Учебник Геометрия 8 класс Мерзляк Полонский Якир

Всего Франк Хугербитс назвал 12 точек Земли, где есть высокая вероятность землетрясения в ближайшее время. Это юг Японии, Индонезия, Португалия, Греция, Пакистан и часть Северной Америки.

Где и когда в марте 2023 года могут произойти разрушительные землетрясения?

В марте на Земле может случиться ещё одно страшное землетрясение. Такой прогноз нидерландского сейсмолога Франка Хугербитса передаёт “РГ”. Учёный даже назвал страны, где может случиться следующая катастрофа. Примечательно, что именно Хугербитс предсказал разрушительное землетрясение в Турции всего за несколько дней до трагедии.

О том, где и когда сейсмолог предсказывает следующие землетрясения, – в рубрике “Вопрос-ответ”.

Когда в мире могут произойти следующие крупные землетрясения?

С 3 по 7 марта. Такие даты указаны в сообщении, которое опубликовал научный институт SSGEOS (Solar System Geometry Survey), где работает Хугербитс. По словам учёного, к стихийному бедствию могут привести опасные сближения планет, которые ожидаются 2 и 5 марта.

Землетрясения, согласно прогнозу, могут быть очень мощными: магнитудой не менее 8,5.

В каких странах могут случиться землетрясения?

Всего Франк Хугербитс назвал 12 точек Земли, где есть высокая вероятность землетрясения в ближайшее время. Это юг Японии, Индонезия, Португалия, Греция, Пакистан и часть Северной Америки.

Правда ли, что землетрясение может произойти в России?

Если верить Хугербитсу, то да. Россия есть в его списке: по прогнозу сейсмолога, мощное землетрясение может обрушиться на Курильские острова.

Кто такой Франк Хугербитс, который предрекает миру новые землетрясения?

Франк Хугербитс – исследователь-сейсмолог из Нидерландов, который работает в научной организации SSGEOS – Исследовательском институте отслеживания геометрии взаимодействия небесных тел и его влияния на сейсмическую активность.

Мировой знаменитостью Хугербитс стал в феврале 2023-го, когда предсказал разрушительное землетрясение в Турции. 2 февраля он выступил от имени своего института и дал прогноз по сейсмической обстановке в мире. Тогда учёный заявил, что активностей следует ждать в ближайшие дни.

“Рост сейсмической активности может проявиться в период с 4 по 6 февраля, скорее всего, с подземными толчками средней или высокой шестибалльной магнитуды”, – сказал тогда Хугербитс.

На следующий день сейсмолог конкретизировал прогноз. В своём Twitter он предупредил несколько стран, включая Турцию.

“Рано или поздно землетрясение магнитудой примерно 7,5 произойдёт в этом регионе (Южная и Центральная Турция, Иордания, Сирия, Ливан)”, – написал Хугербитс.

А 6 февраля Турцию накрыло мощнейшее землетрясение магнитудой 7,7. Стихийное бедствие привело к катастрофическим последствиям. После этого сейсмологи зафиксировали почти 10 тысяч афтершоков. А 28 февраля в стране произошло ещё одно землетрясение: магнитуда составила 4,0.

Всего от разрушений в Турции погибли более 40 тысяч человек. От подземных толчков также пострадала и Сирия, где около 6 тысяч погибших.

После этого Хугербитс стал известен на весь мир. Его пророческий твит набрал более 50 млн просмотров. Поэтому его новый прогноз тоже воспринимают всерьёз.

Как Хугербитс предсказал землетрясения в Турции и Сирии?

Хугербитс составляет прогнозы, анализируя взаимное расположение небесных тел в Солнечной системе. Такой метод называют планетарной геометрией. Сторонники этого подхода считают, что все планеты и спутники воздействуют друг на друга гравитацией, вызывая приливные силы. По мнению тех, кто занимается планетарной геометрией, определённые взаимодействия небесных объектов могут вызывать землетрясения.

Многие учёные критикуют этот метод и считают, что он не имеет ничего общего с наукой. Эта теория вообще была не слишком популярна в обществе. Но после того как прогноз Хугербитса сбылся, о планетарной геометрии заговорили более серьёзно.

Разве можно рассматривать подобные прогнозы всерьёз?

Сказать трудно. Даже сам учёный, делая прогноз на март, подчеркнул: ничего конкретного он не предсказывает, лишь предостерегает.

“Я не преувеличиваю. Я не пытаюсь посеять страх. Это лишь предупреждение”, – подчеркнул Франк Хугербитс.

Учебник Геометрия 8 класс Мерзляк Полонский Якир

На сайте Учебник-Школа.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).

Учебник Геометрия 8 класс Мерзляк Полонский Якир – 2014-2015-2016-2017 год: Читать онлайн (cкачать в формате PDF) – Щелкни!

Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа – СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Ь, Окружности. вписанные в треугольники ABD и CBD^ касаются диагонали BD в точках М w К соответственно. Найдите отрезок МК. 810. Сколько разных параллелограммов можно составить из двух равных треугольников, если они; 1) разносторонние; 2) равнобедренные; 3) равносторонние? 811. Верно ли утверждение: 1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм: 2) если две стороны четырёхугольника параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от этих сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 3) если две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие — равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 4) если биссектрисы двух противолежащих углов четырёхугольника периендику^гярны биссектрисе его третьего угла, то этот четырёхугольник — пара^тлелограмм; 5) если диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 6) если каждая диагональ четырёхугольника ра:5бивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм; 7) если каждые две противолежащие вершины четырёхугольника равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то этот четырёхугольник — параллелограмм? 178 812. Верно ли рверждение: 1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диаго налей разбипаег четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — паргшлелограмм; 2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёху1оль-ник — параллелограмм; 3) если две противолежащие стороны четырёху10льника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм? 813. Периметр ромба равен 8 см, а его высота — 1 см. Найдите углы ромба. 814. Угол при веритпе В ромба ABCD равен 40′”, точки М vl К — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на стороны ВС и CD соответственно. Найдите углы треугольника АМК. 815. Перпендикуляр, опущенный из вершины В прямоугольника ABCD на диагональ ЛС, делит угол АВС на два угла, величины которых относятся как 1 : 3. Найдите угол между проведённым перпендикуляром и диагональю BD. 816. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол 60**. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника. 817. На диагонали АС ромба ABCD отмечены точки М и К так, что AM – СК. Докажите, что ZABM = ZCBK. 818. Периметр ромба на 42 см больше стороны ромба. Найдите периметр ромба. 819- Верно ли утверждение; 1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёху10ль-ник — прямоугольник; 2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник — квадрат; 3) если диагонали четырёхуголы 1111*3 перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат; 4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то эгог четырёхугольник — квадрат; 5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из сто углов, то этот четырёхугольник — ромб? В случае утвердительного ответа обоснуйте его, в случае отрицательного — начертите четы|)ёхугольник, который является контрпримером. 179 820. 821. 822. 823. 824. 825. 826. 827. 828. Па сторонах ЛВ ВС и ЛС треугольника АВС отмечены чочки D, F и Е соотнстстиснио ‘г*ак, что BD = BF = DI: – EF. Докажите, что точка F принадлежит биссектрисе >тла BDE. Расстояние от середины хорды АС окружности до диаметра АВ равно 4 см. Найдите хорд)^ ВС, если /.ВАС = 30** Постройте параллелог рамм по его вершине и серединам сторон, которым эта вершина не принадлежит. Боковая сторона АВ и меньшее основание ВС трапеции ABCD равны соответственно 16 см и 15 см. Какой иа отрезков пересекает бис-секч риса угла BAD — основание ВС или боковую сторону CD? Диагон.шь равнобокой трапеции равна большему о 1 мера больвгей дуги окружности, расположенной между сторонами э того угла, равна lOu”. Найдите гра;;усную меру меньшей дуги, находящейся между сторонами данного утла. Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окр\жиостм, то этот угол — острый. Докажите, что если вершина утла лежит В1гутри окружности, а угол опирается на диамеч’р окружности, то этот угол — туттой или развёрнутый Диагонали чс*^гырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны, /АСВ – 10″, /BDC- 70″. Найдите углы данного четырёхугольника. S 2. Подобие треугольников 830. 831. 829. Две параллельные прямые пересекаюч одну из сторон угла с вершиной М в точках Л и С, а другую — соответственно в точках В н D. Найдите отрезки МА н МС, если МВ BD = 2 : 3 и МА 4 МС – И см. Найдите отношение оснований трапеции, если её диагонали де.чят среднюю линию трапеции на три равные части. На медиане BD треугольника АВС отмечена ючка М так, что ВМ ; MD = 3:2. Прямая AM пересекает сторону ВС в точке Е. В ici-ком отношении чочка Е делит сторону ВС, считая от вершины В> 832. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает диаго наль BD и сч’орону ВС в гочках Е и Fcoo i ветственпо, BE; ED = 2:7. Найдите отношение BF: ЕС. 833- Медианы AD и ВМ треугольника АВС пересекаются в точке О. рез точку О проведена прямая, которая пара^члельпа г гороне АС и пересекает сторону ВС в точке К. Найдите BD, DK и КС, если ВС = 18 см. 180 834- Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону АС па отрезки AD и DC, длины которых относят тольника и известному углу между ними. Третья сторона этого треугольника biuihctcb диагональю искомого четырёх)! ельника 29. Указание. Постройте треугольник АВС по двум сторонам АВ и ВС и углу В межд\ ними В треугольнике ACD извео’-ны сторона АС, нри^гежащий угол CAD тольника, в каждом из которых один катет равен стороне квадрата, а гипотенузы яв^шются данными отрезками. Докажите равенство этих треугольников. 184. Указание. Постройте равносторонний треутольник ВО^С так, чтобы точка Oj принадлежала квадрату. Покажите, что ZO^AD = ZO^DA = 15″. Отсюда следует, что точки О и совпадают. 185. Указание. На продолжении отрезка CD за точку D отметьте точку Л/, так, чтобы DA/j = ВМ. Докажите, что ZEAM^ = ZEM^A. 202, 28 см. 206. МК = 4 см. Указание. Проведите среднюю линию треугольника АВС. 207. 9 см. Указание. Рассмотрите тре)тольник, для которого отрезок МК является средней линией. 210. Указание. Пусть точки М, К а F — середины отрезков АВ, AD и АС соотвегствешю. Определите, каким прямым принадлежат высоты тре>тольника MKF 211. Указание. Пусть точки Е, F и К середины отрезков АС, ВС и BD соответственно. Докажите, что треугольник EFK равнобедренный. 213. 37″. 214. 8 см. 234. 16 см, 34 см. 236. 16 см. 237. 50″, 60″. 239. 28 см. 247. 7.2 см. 10.8 см. 249. 2Л. 250. 8 см. 20 см, 20 см, 20 см. 251. 12 см, 12 см, 12 см. 252. 60″, 120″ 253. 8 см. 16 см. 254. 60″, 120″. 255, Если острый угол трапеции равен 45″. 260. 7 см. Ч/7 261. 13 см, 21 см. 264. у . 265. 72″, 108″. 266. 8 см. Указание Проведите через вершину С прямую, параллельную прямой BD. Пусть Я — точка пере сечения проведённой прямой с прямой AD. Рассмотрите треуголь ник АСЕ. 267. Указание. 1’очка пересечения биссектрис является верши ной прямоугольного треугольника, гипотенузой ко горого является боковая с’торона трапеции. Рассмотрите медиану этого треугольника, проведённую к гипотенузе, и докажите, что она параллельна основаниям трапеции. 268- 1) Указание. Через одну’ из вершин меньшего основания с помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную боковой стороне тра пеции. Задача свелась к построению треугольника по трём сторонам; 186 2) Указание. Через одну из вершин меньшего основания проведите прямую, параллельную диагонали трапеции. За,^ача свелась к построению треугольника по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне. 271. а + Ь. Укамние. 11усть О точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведите перпендикуляры ЛМ, ОК и СЕ к прямой, проходящей через точку В, и покажите, что ОК = ^ ^ . 275. 1) 120*; 2) 120°. 297. Ука.шние. Проведите хорду^ ВС и воспользуй гссь тем, что ZAMC — внеипшй угол треугольника ВМС. 298. Указание. Проведите хорду ВС и воспользуйтесь тем, что Z.ABC — внешний угол треугольника ВМС. 299. 10°. 300. 40°. 40°. 100°. 301. 120°. 20°. 40° 306. 56°, 56°, 68°. 308. Указание. Постройте высоты треугольника АВС из вершин Л и В. 309. Указание. Через точки касания окружностей проведите их общую касательную. Воспользовавшись ключевой задачей § 9, докажите, что рассматриваемые хорды параллельны общей каса1ельной. 310. Указание. ZMBD = = ZMBC ZCBD – Z.MBA + /.ВАС – Z.BMD. 311. Искомое ГМТ — две дуги, изображённые на рисунке 242, за исключением точек Л и В. Указание. Проведите два луча АС и ВС так, что /ВАС = /ЛВС = 90° – ^ . Пусть эти лучи пересекаются в точке С. Очевщцю, что /АСВ = а. Опишите окружность около греутольника ЛВС’. Выполнив аналогичное построение в другой полуплоскости относительно прямой ЛВ, получите треугольник ЛВС,, около которого также опишиге окружность. Дуги АСВ и ЛС,В, за исключением точек Л и В, являются искомым ГМТ. 313. Указание. Воспользуйтесь результатами задачи 311. 314. Указание. Пус гь О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCDy точка М— середина сачфоны AD (рис. 243). Тогда ОМ = Треугольник AOD можно построить (см. за- 187 дач)’ 313). 316. Искомое ГМТ выделено на рис. 244 синим цветом. 317- Указание, ZDCB = ZDAB = Z1 (рис. 245). Тогда ZOCD = Z1 + Z2. ZCOD = = Z1 (- ZACO. Однако ZACO = Z2 Следовательно, ZOCD – ZCOD. 318. Указание. Пус ть отреаки А4^ и СС^ пересекаются в точке М. Вычислите угол С^МВ^, воспользовавшись результа]ами задачи 297. 319. Указание. Постройте окружность с центром в точке и радиусом, равным разности радиусов дашплх окружностей. Проведите через точку каса гель-ную к построенной окружности. 320. Указание. Пусгь О — центр нписанно!! окружности 1 реую.’1ьника АВС, в котором известны угол В и сторона АС. Докажи те. что ZAOC ~ 90″ + ^ ^В. В треугольнике АОС известны сто<)Она АС, угол АОС и выси га, проведённая! из вершины О (радиус вписанной окружносги). Далее см. задачу 312. — — 321- Указание, На рисунке 240 изображен треугольник АВС, в котором извесгны сторона АС, угол в и медиана, проведённая к сзороне ВС. Проведите среднюю линию MN треугольни ка АВС. 1'огда ZNMC = ZB. Постройте ГМ1’ точек X таких, что ZNXC = ZB. 322. 9 см, 10 см, 11 см. 323- Р^-\- Р^. 324. Прямоугольный или равнобедренный. 342. 90" 343. 6 см. 347- 88". 74", . 92". 106". 348. 62". 118". 350. 196 см, 351. 6 см. 352. 60". 120". 353. Указание. Докажите, ч го угол между диагональю и большим основанием трапеции равен 60". Далее воспользуйтесь к.лк>чевой задачей § 8. 354. 6 ем. Указание. Докажите, ч го центр окружности, описанной около трапеции, является серединой большего основания 355. Указание. Опишите окружность около четырёхугольника СМ КВ 357. 30″. Указание. Докажите, что около четырёхугольника АМОК можно описать окружность, и воспользуйтесь тем, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 358. 60″. Указание. Обо.значив ZA’= а. выразите через а угол АОВ. 359- Указание. Докажи’ге, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность. 360. Указание. Докажизе, что угол СРВ не изменяет свою величину’. 361. Указание. Воспользуйтесь тем, что в прямоугольных треугольниках АРК и AMQ острые утлы APQ и AMQ раины. 362. Указание. Точки Л. С, Л J и С, лежат на окружности с диаметром АС. Воспользу йтесь тем, что серединный 11српендикуля]я хорды проходит через центр окружности. 363- Указание. Докажите, что средняя линия данной трапеции равна сум ме радиутов построенных окружностей. 366. 128″. 386. 30 см. 388. 12 см. 389- 4 см. 390. 6 см. 4ГТ. 392. 20 см, 24 см. 393. 5 cv, 10 см. 395. 8 см, 12 см, 397. 6 см, 5 см, 6 см. 398. 15 см, 12 см, 21 см. 399- 15 см. 402. 45 см. 188 404. 21 см, 15 см. 405. 45 см, 18 см. 406. 30 см, 50 см 407. 7 : 0. 408. 3 : 5. 409, 9 см. 410- 50 см. 411, 3 : 5. Укалшше. Проведите через точк)’ К прямую, napjci;ieJibiiyio прямой ЛМ. 412. 1) 3 : 7. Указание, Через точку М проведите прямую, параллельн)’ю прямой ВК\ 2) 2 : 3. Указание. Проведите через точку К прямую. пар;1ллел1>ну1о прямой СМ. 413. Указание. Воспользуйтесь Tt’M, что средняя линия трапеции делит диагональ пополам. 415- 2) Указание. Пусть дан yi-ол ЛВС. Проверяйте прям)ю О/С, параллельную л)^чу ВС (точка К припад.1ежит стороне ЛВ). На луче КА отметьте точку’ М 1ак)ю, что МК ; КВ = 2 ; 3. 416. 3) Ука^шние. Пое троите прямо-у1’о;1Ы1ый 1реугольник BDK, у кепорого катет BD равен данной высоте, а гипотенуза ВК — данной медиане. По данному’ углу и утлу BKD нанди1е угол меаду двумя медианами ‘треугольника; 4) Указание. Пусть ЛВС — искомый треугольник, медианы А4р ВВ, и СС, которого пересекаются в точке М. На луче MBj отметьте точку Втак, что МВ, = В,В Треугольник MCF можно построить по трём сторонам. 417. 2) Указание. Пусть АВС — искомый треутольник, медианы А4, и СС, которого пересекаются в го^1ке М. Треугольник АМС можно построить по двум сторонам и высоте, проведённой к тре тырй стороне. 419. Указание. Пров«‘дите через точку С прямую, параллельную прямой BD. Пу( гь п|>оведёипая прямая пересекает сл’О-poiry АВ в точке В. Докажите, что ВС = ВВ, и воспользутттесь теоремой о пропорциона^1ьных отрезках. 420. а. 421. 11 см. 432. 33 м. 439. 6 см. 440. 9 см. 441, 40 см, 60 см. 442. 36 см. 443. 8 см. 444. 4,8 см. Указание. Через вершину А проведите прям\ю, параллельную BD. 445. 6 см. 12 см. 446. 36 см. 447. 1) 30% 30% 120% 2) 30% 60% 90% 463. 6 см, 30 см. 464- 10.5 см, 13,5 см. 467. 42 см. 468. 10 см, 14 см. 469. 12,5 см, 3,5 см. 471. 12 м. 475. 24 см. 476. 16 см. 477. 16 см. 478. 5 см. Указание. Проведите через точку В диаметр окружности и воспользу йтесь ключевой задачей 1 § 13. 479. 10 см. 480. 27 см. 481. 2) 36 см. 482. 10 см. 483. — – 484. 27 см, а + h 15 см. 485. 1) 20% 160% 2) 50% 130% 487. 18 см. 496. 18 см, 30 см. 497. 50 см, ah 20 см. 498. 6 см. 500. , ал h зффициентом подобия . Указание. Докажите, что АКВМ A/IBC с ко-Ь а л Ь’ 501. 6 см. Указание. Докажите, что АЛВС ^ двое. 502. Указание. Д^жажите, что ЛЛ//ё7 ^ AABD по второму признаку подобия треугольников. Отсюда ZACH = ZABD. 503. Указание. Докажите, что из подобия треугольников ВМС и СМК следу’ет подобие *1рел10льииков ЛВМ и КЛМ. 505. Указание. Пусть окру’жности nepircexa-ются п точках В и В. Для двух пар хорд АВ и ВВ. CD и EF примените ключевую .зада^гу 1 § 13. 506. 9 см, 14 см. 508. 10 см. 514. 15 см, 20 см. 515. 30 см, 24 см. 516. 2%/5см, 4n/5cm. 517. 14,5 см. 518. 62 см. 519, 12.5 см. 189 520. 12,8 см. 521. 2,5 см. 522. 196 см. Ука:шние. Докажите, что концы боковой стороны трапеции и центр вписанной окружности являютс51 вершинами прямоугольного треугольника. 523, 18 см. 525. 7 см, 14 см. 526. 14 см. 527. 74°, 74°. 74°, 138°. 542. 13 см. 543. 10 см. 544. 545. – 546. —. 2 547. . 548. а) \/б см; б) •Jb см; в) см 549. а) л/2 см; 6) 1 см. V2 550. 4л/5 см. 551. 4>Я0 СМ. 552. 4^/^3 СМ. 553. 4 75 СМ 554. 10 см, 10 см, 12 см. 555- 40 см, 25 см, 25 см. 556. 20 см. 557. 20 см. 558. 24 см. 559. 1,5 см, 22,5 см. 560. 8 см. 6 см. 10 см. 561. 6 см. 2n/73 см 562. 168 см. 563, 200 см 564. 20 Л01СТСЙ. 565. 8ч/Й) см Указание. Докажите, что боковая сторона трапеции равна её большему основанию. 566. 12\^ см. 567. 2у/б5 см. 568. nS см. 569, 128 см. Указание. Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника и найдите отношение боковой стороны к половине основанхтя. 570. 162 см. 571. 54 см. 572. 8чЯ0 см. 573. 10 см, 2у[52 см, 2%/W см. 574. 26 см. 575. 3- cj)yia. 595. 45°, 135°. 598. 1) I; 2> 0. 599. 0,28; 7 1 0,96; —. 600. — . Указание. Из подобия треугольников АМС и BDC слсд\-24 6 АС ЛМ 1 6 W КС ет, что = — . 601. —. Указание Воспо льзуйтесь тем, что = ВС BD 3 7 АС ВТ) = . 602. Указание. Из точки F опустите перпендикуляр на отрезок ED. Найдите тангенсы углов Е и В. 603. 3 см. 604. 12 см. 605. 14 см 621. 2ау a^/3.622. а, ах/з. 625. 8 см. 626. 16 см. 627. 15 см 628. 4^^2 см. 629. — соь р 630. 633. h h sin а ‘ cos a 2r 2r sin a ’ . a sin- 631- а ф, — , а sin ф. 632. —~ cos^ ^ о Cf ^ 2 cos — 2г . 634. о. 2 635 . . 636. 2ч^3 см х/93 см. х/Г81 см. 638. ZA = 86°, ZB = 111°, ZC = 94°, ZD = 69°. n(w – 3) 639. 18 см, 21 см. 654. 3) . 655. 12 сторон. 1800“. 658. 150\ 60”, 150“. 659. Пял иугольник. 660, Указание. Пусть ABCDEF~ шести)тольник, каждый угол которого равен 120°. Если пронести секущую MN (рис. 247), то сумма углов пятиугольника ABMNF 6yjitr равной 540“. Рис. 247 Kf! ^ /> > 4-4 In * 190 Тогда сумма углов BMNw FNM равна 180“. 662. 80 см. 663. (26 + 10>Яз) СМ. 664. bS см. 674- 0,000126 Н. 675. 12 000 Н. 676. sin а cos а. 677. 7bS см’^. 686. Б 2 раза. 687. Ни одного, или два, или три. 688. Ни одного или два. 689. 504 см’^. 690. 30 см. 691. Укситние. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам данных квадратов. 692. Указание. Сторона искомого квадрата х = 4оЬ . 694. 24 см. 695. 2 см. 704. 1) Дна решения: 4 см и 9 см; 2) одно решение: 8 см. 705. 300 см^. 706. 120 см”‘. 707. 108>/Зсм2. 708. аЬ sin а. 709. 64^/Зcм2. 710. 140ч/2 см2. 711. 37,5 см2. 712. . 714. 72 см2. 715, 350 ^мЗ. 719. 1 : 7. 732. ^ см2. 733. 1 \S см2. 734, 270 см2. 735_ „ cr>.s а. 736. (g ^ 737. 9^. 733. ^. 190 2 4 4 739. ^см. 740. 96 см2. 743^^ jQg 742. 76g см-. 744. 52 см. 745. 336 см^. 746. 1080 см^. 757. Указание, Учтите, что треугольники ЛВХ и ЛХМ имеют общую высоту. Это же свойсгво имеют и тртугольники СВХ и СХМ. 758. 120 см””. 759. 20 см. б7Го см, 2ч/Т0 см. 760. 1176 СМ-. 761. 9,6 см^. 762. см^. Ука^шние, Воспользовавшись свойством биссектрисы тре* угольника, найдите отношение боковой стороны и половины основания треугольника. 763. см^. 764. 19 см*^. Указание, Воспользуйтесь резуль- татами задач 750 и 757. 765. Указание. Проведите прямые ЛМ, ВМ w СМ и воспольз)Т^тесь результатами задачи 757. 766. Указание. Проведите медиану AM, Пусть TV — такая точка на стороне jBC, что AN II DM. Докажите, что прямая DN — искомая. 768. 78“, 78“, 24“. 769. 2л/^ см. 770. 80 см. 782. 108 ^/3 см^. 783. 195 см^. 784. 840 см^. 785. 132 см^. 786. бОО/З см^. 787. 1640 см2. 788. (32 + 32n/2 ) см2. 789. 294 см2. 793, 512 см2. 794 192 см2. 795. 336 см^. Указание. В данной трапеции ABCD /Ш СМ. 850. 45 см. 851. а^ ; 18 _ 2. 1 .2 б) — . 852. 256 CM‘f 853. – S. 854. 855. . 856. ^ sin а cos а. •^8 2 4 2 ig Р 857. 72л/3 СМ-. 858. 24 300 см~. 859. 6 см. 192 Ответы к заданиям в тестовой Форме «Проверьте себя» Номер задания 1 2 3 4 5 1 6 1 7 8 9 10 1 Б Г А А В В Г А В В 2 Б В В В Б В Г Б Г А 3 В Б В Б Г В Б В г Б 4 Б В А Г А г Г Б г В 13 — 748 193 Сведения из курса геометрии 7 класса Простейшие геометрические Фигуры и их свойства 1. Точки и прямые Основное свойство прямой. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну. |/ Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися. |/ Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. 2. Отрезок и его длина ✓ Точки А мВ прямой а (рис. 248) ограничивают часть прямой, которую вместе с точками А 1л В называют отрезком, а точки Л и J5 — концами этого от^ резка. ✓ Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением. ^ Равные отрезки имеют равные длины, и наоборот, если длины отрезков равны, то равны и сами отрезки. ✓ Основное свойство длины отрезка. Если точка С является внутренней точкой отрезка АВ, то отрезок АВ равен сумме отрезков АС и СВ, т. е. АВ = АС СВ. ^ Расстоянием между точками Л и В называют длину отрезка АВ. 3. Луч. Угол ^ Точка О прямой АВ (рис. 249) разбивает прямую на дне части, каждую из которых вместе с точкой О называют лучом или пол)’прямой. Точку О называют началом луча. ✓ Два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой, называю! дополнительными. 194 |/ Два луча ОА и ОВ, имеющие общее начало (рис. 250), разбивают плоскость на две части, каждую из которых вместе с лучами ОА и ОВ называют углом. Лучи ОА и ОВ называют сторонами угла, а точку о — вершиной угла. v’ Угол, сторонами которого являются дополнительные лучи, называют развёрнутым. Два угла называют равными, если их можно совместить наложением. •/ Биссектрисой угла называю! луч с началом в его вершине, делящий этот угол па два равных угла. 4. Измерение углов Каждый угол имеет определённую величину (градусную меру). •/ Угол, градусная мера которого меньше 90“, называют острым. Угол, градусная мера которого равна 90“, называют прямым. Угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°, называют тупым. •/ Равные углы имеют равные величины, и наоборот, если величины углов равны, то равны и сами углы. %/ Основное свойство величины угла. Если луч ОС делит угол АОВ на два угла АОС и СОВ (рис. 251), то Z АОВ = = ZAOC+ ZCOB. Рис. 251 1 > О В 5. Смежные и вертикальные углы |/ Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. ✓ Сумма смежных углов равна 180°. Два угла, отличных от развёрнутого, называют вертикальными, если стороны одного углг являются допол1£ительными лучами сторон другого. Вертикальные углы равны. 195 6. Перпендикулярные прямые. Серединный перпендикуляр |/ Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образовался прямой угол. Неперпеидикулярные прямые при пересечении образуют пару равных острых углов и пару равных тупых углов. Величину острого у1ла называют утлом между неперпендикулярными прямыми. ^ Если прямые перпендикулярны, то считают, что угол между ними равен 90*”. ✓ Два отрезка называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых. Рис. 252 л а В •/ На рисунке 252 изображены прямая а и перпендикулярный ей отрезок АВ, конец В которого принадлежит прямой а. В таком случае говорят, что из точки Л на прямую а опущен перпендикуляр АВ. Точку В называют основанием перпендикуляра АВ. ^ Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а. Если точка А принадлежит прямой а, то считают, что расстояние от точки А до прямой а равно нулю. |/ Опустим из точки А на прямую а перпендикуляр АВ (рис. 253). Пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки В. Отрезок АХ называют наклонной, проведённой из точки А к прямой а. %/ Через данную точку проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. •/ Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка. ^ Каждая точка серединного перпендику;1яра отрезка равноудалена от концов этого отрезка. %/ Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка. 196 Треугольники 7. Треугольник и его элементы. Равные треугольники ✓ Три точки Ау в v[ Су не лежащие па одной прямой, соединены офезками (рис. 254). Образовавшаяся фигууза ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, By С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника. Треугольник называют и обозначают по его вершинам. |/ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы Aw С — углами, прилежащими к стороне АС. %/ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон %/ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой. Треу1*ольпик называют тупоугольным, если один из его углов тупой. «/ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами. •/ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. ✓ Два треугольника называю! равными, если их можно совместить наложением. •/Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. |/ li треушльнике против равных сторон лежат равные углы. •/ В треугольнике против равных углов лежал- равные стороны. •/ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит б6;1ыиая сторона. 197 8. Высота, медиана, биссектриса треугольника •/ Перпендикуляр, опущенный вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника. %/ Отрезок, соединяюи(ий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника. ^ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника. 9. Признаки равенства треугольников ^ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. ✓ Третий пршнак равенства треугольников: по трём сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 10. Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник ^ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным. */ Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника. Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон. ^ В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссеюгриса угла при вершине является медианой и высотой. 198 |/ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. ✓ В равностороннем треугольнике: 1) все углы равны; 2) биссектриса, высота и медиана, проведённые из одной вершины, совпадают. 11. Признаки равнобедренного треугольника •/ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. 1/ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника 12. Параллельные прямые %/ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Если прямые а и Ь параллельны, то пишут а ^ Ь (читаю!: «прямые а и Ь параллельны» или ^ прямая а параллельна прямой 6») %/ Основное свойство паршшелъных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, npoxiy дит только одна прямая, параллельная данной. •/ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. ✓ Если две прямые параллельны треты.;й прямой, то они параллельны. ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой. 13. Признаки параллельности двух прямых Если две прямые а и Ь пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 255). Прямую с называют секущей прямых а и Ь. Углы 3 и 6. 4 и 5 называют односторонними. Углы 3 и 5. 4 и 6 называют накрест лежащими. Углы 6и2, 5и1.3и7, 4и8 называют соответственными. 199 »/ Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. %/ Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180“, то прямые параллельны. •/ Если соогветственные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны. 14. Свойства параллельных прямых %/ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то; 1) углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны; 2) углы, образующие пару соответственных углов, равны; 3) сумма углов, обра.зующих пару односторонних углов, равна 180″. •/ Если прямая перпендик)лярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. 15. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника %/ Сумма углов треугольника равна 180”. %/ Среди углов греугольника по крайней мере два >тла острые. ^ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника. •/ Внешний угол тре>тольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. %/ Внешний угол треугольника больше каждого из углов греугольника, не смежных с ним. 16. Признаки равенства прямоугольных треугольников ^ Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если гипотенуза и катет одного upaMoyro^ibFioro треугольника соо гвегственно равны гипотен\зе и катспу другого, то такие л реутолышки равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам. Если катеты одного прямоугольнот треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 200 ✓ Ири^так powu\:rn(Ui прям ям лшого трсутольиика сеютветегеенно рам1Ы катету и npitiOKamet^f)* к нему острому углу npyitn^o* ю такие ‘ipeyfCVibHiiiat равны. ✓ Лри:^иак раоспсушш тгрямоу/о-уьиых тун^гоАьЮ4Коп по Kometny и пропшемежг2щему ш ему ост]>Г||и yuui одного прямо)то^мюго тре>тил14пска сскл нетггвеи* но [»авиы катету’ и протидолежаи|ему ему ост)к»му )тду другого* то тя* кое 7реу1Ч>ды(ик1| )>авнм. ✓ Пршыак равенства пряиоу/а^ьиых треу/о.шшков по /ипотену te и 4мтрому углу, Если 1ттоп:1гуза и острый утог (uuii>cx> прямо* утолыюго *грс)тхАЛЫ1И1са cckitbctctbchho равны гип авсн nevtoemte птотснуш. ✓ Если катгг |ывеп гн>л ишх с»пределсикым свойствам. ✓ Серединный псрпеид|гку*лкр 01*резка является геометрическим мс* стом точек, равпоу’даденных от концов этого отрг.тка ✓ Ьиссекгриса угла является |еомстрнчегким местом точек, которые 11р1Шад.1ежа1* углу и равноудалены от его сторон 18* Омружиость N мрут ш NX здеменгы ✓ Окружиемт ью iiaauBatut геомет^жчсскос место точек, paBHoypa’ieir них от знла>1НОй точ»о« Эту точку* iiaiui^iar iieirrposi окружмост. ✓ Любо11 треэс^к. с 1дий точку* окружиос*п схи, iu:uiiiuiot xopAuii окружности. Хорду, 11|>оходяшую чере^ ueinp ркружиоаи. пжшпаил* диаметром. ✓ Дшметр окр)Ж14«м.ти 8 два |ша болыис сс (м*1И>’са. ✓ К|>>том называют 1чч)мет7>иче1ю>с место точек, рагггояннс от которых до аадажюй toHKit нс больше данного noлoжJпcлыloro числа. За* /^1иую тичк>* па:иаиают tteitT|>OM oKpyxoKiciii. л дшнос число |>ади)^ сом кр)та Если X про1аволь>(ая точка кр)та ралн)*са R с ucmTXJM О ToOXSR Окр)’Ж)и>сгк ограничивающая кр)т. ему прииаД’1сж»гг. ✓ Хс^>да II диаметр крута это хорда и Д1гаметр ок>|ужности. ограни чи-оаюшей К|>уг 20* Сеобстжа оиружмете ✓ Диаметр ок|^Ж1СОСП1. перпендикулярный хордс% делит эту хорд>* по- 11 а. пополам, перпенднхулярсп зюй хорде. 21* BasHBtHO# рвеположемм прямом м омружиосп. Квевтольнам м омружиостм ✓ Прямая и окружиосл* могут нс иметь общих 1т>чек. или нм то ючку. ✓ Прямую, имсюи^’ю € окружностью только оди) об|цчю точк)*. наэыва* ют касательной к 0кру’жи ^ точку, ю эта прямая является касательной к данн a окружноои до иекссгорой прямой равш» радиусу окружности, то эта прямая я|Ц1яется касательной к данной окружности ✓ Если через данную точку к окружное ш иронслены две касательные, то отрезки касательных, соелиняшщ|1С данную точку* с точками касания. равны. 202 22« Ошслнттт п шп$»слмнап о«рушностм тр^угмьимма ✓ OKjyfMioCfb na’ibiBaim описанной около треуголм1И151, если ою iipuxcvutT черед &СС вершины эт01х> треу’гачьника. На fHi<>*HKe 256 113ображена ok|)>9KH0Ctk» описапмаА около трсупхчышка. В этом ст’чае также юж)рят* что треугольник Mfiiicaii н oKp)^nocTb. ✓ Цс1пр описанной окружности *q>cyrtxQb’ Ш1ка ралиоуда.чен oi’ всех его вершин ✓ Около лкАич» тре>1 ‘ж1к>с1ь. 1Дс1ггр сжружиости. oJmcamio»» окаю трсуголыт* ка. – точка пересеченик серелиншух перпендикуляров его cropt»»* ✓ Cepcaiiiufbie перпс)1Д11К)Ляры сторон 7реутх»лышка пересекаются в од* HOi’i точке. ✓ Окружность называк>т вткаинои в тре« уголышк, если oiki касается всех сп> сто рои 1(а p»fc>TfKe 257 1с«|б(Х1жепа ок(4ужность, ытисанная в треутолышк. В этом случае также it>Bopirr. что греуттольник описан OK40IO окружности. ✓ Центр вписанной окружности трсугодь’ К41ка (>авн(7у*да,те11 от всех ес сп>рои ✓ В любой треугольтж можш1 вписать окружность. Цешр окруж1ичти, вт«сан)1ой в треугольник, эт4> точка ие<>сссчеиия его биссектрис. ✓ Биссектрисы тре>^голЫ1икл псргсскаются в одной точке. ✓ Радиуе окружности. вт1саннЫ( в прммо)толм1ыйтреугилы1ик. вьтис 1ЯГГСЛ по формуле г • • где г • pauufyc ц|1ис«шиой окружности, а lib ■ д’^ины катетов, с длина гипите1суаы. аоа Bi^KODNt ciopoitu тралсции 43 ВсрШННМ МЛОГОуТОЛЫ1И1С1 137 — соседнтт 137 — чсты|)схугольиика О — – И(хп>(оолсжаии1е 6 Нмсога парХ1лелг>1*]>нмм;1 Н — трапеции 43 Град>С(1М мера душ окружносш 52 Aitaroicttb многоугольника IS8 — чсты<м*Х)толы1ика 6 Луга окр)*ж)1ости 52 Неадрат 36 Косинус осгр сутольн11ка 121 Котангенс, утла 122 Коэффициент подоб1Ш М указатель П4рал.1СЛограмм 13 Периметр мношутлышка 138 чс1Ъ1рсху1ххпыгика б Плоишь MHorgyixuibHHKa 142 • ква,»1рз*га 143 — пара-тлелограмма I4U П|ШМоуп>льнн1а 144 — прямоугольного трсупктьни-ка 154 — цьчиоиии 159, 160 — трс)тх1лышка 15S ПолоОиме тре>1Г>лы1ики 81 Пехч) окружность 53 Проекция катет Ml Признаки параллелограмма 21, 22 • полобия треугольников 8У. 1(Н1. 101 — ромба S3, 34 прямоугольника 30 Прямоугольник 29 Лемма о подобюдх треугольниках 65 Ромб S3 Метрические соотиошения в пря* моутолын>м ipeyrouibNHKC 111 Многиутольиик 137 — аылуктый 138 М|1ого)тильиню1 равновеликие 145 Окр)Ж1юс1*ь. вписанная а много-утолкиик 139 — — в чепарску14»лы1ик 62 * описанная иксию м)к>1*о)тс1ЛЫ1ика 13!) — — – четырехугольника 61 Основания трапецин 43 Осношюе тригонометрическое тпж дсстьо 123 Отношение двух отукгэков 75 Сяойсгаа кзиирата 36 – пар4.1лелограмма 13. И – прямоутсхпьника 29 – ромба S3 утлое, ьшканных в окружность 53 Саойспю биссектрисы треутоль ника 7К – лиагошетей napaxTc.iorpOKtMa 14 лрямоугтальж1ка 29 ромба 33 – срслисн лин1Ш трапеции 44 – – • трсутильиика 40 Синус острою угла лрямоутлык^ го трсутеишиика 120 Средняя линия ‘qianruHH 44 треугольника 39 204 Стороны много)та1ьника 1Я7 — соот»етстпсиныс 84 — сог^лпнс 137 “ чсггырсхутольника 6 — – прошва1сжащис б – соседние б С^^мма >тло11 выл^*кло1п п-угодьни кл 138 Тя1ИЧ!1К острого угла прямоуго.1ь* моги трсуголыгика 1S21 Тсо]>ема о nponopiuioiutibiihtx or резках 75 — Пиф;нч>ра t И алсса 74 Трапеция 43 – нрямо>тольиая 44 – рапно^кая 44 Угол. т1исапигай п ок(|ужноС1*ь 53 – многоутолышка !37 – цс1гт)1а.«М1мй 52 чстырсхуголы1ика б Углы при основании транс кии 43 Условие лостаточиос 28 – нг«|бх1>л1!М1ч; 28 Чстыреху1‘Олы1ик б – мсвыиуклый 7 – выпуклый б Оглавление От авторов. Глам 1. Четырёхугольники § I ‘1етырёхугояьник и его акементы. Паряллслограмм Свонггва иираллс-лограмма npitaituKit лд|>а.’1лсж>1>ки>(Ш Необходимо и достаточио Прямоутильник Ромб. KtuvipaT. Средняя линия трс>толы ужн(КТИ четмрёхутолькика Задание М 1 в тестпооои ферме *П/ювер>>те себя* Hmo4ti главы 1 . §2 §3. И. §5- §е. §7. § Ш. 5 18 21 27 29 S3 36 39 43 52 Г>1 09 70 Глаеа 2. Подобие треугольников § II- Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отре-тках §12. Подобные Треугольники . § 13. Первый признак под«Лия т^жуголышков. Теорема Менелая. Теорема Птолемея . § 14. Второй II трсгтпЧ при.лнаки подобия трс>1’олышкон Прямая Эйлера . Задание Лг 2 а mei moeou me себя Итоги г.90вы 2. 74 83 89 96 99 100 105 108 109 Глава 3. Решение прямоугольных треугольникое § 15. М«’гричггмн’ соотношения в прямоугольном треутолышке § 16. Теорема Пифагора . . § 17. Трнюнометрические функции острого угла нрямоуголысого треутояышка . § 18 Решение нрямоуго.чысых трсуто.тьннко» . Задгашг Ле ^ в тестовой форме */Пюверьте себя* . Итоги главы 3. • • 111 114 120 127 134 1.ЧГ) 20« Главе 4. Миогоугольмммм. Площадь миогоугольинма § 19. М|ЮГ(1)талышк>г. 137 § 20. Понятие Ш10щдд>1 мнагаутолы1ИК«1. Площадь прямо>толы1нка. 142 § 21. Площадь параллед го.1Ы1ика. 152 § 23. П.101цадь Tpanctuui. 158 Ро4мос ръ^\пн Полонским Вигдчии Гм>|>жопим Якнр Mnxaiu Ссмсноы(Ч Геометрия вктс Учебник мц учащихс ш обецсобраэ4)язтег1Ы1ЫХ учровдсиий К R Хуложсоогнки!! рСАЛГТОр £ О Макст. янеи1нгг оф«*рм.усиие £ fi. Чсим> |*мс)’кки И. К. Влхьнши>и. И В. ПФ*лолпй Компькпсрмля шкрс^шл ОТ. О в Ло/towo 1*ехкичс ггочл^ Коррскг^и (> Ч ЛУ|\о7/отжш« Ю.С. Борис4*нкл Подписано п ik’mik 10.01.13^ Формй! 7nv00/J5 rapmiTqia NrvrHo>kerMllfC Псчд’ПкСчрссхили Bywsao^r 1 ilr^i м. 13«0 ТИрм 3(Mi0 экх ^Kxi 74Ь ООО llAAP’ir/iUMifi центр «Всеггаю Грофн 12742^. Мпоевд. у.^Тиш1рнж*м1аш.д I.iTp 9 Tca./itw»Ki: И»>Г||ИГг74.МЬ21-56 к tnail’ inlo^ vgf ш hllp’ /VVww vgriu Oriiei^tiaHo щ ruviiiOM «упосту’пнт г кйчгггпом предосгакленио! и «рнипш-шьста н ОАО ‘И wtT лккг> т>дигрйфмч1ч кот npr.n^wiiriHt Л раад4 Северл** 16.4(Ю2. г. ApxAKie.^uK, if|»H li НовТореа t.ipppA.?u Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике ь/ / ^ • вД. г Теорема Пифагора ь V г» А- +