-ч/з)(2>У2+5л/з); 3) (4р-я)(4р + ч), 4) (б-ч/1з)(б + л/Тз); 540. Чему равно значение выражения: 1) (2 + >/7 f – 4^/7; 2) (^/6 – Vs f + 6^/2? 541. Найдите значение выражения: 542. 3) (Зл/5-47з)-V5; 4) 2V2|^3Vl8-^V2 + V^j. 3) (4V3-7^ + 4)-Зл/3; 4) (Veoo + 7б-V^)-V6. 6) (l/-V7)(^ + V7); 7) (4V2-2V3)(2V3 + 4V2); 8) (m + yfn) ; 9) Vl5 6) 5yjx 544. Разложите на множители выражение: 1)а2-3; 2) 4^2-2; 138 3) 5 – 6с2; 4) 0; Ъ) т – п, если т>0,п>0\ 6) 16л: – 2Ъу, если л: > 0, ^ > 0; 7) 0, « > 0; 9) Ь+qS +9; 545. Разложите на множители выражение: 1) 15-л;2; 2) 49л;2 – 2; 3) Збр – 64 0, д > 0; 4) с – 100, если с > 0; 5) 0, гг > 0; 7) а -47я + 4; 8) 5 + 75; 9) yj^-p; 10) 712 + 7^. 1) 2) 3) 4) -7 , Q, + 77 7з — ь ^ 3-62 ’ с-9 7^-3’ а – Ь у]а + 4Ь 547. Сократите дробь: л:-25 1) 2) 3) 4х – 5 7й + 2 а – 4 0; 3) 7l2a^ 2) 7562, если 6 /Ш-|>Яб2; 4) у[Еа-2^1Ш + Ъ^Ш; 5) – — yja^b, если « > 0; 6) у/с^ + 4сVc^ – 5с^ у/с. 3) ylsia^ – ba^yla -ь – 3) 0,7^/Ш-7^ + |^Я08; 551. Упростите выражение: 1) 0,5лД2 – Зл/^ -н 0,4л/^; 2) %5у1Ш + |7б^ -10^0,07^; 3 552. Докажите, что: 1) у1п + 4у17 =у/7 +2; 553. Упростите выражение: 1) (2n/3-1)(n/^ + 2); 2) (л/5-2^ -(з + ^/5)^ 3) 554. Найдите значение выражения: 1) (з72-ы)(л/8-2); 3) (ю – 4>/б)(2-н >/ef; 2) (З – 2л/7 f -ь (З -h 2>/7 f; 4) (^9-472 -н ^|9 + 4^|2) . 555. Сократите дробь: 4а -I- 4>/5 2) ^|l4 + sS = Vs -f- n/6. 4) (7-H4N/3)(2-V3f; 5) (7б + 2л/5-V6-2V5) . 1) 2) 3) a2-5 ’ у!^-2у!^ . 6a – 21 ’ a -f 4>/^ -t- 46 a – 4^) 556. Сократите дробь: a-b , если о, 6 > 0; 4) 5) 6) – by by – Xsj24y yftt -b >/6 V^ -I- V^ m\/m – 27 V^ – 3 1) „4 2a 10л/2а6 -i- 25^? ^ ^ л a ^ л. 2) —–n и———-> о, о > 0; 6а – 75а 3) y/ilb-yflia’ 2 + I0yj2ab Ьа-1Ъ а – 2у[а + 4 ау[а + 8 140 557. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: ч/2 15 .. 1 1) 2) Vi + r 4 3) 4) ^/^5-л/12 ’ 19 5) 6) у[а -4Ь + 1 V? + л/з ’ 2л/б – 1 ’ >/з – Г 558. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: V5 „ч 8 „ч 9 1) 2) Vs-2 ’ VIo – V2 ’ 559. Докажите равенство: 1 1 3) yfx +у[у ‘ 4) 2-V2 2 + у/2’ 1) 2) + 5 – 2V6 5 + 2V6 2 2 = 10; = -8; 3) = 4^/2. V2 -1 V2 + 1 3V2 + 4 3V2 – 4 560. Докажите, что значением выражения является рациональное число: 1) 3 + 2V3 3 – 2л/з ’ 561. Упростите выражение: а 4у[а – 4 4а – 2 у[а – 2 4т + 1 _ + 3 . 4т – 2 4т 1) 2) 3) 4) 5) 562. Упростите выражение: 4а – Ъ 4а -4 сч Vn+Ve Vn-Ve ^ Vn-V^ Vn + Ve’ a + 4a b 6) 7) Vb 24a+2′ 4c -5 c – 25 V^ 3c 4^+y X + 8) 4a 4a + 4 a a-16 ’ 9) a + ^ . 10) 4ab – b 4b -4a’ Vfl – 4a + 1 . v^. ‘ a- I’ 4a + 4b , 4b 4b 4a – 4b 4a ‘ 4h’ 4x – 3 ^ \24x 4x +3 X – 9 4x + 3 X – ъ4х 1) 2) 3) 4a +1 4a 4a + 1 4b + 1 a – 4ab 4ab – b 4x . 4x . у – 2у1у – 6 ’ 4) 5) 6) 4m ( 4m + Vw , 4n 4m-4n 4n 4m – 4n ^ 4x + 1 _ 44x ^4x-i ^-1 Й-64 1 X + 4x 4x -1 4a + 8 4a +3 a + s4a a – ъ4а 141 563. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) 5) если у 0; 2) если 0, п 0, w > 0. 565. Внесите множитель под знак корня: 1) /3; 4) т4п, если m > 0; 7) 2) ЬуРЬ\ 5) ху”^ yjxy, если д: если а > 0. 3) Су/Р; 6) 2pj|; 566. Внесите множитель под знак корня: 1) тР, если m > 0; 4) x’^yyjx^y, если у /б, если 72 0. 8у/а + 41 . 7р – 49 /Г ^7. :—-—— + —р——= yja – й – 49 Р+ 7 ар + 27 р – Р р – 3 pi) – 9 8р + 9 ар + 27 = р. 568. Упростите выражение: 1) 2) 4Z-4b 1 2 Л а + рЬ а-Ь р + р / Га^4Ь-рр yja + \1Ь . р – Р ^ а + рЬ \ ^ ^ р – Р ^ р + р р 142 569. Упростите выражение: 1) Vs+ivi; 2) Vt + WI; 570. Упростите выражение: 1) 2) 715 + 6л/б; 571. Упростите выражение: 3) Vn+iVio. 1 + >/2 + 1 л/з + -4/2 “4/4 + у[ъ у[ь + yfi 572. Докажите, что: +. + 1 + +. + 1 3) V7 + 2V1O. 1 л/ш)+ ^/^ ’ V^-1 Тз+1 Тб+ч/з 7?+>/5 . лУ^ + \/^ 573. Докажите, что: х/2 • Vi+^ • ^/2 +^/2 + ^/^ • ^2 – V2 + л/2 = 2. 574. Упростите выражение: 1) 2) >^2^6>/зТ^^^Ж CZ2) Упражнения для повторения 575. Рабочий должен был изготовлять ежедневно по 12 деталей. Однако он изготовлял ежедневно по 15 деталей, и уже за 5 дней до окончания срока работы ему осталось изготовить 30 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий? 576. При распродаже цену на товар снизили на 20 %. На сколько процентов нужно повысить цену на товар, чтобы она стала равна первоначальной? 577. Лодка проплыла 32 км по течению реки за 4 ч, а против течения — за 8 ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки. 578. Федя и Оля ехали в одном поезде. Федя сел в двенадцатый вагон от головы поезда, а Оля — в шестой вагон от хвоста поезда. Оказалось, что они едут в одном вагоне. Сколько вагонов в поезде? 579. Число а — положительное, а число Ь — отрицательное. Какое из данных выражений принимает наибольшее значение: 1) a^h\ 2) -с^Ъ\ 3) -ah^\ 4) аЬ\ 5) -а^Ы 143 Учимся делать \— нестандартные шаги 580. Известно, что в некотором классе без двоек учатся не менее 95,5 % и не более 96,5 % учеников этого класса. Какое наименьшее количество учеников может быть в этом классе? ^ 18. Функция у = у[х и её график Если площадь квадрата равна х, то его сторону у можно найти по формуле у = 4х. Изменение площади х квадрата приводит и к изменению его стороны у. Каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Следовательно, зависимость переменной у от переменной X является функциональной, а формула у = 4х задаёт функцию. Поскольку в выражении 4х допустимыми значениями переменной х являются все неотрицательные числа, то областью определения функции у = 4х является множество неотрицательных чисел. Выражение 4х не может принимать отрицательные значения, то есть ни одно отрицательное число не может принадлежать области значений рассматриваемой функции. Покажем, что функция у = 4х может принимать любые неотрицательные значения, например 7,2. Действительно, существует такое значение аргумента х, что у[х= 7,2. Это значение равно 7,2^. На этом примере мы видим, что для любого неотрицательного числа Ь всегда найдётся такое значение х, что 4х = Ь. Таким значением аргумента X является число Ь^. Теперь можно сделать такой вывод: областью значений функции у = 4х является множество неотрицательных чисел. Заметим, что если х = О, то ^ = 0. Учитывая область определения и область значений функции у = Vx, можно сделать вывод, что её график расположен в первой координатной четверти. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции у = 4х. X 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 у 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 144 Отметим на координатной плоскости точки, координаты (лг, у) которых указаны в таблице (рис. 34). Чем больше отметить точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = Jx, тем меньше полученная фигура будет отличаться от графика функции у = у[х (рис. 35). Рис. 34 Рис. 35 У‘ к ‘ ‘ 1 ! . 1 i : 1 ‘ 1 ! i ‘ 1 , i 1 i 1 ! 1 1 1 _ 1 -ill- _LL Ч L i* •• • t • 1 31, то >/36 > то есть 6> V^. 2) Имеем: 3^/7 = 63 О, получаем, что данное неравенство выполняется при всех X, удовлетворяющих неравенству О 2 и \/5 О и >/5-3 Ь. Сравните 4а и 4Ь. 7. Известно, что 4а /7; 6) 7^ и |V20. 587. 588. 589. 590. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графика функции у = у/х и прямой: 1)^=1; 2)^ = 0,8; 3) ^ =-6; 4) ^ = 500. Запишите в порядке убывания числа: 8; 7,9; >/б5; 8,2. Запишите в порядке возрастания числа: л/^; 6,1; 6; V35; 5,9. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) л/2; 4) ч/7; 7) ч/59; 2) ч/З; 5) чЯЗ; 8) ->/П5; 3) ч/5; 6) 9) ->/76,19? 591. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) л/б; 3) 5) -V^; 2) Vl9; 4) >ЛбО; 6) ->/^? 592. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: 1) 3 и n/68; 3) -Si и -2,3; 2) л/7 и ^|f7; 4) ->/42 и 2,8. 593. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: 1) 73 и лДЗ; 2) >/Т0 и >/90; 3) ->/Й5 и ->/47. При каких значениях х выполняется неравенство: 1) Sc> 2; 2) >/jc 1\ 3)10 /г = -х-1; 2) у[х=2-хг. 594. 595. 596. 597. Ъ) Sc =^; X 6) S= 1,5-0,5л:. 3) S = —. 148 598. Упростите выражение: 1) ; 599. 3) ; 2) 4) V(‘/3-2f +yj/7-2л/10; 3) ^37 – 20л/3. 607. Сколько корней имеет уравнение л/х = а — х в зависимости от значения а? 608. Упростите выражение ^/Gй -н 1) — 4л/д -ь ■^(— 2) -1- 8^й. 609. Упростите выражение >/(л/а-б) ч-24>/й -\j/2 Б) 4л/2 В) 6^2 Г) 10V2 11. Сократите дробь Vfl + V2 а-2 а – 2^/^ + 2 а + 2 Б) В) 1 Г) у/а – у/2 у/а – у/2 а-2 у/а + у/2 2 I— 12. Упростите выражение (2 +V5)(2->/5) + (V5 + l) -7^. А) 15 Б) 5 В) 10-75 Г) 10 + 575 Итоги главы 2 Свойства функции у ^ Область определения: R. Область значений: множество неотрицательных чисел. График: парабола. Нуль функции: л: = 0. Свойство графика: ось ординат является осью симметрии параболы. Квадратный корень Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Арифметический квадратный корень Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а. Равные множества Два множества Л ч В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А принадлежит множеству В и наоборот — каждый элемент множества В принадлежит множеству А. 152 Подмножество Множество В называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Пересечение множеств Пересечением множеств А ^ В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединение множеств Объединением множеств А м В называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств: или множеству А, или множеству В. Целые числа Все натуральные числа, противоположные им числа и число О образуют множество целых чисел. Действительные числа Множеством действительных чисел называют объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Обозначения числовых множеств N— множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Q — множество рациональных чисел; R — множество действительных чисел. Связь между числовыми множествами N CZ Z (Z Qcz R. Свойства арифметического квадратного корня Для любого действительного числа а выполняется равенство = \а\. Для любого действительного числа а и любого натурального числа п выполняется равенство = 1а”|. Для любых действительных чисел а Ь таких, что а > О и 6 > О, выполняется равенство yfab = yfa -\lb. 153 Для любых действительных чисел а и 6 таких, что а > О и 6 > О, выполняется равенство Л S’ Для любых неотрицательных чисел и таких, что а, > а^, выполняется неравенство > ,Ja^. Свойства функции у = Jx Область определения: множество неотрицательных чисел. Область значений: множество неотрицательных чисел. График: ветвь параболы. Нуль функции: д: = 0. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. 154 Глава 3. Квадратные уравнения Изучив материал этой главы, вы научитесь решать уравнения вида ах^ -ь 6л: -н с = 0. Изучите теорему Виета для квадратного уравнения. Овладеете приёмами решения уравнений, сводящихся к квадратным. ^ 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида ах = Ь, где х — переменная, а и Ь — некоторые числа. Если а Ф о, то уравнение ах = Ь называют уравнением первой степени. Например, каждое из линейных уравнений 2л: = 3, Зх = 0, -х = -7 яв- 3 ляется уравнением первой степени. А вот линейные уравнения Ох = 0, Ох = 2 уравнениями первой степени не являются. Числа а и Ь называют коэффициентами уравнения первой степени ах = Ь. То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 39. Рис. 39 Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения х^ = 0, х^ – 1 = 0, х^ -н 5х = 0, х^ – 2х -I- 1 = 0 (упражнение № 614). Каждое из этих уравнений имеет вид ах^ + Ьх + с = 0. 155 о Определение \——————— Квадратным уравнением называют уравнение вида + bx + c = Qf где X — переменная, а^Ь^с — некоторые числа, причём аФО. Числа а, Ь и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, число Ь — вторым коэффициентом, число с — свободным членом. Например, квадратное уравнение -I- 5л: + 3 = О имеет следующие коэффициенты: а = -2, 6 = 5, с = 3. Левая часть квадратного уравнения является многочленом второй степени. Поэтому квадратное уравнение ещё называют уравнением второй степени. Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым. Например, + yj2x -1 = 0, .г^-4 = 0, д:^ + 3л; = 0 — это приведённые квадратные уравнения. Поскольку в квадратном уравнении ах^ + + с = 0 старший коэффи- циент не равен нулю, то неприведённое квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведённое, равносильное данному. Разделив обе части уравнения -+• с = 0 на число а, получим приведённое квадратное + ^ = а а Если в квадратном уравнении ахР^ + Ьх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Существует три вида неполных квадратных уравнений: 1) при 6 = с = о имеем: ахР^ = 0; 2) при с = Q W Ь Ф ^ имеем: ахР^ + Ьх = 3) при /? = о и с о имеем: -f- с = 0. Решим неполные квадратные уравнения каждого вида. 1. Поскольку 0. Очевидно, что в первом случае а а уравнение х 156 уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: , с с X, = J— и х^ = -J— . а ^ \ а Результаты, полученные при решении неполных квадратных уравнений, оформим в виде таблицы. ■■ . . 1 i 1 ■ . ■ , ^ Коэффициенты уравнения ах^ + Ьх + с = 0 Неполное квадратное уравнение . ■ . .7- – .. .. . Корни – . – N – ■ Ь = с = 0 ах^ = 0 х = 0 ЬфО, с = 0 + Ьх=0 X, = 0, Хс, = — ^ ^ а ^ = 0, — 0 а ах^ + с = 0 Пример. Решите уравнение х^ — j—j- = 0. Л Y Решение. При д: > 0 имеем: х^–= 0. Отсюда – 4 = 0: х = 2 или X X = -2. Но корень -2 не удовлетворяет условию х> 0. При д: о, 6 > 0; 3) а > о, 6 0; 4) о, о 0; 3) о, с 0; 4) /2f; 2) (3>/5-V^)>/5; 4) (VIs – л/з) Vi-н 0,5V^. 653. Какой из графиков, представленных на рисунке 40, является графиком функции: 654. Ученик задумал двузначное число. Если каждую цифру этого числа увеличить на 2, то полученное число будет на 13 меньше удвоенного задуманного числа. Какое число было задумано? 161 CUl Учимся делать \—- нестандартные шаги 655. Печатный автомат получает на входе карточку с числами (а; Ь) и вы- дает на выходе карточку с числами а + Ь 1 1 h Можно ли с по- мощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1 000) получить карточку с числами (1,25; 250)? ^ 20. Формула корней квадратного уравнения Зная коэффициенты а и Ь уравнения первой степени ах = Ь, можно найти его корень по формуле ~ • Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам а, h и с квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = 0 находить его корни. Имеем: ах^ + Ьх + с = 0. (1) Поскольку а Ф о, то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному: 4а^х^ + 4аЬх -I- 4ас = 0. Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена: 4а^х^ + 4аЬх + + 4ас = 0; (2лг -I- Ь)^ = – 4ас. (2) Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения – 4ас. Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения ах^ + Ьх -t- с = 0 и обозначают буквой D, то есть D = Ь^ – 4ас. Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять». Теперь уравнение (2) можно записать так: 0, то квадратное уравнение имеет два кор- ня Jtj и х^. X, = -ь-4в х^ -6 + >/d * 2а ’ 2а Применяют также краткую форму записи: X = -ь±4Ъ 2а Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения ах^ + 6х + с = 0. Полученную формулу можно применять и в случае, когда D = 0. Имеем: ^ ^ -Ь±у[о ^__^ 2а 2а ‘ При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом: • найти дискриминант D квадратного уравнения; • если Z) о, то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения. Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде 2k, то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления. Рассмотрим квадратное уравнение + 2kx + с = 0. Найдём его дискриминант: D = 46^ – 4 о, то по формуле корней квадратного уравнения получаем; ^_-2к±у1Щ _ -2k±2^ _ 2(-^±^) _ -k±^^ ^ 2а 2а 2а а ‘ 163 то есть X = _-k±J^ , где D^ = k^ – ас. = 196. Пример 1. Решите уравнение: 1) – 2х – 16 = 0; 3) + 5х – 3 = 0; 5) – 16д: + 3 = 0. 2) -0,5дг2 + 2л: – 2 = 0; 4) – 6л- + 11 = 0; Решение. 1) В данном уравнении а = 3, Ь = -2, с = -16. Дискриминант уравнения D = – 4ас = (-2)^ – 4 • 3 • (-16) = 4 + 192 = Следовательно, = -2, х^ = – = ^ = 21. о о о о д Ответ: -2; 21. 2) Имеем: D = 22 – 4 • (-0,5) • (-2) = 4-4 = 0. Следовательно, данное уравнение имеет один корень: -2±>/о X = -1 = 2. Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на -2, получаем: х^ — 4х + 4 = 0. Отсюда (дг – 2)^ = 0; х – 2 = 0; л: = 2. Ответ: 2. 3) D = 52 – 4.1 . (-3) = 25 -к 12 = 37. ,, -5 – VS7 -5-ь л/з7 Уравнение имеет два корня: х^ =——–, х^ =——–• -5 – ч/з7 -5 и- л/з7 либо Ответ можно записать одним из двух способов: -5± Т37 4) D = (-6)2 – 4 • Ы1 = 36 – 44 = -8 о получаем уравнение х^ + 6х – 16 = 0, которое имеет корни -8 и 2, однако корень -8 не удовлетворяет условию л: > 0. При X о, то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: х^-10х-24 = 0их>0. В таком слу- Гх2-10х-24 = 0, чае говорят, что данное уравнение равносильно системе -j ^ ^ Уравнение х^ – 1 Ох – 24 = 0 имеет корни -2 и 12, но корень -2 не удовлетворяет условию X > 0. Ответ: 12. Г 9^2 – 8х = 1, 3) Данное уравнение равносильно системе \ , „ ’ Отсюда 9х‘^ – 8х -1 = о, X Ф\; X -1 0. 1 ^ = -9- X = 1 или X = – —, 9 X 1 Ответ: —. ◄ 9 Пример 3. При каком значении Ь имеет единственный корень уравнение: 1) Ьс^-Ьх+ 18 = 0; 2) /5-15 = 0; 2) х2 -х(>/б-1)-7б =0; Решите уравнение: 1) х2 + Зхл/2 -1-4 = 0; 2) х2 – X(n/з + 2) -I- 2>/3 = 0; При каких значениях а число ^ является корнем уравнения д2х2 + 4 0. Применив формулу к^ней квадратного уравнения, запишем: -ь-4о_______-ь + уГо , Xj = 2а 2а Имеем: = = = ^ 2 2а 2а 2а а XjXg = _-b-yfP -b + y[p ^i-bf ~<4d) -D - Ш -^ac) 2a 2a 4«2 4a^ a' Пусть Z) = 0. В этом случае считают, что = Xg =------. Имеем: _ _ 4ас с Х,Хс = —т = —^ = -. ◄ 4а^ 4а^ 171 0 Следствие Если и — корни приведённого квадратного уравнения х^ + Ьх + с = О, то х^+х^ = -bj х^х^ = с. Другими словами, сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. 0 Теорема 21.2 (обратная теореме Виета) Если числа а и В таковы, что а + В= — иаВ= —,то эти а а числа являются корнями квадратного уравнения ах^ + 6л: + с = 0. Доказательство Рассмотрим квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = ^. Преобразуем его в приведённое: + -X + - = 0. а а Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: - (а 4- р)х + ар = 0. (*) Подставим в левую часть этого уравнения вместо х сначала число а, затем число р. Получим: - (а + Р)а + ар = - аР + ар = 0; р2 - (а + р)р + ар = P^ - ар - Р^ + аР = 0. Таким образом, числа а и Р являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения + Ьх + с = 0. 0. Следовательно, уравнение имеет два корня и х^. -15 2 Тогда по теореме Виета х, + х^ = —— = 5, х,х^ = - . /7 6-1-л/7 тами, корни которого равны: 1) 4 и --\z) —^— и —^—. 5 Решение. 1) Пусть = 4 и ^2 = - у. Тогда х^+х^=А-^ = Ц, х^х^ =4-|^-|^=-у. По теореме, обратной теореме Виета, числа Xj и х^ являются корнями 23 20 уравнения - — х - — = 0. Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами: 7x2 - 23х - 20 = 0. 2) Пусть X, = и . OQ Следовательно, х^ и х^ являются корнями уравнения х2 - бх -I- у = 0. Отсюда искомым является такое уравнение: 4x2 _ 24х + 29 = 0. ◄ Пример 4. Известно, что х^ и Х2 — корни уравнения 2x2 _ 3^^ _ 9 _ q Не решая уравнение, найдите значение выражения . ' 3 Q Решение. По теореме Виета Xj -I- Xg = — , x^Xg = - —. 1 , 1 Тогда имеем:-----1--= — X, + Х2 _ 3 2 _9 2 i 2 Ответ: —. ◄ 3 173 Пример 5, Число 4 является корнем уравнения - Юл: + п = 0. Найдите второй корень уравнения и значение п. Решение. Пусть х^их^ — корни данного уравнения, причём х^ = 4. По 10 10 2 и 8 теореме Виета = —. Тогда х^ = — - 4 = --. Имеем: - = х^х^ = ~ ^ ’ п = -8. 9 Ответ: х^ = п = -8. /1о и 5-ь Vio. 4) 2 - 73 и 2 -f- 73; 6) ->/7 и л/7. оо V 715. 716. 717. 718. 719. 720. 721. 722. Число -2 является корнем уравнения х^ – Sx + q = 0. Найдите значение q и второй корень уравнения. Число 7 является корнем уравнения х^ + рх – 42 = 0. Найдите значение р и второй корень уравнения. Число является корнем уравнения 6х^ – Ьх + 4 = 0. Найдите значение Ь и второй корень уравнения. Число -0,2 является корнем уравнения 4дг^ – 5,6х -I- т = 0. Найдите значение т и второй корень уравнения. Известно, что х^и х^ — корни уравнения 2х^ -1х – 13 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения х^х^ – 4х^ – 4×2. Известно, что Xj и Xg — корни уравнения 5х^ -ь 4х – 13 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения 3XjXg — х^ — Xg. При каком значении Ь корни уравнениях^-ьбх-17 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение: 1) х^-5х-ь4 = 0 2) х^ -н 5х -I- 4 = о 3) х2-4х-5 = 0 4) х^ -н 4х – 5 = 0; 5) х2 – 9х -н 20 = 0; 6) х^ – X – 2 = 0; 7) х^ -I- 2х – 8 = 0; 8) х^ – Зх – 18 = 0. 175 723. 724. 725. 726. 727. 728. 729. 730. 731. 732. 733. 734. 735. 736. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение: 1) – 10х + 24 = 0; 3) – 2д: – 8 = 0; 2) + 6л; + 8 = 0; 4) х^ + х – 12 = 0. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков: 1) х2 – 12х -Ы4 = 0; 4) х2 -ь 16х -н 10 = 0; 2) х2 + 6х – 42 = 0; 5) х^ – 24х -ь 0,1 = 0; 3) х2 – 7х – 30 = 0; 6) х2 -t- 20х -к 3 = 0? Один из корней уравнения х^ – 10х+с = 0на8 меньше другого. Найдите значение с и корни уравнения. Корни уравнения х^ + 20х -н а = 0 относятся как 7 : 3. Найдите значение а и корни уравнения. Корни Xj и Xg уравнения х^ – 7х + m = 0 удовлетворяют условию 2Xj – SXg = 28. Найдите корни уравнения и значение т. Корни Xj и Xg уравнения х^ + 4х -н гг = 0 удовлетворяют условию 3Xj – Xg = 8. Найдите корни уравнения и значение п. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения: 1) 2×2 – 5Х-1- 3 = 0; 3) ^бх^ – 23х-н 7 = 0; 2) 2×2 + 5х -ь 3 = 0; 4) _8л;2 – 19х ч- 27 = 0. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения: 1) 7×2-ь 11^ _ 18 = 0; 2) 9×2-5х-4 = 0. Известно, что Xj и Х2 — корни уравнения х2 – 9х -I- 6 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения: 2) х2 + х^; 3) (Xj – Х2)2; 4) xf -t- Х2^. Известно, что х^ и Х2 — корни уравнения х2 -ь 5х – 16 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения: 1) Xj2x2 -I- Х22Хр 2) ^ ^ ; х„ 3) |Х2 -Xj. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения х2 -f 8х – 3 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения х2 – 12х -ь 4 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2×2 _ \4х + 9 = 0. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения 2×2 _ 15х -|- 4 = 0. 176 — 46 „ 737. Сумма квадратов корней уравнения + от – 7 = О равна —. Найдите значение а. 738. Корни и jfg уравнения – ах + S = О удовлетворяют условию X X ^ — + — = Найдите значение а. 2 739. Верно ли утверждение: 1) уравнение 7х^ -1-4л:-д^-1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении а\ 2) если уравнение х^ + ^х +а?-+ А = 0 имеет корни, то независимо от значения а они оба отрицательны? 740. Найдите все целые значения Ь, при которых имеет целые корни уравнение: \) х^ + Ьх + Ь = 2) х^ + Ьх – \2 = 0. 741. Найдите все целые значения Ь, при которых имеет целые корни уравнение: \) х^ + hx + S = 0\ 2) х^ + Ьх – 0. 742. Корни уравнения х^ + Ьх + с = 0 равны его коэффициентам Ь w с. Найдите Ь тл с. 743. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х^ – Ах: + + а = о равна: 1) 12; 2) б? 744. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х^ 0. 3) Проходит ли график функции через точку М (-36; 68)? 835. При каком значении k график функции У ~ ~ проходит через точку Л (-Vl2; >/з) ? Постройте этот график. 836. Какое из равенств верно: V(V3-2f =VS – 2 или = 2-ч/з? Ответ обоснуйте. 837. Упростите выражение: / л \-3 3) (0,2й-1^2)2.4^5^-4 1) у’; ( V- Учимся делать нестандартные шаги 838. На тарелке лежат 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что можно один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные 10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса сыра на каждой из них будет одинаковой. 201 Задание № 6 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Найдите корни квадратного трёхчлена – х – 6. А) 2;-0,6 Б)-2; 0,6 В)1;-1,2 Г)-1; 1,2 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен -х^ – 4х + 5. А) (л:-1)(х+5) В)-(х- 1)(х + 5) Б) (х+ 1)(х-5) Г) -(х+ 1)(х-5) 3. Сократите дробь ^ + 7л: + 12 А) X + 4 Б) л:^ + л: – 6 X – 4 В) X + 4 Г) X – 4 л: + 2 лг-2 л:-2 л: + 2 4. Решите уравнение Х^ + 7х^ – 18 = 0. А) -3; 3 Б) -л/2; В) -3; -V2; ^|2^, 3 Г) >/2; 3 5. Найдите корни уравнения (х^ – 4х)^ – 2(х^ – 4х) – 15 = 0. А) -1; 1; 3; 5 Б) -1; 5 В) 1; 3 Г) 1; 3; 5 6. Решите уравнение х – л/х -12 = 0. А) -3; 4 Б) -2; 2 В) 16 Г) 9; 16 х^ — 6 X 7. Решите уравнение А) -2 Б) 3 В) -2; 3 Г) -3; 2 8. Решите уравнение л: – 3 Б) 3 Зл:-1 X А)-|;2 Б)|;-2 В) -2; 3 4 ^ 10-9л: л: – 2 л:^ – 2х В) — ^ 3 Г) 2 9. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля. Пусть скорость грузового автомобиля равна х км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? 350 g. 350 350 _ о ^ X+ 20 X Ач 350 А)—— X X 20 350 , 350 Ь)——-1——::гт X X + 20 = 9 Т) ^50 350 ^ л: л: – 20 = 2 202 10. Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч, Пусть собственная скорость катера составляет х км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи? А) Б) 30 X + 1 30 30 X -1 30 = 3,1 = 3,1 В) Г) 30 ,30 „1 ——–1—= о — X -I-1 X 6 30 -I- 30 о 1 X + 1 X – I X + 1 11. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей. Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. Пусть рабочий изготавливал ежедневно х деталей. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? 96 „ 96 96 А) X X – 2 = 3 В) ‘ X X – S = 2 Б) 96 96^3 Г) 96 96 ^ 2 X – 3 X X – 2 X 12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причём первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго. Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за X ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи? А) Б) 15 ^ 15 X 10-х = 1 15 15 X -10 = 1 В) 10+^ X X -I-15 ‘ X х-15 = 1 = 1 203 Итоги главы 3 Уравнение первой степени Уравнение вида ах = где х — переменная, а и Ь — некоторые числа, причём а О, называют уравнением первой степени. Квадратное уравнение Уравнение вида ах^ + Ьх + с = 0^ где х — переменная, а, Ь, с — некоторые числа, причём называют квадратным уравнением. Приведённое квадратное уравнение Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведённым. Неполное квадратное уравнение Если в квадратном уравнении ах^ + Ьх + c = (i хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Решение неполного квадратного уравнения Коэффициенты уравнения + 6л: + с = 0 Неполное квадратное уравнение Корни Ь = с = 0 ах^ = 0 X = 0 Ь ФО, с = 0 + 6л: = 0 л Ь X, = 0, = — ^ ^ а 6 = 0, — 0 а ах^ + с = 0 / с / с X, = х^ = -^ \ а ^ \ а Дискриминант квадратного уравнения Для уравнения вида ах^ + + с = О, где а О, его дискри- минант D — это значение выражения – Аас. ■щдкчсаиЕЯг- 204 \______________________________ Решение квадратного уравнения Если D = О, то квадратное уравнение имеет один корень Ь X = – 2а Если Z> > О, то квадратное уравнение имеет два корня -Ь-4Ъ -6 + л/d и х^. х^ 2а х^ = 2а Теорема Виета Если x^vix^ — корни квадратного уравнения алг^ + Ьх + с = = О, то X. + х^ = х.х^ = ‘ ^ а ^ ^ а Теорема, обратная теореме Виета Ь с Если числа аир таковы, что а + В= — иаВ= —,то эти а а числа являются корнями квадратного уравнения ах^ + + Ьх + с = 0. Квадратный трёхчлен Многочлен вида ах^ + Ьх + где х — переменная, а, Ь и с — некоторые числа, причём а О, называют квадратным трёхчленом. Разложение квадратного трёхчлена на множители Если дискриминант квадратного трёхчлена ах^ + Ьх + с положительный, то данный трёхчлен можно разложить на линейные множители: ах^ + Ьх + с = а ’ аЬ + + ас – ‘ – 49 , 7) + 64 . 11) 20тгР – 20т^п + 5т^ За + 21 ’ За + 12 ’ lOmn – 5т^ 12дг^ – 4дг . 8) хЬ – Ьу + ЪЬ – ху 12) х^ – уг л- xz-y^ 2-бд: ’ дг2 – 25 х^ -k- yz – XZ – у’^ 844. Найдите значение выражения: тР ___________хР ъР 1) —^ , ■■■, если X = -0,2, у = 0,5; х^у’ 206 2) 3) 4) _ 36 5fl2 – 30a + 45 (3a + ?>bf , если -3; У = ‘ —, если 2 5. 212 887. Постройте график функции: У = 4дг + 12 2) г/ = 32 – +3х’ ^ х^ – 16л: 888. Найдите значение выражения: 1) 0,4л/б^-jVl44; 2) Тб4 • + л/2^ + 9; 5) 5 17 3) 3^/^-772 + 242; 889. Найдите значение выражения: 1) iSf 2) (sVTsf -(l5N/3f; 3) 50-МТ?! – + (Зх/2)’; 4) 7^089-^|^^l; 5) |739,69-^л/59,29 + Мч/й|; -0,3n/^. 6) IV172 -152 + ГГ” 2>| 890. Решите уравнение: 1) ч/х=2; 5) yfx+ 5 = 0; 9) 77л:-4 = 2; 2) 7^ = |; 3) 7х – 3 = 0; 6) ^7х + 5 = 0; 7) у1Ъс-А = 0; 10) Щ= = 1; у/х 11) 15 = 3; 4) 27х – 7 = 0; 8) 77л:-4 = 0; 891. Найдите значение корня: у/х + 4 12) 74 + 73 + л: = 5. 1) 79-100; 2) 70.49-16; 4) 70,64-0,25-121; 5) 7-^; ’ Vl96 7) 9 . 1024. V64 1089’ 8) J3II .4^ V 36 49 3) 7676-0,04; 6) 718^; 892. Найдите значение корня: 1) 775 -234; 2) 72 – 800; 893. Найдите значение выражения: 1) 7ш – 73; 3) ТТбО – 7^; 2) 7^-713; 4)7М-7^; 3) 71,6-12,1; 4) 72890-2,5. 5) 6) 7i ’ 7^ 70,225 ’ 213 894. Найдите значение выражения: 1) p7.lf: 4) -2,4,/^; 2) 5) ^/^F; 3) 6) ^(-23)”; 895. Упростите выражение: 1) если 0; 2) если t 0; 4) х/олТо^, если я > о, Ь если о, с о, X ; 897. Упростите выражение: 1) ^|lS + 8лJ2; 2) ^38-1272; 4) >/(3-7б)^ + ^/(2-^/6)^; 5) -V(4S-4f. 4) 726 – б7Г7 – 7бб – 14л/Г7; 5) 746 + 107^ + 746-107^. 3) 7^6 + бТ7 + 72з”^^^~87^5 898. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ч/24; 3) л/Ж; 2) ^/63; 4) ,/032; 5) уТШ; 6) -2,4^/б00; 7) -1,6%/50; 214 1) ^JlOa^, если а> 0; 2) Vi^, если Ь 0; 3) , если у ^ 0; 6) \j700a^b^^, если Ь /ТЗ; 4) Q) -5^^7; 5 901. Внесите множитель под знак корня: 1) йл/5; 2) ЬуРЬ; 3) xyfx^; 902. Сравните числа: 1) 5л/б и бТб; 3) 0,ЗуЩ и 7^; 2) Sb и Зл/б; ил 3 1C 1 3 к 1 4) ^16- H-J5-. 7) -0,5л/^; 8) 4^й. 4) если и /125й – 2780й -ь зТГзОя. 904. Выполните умножение: 1) (7^-7^)Т5; 2) (27б + 7М-7%)7б; 3) (12-7I0)(3-h710); 4) (275-ь77)(277-Т5); 905. Сократите дробь: 5) (749-71з)(7Т9-ьТТз); 6) (47^ + 97«)(47w – 9ТЙ); 7) 8) (37n-27iof. 1) 2) -19 . X -ь 7i9 у[х – б 3) 4) т + sTm m – 64 29-729 5) 6) а – ^yfab -н 9h а-9b 11-7зз 7зз-з ’ , если д > О, 6 > 0; х-Зб ’ ■’ ^29 906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: б 1) Гь’ 3) 2 71з ’ 5) я -f- 9 , Vw + 9 ’ V) 2) 7 ау[а 4) 6 V5’ 6) 3 7i3-2’ 8) 7^ + 715 ’ 18 747-729 ’ 215 907. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1 2 1) 2) л/б+ л/2 + Г лЛо + Тб-л/з ’ 908. Найдите значение выражения: 5 5 4 – ЗТ2 4 + Зл/2 ’ 1 1 ^4 +ТГб +1 л/4 + ТГб -1 3) (V5-2V6 +Т5 + 2Тб) . 909. Упростите выражение: 1 \ yfx___-Г . о\ ^ Т^-3 ^-9’ 910. Упростите выражение: . у/Ь yfb – yjc у[с 4h – у[с + л/47 ’ 1) >/(Тх+sf -20Тх + V(Tx-4^ +1бТ^; 2) >/я”+2Тй^ПТ^ + -2л/йТЗ + 4. 911. Упростите выражение: ^ ^___-н, ^____L_ Тб + лЯ yJs + S ViT + Vs 912. Докажите, что: V2 +ТЗ • V2 + T2 + T3 • ^2 + ^2 + 72^71 • >/2^^2 + ^^Ж = 1. 913. Расположите в порядке возрастания числа: 13; Tl65; 12,7; Vl71; 13,4. 914. Постройте в одной системе координат графики функций у = Тх и ^ = Л” — 6 и определите координаты точки их пересечения. 915. Между какими двумя последовательными целыми числами находится число: 1) ТГ7; 2) Тб7; 3) лЯоЗ; 4) -Т51,25? 916. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами: 1) 6 и 2) ТЙ и 3) и -4,9; 4) -ТЙ и 2,7? 917. Дана функция fix) = ‘ —, если д: 4. 1) Найдите /(-0,5), /(0), /(4), /(9). 2) Постройте график данной функции. 216 918. 919. Решите уравнение: 1) – 4х – 32 = 0; 2) д^-10х+21=0; 3) 6х^ – 5х + 1 = 0; 4) Sx^ + 2л: – 3 = 0; Решите уравнение: 1) 0; 12) х = 0; 13) такого значения х не существует; 14) х — любое число; 15) X = 0; 16) х — любое число, отличное от 0. 400. 2) ^ 0; 4) ^ 0; 7) ^ > о и ^ 1. 401. 6) -10; 10. 402. 4) -7; 7. 405. 1) 167; 2) 2116; 3) корней нет. 406. 1) 4 900; 2) корней нет. 407. 1) Если аФОиЬ^О, го аиЬ— числа одного знака; если а = 0, то Ь — любое число; если Ь = о, то а — любое число; 3) если Ь ф9,то а>9\ если Ь = 9,то а — любое число; 5) если а Ф 9, то Ь -1; 2) а = -1; 3) 1; если 1; если 0, то х = й-2; 2) -Ц=; 3) т – 2vm yjxy 245 4л/а . л/а + 7б ^/^ 4) 7^^—г; ——–7т—; Ь) -^; 7) 16-й Vi 8) Vo-1; 9) r’^ г ’ 10) ‘Тх. VC + 5 yja – yjb 562. 1) ^-= ; 2) –^; 3) 4= ; 4) ; 5) Vx; 6) ^ . 563. 1) т“ V=m; Й + V /5. 570. 1) л/7+l; 2) >/б + 3; 3) 7б + V2. 571. 9. 574. 1) 4 + 2) Зл/З+ 1. 575. 180 деталей. 576. На 25 %. 577. б км/ч, 2 км/ч. 578. 17 вагонов. 596. 1) 0; 1; 2) 0; 1; 3) корней нет; 4) 1; 5) 4; 6) 1. 598. 4) 5-2^/3. 599. 2) -у/2. 600. 0. Указание. Левая часть этого уравнения принимает только неотрицательные значения, а правая — только неположительные. 605. 1) >/7-1; 2) >/3->/2; 3) 3-73; 4) б – >/2. 606. 1) >/б-2; 2) >/5 – >/2; 3) 5- 2>/3. 607. Если а > О, то один корень; если й 1; 3 при О 36; 2\fa при о /2. 640. -3; -2 или 3; 4. 3 641. -1 ; О или 0; 1. 642. 1) 4; 2) 0; -8; 3) —9; 9. 647. 1) 0; -3; 3; 2) 0; 1; 3) 1; 4) -2; 2. 648. 1) 0; 7; -7; 2) 0; 5; -7; 3) -1,5; 1,5. 649. 1) 2; 2) 3; 3) 0,5; -2; 4) такого значения не существует. 650. 1) а = 4, х^ = -4; 2) а = 0, х^ = 2 или а = -1, х.=^\Ъ)а = Ъ,х. = -2. 654. 35. 661. 1) 1; ; 2) 1; 9; 3) . 662. 1) 2; -/2)-3; / 663. 1) 4;-3,5; 2) 1; -^;3) 2; |;4) -3±ч/15;5) 3; 6: 6) ^ . 664. 1) 3; 9; 2) 2 ± Vl4 , корней нет. 665. 7. 666. 38 см. 6 2 667. 6 и 14 или -14 и -6. 668. 10; 11. 669. 13; 14. 670. 1) VS; \ 2) -1; V6; 3) 6; -|; 4) -1; . 671. 1) ->/2; -2^2; 2) 2; >/3; 3) 1; |. 672. -20; 4. 3 22 о 673. 1; – — . 674. 8 см. 675. 6 см или 12 см. 676. 16 см, 30 см. 677. 9 см, 40 см. 3 246 678. 9; 11; 13. 679. 4; 6; 8; 10. 681. 16 обезьян или 48 обезьян. 682. 9 команд. 683. 15 сторон. 684. 1) -8; -7; 0; 1; 2) -1; 1; 0,6; -0,6; 3) -3 + л/Й; 4) -2; 2; 5) 3; 5; -3; -5; 6) 2; -2. 685. 1) -12; 2; -2; -8; 2) 3; 3) 15; -7 ± л/Й; 4) 9; -9. 686. 1) -10; 2) 3. 687. 1) -; 2) 3. 688. \) Ь = -2; 2) Ь = -12 или 6 = 12. 6 689. \) Ь = 13,5; 2) 6 = -8 или 6 = 8. 693. 1) х = -2а – 1 или х = -а\ 2) х=2а 25 1 или X = 4; 3) если а Ф 0, то х = — или х = —; если /б или а 7 6 =-2>/б; Ъ) h = 19. 696. 1) 6 = 0 или 6 = -0,5 или 6 = 0,5; 2) 6 = -3 или 6 = -5. 697. 698. 9. 699. 4, л/Г7, 3^2. 700. 45 т, 75 т. 701. 14 листов. 715.х,= 10, а ^ q = -20. 716. Xg = -6, р = -1. 717. Xg = 2, 6 = 14. 718. Xg = 1,6, ттг = -1,28. 719. -20,5. 720. -7. 725. Xj = 1, Х2 = 9, с = 9. 726. Xj = -14, Xg = -6, й = 84. 727. Xj = 9, Xg = -2, m = -18. 728. x^ = 1, X2 = -5, n = -5. 731. 1) 1,5; 2) 69. Указание, xf + X2^ = (Xj + X2)^ – 2XjX2; 3) 57; 4) 567. 732. 1) 80; 2) -||; 3) л/89. Указание. \x^ – xJ = ^/5, или

Algebra, 8 sinf, Mirzaahmedov М.А., 2019

Aziz o’quvchi! Siz 7-sinf „Algebra“sini o’rganib, undagi al-gebraik ifodalar, bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalar, bir-hadlar va ko’phadlar, ko’phadni ko’paytuvchilarga ajratish usullari, algebraik kasrlar bilan tanishgansiz hamda shu mavzularga doir misol va masalalami yechgansiz. 7-sinfda „Algebra“dan olgan bilim-laringizni yodga solish maqsadida Sizga bir necha mashqlar taklif etarniz.

Примеры.
Bitta albomning bahosi 2000 so’m, bitta daftarning bahosi 40 so’m, bitta ruchkaning bahosi 600 so’m. с ta albom, a ta daftar va b ta ruchkaning umumiy (so’mlardagi) bahosini p harfi bilan belgilab, uni formula shaklida vozing. Agar с = 9, a = 21, b = 4 bo’lsa, bu formula bo’yicha p ni hisoblang.

Issiqlik uzatish stansiyasi uchun mo’ljallangan gaz quvuri orqali har minutda 26 m3 gaz o’tadi. 5 sutkada; m sutkada quvurdan necha kub metr gaz o’tadi?

Bir qotishma tarkibida 60%, ikkinchisida esa 40% kumush bor. Ikkala qotishmani eritib, tarkibida 45% kumush bo’lgan 2 kg massali qotishma olindi. Birinchi va ikkinchi qotishmalaming massasini toping.

MUNDARIJA.
7-sinf „Algebra“ kursida о’tilgan m avzulami takrorlash.
I bob. Algebraik kasrlar va ular ustida amallar.
II bob. Tengsizliklar.
III bob. Kvadrat tenglamalar.
IV bob. Ma’lumotlar tahlili.
V bob. 8-sinf „Algebra“ kursini takrorlash uchun mashqlar.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Algebra, 8 sinf, Mirzaahmedov М.А., 2019 – fileskachat, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Таълим / Образование

Ўқитувчи болага таълим бериш жараёнида ҳар бир фаннинг оддийликдан мураккаблик сари изчил давом этган асосларига таянади. Бу асослар эса ўқув адабиётлари – дарсликларда муфассал акс эттирилади.

Таъкидлаш ўринлики, истиқлол йилларида умумий ўрта таълим мактаблари учун дарсликларнинг янги авлодини яратиш давлат миқёсидаги вазифага айланди. Чиндан ҳам ҳар бир ўқувчининг дарсликлар билан тўлиқ таъминланиши таълим сифатини оширишда муҳим аҳамият касб этади. Ушбу саҳифа ёрдамида 8-синф ўқувчиларига мўлжалланган дарсликларнинг электрон нусхасини кўчириб олишингиз мумкин.

Ўзбек тилида	На русском языке
Адабиёт – 1 қисм (2014) Адабиёт – 2 қисм (2014) Адабиёт – 1 қисм (2019)	Литература – 1 часть (2019) Литература – 2 часть (2019)
Алгебра (2014) Алгебра (2019)	Алгебра (2014) Алгебра (2019)
Чизмачилик (2019)	Черчение (2019)
Физика (2019)	Физика (2019)
Француз тили – дарслик (2014) Француз тили – методика (2014)	Французский язык – учебник (2014) Французский язык – методика (2014)
Геометрия (2014) Геометрия (2019)	Геометрия (2014) Геометрия (2019)
Кимё (2010) Кимё (2019)	Химия (2014) Химия (2019)
География (2019)	География (2019)
Информатика – дарслик (2015) Информатика – дарслик (2020) Информатика – методика (2020)	Информатика – учебник (2015) Информатика – учебник (2020) Информатика – методика (2020)
Иқтисод (2019)	Экономика (2019)
Инглиз тили – дарслик (2020) Инглиз тили – методика (2014) Инглиз тили – методика (2020)	Английский язык (2020)
Жаҳон тарихи (2019)	Всемирная история (2019)
Жисмоний тарбия (2017)	Физическое воспитание (2017)
Немис тили – дарслик (2020) Немис тили – методика.(2014)	Немецкий язык (2020)
Биология (2019)	Биология (2019)
Она тили (2019)	Узбекский язык (2019)
Рус тили (2019) Рус тили (2022)	Русский язык (2019)
Ҳуқуқ (2019)	Право (2019)
Ўзбекистон тарихи (2019)	История Узбекистана (2019)
Технология (2019)	Технология (2019)
Тарбия (2020)	Воспитание (2020)

Ўхшаш мавзулар

Мустақил ўрганувчилар учун корейс тили дарслиги

ГДЗ(TUV) Готовые домашние задания (Tayyor uyga vazifa, Yechim) Алгебра Алимов 8 класс 2019

Год: 2019 Издательство: ИПТД “O‘qituvchi” Авторы: Алимов Ш.А., Холмухамедов А.Р., Мирзаахмедов М.А.

Повторение курса Алгебры 7 класса

ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

§1. Алгебраические выражения

§2. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

§3. Приведение дробей к общему знаменателю

§4. Сложение и вычитание алгебраических дробей

§5. Умножение и деление алгебраических дробей

§6. Замена дробно-рациональных выражений тождественными

§7. Функция У = k/x . Ее свойства и график

§8. Арифмерический корень натуральной степени и его свойства.

§9. Степень с рациональным показателем и его свойства

§10. Упрощение алгебраических выражений, содержащих степень с рациональным показателем

Упражнения к главе I

Проверь себя

Тестовые задания к главе I.

ГЛАВА II НЕРАВЕНСТВА

§11. Числовые неравенства

§12. Основые свойства числовых неравенств

§13. Сложение и умножение неравенств

§14. Возведение числовых неравенств в степень

§15. Неравенство с одним неизвестным

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..94

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..95

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..96

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..97

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..98

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..99

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..100

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..101

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..102

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..103

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..104

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..105

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..106

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..107

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..108

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..109

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..110

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..111

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..112

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..113

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..114

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..115

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..116

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..117

§16. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки..118

§17. Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль

§18. Приближенные вычисления, приближенные значения величин. Погрешность приближения §19. Оценка погрешностей,

§20. Округление чисел

§21. Относительная погрешность

Упражнения к главе II.

Проверь себя

Тестовые задания к главе II

ГЛАВА III КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§22. Квадратные уравнения и их корни

§23. Неполные квадратные уравнения и их решение

§24. Формулы нахождения корней квадратного уравнения.

§25. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

§26. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

§27. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Упражнения к главе III

Проверь себя

Тестовые задания к главе III

Исторические задачи

Практические и межпредметные задачи

ГЛАВА IV АНАЛИЗ ДАННЫХ

§28. Анализ данных. Представление данных

§29. Среднее значение. Мода. Медиана

§30. Решение комбинаторных задач методом перебора

§31. Основной закон комбинаторики и его применение при решении задач

Упражнения к главе IV

Тестовые задания к главе IV

Практические и межпредметные задачи

Упражнения для повторения курса „Алгебры“ 8 класса

• самопроверка, анализ своей работы на предмет ошибок, выявление пробелов в знаниях на начальной стадии
• подмога в выполнении сложный задач
• возможность родителей курировать образовательный процесс ребёнка, а также дать объяснение той или иной терминологии
• повышение самооценки и уверенности в себе, адаптация к школьному курсу, проявление конкурентной заинтересованности.

Знание-сила, будь в этом уверен!

ГДЗ(TUV) Готовые домашние задания (Tayyor uyga vazifa, Yechim) – это не про бездумное списывание, это, в первую очередь, инструмент для увеличения успеваемости в школе, получения максимальной пользы и удовольствия из учебной деятельности. Пособие так же отлично подойдет для мам и пап, преподавателей и репетиторов.

8 sinf algebra 2017 pdf скачать

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

До прочтения я ожидал «тут» увидеть еще один клон О.Здрава (Мыслина) «Колхоз дело добровольное», но в итоге немного «обломился» в своих ожиданиях.

Начнем с того что под «колхозом» здесь понимается совсем не очередной «принудительный турпоход» на поля (практикуемый почти во всех учебных заведениях того времени), а некую ссылку (как справедливо заметил сам автор, в стиле фильма «Холоп»), где некоего «мажористого сынка» (который почти

сразу вызывает некое … не совсем позитивные чувства, своими «претензиями на неимоверную крутость и всезнайство правил жизни»).

Далее все начинается в стиле фильма «Один дома» (и прочих подобных творений), где незадачливый герой, то и дело находит «приключения на 5-ю точку» (во всех мыслимых и немыслимых местах)) С одной стороны — это не совсем то (чего я ожидал «открывая книгу»), с другой (местами) получилось весьма смешно (ну вру. местами ржал, как сумашедший), а местами. порой все же так пафосно, что даже хотелось данную «книгу закрыть». Но поскольку ничего другого (на сегодня у меня и нет), я все же весьма благополучно дочитал произведение до конца и даже. (обещал себе, как-нибудь) при наличии продолжения «заценить и его».

По факту же — тут получилась не сколько книга о «нормальном попаданце» в условиях «Дикого поля картохи и свеклы» (что-то по типу «Квинта Лециния», «Спортсменки, комсомолки, красавицы»), а некая пародия (в стиле «Деляги» Полещука, В.Сиголаева с его «Фатальным колесом» или цикла Самохина «Самозванка»).

Ностальгический элемент как правило полностью отсутствует (или немного добавлен чисто «для фона» – остроумию и цинизму ГГ), в остальном же везде «царит и сияет» (прямо в стиле тов.Поселягина) пока-несостоявшийся-герой-любовник «Жорик-мажорик»))

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

а где первая книга?

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

Народ сайта, кто-то что-то у кого-то сплагиатил.
На той неделе пролистнул эту же весчь. Только автор на обложке другой – Никита Дейнеко.
Текст проходной, ни оценки, ни отзыва не стоит.

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

Кто это читает? Сунь Яни какие то с культиваторами бегают.

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

Оценку поставил, прочитав пару страниц. Не моё. Написано от 3 лица. И две страницы потрачены на описание одежды. Я обычно не читаю женских романов за разницы менталитета с мужчинами. Эта книга похоже написана для них. Я пас.

Рейтинг: 0 ( 0 за, 0 против).

“Старинные русские места. Калуга. . Именно на этой земле . нам предстояло тренироваться перед отправкой в Новороссию.”

Как интересно. Значит, 8 лет “ихтамнет” и “купили в военторге” были ложью, и все-таки украинцы были правы.

Рейтинг: 0 ( 2 за, 2 против).