Algebra, 7 sinf, Alimov Sh. A, Xalmuxamedov A. R, Mirzaxmedov M. A, 2017

Вучэбны дапаможнік для 7 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання. Дапаможнік выпушчаны выдавецтвам «Народная асвета».

Алгебра. 7 клас

Вучэбны дапаможнік для 7 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання. Дапаможнік выпушчаны выдавецтвам «Народная асвета».

Рецензенты

Дапушчана Міністэрствам адукацыі Рэспублікі Беларусь

Описание

Вучэбны дапаможнік для 7 класа ўстаноў агульнай сярэдняй адукацыі з беларускай мовай навучання. Дапаможнік выпушчаны выдавецтвам «Народная асвета».

ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИН
ПОКУПАТЕЛЮ

• Доставка
• Оплата
• Дополнительная информация
• Интернет-магазины партнеров
• Книжные магазины
• Оптовая торговля

ЭЛЕКТРОННЫЕ КНИГИ

• Приложение Aversev Media
• Как купить

ИЗДАТЕЛЬСТВО
Нет аккаунта? Зарегистрируйтесь
Есть аккаунт? Войти

• © ОДО «Аверсэв», 2014 — 2023
• Договор публичной оферты
• Правила использования материалов сайта
• Обработка персональных данных
• Этот сайт защищен reCAPTCHA и Google. Политика конфиденциальности и Условия использования применяются

Мы в социальных сетях

Следите за акциями и новостями

Общество с дополнительной ответственностью «АВЕРСЭВ» зарегистрировано в ЕГР за № 100599817 решением Мингорисполкома № 698 от 20.06.2000г.
Интернет-магазин aversev.by зарегистрирован в Торговом реестре Республики Беларусь от 21.12.2020 с регистрационным номером 499136. УНП 100599817.
Юридический адрес: 220090, Республика Беларусь, г. Минск, ул. Олешева, д. 1, офис 309. E-mail: info@aversev.by
Почтовый адрес: Республика Беларусь, 220090, г. Минск, а/я 3.
Наш график работы: с понедельника по четверг с 9:00 до 18:00, пятница с 9:00 до 16:45.
Номер и адрес электронной почты лица, уполномоченного рассматривать обращения покупателей о нарушении их прав, предусмотренных законодательством о защите прав потребителей: +375 (29) 368-20-40, zakaz@aversev.by.
Уполномоченные по защите прав потребителей: отдел торговли и услуг администрации Советского района г. Минска, +375 17 3771393, +375 17 3181333.

Выбрано максимальное количество наименований в одном заказе (25шт). Для заказа дополнительных позиций необходимо создать новый заказ. ×

Превышено количество неоплаченных заказов (не более 5). Для оформления нового заказа, необходимо оплатить или отменить предыдущие заказы в личном кабинете. ×

Algebra, 7 sinf, Alimov Sh.A., Xalmuxamedov A.R., Mirzaxmedov M.A., 2017

Algebra, 7 sinf, Alimov Sh.A., Xalmuxamedov A.R., Mirzaxmedov M.A., 2017.

Учебник по алгебре для 7 класса на узбекском языке.

Ona yurtimiz mustaqil O‘zbekiston jahon ilm-u faniga, madaniyatiga yuzlab buyuk olimlarni, shoirlarni, davlat arboblarini, musavvirlarni yetishtirib bergan. Bilingki, siz ularning ezgu ishlari davomchisisiz!
Yoshlik bilim olish davridir.
Allomalar aytadi: „Yoshlikda olingan bilim toshga bitilgan yozuv kabi o‘chmasdir“. Algebrani, umuman, matematikani o‘rganish qunt va izchillikni, ko‘plab masala va misollarni tushunib, idrok qilib yechishni talab etadi. Meni yaxshi o‘rganib olsangiz, sizga umrbod do‘st bo‘lib qolaman!
Xulq-u odobingiz barkamol, ilmingiz ziyoda bo‘lishini istab.

Примеры.
Bir avtomobil 100 km masofaga 8 l, ikkinchi avtomobil esa shuncha masofaga 10 l benzin sarflaydi. Agar har bir avtomobil bakida 32 l dan benzin bo‘lsa, bu yonilg‘i ular uchun necha kilometr yo‘lga yetadi?

Tadbirkor 1- va 2- nav mollarni sotib, jami 54 000 so‘m foyda qildi. 1- nav molning narxi 120 000 so‘m edi, tadbirkor uni 15 % foydasiga sotdi. 2- nav moldan 20 % foyda ko‘rdi. 2- nav molning narxi necha so‘m? Ikkala nav molni sotib, tadbirkor necha foiz foyda ko‘rgan?

Karim ota 90 yoshda. Uning nabiralarining o‘rtacha yoshi 20 da. Nabiralar yoshlariga Karim ota yoshini ham qo‘shib, o‘rta arifmetik qiymat hisoblangan edi, u 22 ga teng chiqdi. Karim otaning nechta nabirasi bor?

MUNDARIJA.
5—6-sinflarda o‘rganilgan mavzularni takrorlash.
I bob. ALGEBRAIK IFODALAR.
1-§. Sonli ifodalar.
2-§. Algebraik ifodalar.
3-§. Algebraik tengliklar, formulalar.
4-§. Arifmetik amallarning xossalari.
5-§. Qavslarni ochish qoidalari.
I bobga doir mashqlar.
I bobga doir sinov mashqlari — testlar.
Tarixiy ma’lumotlar.
II bob. BIR NOMA’LUMLI BIRINCHI DARAJALI TENGLAMALAR.
6-§. Tenglama va uning yechimlari.
7-§. Bir noma’lumli birinchi darajali tenglamalarni yechish.
8-§. Masalalarni tenglamalar yordamida yechish.
II bobga doir mashqlar.
II bobga doir sinov mashqlari — testlar.
Tarixiy ma’lumotlar.
III bob. BIRHADLAR VA KO‘PHADLAR.
9-§. Natural ko‘rsatkichli daraja.
10-§. Natural ko‘rsatkichli darajaning xossalari.
11-§. Birhad va uning standart shakli.
12-§. Birhadlarni ko‘paytirish.
13-§. Ko‘phadlar.
14-§. O‘xshash hadlarni ixchamlash.
15-§. Ko‘phadlarni qo‘shish va ayirish.
16-§. Ko‘phadni birhadga ko‘paytirish.
17-§. Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish.
18-§. Birhad va ko‘phadni birhadga bo‘lish.
III bobga doir mashqlar.
III bobga doir sinov mashqlari — testlar.
Tarixiy ma’lumotlar.
IV bob. KO‘PHADNI KO‘PAYTUVCHILARGA AJRATISH.
19-§. Umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish.
20-§. Guruhlash usuli.
21-§. Yig‘indining kvadrati. Ayirmaning kvadrati.
22-§. Kvadratlar ayirmasi formulasi.
23-§. Ko‘phadni ko‘paytuvchilarga ajratishning bir necha usullarini qo‘llash.
IV bobga doir mashqlar.
IV bobga doir sinov mashqlari — testlar.
Tarixiy ma’lumotlar.
V bob. ALGEBRAIK KASRLAR.
24-§. Algebraik kasr. Kasrlarni qisqartirish.
25-§. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.
26-§. Algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish.
27-§. Algebraik kasrlarni ko‘paytirish va bo‘lish.
28-§. Algebraik kasrlar ustida birgalikda bajariladigan amallar.
V bobga doir mashqlar.
V bobga doir sinov mashqlari — testlar.
Tarixiy ma’lumotlar.
VI bob. KOMBINATORIKA ELEMENTLARI.
29-§. Kombinatorikaning asosiy qoidasi.
30-§. O‘rin almashtirish. Guruhlash.
VI bobga doir mashqlar.
VI bobga doir sinov mashqlari — testlar.
7- sinf algebra kursini takrorlash uchun mashqlar.
Mashqlarga javoblar.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Algebra, 7 sinf, Alimov Sh.A., Xalmuxamedov A.R., Mirzaxmedov M.A., 2017 – fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Алгебра 7 класс Учебник Алимов

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).

Алгебра 7 класс Учебник Алимов – 2014-2015-2016-2017 год: Читать онлайн (cкачать в формате PDF) – Щелкни!

Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа – СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Алгебра класс 1 Учебник для общеобразовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации 18-е издание Москва •Просветение- 2011 УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 А45 Авторы: Ш. А. Алимов, Ю. М. Калягин, Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин Учебник подготовлен под научным руководством академика А. Н. Тихонова На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 10106-5215/509 от 23.10.2008) и Российской академии образования (№ 01-194/5/7д от 11.10.07) D ©4/2 Условные обозначения выделение основного материала текст, который важно знать и полезно помнить решение задачи обоснование утверждения или вывод формулы обязательные задачи дополнительные задачи трудные задачи занимательные задачи Алгебра. 7 класс : учеб, для общеобразоват. учреж-А45 дений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.] — 18-е изд. — М. : Просвещение, 2011. — 224 с. : ил. — ISBN 978-5-09-025169-3. УДК 373.167.1:512 ББК 22.14я72 ISBN 978-3-09-025169-3 Издательство «Просвещение», 1991 Издательство «Просвещение», 2009, с изменениями Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 1991 Все права защищены I глава Алгебраические выражения Числовые выражения • I. I. I. I • • I. I. I. I. I • Задача 1 Ответ Из коробки, содержащей 100 карандашей, отложили 32 карандаша, а остальные поделили поровну между семнадцатью учениками. Сколько карандашей получил каждый ученик? После того как из коробки взяли 32 карандаша, в ней осталось (100 – 32) карандашей. Чтобы узнать, сколько карандашей получил каждый уче- 100-32 ник, нужно наити значение выражения ———. В результате получим 4. Каждый ученик получил 4 карандаша. 45, т > 40? 73 Сумма цифр двузначного числа меньше 10. Доказать, что результат умножения такого числа на 11 получится, если между цифрами этого числа вставить их сумму. Например, 53-11 = 583. II глава Уравнения с одним неизвестным Уравнение н его корни Задача 1 Конверт с новогодней открыткой стоит 17 р. Конверт дешевле открытки на 5 р. Найти стоимость открытки. ► Пусть открытка стоит х р., тогда конверт стоит (X- 5) р. По условию задачи х + (х-5)=П, откуда 2х-5=17, 2х = 22, х = 11. Ответ 11 р. (а+ 200) г 10% росте, сахара 10%-ный раствор сахара получили, когда добавили 200 г сахара ваг воды (см.рисунок). Найдем а: 200 а -I- 200 200 •100% = 10% а + 200 10 100 а = 1800 г В какое количество воды нужно добавить 200 г сахара, чтобы получить 15%-ный раствор? 38 2) Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч. 111 1) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с. 2) Расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению за 3 ч 30 мин, а против течения за 6 ч 18 мин. Определить расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч. 112 1) Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через 1,5 ч после его выхода в том же направлении выехал велосипедист. На каком расстоянии от пункта отправления велосипедист догнал пешехода, если пешеход шел со скоростью 4,25 км/ч, а велосипедист ехал со скоростью 17 км/ч? 2) Два теплохода вышли одновременно из одного пункта и идут в одном направлении. Первый теплоход за каждые 39 1,5 ч проходит 37,5 км, а второй теплоход за каждые 2 ч проходит 45 км. Через сколько времени первый теплоход будет находиться от второго на расстоянии 10 км? 113 Т) Кооператив продавал пальто и куртки. Куртка стоила на 1500 р. дешевле пальто. На сезонной распродаже цена на куртки была снижена на 20%, а на пальто — на 10%, и теперь одну куртку и одно пальто можно было купить за 6450 р. Сколько стоили куртка и пальто до сезонной распродажи? 2) Один рабочий в день выпускал на 50 деталей меньше другого. Когда выработка первого повысилась на 1% в день, а второго — на 2%, они стали вместе выпускать в день 254 детали. Сколько деталей в день выпускал каждый рабочий первоначально? 114 1) Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин, поэтому они увеличили скорость на ^ и U пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы до места сбора и за какое время? 2) Первый час автомобилист ехал со скоростью 50 км/ч и рассчитал, что если он и дальше будет ехать с той же скоростью, то опоздает в город на полчаса. Он увеличил скорость на 20% и прибыл в город вовремя. Какой путь проехал автомобилист и сколько времени он находился в пути? 115 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного на 5 км/ч больше скорости другого. Найти скорости поездов, если известно, что через 2 ч после начала движения расстояние между ними было 30 км. 2) Из городов А и В, расстояние между которыми 230 км, одновременно выехали навстречу друг другу два мотоциклиста. Через 3 ч после начала движения расстояние между ними было 20 км. Найти скорости мотоциклистов, если скорость одного на 10 км/ч меньше скорости другого. .r*” Упражнения к главе II Решить уравнение (116— -117). 116 1) 3i/4-5 = 4(^9-|j; 2) 8|^ll-|2j = 16z-44; 3) 3^5 + ^^ = 4 + 2х; 4) 2|^3-|j = 5+x 117 х-2 1 _ х + 7, 2^ Х-7_Х+1 g. 3) 4) 2(3x-l) 5 i£. 4 = 4- x + 2. 2<3-x) 118 1) Ha одной ферме был сделан запас силоса 7 т 680 кг, а на второй — 9 т 600 кг. На первой ферме ежедневно расходуется 352 кг, а на второй — 480 кг силоса. Через сколько дней запасы силоса на обеих фермах станут равными? 2) На одну овощную базу было завезено 145 т 480 кг картофеля, а на вторую — 89 т 7 ц. С первой базы ежедневно вывозят в магазины по 4 т 40 кг картофеля, а со второй — по 2 т 550 кг. Через сколько дней на второй базе останется картофеля в 2 раза меньше, чем на первой? 119 1) Собранный виноград предполагалось уложить в ящики, по 9,2 кг в каждый. Вместо этих ящиков взяли другие, вмещающие по 13,2 кг каждый, и тогда потребовалось на 50 ящиков меньше. Сколько килограммов винограда было уложено? 2) Расстояние между станциями А и В пассажирский поезд проходит на 45 мин быстрее, чем товарный. Определить расстояние между этими станциями, если известно, что скорость движения пассажирского поезда равна 48 км/ч, а товарного — 36 км/ч. 120 Суммарная масса первого и второго советских искусственных спутников Земли составила 592,4 кг. Первый спутник был легче третьего на 1243,4 кг, второй — на 818,2 кг. Найти массу каждого из трех первых искусственных спутников Земли. 41 Ilpoiii’pi. гсГ):1! 1 Проверить, есть ли среди чисел 1; 0; -4 корень уравнения 3(дг-7) + 4 = 7л:-1. 2 Решить уравнение: а) 2д:-3(л:-1) = 4 + 2(д;-1); б) £ + £±1 = 2. 3 4 3 За 15 м ткани двух сортов заплатили 2840 р. 1 м ткани I сорта стоит 200 р., а 1 м ткани II сорта — 180 р. Сколько метров ткани каждого сорта было куплено? 121 122 123 124 125 При каком значении -2(3- д:) - 1 равно 1? 3 X — 1 При каком значении х значения выражений----- X значение выражения 3(д:-1) — 5х +1 х + 1 8 - 3 равны? Подобрать число а такое, чтобы уравнение имело корни: 1) 5х-7 = 5д:-а; 2) х-(2-х) = 2х-а; При каких значениях а уравнение |д:| = а: 1) не имеет корней; 2) имеет только один корень? Решить уравнение, принимая за неизвестное х; выяснить, при каких значениях а это уравнение имеет корни: 1) 2х-3(х-а) = 3 + а; ах -2 2 - ах 2) а+6(х-1) = 2а + х; .. 5-ах 7 - ах. 3 6 6) 7-ах = 2(3+х). 126 127 ^^2 4 ' 5) ах - 3( 1 -ь х) = 5; Первый час туристы шли на станцию со скоростью 3,5 км/ч. После этого они рассчитали, что если и дальше будут идти с той же скоростью, то придут на час позже намеченного срока. Увеличив скорость на 1,5 км/ч, туристы прибыли на станцию на 30 мин раньше намеченного срока. Какой путь прошли туристы? Расстояние между двумя поселками равно 9 км. Дорога имеет подъем, равнинный участок и спуск. Скорость пешехода на подъеме равна 4 км/ч, на равнинном участке 5 км/ч, а на спуске 6 км/ч. Сколько километров составляет равнинный участок, если пешеход проходит расстояние от одного поселка до другого и обратно за 3 ч 41 мин? 42 128 Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы приготовить 16 кг сушеных? а кг яблок 0,16 а кг яблок 129 Кофе при обработке теряет 12% своей массы. Сколько килограммов свежего кофе надо взять, чтобы получить 4,4 кг кофе, готового к употреблению? 130 Решить с помощью микрокалькулятора уравнение; 1) 173л:+ 199,6 = 2517,8; 2) 24,8л: + 25,47 = 71,35. 131 Решить уравнение: 1) |2л:-1| = 3; 2) |1-5л:| = 2. 132 Поезд идет со скоростью 40 км/ч. По наблюдению машиниста встречный поезд, длина которого 75 м, проходит мимо него за 3 с. Какова скорость движения встречного поезда? Ill глава Одночлены и многочлены Степень с натуральным показателем • ■ • . I..I..I. I..«• б) У зГ / Г Г . Посмотрите на рисунок 1. Квадрат со стороной 5 единиц содержит 5'5 = 25 единичных квадратиков. Куб со стороной 5 единиц содержит 5 • 5 • 5 = 125 единичных кубиков. Вы знаете, что произведение 5* 5 обозначают 5^ (читается: «Пять в квадрате»); произведение 5*5*5 обозначают 5® (читается: «Пять в кубе»): 5-5 = 52, 5.5.5 = 53. Аналогичные обозначения вводятся для произведения любого числа одинаковых множителей, например: ,9 3-3-3-3-3=3^ 5 раз Вообще о • а • а • 1.1.1. .l = fl'l 7 7 7 ••• 7 1.7 J ’ 9 раз " . Выражение а" читается так: «Степень числа а с показателем п» — или коротко: «а в степени п». Степенью числа а с натуральным показателем л, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а: а" = а-а-а-. -а. 44 Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: а^ = а. В выражении а" число а называют основанием степени, число п называют показателем степени. Задача Например: З"* = З'З*3*3 = 81, здесь 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — значение степени 3“*. Отметим, что основание может быть любым числом, например: 2» = 2 *2 *2*2 *2=32; [2^_ 2 2 2 _ 8. и J “ о ' 5 * 5 ~125’ 0,23 = 0,2*0,2*0,2 = 0,008; (-1)® = (-1) * (-1) * (-1) *(-!)* (-1) *(-!) = 1; 03 = 0*0*0 = 0; 10^= 10*10*10*10 = 10000. Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это — действие третьей ступени. Напомним, что при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действия третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Вычислить: 7 * 2'* - 5 * 3З. 7*2^-5*33 = 7*16-5*9 = 112-45 = 67. а; 4) x^x^x + x^x^x. 46 140 Записать в виде произведения одинаковых множителей: 1) И"; 2) (-1,25)“; 3) (2а)®; 4) (а+*)“. Вычислить (141—145). 141 1) 2®; 2) 35; 3) 10“; 4) 5®. 142 1) 1®; 2) (-1)^: 3) 0‘®; 4) 0®. 143 1) (-5)5; 2) -5®; 3) (-2j)’ 7 9 ^5 7 9^5 144 ■' (1] ‘ (1) ^ 145 1) 2(-3)5; 2) -5(-2)5; 3) -i(- -4)5; 4) -|(-3) 146 Выполнить действия: 1) 12-105 - 5® - 10; 2) 95 - 2+ 200-(0,1)5; 3)|i 27+ (0,1)5-50000; 4) io3;40-|^lj -128. 147 148 149 150 151 152 153 Записать в виде суммы разрядных слагаемых число; 1) 12 743; 2) 5 043 201; 3) 13 027 030; 4) 12 350 107. Записать число, представленное суммой разрядных слагаемых: 1) 2 • 10® + 3 • 10^ + 5 • 10® + 1 • 10^* + 2 • 10 + 1; 2) 3 • 10® + 5 • 10® + 3 • 10“ + 2 • 10® + 3 • 10 + 7; 3) 7-10®+ 1-105 + 5-102+ 8; 4) 1-10®+ 1-105+1. Делится ли на 3; на 5 сумма: 1) 2-10“+ 3-105+ 6; 2) 4- 3) 7- 105 + 8- 105; 4) 5- Записать в стандартном виде число; 1) 249; 2) 781; 3)84 340; 4)80 005; 5)3100,2; 6) 127,48. Ребро куба равно k сантиметров. Записать формулы площади его поверхности S и объема V. Записать: 1) квадрат числа т; 2) куб числа а; 3) квадрат суммы чисел с и 3; 4) сумму квадратов чисел с и 3. Установить, какое из чисел больше: 10®+ 3-10“+ 2-10+ 5; 10“ + 3-105 + 10? 1) (-i] йДи(-1); 3) (-0,2)5 „ли (-0,2)5; 2) 25 или 35; [2 j 4) 47 154 155 156 157 158 Является ли положительным числом корень уравнения: 1) Зх+ (-0,1)3 = (-0,485)^ 2) (-1,415)3+ 2х = (-9,15)3; 3) (-7,381)3-(1-л:) = (8,0485)3; 4) (10,381)3 = (-0,012)3 _ 2х? Записать в стандартном виде: 1) число молекул газа в 1 смЗ при 0 °С и давлении 760 мм рт. ст., равное 27 000 000 000 000 000 000; 2) число километров,составляющих один парсек (единица длины, принятая в астрономии), если один парсек равен 30 800 000 000 000 км; 3) электронная вычислительная машина может произвести в 1 с 1 000 000 операций. Поверхность земного шара составляет более 510 млн км^, объем Земли свыше 1000 млрд кмЗ. Записать данные числа в стандартном виде. В 1 л морской воды в среднем содержится 0,00001 мг золота. Сколько золота содержится в 1 кмЗ морской воды? Не производя вычислений, расположить числа: 1) l^-lij ; (-1,8)3; в порядке убывания; \3 2) (-0,4)3; (-7)3 в порядке возрастания. 159 Какой цифрой оканчивается значение выражения: 1) 33 + 43 + 53 ; 2) 3З + 103 + 183; 3) 21“ + З4З + 463; 4) 155 + 263 3959 Возведение в степень обладает несколькими важными свойствами. Свойство 1. а'" *а“ = л'"’*’". При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются. 48 • По определению степени с натуральным показателем 2^ -2* =(2-2)-(2-2-2) = 2 раза 3 <>аза а”* • а” = (а «а*. ‘а) х т раз х(а • а • и. ’а) = п раз ПО сочетательному закону умножения =2-2>2-2’2= 5 раз = а *а • av..*a = (m + л) раз ПО определению степени с натуральным показателем = 2“. I =а'”+”. Итак, = I а” • о” = а™*”. Свойство 2. o'”: а” = а”*””, т > п, афО. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются. • Найдем 2=:2^; 1 5> 3. По первому свойству степени 25-3.2» =2®, I по определению деления 25-3 _ 25; 23. I Итак, 2® :2® =2®-®. Свойство 3. (дШ jn _ д1Ш» т> п, аФО. ,т п , „п — „т а”‘, Jт-п а”‘ :а” = o'”*”, т> п,афО. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. 49 По определению степени с натуральным показателем (2^ )2 =2^ . 2® = (дШ jn _ дШ . дШ . дШ . .дШ _ по первому свойству степени = 2®^® = __ rtm + m + . + m _______ ПО определению умножения = а'””. (дт)« дшп_ = 2«-2. Итак, (2^)2 = 23-2. Свойство 4. (аЬ)” = а”Ь”. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель. • По определению степени с натуральным показателем (2-3)® =(2-3)(2-3)(2*3) = (аб)” =(а6)(а6). (а6) = 3 раза ПО сочетательному и переместительному законам умножения = (2-2-2)(3-3-3) = 3 раза 3 раза = (а • а*. *а) (Ь •Ь’. ’Ь) = п раз л раз ПО определению степени с натуральным показателем = 2* -З®. Итак, (2*3)2 = 22 *32. Свойство 5. = а” *Ь”. (об)” = о”б”. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель. 50 Ответ’ По определению степени с натуральным показателем 3 J 3 ‘ 3 ■ 3 3 pooa a a I’V no правилу умножения дробей 3 раза _ ” FFa ” 3 раза ПО определению степени с натуральным показателем 3» Итак, (|Г= 3^ а Задача 1 Вычислить: 13^ 13^ •5^-3’* 13® • 5 • 3^ 13^ ,^.^=137-6.53-1 .1^ Задача 2 13®* 5-3^ 13® – „ = 13*25 = 325. Скорость света равна 3*10® м/с, расстояние от Солнца до Земли равно 1,5* 10’^ м. За какое время пройдет луч света расстояние от Солнца до Земли? ► По формуле пути при равномерном движении 8 = of получаем 1,5 * 10’* = 3 * 10® f, откуда 1,5-10** f = : 3*10® = 0,5* 10® = 500. 500 с = 8 мин 20 с. -О а : а = а , п .ш пт (а ) = а (аЬ) = а ■ laf а” 15/ ” Ь” 51 Упражнения Записать произведение в виде степени (160—162). 160 161 162 163 164 165 166 1) с®с2; 2) 1) 2^2^2*; 3) (-5)в(-5)»(-5)^ 1) (-2,5а)3(-2,50)8; 3) (дг-о)^(з:-а)»«; 3) 4) (3())(зг>)в. 2) 323538; 4) (-6)8 (-6)2 (-6)2. г 2) 6) 5х Т 4) (п + m)^^ (п + ffi)5. Записать в виде степени с основанием 2 (163—164). 1)32; 2) 128; 3) 1024; 4) 256; 5)25-128; 6)32-64. 1)64:4; 2)32:28; 3)8:22; 4) 256:32; 5)—; 6)—. 2® 2 Записать в виде степени с основанием 3 (165—166). 1)81; 2)27; 3) 729; 4) 243; 5) 3® – 81; 6) 243-27. 1)3^:9; 2) 27:32; 3) 243:27; 4)81:9; 5)—; 6)—. 3 З”* Записать частное в виде степени (167—168). 167 1) 168 169 170 171 172 2’:д;2; (¥)'( 3) 1) 3) (а-&)^:(о-Ь)5 4) d2’»:di2. 2) (2о)5:(2а)8; 4) (/п + о)“»:(т + л)5. Вычислить (169—170). 1) 1) 3 2-3 32 8-38 2-3 2 ’ 2) 2) 28 – 32 Ц8 – 42 ц2 – 4 ’ 3) 3) 3® – 3‘® 38 – 32 ‘ З”* – 2® – 2® 25-2? 4) 58-5’ 5″ – 5» ‘ 4) >6 , оЗ 3® • 3 – 3 Решить уравнение: 1) л::32 = 38; 2)д::2‘’ = 22; 3)л:-2® = 28; 4) x-3® = 38; 5)5®-л:=5^ 6)4®-л:=48. Записать в виде степени с основанием о (172—173). 1) (о®)®; 2) (о8)2; 3) (а2)®а8; 4) а®(о2)8; 5) 0^^05(02 )■*; 6) a8(a8)8fl8 173 1) (а2)8:(оЗ)4. 2) (о® )’*: (дЗ )®; 3) (а® )® а* 4) а® (а’* f (о8) ЗЧ4 52 174 Найти значение выражения: (£2^8 (с» Г 1) при с = -3; , 1 2) = 9^ Q 2) 3) 1^; 4) 0,0004. оо 1о Представить в виде степени с основанием: 1) 22; 2) 2’*; 3) 2®; 4) Записать в виде степени с показателем 2 (176—177). 1) 0,01; 1) а*; 2) 6®; 3) с*“; 4) л:20. Возвести в степень произведение (178—181). 1) (3-5)^ 2) (7-6)«; 3) (1,3-8)®; 1) (ахУ; 2) (6j/)®; 3) (2,5cd)2; 1) (ху^У; 2) (аЧУ; 3) (2(>М’: 1) (10л2т8)^ 2) (8a^fc2)3. 3) (_2,3а®6’‘)2; (Устно.) Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если длину каждой его стороны увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз? 183 (Устно.) Какую часть объема куба составляет куб, ребро которого составляет ^ часть ребра первого куба? 184 Записать в виде степени произведения выражение: 175 176 177 178 179 180 181 182 4) (4-^)2. 4) (3nm)2. 4) (0,1с2)2. 4) (-2шп^У. 1) 4® 2) 2* ,3. 185 186 187 188 189 190 3) 5^ •7’*: 4) 2® -3®; 5) 16а2; 6) 81*2; 7) п’’т’’8) IS^a^b®. Записать выражение в виде степени с показателем (185—186). 1) c2d”>; 2) 3) 25а”; 1) а”5®с2; 2) х^у^г^-, 3) 49х8(/8; 4) 81т2. 4) 100с8д:®. Вычислить (187—189). 1) (0,25)2-4^; 2) / ч17 / л17 3) (-0,125)“ • 8″; 4) (-0,2)® • 5®. 1) 1) )8 г8 6® 81•27® )8 2) 2) 12® 2® -(72)” 3) 10® 14′ 3) le-‘ 3® 12″ 4) 4) 14″ 2® • 7® 2» -(22)5 (2®)® Возвести в степень дробь (190—192). »(1р ” (-?)”’ (-!)’= «(I)’ 53 191 192 1) 1) h]-’ ^>(1;)^ (“Г]’ Записать в виде степени (193—194). 4) 4) а + Ь а – Ь 193 1) 3^ 4I’ 2^ 2) 5® ^3 2® 194 1) (2а)2 (35)2’ 2) (3y)‘^ : 3)±; 4) — ’ 27 Пусть п, т,к — натуральные числа. Представить выражение в виде степени (195—198). 195 196 197 198 199 200 201 1) 4″ • 4®; 2) 3» • З”; 3) с 28 , л Л , 4) а” • a^®. I)!/”-!/”; 2)Ь’’-5*; 3)5^*-S’*; 4) З^” • З®-“. 1)22″;2″; 2)2®”:2^”; 3) :2^” ; 4) 2^”+® :. 1)3‘‘”:3*’’; 2)3®’’:3^”; 3) 3″*® : 3″-^’; 4) З”*® : 3″ + ^. При каком значении п верно равенство: 1)3’’=9; 2)128 = 2″; 3) (2^)” = 16; 4)(3″)2 = 81? Вычислить (200—201). 1) 1) 612.412 312. gl2′ 48 2) 410 . 310 210 . gio ’ 3) IS” 3“* • 52 • 25 4 / \4 4) ,10 3 7 202 Найти шестую степень числа, если; 1) его квадрат равен 0,25; 400; 11-; 2) его куб равен 0,008; 125; 3—; 37—. 8 27 203 1) Масса Земли равна 6 • 10^^ кг; масса Солнца — 2 • 10®® кг. Во сколько раз масса Земли меньше массы Солнца? 2) Расстояние от Земли до звезды Сириус 83 000 000 000 000 км. Вычислить приближенно, сколько лет луч света идет от Земли до Сириуса. 204 Вычислить с помощью микрокалькулятора: 1) 310; 2) 5»; 3) (2,3)-1; 4) (1,3)®. 205 Какое из чисел больше: 1) 54“* или 2112; 2) 10^0 или 20’®; 3) 1002® 900Q1®; 4) 6^® или 3’®? 54 206 Вычислить; 1) 3) 2“ • 5^^ – 2 • 5^^ (4.322 +7.321). 57 (19-27“)^ 2) 4) 5-2 32 4.2ЗО 4I6 5(3-7*®-19-ri-*) 71b +3.71 1 Одночлен. Стандартный вид одночлена ! I. I. I. • • • I. I. I • Рис. 2 При решении различных задач часто встречаются алгебраические выражения вида аЬ, ^хуг, За^Ь. Например, вместимость рефрижератора, размеры которого указаны на рисунке 2, равна ЗаЬс. Выражение ЗаЬс является произведением четырех множителей, из которых первый — число, а три следующих — буквы а, Ь, с. Множители, записанные с помощью цифр, называются числовыми множителями, а множители, обозначенные буквами, — буквенными множителями. Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом. Например, одночленами являются выражения аЬс, (-4)а • Заб, -а(-0,3) ^) = 12 а® 6® с А А Рассмотрим произведение двух или нескольких одинаковых одночленов, т. е. степень одночлена, например (5а®6®с)®. Так как одночлен 5а®6®с является произведением множителей 5, а®, Ь®, с, то по свойству возведения произведения в степень имеем: (5а®Ь®с)® =5® (а®)® (ft®)® с® = 25a®ft’*c®. Точно так же (2р^®)® = 2®р®(д>®)® = 8р®д®. В результате возведения одночлена в натуральную степень снова получается одночлен. Упражнения Выполнить умножение одночленов (213—215). 213 1) (2р)(-3с®); 2) (-5т®)(-7л); 3) (4а®)(6а®): 4) J-ift® j(8ft®). 214 1) (3a®ft®c)(6a®ftc®); 2) (7a®ft®c)(-3aft’*c); 3) !^-|a®ft®A:j|^|a®ftx® j; 4) |^-|а®д:1/® j|^|ajr®(/j. 215 1) ^-im® |(-24л)(4л/л); 2) (-18л)^лг® |(-5лт); 3) lf’7^^‘/](0,2a®x); 4) (-13a®ftc)(-5aft®c)(-0,4aftc®). 59 216 217 218 219 220 Возвести одночлен в степень (216—218). 1) (2а)3; 2) 3) (ЗЬ^)^; 4) 0? 233 Может ли значение многочлена: 1) – 4а^ ; 2) аЬ-а^Ь^ — быть числом положительным, если а > 0, Ь>0? 234 На учебно-опытном участке собрано 1410 кг фруктов, причем яблок собрано в 5 раз больше, чем груш, и на 350 кг больше, чем слив. Сколько килограммов каждого вида фруктов собрано на этом участке? ^ Приведение подобных членов Задача 1 Имеются две книги с одинаковым числом букв на каждой странице; на одной странице помещается п строк и в каждой строке т букв. В первой книге 300 страниц, во второй — 500. Сколько всего букв в двух книгах? ► 1-й способ. Число букв на каждой странице равно тп. В первой книге ЗООпт букв, во второй — бООпт букв, в двух книгах (ЗООпто -I- бООпт) букв. 2-й способ. Число букв на каждой странице равно тп. Число страниц в двух книгах равно 300 + 500 = 800. Поэтому число букв в них равно 800пт. 2 _ За2(,3 + д2(,2).(3д2(,2) = = (9аЗ&2):(За2 <,2)+(_Зд2^,3).(Зд2г,2) + +(a^b^)-.(3a^b^) = 3a-b + K 3 Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. 75 в рассмотренных примерах деления многочлена на одночлен в результате получался многочлен. В этих случаях говорят, что многочлен делится на одночлен. Однако деление многочлена на одночлен не всегда возможно. Например, многочлен аЬ + ас не делится на одночлен аЬ. При делении многочлена на одночлен предполагается, что буквы могут принимать такие значения, при которых делитель не равен нулю. 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 Упражнения Выполнить деление (278—284). 1) Ь^:Ь^; 2) ; 3) а":а^; 4) 6»: 6». 1)|,:(-2); 3) -2а:(-5); 4) gt, 1) 5а:а; 2) 8л::х; 3) 5а:(-а); 4) (-7у):(-у). 1) (-6х):(2х); 2) 15г:(5г); 4) 12аЬ:(-4аЬ). 2) (-10рд):(6д); 4) (-0,24а6с):(-0,6аб). 2) (-42т^ ):(-6т); 3) (-6х1/):(-Зхг/): 1) 8а6с:(-4а); 3) -6,4ху:(-4х); 1) 14а*:(7а2); 3) -0,2а1 2; 2) -lOOOfc®; 3) 4) -O.OOSar^p». Выполнить умножение одночленов: 1) (-0,4л:^1/®22)(-1,2л:г/22); 2) <-2,on*m^k^)(3nm^k^); 3) (-lix2y32jj^_il;cy222 j; 4) [2ia26V jj-3ia3ft2c4 j. Выполнить сложение и вычитание многочленов: 2) (0,За-1,2Ь) + (а-Ь)-(1,За-0,2Ь); 3) 11рЗ - 2р2 _ (р8 _ р2)^.(_5р2 _ ЗрЗ). 4) 5^2 + 5x3 (J.3 _ Д.2 J ^ _2 Д.З ^ 4д.2 j Выполнить умножение многочлена на одночлен: 296 297 298 299 1) 1 2) I |а2ь4 +ia35j|a53. -г^алг- 302 3) |^lla3x3_2|a2x3-11ох“ j|^-2 4) -216« р + 2 i 53 j^2 _ 1 що j J _2 ^ 54 j. Выполнить умножение многочленов (302—303). 1) |^ia + 3ftj|^ia-35j; 2) (0,3-m)(m + 0,3); (iatZI.) 3) I ^a-2b 4) (0,2a + 0,5x)(0,2a - 0,5x). 78 303 1) (5c-4t/)(-8c-2x + 6i/); 2) (46-с)(-56 + 3с-4г/); 3) (4л:-3|/ + 22)<Зд:-3|/); 4) (3o-36 + 4c)(3a-56). 304 Упростить выражение: 1) Ьх'^ : X ~(2xY + х‘^ :(2х'^); 2) &х^ -.х- Ъх^^: х^ + (2х)^; 1 3) |^3д:'' + |л:2 j:^:-^:3:(3jc2) + (3s:)3; 4) (12л:3-8л:2):4л:-4л;(Зл: + 0,25). Провсфь себя! 1 Представить выражение в виде степени: 5®-52; 3*:3®; (2»)“'; 3* • 2®. 2 Упростить выражение <ЗЬ+с^ - d)-(c^ - 2d). 3 Выполнить действия: (-0,25а®Ь^с)' (оаЬс); (7т^ - 20тп - Ют): Ют. 4 Упростить выражение 2/n(m. — 1) + (т — 2)(от+2) + 2т и найти его числовое значение при /п = —0,25. 305 306 307 308 Решить уравнение: 1) (-2)®-л: + (0,4)2 = (-1)9-(1-2х); 2) (1,2)2 _ (0,1)2 (20-200д:) = (1,4)2. Сколько процентов от числа 500 составляет четвертая степень числа 5? Четвертая степень числа 0,2 составляет 64% числа а. Найти число а. Пусть п — натуральное число. Записать выражение в виде степени: 1) о2 • а2" .а2"-2; 2) ЛГ"^2 . ^8 . д-4«-1 . ^бя-4 , yyin+1 q4 п+Я , 03л-2 3) 4) 309 а“"-‘ 3 При каком значении п верно равенство: 1) (4^)" = 4'2; 2) (5")2= 5‘‘‘; 3)22'- = 4“; 4) 3(32)" = 3*’? 79 Старинные задачи (310—311) 310 311 312 — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? — Вот сколько, — ответил философ. — Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании, и, кроме того, есть еще три ученика. — Хрбноса вестник, скажи, какая часть дня миновала? — Дважды две трети того, что прошло, остается *. В автобусе было п пассажиров. На первых двух остановках вышло по т человек на каждой остановке, а на третьей никто не вышел, но вошло несколько человек, после чего в автобусе стало h пассажиров. Сколько человек вошло в автобус на третьей остановке? 313 Решить уравнение: 1) = 2) 10 2 0.4 0.1-2Х 2,5-10х 12 314 Упростить (л — натуральное число, п >4): 1) (12-8-52″ -1-4-52’*-1):(4-52″-2); 2) (36-18″ – в-З”-* -9″ – 3″+’ -6″+1) :18″- 315 Доказать, что если 2(а и-1)(Ь и-1) = (а-t-5)(a-н б-н2), то = 2. 316 Сумма вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на р%. Доказать, что, вложив в банк а рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету а • 100 ) рублей. 317 Вычислить с помощью микрокалькулятора значение выражения а-(1,02)” при а = 1000 и л = 3; 5; 10. Результат округлить до сотых. * Хронос — бог времени в греческой мифологии. В Древней Греции день содержал 12 ч. IV гла^а Разложение многочленов на множители Вынесение общего множителя за скобки Задача 1 В главе III было показано, что в результате умножения многочленов получается многочлен. Часто приходится решать обратную задачу о представлении многочлена в виде произведения нескольких одночленов и многочленов, т. е. решать задачу о разложении многочлена на множители. Найти числовое значение выражения ab + ac-ad приа=43, fc = 26, с = 17, d = 23. ► Используя распределительное свойство умножения, данный многочлен можно представить в виде произведения одночлена и многочлена: ab+ac-ad =а<Ь+с-d). Теперь легко провести вычисления: 43(26-н 17-23) = 43-20 = 860. 2-5&2с-10с» + 32ас2; 2) &mnk^+ 1Ът^к-\4п^к-ЗЪтп^', 3) -28ас+ 35с^ - 10сл: + 8ад:; 4) -24Ьх-15с^ + 40Ьс + 9сх. 344 1) ху^ - Ьу^ - ах + аЬ + у^ - а; 2) ах^-ау-Ьх^ + су + Ьу-сх^; 3) х'^ - Ьх^ + х-Ьх + а^у-Ьу; 4) ах^ - Ьх^ + ау-Ьу-ах+Ьх. 345 Найти значение выражения: 1) 5а^ - 5ах-7а + 7X при х = -3, а = 4; 2) - тп-Зт + Зп при m = 0,5, л =0,25; 3) +аЬ-5а-5Ь при а = 6,6, Ь = 0,4; 4) а^-аЬ-2а + 2Ь при а = ^, Ь = 0,15. 346 Вычислить: 1) 139-15 + 18-139 + 15-261 + 18-261; 2) 125-48-31-82-31-43 + 125-83; 3) 14,7-13-2-14,7 + 13-5,3-2-5,3; 4) 31.4^4,2.f + 3i.2l + 2,8.|. 347 Решить уравнение: 1) (х^-4л:)+д:-4 = 0; 2) (л:2 + 7л;)-4д:-28 = 0; 3) 5x2-10х+(л:-2) = 0; 4) Зх2 + 12х-(х + 4) = 0. Разделить разность многочленов х® - Зх^ и2х2-6хнах-2. Разложить многочлен на множители (349—350). 1) х2 + Зх + 2; 2) х2-5х + 6; 3) х2-7х-8; 4) х^ + Ох-Ю. 2) х*-7х + 6; 4) 2а'* — а2 - 1. 348 349 350 1) а» + 2а2-3; 3) а* +2а®+ 1; 87 Формула разности 1хкадратов Умножим сумму двух чисел на их разность: (а+Ь)<а-Ь)=а^ -ab+ab-b^ = а^-Ь^, т. е. (о+Ь)(о-Ь)=а^-Ь* или -Ь^ = (а -Ь)<а + Ь). (1) (2) Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. В равенствах (1) и (2) а, Ь — любые числа или алгебраические выражения, например: 1) (nm + 3k)(nm-3k) = n^m^-9k^; 2) ia*b^ -25 = (2a^b-5)(2a’^b + 5); 3) (a-i-b)2-16=(a-(-t>-4)(a-l-6-(-4). a C b H 7Ш Ш , _ ^2 ^ ABC D ^AEFG – ^GFEBCD — ^EBHL M ^GFEBCD ^EBHL = a2 = (a-b)(a + b) Формулу (1) называют формулой сокращенного умножения. Она применяется для упрощения вычислений, например: 1) 63*57 = (60-1-3)(60-3) = 3600-9 = 3591: 2) 98 • 102 = (100 – 2)( 100 -I- 2) = 1002 – 2^ = 9995 Формулу (2) называют формулой разности квадратов. Она применяется при разложении многочленов на множители, например: 1) а2-9 = (а-3)(п-н3); 88 351 2) 4b* -0,64c2 = (2b^ )2 – (0,8c)^ = = (2fe2-0,8c)(2fe2+0,8c): 3) (a-b)^-l=(a-b-l)(a-b + l); 4) (a + b)^ -(a-c)^ = (a + b-a+c) (a+ b + a- c) = = (b+c)(2a +b-c). Упражнения Представить в виде квадрата одночлена: 1) 4а*; 96*; 16с*; 0,04л:*; 2) 0,25л:*у*; 0,16m^ 0,81лв; 9 3) 0,01а^6*; -х^у Id 2 „4 . 9 -т’п” 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 — х^г* 49 ’16 Разложить на множители (352—355). 1) 25л*-9; 2) 4а*-9; 3) 64г/*-36л*; 4) 81а*-166*. 1)1у2_16^2 2) 1а*–6*; 9^ 25 9 16 3) 0,25а*-0,496*; 4) 0,09 л* – 0,16!/*. 1)36л*1/*-1; 2) 81а«-496‘’; 3)л*г/^-16; 4) 25а* – 96«. 1) а^-6^; 2) а’-6*; 3) а“ – 16; 4) 6“-81. Выполнить умножение (356—368). 1) (26 + а)(26-а); 2) (с+ 3d)(c-3d); 3) (у + 6х)(6х-у); 4) (3т-2п)(2п + 3т). 1) (c* + d*)(c*-d*); 2) (а* + 6*)(а*-6*); 3) (л”-i/*)(j/*+Л’*); 4) (тп* – п® )(m* + л®). 1) (3а*+46®)(3а*-46®); 2) (2т* – 5п^ )(5п^ +2т*); 3) (0,2f®+0,5p’‘)(0,5p’‘-0,2 ”)2-(а”-б-‘)2-а2(72; 4) 9а^ – 13a2fc2 + 4b-*. Квадрат суммы. 1Свал,рат разности Рассмотрим квадрат суммы двух чисел (а+5)2. Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, получаем: (0+5)2 = (а+5)(а + 5) = = о2 + ab+ab + b^ = + 2аЬ + Ь^, т. е. (а + 5)2 = а*+ 2о5+52. (1) Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. 90 Заметим, что формулу (1) можно получить, рассматривая площадь квадрата, изображенного на рисунке 8. Рассмотрим теперь квадрат разности двух чисел: (а-Ь)^= (а-Ь)(а-Ь) = = -ab-ab + b^ = -2аЬ+Ь^, т. е. (а-Ь)2= а2-2аЫ-г>2, (2) Рис. 8 Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа. В равенствах (1) и (2) а и & — любые числа или алгебраические выражения, например: 1) (2m+3k)^ = (,2mf + 2‘2m’3k+(3kf = = 4т^ +12mk+9k^; 2) (5а2-3)2 =(5а2)2-2-ба^-3-1-32 = = 25а‘‘-30а2 + 9; 3) (-а-ЗЬ)2 = ((-1)(а+ЗЬ))2 = = (-1)2 (а и-36)2 = (0-1-36)2 ^ д2 + 2а -36-н(36)2 ^ = а2 + 6аЬ + 9Ь^. Промежуточный результат можно не писать, производя необходимые вычисления устно. Например, можно сразу написать: (5а2 – 762 )2 250“* – 70а2б2 н- 496^. Формулы квадрата суммы (1) и квадрата разности (2) называют также формулами сокращенного умножения и применяют в некоторых случаях для упрощения вычислений, например: 1) 992 =(100-1)2 = 10000-200 + 1 = 9801; 2) 522 =(50 + 2)2 = 2500 + 200 + 4=2704. Формула (1) применяется также для приближенных вычислений значений выражения (1 + а)2. Если модуль числа а мал по сравнению с 1 (например, а = 0,0032 или а = -0,0021, то число а^ тем более мало и поэтому равенство (1+а)2 = 1 + 2а + а2 можно заменить приближенным равенством (1 + а)2 1 + 2а. Например: 1) (1,002)2 =(1 + 0,002)2 ~ 1 + 2-0,002 = = 1,004, т. е. (1,002)2 « 1,004; 2) (0,997)2 =(1-0,003)2 «1-2-0,003 = = 0,994, т. е. (0,997)2 «о,994. аЬ ah _ а ^ ь 91 Формулы квадрата суммы и квадрата разности иногда применяются к разложению многочленов на множители, например: 1) + 10х + 25= + 2*5’х + 5^ = (х + 5)^; 2) – Sa^b^ + 16Ь® = (а^ )2 – 2 -а^ • 46^ + (4Ь^ f = = (a^ -46*)^. Задача Доказать формулу (a + bf +За^Ь+ЗаЬ^ +ЬК (3) ► (а + Ь)® = (а + 6)(а + Ь)^ =(a+fc)(a^ + 2ai> + b^) = = а^ + 2a^b + ab^ +a^b + 2ab^ +b^ =а® +За^Ь + + 3а&2 +г,з о Аналогично доказывается формула (a-bf = а^-За^Ь+ЗаЬ^ – Ь\ (4) Формулы (3) и (4) называют формулами куба суммы и куба разности. 370 371 372 373 374 375 376 Упражнения Представить квадрат двучлена в виде многочлена (370—373). 1) (c+d)2; 2) (x-yf-, 3) (2 + х)2; 4) (х + 1)2. 1) (9 + 2р)2; 2) (3x + 2i/)2; 3) (6а-4Ь)2; 4) (5z-t)K 1) (0,2x + 0,3i/)2; 2) (0,46-0,5с)2; 2 (1 Л \ 4) 3) 1) (-4а6-5а^)^; 3) (0,2×2 +5х|/)2; 377 2) (-3b^-2abf; 4) (4ху + 0,5«/2)2. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения (374—375). 1) (90-1)2; 2) (40 + 1)2; 3) 1012; 4) 932 1) 722; 2) 5?2; 3) 9972; 4) юо!^. Применяя формулу (1 + а2) = 1 + 2а, найти приближенное значение числа: 1) 1.00о2; 2) 1,0042; 3) 1,0122; 4) 1,оц2; 5) 0,9922; 6) 0,9942; 0,9882; gj 0,9892. Заменить х одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена (377—378). 1) а2+4а+х; 2) р2_о,5р + ^; 3) 36а2-х + 49б2; 4) а2-6аб + х. 92 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 1) т*-3т^+х; 2) a^+ab + x; 3) 4а^-5а + лг; 4) д: + 6а + 9а^. Разложите на множители многочлен (379—383). 2) 1 + 2с+с2; 4) 81-18л:+л;2. 2) 100-60а + 9а2; 4) +10аЬ + 25Ь^. 2) р^-2р^д+д^; 4) 25о« +300^6 + 962. 2) Ь-*-18Ь^ +81; 4) 16-8а^Ь^ +а*Ь\ 2) -9+6Ь-Ь^; 4) -12a&-3a2-12«>2. 2) 64^2 -(3-8д:)2 =87; 4) (2x-3f -(2х + 3)2 =12. 388 389 390 391 1) 9а2 -6а+1; 3) 365^ +иЬ + 1; 1) 9х^ +24Х + 16; 3) Збт^ +12тп + л^; 1) х’ +2х^у + у^; 3) 4с’* +12c2d* + 9d®; 1) а’’-8а2 + 16; 3) 25а-*- Юа^Ь + Ь^; 1) -а^-2а-1; 3) -2а^+8аг>-8б2; Решить уравнение: 1) 16×2 -(4х-5)2 = 15; 3) -5х(х-3) + 5(х-1)2 =-20; Упростить выражение: 1) (x-yf + (x + yf; 2) (х+!/)2-(х-1/)2; 3) (2а + Ь)2-(2а-6)2; 3) ® 9a®- o6^ -18a4+2b® 3ac® + Zkc^ – Zab^ – Zb^ 6ac® + 66c® – 6a6® – 66® при a = 0,2, b – 0,4; при a =4,49, 6 = -5,1, c = 0,68. 450 Сократить дробь; 1) —, если a > 0; 2a 3) -2 a , если a 0. -3 a – jit И: ■’Ui’ il 1 Задача 1 Напомним, что при сложении обыкновенных дробей сначала приводят дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем дробей является наименьшее общее кратное их знаменателей. 13 7 Так, для дробей -, —, —- общим знаменателем 4 25 10 является число 100 — наименьшее общее кратное чисел 4, 25, 10. Похожее преобразование приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей, его также называют приведением дробей к общему знаменателю. Привести алгебраические дроби к об- За®6 баб® щему знаменателю. Общий знаменатель данных дробей должен делиться на знаменатель каждой из дробей. Чтобы общий знаменатель делился на знаменатель первой дроби, он должен содержать множитель За®6. Далее, общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй дроби баб®. Таким образом, общий знамена- 104 Задача 2 тель должен делиться на 3 и 6, т. е. на 6, на и а, т. е. на а^, на и т. е. на . Наиболее простым в данном случае общим знаменателем является одночлен ба^Ь^. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей данных дробей, а каждая буква взята с наибольшим показателем из тех, с которыми она встречается в знаменателях. Разделив на знаменатель первой дроби За^Ь, получим 2Ь — дополнительный множитель, на который нужно умножить ее числитель и знаменатель. Дополнительный множитель второй дроби равен ба‘Ь^ :6аЬ^ = а. Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель, приводим их к общему знаменателю: т _ 2Ьт п _ ап За^Ь ба^Ь^ баЬ^ ба^Ь^ Привести к общему знаменателю дроби а Ь с х^-у^ 2х^ -4ху+2у^ Зх^ -^бху+Зу^ ► Разложим на множители знаменатели дробей: х^-у^ = (х-у)(х + уУ, 2х^~ 4ху + 2у^ = 2(х’^ – 2ху+ у^) = 2(х-у)^; Зх^ +бху + 3у’^ = 3(,х^ + 2ху + у^) = 3(х + у)^. Общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей. Так как он должен делиться на знаменатель первой дроби, то он должен содержать произведение (х-у)(х + у). Далее, общий знаменатель должен делиться на знаменатель второй дроби, и поэтому он должен содержать множитель 2(х-у)^. Следовательно, к знаменателю первой дроби нужно дописать множитель 2(д:-|;), т. е. общий знаменатель должен содержать произведение 2(х-у)’‘(х + у). Для того чтобы общий знаменатель делился на знаменатель третьей дроби 3(лч- у)^, нужно к полученному произведению дописать множитель 3(х-(-р). Следовательно, выражение 6( л: – г/)^ (д: и-является общим знаменателем трех дробей. Для приведения дробей к общему знаменателю нужно их числители и знаменатели умножить на дополнительные множители, которые находятся делением общего знаменателя на знаменатель каж- 105 дой из дробей; для данных дробей они соответственно равны 6(x-j/)( л: +1/), 3(x-t-y)^, 2(х-у)^. Следовательно, данные дроби можно записать так: а 6а<х-у)(х+ у) х’^-у^ 6(x-yf(x+y) ЗЬ(х+у) ,2 ’ ,2 2х^-4ху+2у^ 6(x-y)^(x+yf с 2c(x-yf Zx^ + 6ху+ Zy^ 6(.4+х) х(х + 2) 1) 2) 3) 75 25 15 а:(х-1) 2(д:^+1)_(ж-1)(а:-ь2) 7 28 ~ 14 (2-х)(2+х) х-х^ (x-\f 7х^ 36 460 4) (^-2)^ , 2х^ -3 (jc-D(x-hl) 5 15 3 ■ Привести дроби к общему знаменателю: 5а а-3 1 1) и а®-27’ а^+ За + 9 а-3′ 3 х + 1 2) —–, —- и х+2 3) 4) х + 2’ +8 х^-2х + 4’ 2т 2п 1 (тп-я)® (т-п)^ 461 k^+3k^+3k + \ k^-l h^+2h + X Пусть п — натуральное число. Найти общий знаменатель дробей: 1 1 1 1) 2) ^4л _ у4л ’ ^2л _ у2п ’ х” – у” д2л _ j,2n ’ „я _ лл ’ „п а” – О” а” + 0″ 107 Сложение и вычитание алгебраических дробей Задача 1 Задача 2 Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняются по тем же правилам, что и сложение и вычитание обыкновенных дробей: о Ь _ о. – Ь т т т т т т -2Ь Сложить дроби а ^ Ь _ а + Ь “Г , т ■Ь 2а- а- и а-Ь 2а-Ь ■■Ь——+ а-^Ъ а+Ь а+6 а-2Ь а-Ь+2а-Ь+ а-2Ь а + Ь а + Ь а-¥ Ь 4а-4Ь 4(а-Ь) а + Ь а-Ь 6 a-f Ь )® Найти частное дробей т + п т® -п а (а + 6)( а -by т + п а<а-Ь) 9т^п^ (т + л)*27тп® 27тл® (т + п)- 3 9т®л® 27тл® 3 9т^п^ <т^ - ) тп(т-п)(т +п) о тп(т-п) При возведении алгебраической дроби в степень используется формула Например: 4а® ~ Ь ь] ь« ■ lOa"* Га-г6^^_ (а 1“зГ J ^ ^ + ьу 480 Упражнения Выполнить умножение (480—481). 2) 3) 50 ’’ 1) 24 17 169 64’ 625’ 112 481 482 483 484 485 486 487 488 1) •V 2) o'* 4) 14a2, 7c^ Выполнить деление дробей: 1.88. „ a a. „ За m. 17-17’ -bS’ ТЬ'ТГ’ За 2a от 10m® 2d'bb' 5) Zb' be’ 6) Выполнить деление: 1)^:5; 2)|:c; 3) 12: 8 4) a:-, c Выполнить действия (484—487). 1) 3) 1) 4) 1) 4) 1) 3) 146® cd ) 25a® acd; 8a® 6 36c® . 9 c 5 a® 6 46d®c 23c/c® ,3 ' 2) 3a® у 2b ) 166® 21a® 2 4) a6c®.(g] . 2) 76® . 356®c , 9c®(/ 18c®М(1:2) 1 Л/г(2; 1) О 1 2 ‘з; б) в) Рис. 9 121 Использование прямоугольной системы координат на плоскости связано с именем выдающегося французского математика XVII в. Рене Декарта (1596—1650). В записи координат точек порядок чисел имеет существенное значение. Например, Afj(l; 2) и iWj (2; 1) — различные точки плоскости (рис. 9, в). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Например, точка А (рис. 10, а) имеет координаты (2; 0). Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Например, точка В (рис. 10, а) имеет координаты (0; -2). Начало координат имеет абсциссу и ординату, равные нулю: О (0; 0). Задача Построить точку М(-3; 2). ► На оси абсцисс отметим точку с координатой -3 и проведем через нее перпендикуляр к этой оси. На оси ординат отметим точку с координатой 2 и проведем через нее перпендикуляр к оси ординат. Точка пересечения этих перпендикуляров — искомая точка М (рис. 10, б). У, А(2;0) о 12 X -1 -2 ■В(0;-2) а) Рис. 10 122 523 524 Упражнения Назвать абсциссу и ординату точки: (1; 0), (4; 0), (0; 2), (-6; 0), (0; -7), (0; 0). Построить точки и указать, каким координатным углам они принадлежат: 1) А (3; 4), В (2;-5). С (-2; 5). £ (-6;-2), £ 3; £(3; 0), Л4(0; -1.5), ^ I |; | Д 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 2) А (-1,5; 2,5), В(-2,5; 1,5), С^3|; Ij, £(2; -2), £(-3,5; 3,5), М(0;2,5). По рисунку 10, в найти координаты точек А, В, С, D, Е, F. Построить прямую, проходящую через точки: 1) А(3; -2) и В (-2; 2); 2) М(2; 0) и (0; -2). Построить отрезок по координатам его концов: 1) А(3; 4), В (-6; 5); 2) М(0; -5), N(4; 0). Построить треугольник по координатам его вершин: 1) К (-2; 2), М(3; 2), N(-1; 0); 2) А(0; -1), В(0; 5), С (4; 0). Построить прямоугольник по координатам его вершин: А(-2; 0), В(-2; 3), С(0; 3), 0(0; 0). Даны три вершины А (1; 2), В (4; 2), С (4; 5) квадрата ABCZ). Найти координаты точки D и построить квадрат. Построить прямую, проходящую через точки А (0; 5) и В (-2; 5). Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой АВ? Построить прямую, проходящую через точки А (-2; 3) и В (-2; -1). Чему равны абсциссы точек, лежащих на прямой АВ? Даны точки А(5; 3), В(-1; -2), С(0; 4), D(-2; 0), Е(-2; 3). Построить точки, симметричные им относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат. Определить координаты полученных точек. На плоскости расположены точки А(2; 7), В(3; 4), С (2; -7), D (-3; 4), Е (-2; 7). Определить, какая пара точек симметрична относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. Квадрат со стороной 4 расположен так, что центр его находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат. Найти координаты вершин квадрата. 123 функция Задача 1 Поезд движется из Москвы в Санкт-Петербург со скоростью 120 км/ч. Какой путь пройдет поезд за t часов? ► Если обозначить искомый путь буквой s (в км), то ответ можно записать формулой s = 120K 0, то зависимость между переменными X тл у, выражаемую формулой у = kx, обычно называют прямой пропорциональной зависимостью, а число k — коэффициентом пропорциональности. Например, путь, пройденный телом при движении с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени движения. Масса газа постоянной плотности прямо пропорциональна его объему. Если у прямо пропорционален х, то при увеличении значения х в несколько раз значение у увеличивается во столько же раз. Часто встречается такая зависимость у от х, что при увеличении значения х в несколько раз значение у уменьшается во столько же раз. Эта зависимость называется обратной пропорциональностью и выражается формулой у = —, где k>0, X х>0. Например, при равномерном движении скорость прохождения одного и того же участка пути обратно пропорциональна времени. Плотность вещества при постоянной массе обратно пропорциональна его объему. Упражнения 556 Книга стоит 20 р. Выразить формулой зависимость между купленным числом п экземпляров этой книги и уплаченной суммой у, выраженной в рублях. Чему равно 1/(6), 1/(11)? 557 Автомобиль «Волга* движется по шоссе со скоростью 80 км/ч. Записать формулу, выражающую зависимость длины пути S (в км) от времени движения t (в ч). Чему равно: 8(3), 8(5,4)? 558 Построить график функции: 1) у = 3х; 2) у = 5х; 3) 559 Построить график функции: 1) у = 1,5х; 2) j/ = -2,5x; -4х; 4) у=-0,8х. 3) у = -0,2х. 134 560 Построить график функции: 561 562 563 1) у = 2-х; 2) у = -х; 3) у = 0,6х. Построить график функции, заданной формулой у = -1,5х. Найти по графику: 1) значение у, соответствующее значению х, равному 1; 0; 2; 3; 2) значение х, если значение у равно -3; 4,5; 6; 3) несколько целых значений х, при которых значения у положительны (отрицательны). Построить график функции, заданной формулой у=0,2х. Найти по графику: 1) значение у, соответствующее значению х, равному -5; 0; 5; 2) значение х, если значение функции равно -2; 0; 2; 3) несколько значений х, при которых значения у отрицательны (положительны). Построить график функции и указать, внутри каких координатных углов расположен .чтот график: 1) У = -^х; 2) У = ~х; 3) у=4,5х; 4) у = -4,5х. х.если х> о, -X, если х сс ю н к • Н о + I со O’ ^ н + I СЛ СЛ W ^ ‘■’I СЛ 05 to ^ ч: >(>. I S- to ‘ Н >(>- ьо ^ ‘ 7 с» I /-^ tSD О ‘ ‘Т Ю М н н + Ч; II W СО ” « I + ^ to со н + ч; |(^ to • СО| н ^э| С» 4^1 н СЛ| Н + I со ««г + to I о>| С г ■ Г- г. с г ‘■ i f Г’ J Бросают две игральные кости (на рисунке 28 изображена игральная кость — кубик с отмеченными на его гранях очками, а также развертка этого кубика). Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей? ► С помощью составленной ниже таблицы пар выпавших очков можно утверждать, что число всевозможных пар равно 6 • 6 = 36. Число очков Число очков на II кости на I кости 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 Ответ 36 пар. “i Для решения задач, аналогичных задачам 1 и 2, необязательно каждый раз составлять таблицу вариантов. Можно пользоваться следующим правилом, которое получило в комбинаторике название «Правило произведения»: Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует п • т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. 178 Задача 3 Катя и Оля приходят в магазин, где продают в любом количестве плитки шоколада трех видов. Каждая девочка покупает по одной плитке. Сколько существует способов покупки? ► Катя может купить плитку любого из трех видов шоколада (п = 3). Оля может поступить аналогично (т = 3). Пару шоколадок для Кати и для Оли можно составить п ■ т = 3 ■ 3 = 9 различными способами. Ответ 9 способов. Задача 4 Ответ Имеются три плитки шоколада различных видов. Катя и Оля по очереди выбирают себе по одной плитке. Сколько существует различных способов выбора шоколадок для Кати и Оли? Допустим, первой шоколадку выбирает Катя. У нее есть 3 возможности выбора плитки (« = 3). После этого Оля может выбрать одну из двух оставшихся плиток (т = 2). Тогда число способов выбора пары шоколадок для Кати и для Оли найдем так: л • m = 3 • 2 = 6. 6 способов. 2)? Решим задачу с помощью полного графа, имеющего п вершин. Каждое ребро этого графа определяет искомую пару элементов. Из каждой вершины выходят (п – 1) ребер. Число (л – 1) • л в 2 раза больше, чем число ребер, так как при таком подсчете каждое ребро учитывается дважды. Следовательно, число искомых пар (ребер графа) (л -1)л N=- (1) N = (n-l)n 2. Граф-дерево В § 38 решалась задача о способах рассаживания троих друзей на трех местах во время футбольного матча. Рассмотрим составление всевозможных упорядоченных троек друзей с помощью графа, называемого деревом (за внешнее сходство с деревом). Задача 4 Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места? ► На 1-е место может сесть любой из троих друзей, на 2-е — любой из двоих оставшихся, а на 3-е — последний. Сказанное изобразим с помощью дерева, помещая в вершины графа первые буквы имен друзей А, Б и В: I место II место III место Упорядоченные тройки друзей АБВ АВБ БАВ БВА БАБ ВБА Итого: 6 способов Ответ 6. 183 Задача 5 Ответ Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр О, 1,2, если цифры в числе могут повторяться? Первой цифрой составляемого трехзначного числа может быть либо 1, либо 2. Второй цифрой может быть любая из трех данных цифр; третьей — также любая из цифр О, 1, 2. Изобразим сказанное с помощью дерева: Образовавшееся I цифра II цифра III цифра число 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222 Итого: 18 чисел 18 чисел. О Ребра графа, являющегося деревом, иногда называют ветвями дерева, а само дерево — деревом вариантов. Вычерчивать дерюво полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов. Дерево вариантов дает наглядное представление о том, как применяется правило произведения для подсчета комбинаций из большего, чем 2, числа элементов. Действительно, например, в задаче 5, 184 согласно правилу произведения, первые две цифры числа можно было записать шестью способами (2 • 3 = 6). Третью цифру к уже двум имеющимся можно было, согласно правилу произведения, приписать (2 • 3) • 3 = 18 способами, т. е. существует 2 • 3 • 3 = 18 всевозможных трехзначных чисел, записанных с помощью цифр О, 1 и 2. Задача 6 В меню столовой предложены на выбор 3 первых, 5 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого, одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного меню? ► Согласно правилу произведения таких обедов можно составить 3 • 5 • 4 = 60. Ответ, ‘ 60 вариантов обедов. Упражнения Упражнения 712—717 выполнить с помощью графов. 712 При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1) трое; 2) четверо: 3) пятеро? 713 По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрю-че участвовали: 1) 3 человека; 2) 4 человека; 3) 5 человек? 714 Маше на день рождения подарили три букета цветов: из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой. 715 В каждую из трех ваз: хрустальную (х), керамическую (к) и стеклянную (с) — пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов: из роз (р) и гвоздик (г). Перечислить все возможные варианты установки в каждую вазу каждого букета. 716 Перечислить все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго и одного третьего блюда), если в меню столовой имеются два первых блюда: щи (щ) и борщ (б); три вторых блюда: рыба (р), гуляш (г) и плов (п); два третьих: компот (к) и чай (ч). 717 Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые (с), бежевые (б) и зеленые (з); свитера двух расцветок: 185 песочный (п) и малиновый (м); ботинки двух цветов: черные (ч) и коричневые (к). 718 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр: 1) 1 и 2; 2) О и 1? 719 Сколько различных трехзначных чисел, в записи которых цифры могут повторяться, можно записать с помощью цифр: 1) 1, 2, 3, 4; 2) О, 1, 2, 3? 720 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? 721 Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8, 9, О при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными? 722 Вася забыл вторую и последнюю цифры пятизначного номера телефона приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Васе, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до приятеля? 723 Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить? 724 Сколько существует способов занять 1, 2 и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд; 2) 11 команд? 725 При игре в крестики-нолики на поле размером 3×3 клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ставит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем 3-м ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполненных клеток после: 1) двух ходов; 2) трех ходов; 3) четырех ходов? 726 Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 7А классе должно быть 5 уроков, причем обязательно один сдвоенный урок — алгебра. Сколько различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу, если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы, истории и физики? 727 Имеется 7 книг, причем две из них одинаковые, а остальные книги отличаются от этих двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на книжной полке при условии, что одинаковые книги в любой последовательности должны стоять рядом? 728 Сколько ребер имеет полный граф (каждая вершина соединена с каждой), если количество его вершин п, где: 1) л = 12; 2) л = 37? 186 729 Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на дежурство по столовой, если в классе; 1) 24 учащихся; 2) 25 учащихся? ■X- Упражнения 730 731 732 733 С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: 1) должны быть разными; 2) могут повторяться. С помощью цифр 7, 8 и 9 записать всевозможные трехзначные числа при условии, что цифры в числе должны быть различными. Перечислить все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 8, 9 и О, если: 1) одинаковых цифр в числах не должно быть; 2) цифры в числах могут повторяться. 1) У лесника 3 собаки; Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак. 2) Из трех стаканов сока — ананасового (а), брусничного (б) и виноградного (в) — Иван решил последовательно выпить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать. Проверь себя! С помощью цифр 8 и 9 записать всевозможные двузначные числа, в которых цифры: а) должны быть разными; б) могут повторяться. Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 8 и 9. Анна (А), Велла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять свои места. 734 Сколькими способами могут быть заняты первое второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек. 735 Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой? 187 Упражнения для повторения курса алгебры VII класса I. >. I. I. I • • I. I. I. I. I • 736 Найти значение числового выражения: 1) (-1,5 + 4-2,5)(-6); 2) (2-3-7 + 7,9)2; 4) (2-5 + 7-1)2:(-3)2-21; 0,96 1 4,5 “‘’Э’ 737 738 739 740 741 3) (l-jj:(-l,e-3,3+5); 6) в, (0.2)^ -3i + l,9 i-0,75 5 2 Сумма двух чисел равна 30. Одно из чисел а. Записать удвоенное произведение этих чисел. Вычислить значение этого произведения при а = -2. Составить выражение, показывающее, сколько единиц содержится в натуральном числе, состоящем из а сотен, Ь десятков и с единиц. Сколько единиц в числе, написанном теми же цифрами, но в обратном порядке? Сколько граммов содержат а килограммов и с граммов? Ответ записать выражением. Найти числовое значение алгебраического выражения: 1) 2а + Ь при а — ■ г> = -3; 2) 4а-= -1 при а ■■ Ь—2а ‘ 2’ ‘ 2а+1 Рещить уравнение (741—744). 1) 2<х-1) = 3(2л:-1); 2) 3(1-л:) = 4х-11; 3) 3-5(д:-1) = л:-2; 4) 3(л;-2)-2(х-1) = 17. 188 742 743 744 745 746 747 748 749 1) 2х+1 = 6; 2) 1) 7-- = 3 2 —■ Т’ Х-1 _ 1_ 04 1 ’ 3~2~2’ 2) 9- —= 7 + -; 3 3 ..4 , X 1 4) -х-1 = - + ~. 3 9 6 3) 1) 3) 5- хч-3 2 6х+7 = х-4; 3+5х 4) 2-Зх = -12 8 = 3; 2) 2 2х-1 2х-5 4х+2 4) 5 х-5 3 2х + 1 = 1; -7. 5 3 В трех коробках находится 119 карандашей. В первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй, и на 3 карандаша меньше, чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке? Отцу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет отец будет втрое старше сына? Катер прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч? Вертолет пролетел расстояние между двумя поселками при попутном ветре за 1,5 ч, а при встречном ветре за 2 ч. Каково расстояние между поселками, если скорость ветра оба раза была равна 10 км/ч? Упростить: 1) 2) 3) (6® Ь^ь (75 -Ь^; 4) з" б* / / \2 ч4^ (^) -(^) и 750 751 752 Найти произведение одночленов: 1) -12a*bc^d’5a^d'‘ -(-Sb^cd^y, 2) 49а^бс^ :^ас; 3) ^-^аЧ^сУ^аЬс^; 4) Возвести одночлен в степень: 1) (-Zab^f -, 2) (-0,800^)“=; 3) (-|абс*] ; 4) (-аб^сз] . Упростить выражение: 1) 2a^ + 2ab + 3b^-a^-2b^; 2) цЗ 4- аб + б^ +<2а^ +ЗаЬ-2Ь^) + (а^ + аЬ + 2Ь^); 3) 7аЗ-|-2бЗ-(6аЗ-нбЗ); 4) 40^ + 2а-(-1-(И-2о-4а2). 189 753 754 755 756 757 758 Выполнить умножение многочлена на одночлен: 1) (а^ - ab + b^)'Zab^', 2) (2m^ - 3mn+4л^ )• 3) (6а*-4а6^ +l)*ia&; 4) (8m^-7т^л + 1)-^лгл. 2 о Выполнить умножение многочленов: 1) (а^+3а6 + &2)(7а-56); 2) <За^-баЬ^+ 2Ь^П4аЬ-1); 3) (a + 3ft-4c)(a-3b-4c); 4) (т + п-2)(т-п+2)\ 5) j(15a-30b); 6) +4а + 1 |(За-1). Найти значение выражения: 1) 12а^Ь^ :(3а6^ ) при а = —, Ь = 4 9 2) <-49т^п*) :<7тп'*) прит = ^, л = 1; 3) <4a^b + 6a^b):(2ab^) прио = -1, 6 = 5; 4) (12а^ - 24а® + 12а® ): (6а^ ) приа = ^. 4 Упростить (756—757). 1) (а + 1)(а-1)(а®+1); 2) (1-26)(1 + 26)( 1 + 46®); 3) (2а6® + 3)(3-2а6®) + 4а®6‘‘; 4) ^|-5j|^5+|j+25. 1) (а+3)®+(а-3)®; 2) (4а + 6)®-(4а-6)®; 4) (1-76)®-(1 + 76)®. Разложить на множители: 1) а-'+6а®+9а®; 2) 4 + 86 + 46®; 3) (1-а)®-4; 4) 25-(2-За)®. 759 Сократить дробь: 1) а® - 8а -16 2) 4-а“= а + 2 3) 4х^ 2дг® + Здг 4) 36®-12Ь + 12 6®-4 ■ Выполнить действия (760—764). 760 761 а-Ь а-с аЬ ас 1 1 1) 3) ,, , а-1 а® -1 За 1) 1 + а----+-----------; а 2а 2 3) а® + 5а-4 2а 16-а® 8а + 2а® 190 2) -V + -T + - а® а6® а®6 .4 2 3 4) —Г- + - 2) Зд:®1/ Ьху‘‘ 4у‘‘ а® - 36® 2 а6+ 6® а6® 4)^: - + — + ■ аЬ а'^Ь^ ) 2 4 + — — 36 3 6-6 762 1) а^-1 1-а^ 2) 31/ 2х 3) 1 + За + 4) 9а^ lf3a За—1 1—9а^ 4х‘ -9!/‘ 91/^ - 4 X' 6а 2 ’ 763 1) 3) 764 1) д;2 - 1/2 12x^1 6X1/ Х+1/ а^ + 4а 4а + 16 ■16 а‘^-4а 2) 4) 8аЬ-8Ь^ _ а® - аЬ^ _ + а6 46^ 5а®6 + 5а6* lOaft За^-ЗЬ^ 3) а^ -f 2а^ (а + 1)^(а-1)^ а^-1 а^(а-ь2) (а^ + аЬ)^ (а+ Ь)^ 2) 4) 1-81Ь^ аЬ + 2^ а^Ь^-4 1-9Ь’ 2cd + 4d^ 4c^-16d^ а^-6^ (ab-b^f 12c-6d I6c2-4d^ Выполнить действия (765—766). 765 766 767 1) [^ + l]:[l—^1; 2) f-^ + 1 Va + 1 a + ly \^a-bl 2a^ l-2a^ 3) 1-а2 _ l-ft2 _ 1+ ft а~ ( \+— < 1-а 1) < хл-у х-у 4 (/2 х-у х+у 4) a + b-a 1+ ab ^ q( - &2 2«2 + 3oi>+ б2 199 8;>9 в 13 ч в бассейн начали наливать воду из одной трубы для того, чтобы заполнить его к 16 ч следующего дня. Через некоторое время включили еще одну такую же трубу, так как потребовалось заполнить бассейн к 1 2 ч дня. Во сколько часов включили вторую трубу? 840 Электропоезд проехал мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м — за 15 с. Каковы длина электропоезда и его скорость? 841 Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист, и через час он был на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час велосипедисту оставалось до В расстояние, вдвое меньшее, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние АВ равно 27 км. 842 Из пункта А вышел пешеход, а из пункта В навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их встречи пешеход продолжал идти в В, а велосипедист повернул назад и тоже поехал в В. Известно, что пешеход прибыл в £ на 2 ч позже велосипедиста, а скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста? 843 Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще t секунд после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в s метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. 844 В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают i часть раствора и выпаривают до тех пор, 5 пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3%. Определить исходное процентное содержание соли. 845 Дорога из пункта А в пункт В длиной 11,5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход путь от А до В и обратно от В до А прошел за 6 ч. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, по равнине — 4 км/ч, а под гору — 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идет по равнине? 200 846 Два автомобилиста проехали по 240 км. Первый половину всего пути делал остановки через каждые 4 км, а другую половину — через каждые 5 км. Второй четверть всего пути делал остановки через каждые 3 км, а оставшуюся часть — через каждые 6 км. Какой автомобилист сделал остановок больше? 847 Двое учащихся на одинаковую сумму денег купили тетради: тонкие по а рублей за тетрадь и толстые по Ь рублей за тетрадь. Первый из них половину своих денег истратил на тонкие тетради и половину — на толстые. Второй купил на свои деньги тех и других тетрадей поровну. Кто из них купил большее число тетрадей? 848 Два автобуса отправились одновременно из одного города в другой по одной и той же дороге. Первый двигался с постоянной скоростью 60 км/ч. Второй половину всего пути двигался со скоростью 50 км/ч, а остальную часть пути — со скоростью 70 км/ч. Какой из автобусов первым прибыл во второй город? 840 На соревнованиях два велосипедиста стартовали одновременно. Первый ехал всю дистанцию с постоянной скоростью. Второй первую половину дистанции ехал в полтора раза быстрее, а вторую — в два раза медленнее первого. Кто из них выиграл гонку? 850 На соревнованиях по спортивной ходьбе первый спортсмен прошел четверть всей дистанции со скоростью 12 км/ч, а остальную часть — со скоростью 8 км/ч. Второй спортсмен прошел половину дистанции со скоростью 10 км/ч, а остальную часть — со скоростью 9 км/ч. Кто из них был первым на финише? 851 Два пешехода прошли одинаковый путь. Первый половину всего пути шел со скоростью 5 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью 3 км/ч. Второй пешеход половину всего затраченного времени шел со скоростью 5 км/ч, а остальное время — со скоростью 3 км/ч. Кто из них быстрее прошел весь путь? Краткое содержание курса алгебры VII класса • I. I. «. I. I. I • 1. Алгебраические выражения Числовое выражение образуется из чисел с помощью знаков действий и скобок. Например, 1,2-(-3)-9 :(0,5-н1,5) — числовое выражение. Порядок выполнения действий. Действия первой ступени — сложение и вычитание. Действия второй ступени — умножение и деление. Действия третьей ступени — возведение в степень. 1) Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец, действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступени выполняют в том порядке, в котором они записаны. 2) Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все действия над числами, заключенными в скобках, а затем все остальные действия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1). 3) Если вычисляется значение дробного выражения, то сначала выполняются действия в числителе дроби и в знаменателе, а затем первый результат делится на второй. 4) Если выражение содержит скобки, заключенные внутри других скобок, то сначала выполняются действия во внутренних скобках. Алгебраическое выражение образуется из чисел и букв с помощью знаков действий и скобок. Примеры алгебраических выражений: 2(т+п); 2а + 2аЬ-1\ (а-Ь)^; 3 202 Числовое значение алгебраического выражения — число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами. Например, числовое значение выражения За + 2аЬ — 1 при о = 2 и Ь = 3 равно 3-2н-2’2*3-1 = 17, а при а = -1, 6 = 5 равно 3-(-1) + 2-(-1)-5-1 = -14. Алгебраическая сумма — запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаками « + » или * —». Правила раскрытия скобок. 1) Если к алгебраическому выражению прибав.чяется алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак «ч-» перед скобками можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы, например: 14+(7 – 23-1-21) = 14-1-7 – 23-н 21, a-h(b-c-d) = a-i-b~c-d. 2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то скобки и знак ♦-» перед скобками можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный, например: 14-(7-23-ь21) = 14-7-1-23-21, a-(b-c-d) = a-b + c-i-d. 2. Уравнения с одним неизвестным Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Пример уравнения: 2х + 3 = Зх + 2, где х — неизвестное число, которое нужно найти. Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 3 является корнем уравнения х + 1 = 7 — х, так как 3 -ь 1 = 7 – 3. Решить уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет. Линейное уравнение — уравнение вида ад: = б, где аиЬ — заданные числа, X — неизвестное. Основные свойства уравнений. 1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. 2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. 3. Одночлены и многоч.дены Степень числа а с натуральным показателем п, большим единицы, — произведение л множителей, равных а, т. е. а” =а-а-. -а. 203 Например, 2® = 2-2-2, т’^ = тчпчп’тчп. В записи степени а” число а — основание степени, п — показатель степени. Например, в записи степени 2® число 2 — основание степени, число 3 — показатель степени. Первая степень числа — само число: а* = а. Например, 3* = 3, f-T— 1,13) 13 Квадрат числа — степень этого числа с показателем 2. Например, 5^ — квадрат числа 5. Куб числа — степень этого числа с показателем 3. Например, 4* — куб числа 4. Основные свойства степени. 1) При умножении степеней с равными основания.ми основание остается прежним, а показатели степеней складываются: а” •а'” = а”*”‘. 2) При делении степеней с равными основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются: дП . дШ _ ^п-т ^ 3) При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются: (дП)т _ длт^ 4) При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель: (а-Ь)” =а” •Ь”. 5) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель: Стандартный вид числа, большего 10, — запись числа в виде а-10″, где Ка -4а ~ 6 V х+ у _(х^ – у’^ )’Ах _2(х-у) 2ху 4х 2ху(х+у) у 6. Линейная функция и ее график Прямоугольная система координат на плоскости — две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей длины. Эти прямые называются осями координат: прямая, изображаемая горизонтально, — осью абсцисс, а прямая, изображаемая вертикально, — осью ординат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — Ох, ось ординат — Оу. Координатная плоскость — плоскость, на которой выбрана система координат. Функция. Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция. При этом X называют независимой переменной, а у(х) — зависимой переменной, или функцией. Линейная функция — функция вида y = kx + b, где к нЬ — заданные числа. График функции у (д:) — множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; г/(х)). Например, график функции у(х) = 2х+1 — множество всех точек плоскости с координатами (х; 2 х + 1). График линейной функции y = kx + b — прямая линия. При 6 = 0 функция принимает вид: у = кх, ее график проходит через начало координат. 207 Прямая пропорциональная зависимость: у = кх, где k>0, д:>0, k — коэффициент пропорциональности. Например, в формуле s = vt путь s прямо пропорционален времени t при постоянной скорости V. ^ Обратная пропорциональная зависимость: у = —, где Л > О, л:> О, k — коэффициент обратной пропорциональности. ^ Например, в формуле V = — объем газа V обратно пропорциона- Р лен плотности р при постоянной массе т. 1. Системы двух уравнений с двумя неизвестными Обилий вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными: \а^х + Ь^у = с^, \а2Х-¥Ь^у = С2. где Oj, i)j. С], fl2, &2’ — заданные числа, х, у — неизвестные числа. Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство. Ux-y = 2, \5х+у = 7 является пара чисел Например, решением системы х=1, у = 2. Решить систему — это значит найти все ее решения или установить, что их нет. При решении систем уравнений применяются следующие способы. 1) Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают через другое и подставляют в другое уравнение системы. 2) Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных, почленным сложением или вычитанием уравнений системы исключают это неизвестное. 3) Графический способ. В одной системе координат строят графики уравнений системы и по их взаимному расположению определяют число решений системы; находят координаты общих точек графиков (если они имеются). 8. Комбинаторика Правило произведения. Если существует п вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть т вариантов выбора второго элемента, то всего существует л-т различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Например, с помощью трех букв а, Ь и с можно составить 3*3 = 9 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы могут повторяться, и 3*2 = 6 различных двухбуквенных кодов, в которых буквы будут различными. 208 Ответы 2. 2)2-i-2,7. 3. 2)40-0,03=6:5; 4)3-(2 + 6)=2-(2-6). 4. 6130 р. 5. 2) 10,7; 3 4) 15,85. 6. 2) —; 4)4-; 6) 0,03. 7. 2) -0,02; 4) 3. 8. 2), 4) Верно; 6) неверно. 56 7 10. Не успеют. 11. 2) |(c-d); 4) 12. 2) 0; -12,1; 4) 5; -0,675. 13. 2) eOffi; 4) 60m+ i + —. 14. 2) 2. 15. 2) 0,33—16. 2) -0,1; —. 60 ’ 0,27 ^ 40 17. 2) Не может; 4) не может. 18.5=2, с=0, или 6 =5, с=0, или 5 =8, с=0. 19. р = 6дг + 3(/. 20. т = 15а + 205. 21. т = а 22; 4) fil >fil . 154. 2) Нет; 4) нет. 155. 2) 3,08-10’2 156.5,1-10®; 10’2. 157. 10 кг. 158. 2) (-7)2;(-0,4)®; j ; (-1,5)2. 159.2)9 / . \12 4)0. 160. 2)а2; 4)(3г>)^ 161. 2)3“>; 4)(-6)‘2. 162. 2)(-^1 ; 4)54”; 2) 10®® >20’®; 3) 100®® >9000’®; 4)3’*® >6®® 206. 1) 790; 2) 4; 3) 4) i. 207. 2) За®5; 4) 100л. 208. 2) 1. 210. 2) г” 4) т*; 6) 72р®7®; 8) —^x®i/®. 211. 2) 2. 212. 1) *236; 2) *5,31; 3) *19,5 33 4) *21,4. 213. 2) 35т®л; 4) -45®. 214. 2)-21а®5®с®; 4) ~а*х^у* О 215. 2) -15л®т®; 4) -26а’‘5‘‘с®. 216. 2)255®; 4) 4а®. 217. 2) -а’®5®с® 4) 16х®1/’®. 218. 2) —л®т®; 4)0,16ав5″. 219. 2) -2а”; 4) а®5®с®р® S1 220. 2) 4) 6)-63/п®п». 221. 2) 204,8. 222. 2) блу 223. 2) а®5®. 224. 2)(4х®)®; 4)(9х®г/)®; 6) (1,1а ®. 302. 2) 0,09-т»; 4) 0,04а »-0,25х». 303. 2)-205» + 175с-165р-3е»+4ср; 4) 9а»-24а5 +155»+12ас-205с. 304. 2) 9х»; 4)-9х»-Зх. 305. 2) х=0,36. 306. 125%. 307. 308. 2) 4)3®”*». 309. 2) я =7; 4) л =5. 310. 28 учеников. 311. 5уч. 312. 5 +2т-я. 313. 2) х=0,01. 314. 1) 330; 2) 315. 317. 1061,21; 1104,08; 1218,99. 318.2) 177,45. 319. 2) З(а-х); 4) 6(а + 2). 320. 2) 7(За-5 + 6); 212 4)3(3дг-г/ + 5г). 321. 2)c(d + 6); A)x(l-y). 322. 2)36(d-l); 4)3p(2*-l). 323. 2) a®(a-3); 4) x^y^(y-x). 324. 4×2^(5xi/+1). 325. 2)2x^y^(y^–x^+2xy). 326. 2) x(i/-x + 2); 4) 46(5 + 2a-3a^). 327. 2) 18 700; 4)-1,62. 328. 2) (a + 5)(6-c); 4) (i/-3)(l+6). 329. 2) (m-3)(3n + 5m); 4) (c-d)(7a-26). 330. 2) (x+(/)( +6®^ 4) (a^+26^)(x +p). 331.2) (6-c)(a + c): 4) (x-p)(26 + l). 332. 2) (a-2)(6-a); 4)(m-2) (a*-6). 333. 2) (х-1/Кл:-1/-3); 4) (6-3) (a-1+6). 334. 2) 16; 4) 48. 335.2) 2(o-6K3a-26); 4) (a-6)^(2a-6). 336. 2) 2a2(a + IXa + 2); \)Ър(р +q) <2p-q). 337. 1) x, =0, Xj =2; 2) x, =0, Xj =-3; 3) x, =0, X2=-0,6; 4) X, =0, x = l^; 5) Xj =0, X2 =2, Xg =4; 6) x, =0, Xg =1, Xg=-. 339. 2) (oi-n)(l + p); 4) (x-uXl + 2a). 340. 2) (p-l)(4g + l); 4 4)(p-l)(4g-l). 341. 2) (c + dX«-36X 4) (a-36) (x + 5p). 342. 2) 5(x+i/X2x + 1X 4)(32^+2y2xi6x-5p). 343. 2) (2n6 + 5m)x x(3m6-7n^X 4) (5c-3x)(86-3c). 344. (p-x^)(6 + c-aX 4) (a-6)x x(x2 + P-X). 345. 2) -0,625; 4)-0,33. 346. 2) 12 500; 4) 28. 347. 1) Xj =4, Xg =-l; 2) X, =4, Xg =-7; 3) Xj =2, Xg =-0,2; 4) Xj =-4, Xg =-j. 348. x^ -3x. 349. l)(x + lXx + 2X 2)(x-2)(x-3); 3) (x + l)(x-8X 4)(x-l)(x+10). 350. l)(a-lXa2 + З0 + З); 2)(x-l)(x + 3)(x-2X 3)(a + lXa® - a + 1); 4) (a-l)(a + lX2a2+ 1). 351. 2) ^|аб| ; (0,5xp)2; (0,4m2)2; (0,9n®)^ 352. 2) (2a -3)(2a + 3); 4) (9a -46)(9a + 46). 353. 2) |^|a " j: 4) (0,3x-0,4p)(0,3x + 0,4p). 354. 2) (xp*-4)(xp^ + 4); 4) (5a-36®)x x(5a + 36®). 355. 2) (a-6^ )(a+ б2)(a*+6 4) (2х + 9Х8х + 5). 417. 2) i/=3; 2 4) !/ = -g! 5) X = 2. 418. Площадь прямоугольника меньше площади квадрата на 144 м®. 419. 240 км. 420. 1 ч 12 мин. 421. 2) -390,5. 422. 1) а® -6® --26С-С®; 2) а®-6®+26С-С®. 423. 1) 5; 2) 26. 424. 1) х=2; 2) х=3; 3) х = 2; 4) х=0,2. 426. Верно. 427. -6® (0-6)® . 428. d® 2cd . 430. 2) 6^0; 4) а^З. 431. 2) 0 = S-Sn -2-. 432. 2) 0=9; 4) о=-с6; 6) o=4m®. 434. 2) i; i 3 4) -2. 435. 2) -§; 4) 436. 2) 4) —6) 437. 2) —Ц-; 7 3o 5 3(0-6) 3 o(a-6) 4) . 438. 2) 4) 6) 439. 2) -^; 4) 5; 6) -f m-л т-л 2a+3 1-6 p-g 4 3o+26 1 1 440. 2) 5o6 ; 4) --i-. 441. 2) 2o+36 o6 0 + 6 ; 4) 5+x. 442. 2) 10-76; 4) 6) 4) o® -6® 10(m + Л) 3(m - П) 443. 2) 6+7 ; 4) 5+ у ^ . 444. 2) л-т; 4) —445. 2) l-2p 5-2x 4o-l’ . 446. 2) 0+6; 4) x-y 3-2x . 447. 2) 4) p®(x-p). 448. 2) -Ц. 449. 1) -25; 2) 0,5. 450. 1) i; 2) -3; 3) 2; 4) -i. 451. 2) 4) 2 о 14 14 2b 2b . . 36® 2a® 2^ ^ . .. 3o® 2(0® + 6® ) o(3-g) ' 4o6’ 4o6’ 4o6’ 6o6’ 6o6’ 48o®6®’ 18o®6® ’ 18o®6® ’ 21i/® 310x®i/ 80x® 7o(3x+i/) 66(3x-i/) 6x 4) ---7-г>—TT> —–ГТ- 454. 2) ———-—, ————4) 60x®!/® 60x®j/® 60x®i/® X 7o o(x-3) 8(x+ y) 455. 2) X® -9 4) 9x®-p® ’ 9x®-i/® ‘ 3(x+y)’ &x(x+y) 7xy(x-y) 3 x®-y® x®-p® 214 456. 2) 4) ____________5c 6(c-2) ^ 5^ + 3a + 9 —-^—-. 459. 2) x = —; 4) л: = 1^-. 460. 1) , , , c(4a*-9) 3 6 a®-27 a®-27 -27 3(л;2-2д:-ь4) x + 1 (x + 2)^ 2m(m + n) 9 л ’ 9 л* 9 ..ч » 2п(т^ -n^) x^ +8 (m + n)(m -n)^ 4) д:® -hS ft-1 (m-fn)(m-n)® (n + n)(m-n)^ 2(A + 1)2 3(fe2-l) (fc-lXfe-t-l)^’ (fe-l)(fe-bl)3’ (fc-l)(ft + l)3’ 461. 1) X*” -y^”; 2) a2« 402. 2) 4) 463. 2)—; 4) c’ a^ 5ft 12d o,4c^+2c-3 .^mn-bn^+m^ оч4а’*-21с<>^ b(cd‘^-r d + c) 464. 2)———–: 4)————–. 465. 2)—–——; 4) – 466. 2) —4) . 467. 2) 2(l-x)’ 10(y-3) 4) 2^^ + 3×4-2 T. ” P.; 4) ISa^ft^ 5ft^ -2a^ . .. a+ b-y ab(x+ y)’ ab 2(4a-f4fc-35) . 468. 2) c^d^ x-l x^ -16 „2 . 3p-q 26-5 . 470. 2) x2 -9 6n — 47 . -49 4) ^4i/^ -b y+1 2) ^^Д~^4 . 4h- 7m 7n 2) 4) -^. l-9i/^ (За-1-l)^ (m-n)^ b-2 a-^l 473. 2) 4) 6) ;.. 474. 2) -1; 4) ~4- 475. 2) x^-y^ (3x+lf a(4a^-1) (a-2)(a^-4) ; 4) 476. 2) x = l; 4) г =15. 477. 1) -f-; (x^-9)2 o*-1 a^-4-8 a®-b 6® 21-m^ 19 a^”-b^” 2) a” -6″ a”(a” -^ ft” ) . 480. 1) ~i 2) 7,5. 481. 2) —; 4) 483. 2) 13 4) 484. 2) 18a^ a®6® ;4) 2y d^ -. 485. 2) 4) 2a^d2 22f^n 5c^ 3c 6) be 486. 2) —; a(a+ b) h 4) 3ft; 6) -Ц—-. 487. 1) ^-; 2) – 1 -; 4)- -. 488. 2) -2,25; 3ft ‘ 3(l+a) Зm^(m-^n) 3(a-ft) 4) -2. 489. 2) Верно. 490. 2)6-3; 4) (a-l)(2a-1). 491. 2) x = -4: 4) x=49. 492. 1) x = —^—; 2) x=b(a+b); 3) x = ^^-^; 4) 493. 1)-^-х a-b a-b a 8 x(o^-62); 2) -^(a^-ft^); 3) n-i-m; 4) ————— 7 2(p^ -pc+ c^) . 495. 2) f(a-i-l); О 4) 1; 6) 496. 2) 497. 2) „. 498. 2) ^ ft^ +1 a^ -ft-* 6(c-(- d)’ 215 4) 499. 2) —4) 500. 2) 4) л + 2. 501. 2) 5—!^; 4) ——. т-2 а+Ь с а + 1 4а т-п 5 d-c 2n(2n-k) Ь(х-Ь) 2q(m-2q) 502. 2) l4: 4) 2. 503. 1); 2 3 —-4) ^ V 6 d 2n + k x+b m + 2q 9n^ 506. 2) x = -2; 4) x=0. 507. 2) x=^; 4) x = i508. 2) jc=0,5; 36 Д .4 „2 6-36^-14 28n^ + 9nm-4m^. 4) x = -2—. 509. 2) 2,5. 510. 2) ——–; 4) ————–; 15 6(fc2_i)’ m(4n‘-m‘) ,2-A^-h x(x+2Xx-3) 6) 4) 40*^ -4a – b a(a + 2) 1 511. 2) ^^lP (x-2)(x+ 3)(x^ +2)’ 4) 1. 512. 2) a-b E10 El .1 “в E1E aft . 513. —- КГ. 514. — KM. 515. —–^-s km. 516. —– ч. c(a+b) V V v+v, a+b 517. Ч. 518. 2) Й, =- Я, -Я a + Ui 519. 10 M. 520. 1) 4a^ +2a + l’ „V 9a^ – 3ab+ b^ 6-c 5+76 2 2a 2) ———–: 3) —-; 4) ; o) a + 1. 521. 1) 2) ; b 6 + c 5-76 0^-1 a® + 8 3) f ,: 4) „. 530. П(1; 5). 531. 5. 532. -2. 533. a) (5; -3), (-1; 2), 63’ 27-m® (0; -4), (-2; 0). (-2; -3); 6) (-5; 3), (1; -2). (0; 4). (2; 0), (2; 3); в) (-5; -3), (1; 2), (0: -4), (2; 0), (2; -3). 535. (2; 2), (-2; 2), (-2; -2), (2; -2). 537. 2) 4; 2; 0; -2; -4; 4) -36; -16; 4; 24; 44. 538. 2) t=4. 539. 2) -9; 103; -1,25. 540. 2) дг = -0,5, jc=3,l, x = -14. 541. 2) Верно; 4) неверно. 542. 2)y(-3)=3 верно, j верно, остальные неверны. 549. 2) Нет; 4) да. 550. 2) Да; 4) нет. 551. Р=4х + 6, S = x(x + 3); 1) Я(5) = 26, S(5)=40; Я(2,1) = 14,4, S(2,l) = 10,71; 2) х=8, д: = 10. 552. m(V)=2600F; 1) 3900 кг, 2600 кг; 2) 0,2 м3, 3 м3. 556. 1/ = 20л, i/(6) = 120, i/(ll) = 220. 557. s=80l, s(3)=240, s(5,4)=432. 564. C, D. 567. В 2 раза. 568. 5 т. 571. k = -2. 572. y = 14x. 580. 2) x = -l, x=3, x=\. 585. 2) Нет; 4) нет. 595. 2)k = -3. 596. (13; 0), О (0; 13), 84,5. 597. 2) (2; 8); 3) (2; -3). 598. A = 2|, 6 = 5§. 599. Нет. У у 604. 2) -20. 607. 2) (0; 4), (2; 0); 4) (0; -0,6), (^|;oj (0; -5), (7,5; 0). 615. 2) х = ^, у=Зх + 2; 4) х = у = 616. 2) (^:^)- где д: — любое число. 4) ^ j> где х — любое число. 617. 2) (3; 4); 4) (2; 7); (9; 2). 621. (1; 2); (4; 2). 622. Ci=-1, С2=18. 623. а=5, 6 = -9. 624. 1) Можно. 625. 1 и 8 или 9 и 3. 626. 2) х = 10+ у, у = х-10; 4) х = 11-3у, = 6) х = у = ^^^. 627. 2) (1; -1); О -2.+ 3, ; 4) 1 т-п 1-2а2 GQx^y^ 763. 2) ; 4) -. 764. 2) 4) 765. 2)———– 52 2 аЬ-2 3(c-2d) (а + 1)(1-2а) 4) 5. 766. 2) 772. 2) l^j. 773. 2) (3; 3); 4) (-1; -6); 6) -1 774. 2) (3; 4); 4) I 775. 2) (-2; 4); 4) (3; 1). 776. 20 л, 5 л 777. 20 р., 30 р. 778. -. 779. 4 км/ч, 20 км/ч. 780. 2) х = 1; 4) 8 3 781. 150. 782. 5 = |, 5=|. 784. 2) (3; 1). 785. 200 р., 150 р. 786. 11 и О о 5 лет. 787. 21 км. 788. 2) л:, =-3, =2, дгз =4; 4) 0; -36; 5) л;2 -6х + 8. 789. 2) Л=0при jfi =5, Х2 =^; В=0при x^ =1, =5; 4) лг=^. 790. 2) Про- 3 3 ходит через точку (-3; 5), не проходит через точку (-1; 2); 4) ^ = 6) (-3, 5). 791. 2580 ц. 792. 80 га. 793. 2) 5*; 4) 8а®. 794. 2) 2а2(а2 -1); 4)(35-14аХ16а-75). 795. 1) <аЬ'^с-1)(а^Ь*с^ + аЬ^с+1)\ 3)(2о5 + 5с)х х(4а25 2 -10а5е + 25с2); 3)д2; 4)16а2. 796. 1) (a5-cdX45 + 15с); 2) (тп-1)(т2 + 1Х 3) (а+5-сХп+5 + еХ 4) (1-а ^5X1 + а-5); 5) а2; 6) (т-1)2. 797. 1) (а-1)(а-ЗХ 2) (5-3X5-4V 3) (а-ЗХа^ + За+ 6); 218 4)(jc-lXx-2Xx-r3); 5)(m-2) (m-5X 6)(m + lXm-2). 798. 1) ,2 ^ ь2ч2 2) x^y^-x 2a(b-2a) x‘‘y^(x^ + y^) 3) Ц^; 799. 1) ^ ; 2) 1; 3) 1. 800. 1)--- bn a* + b* b+2a 2, 3, p+2q 4)-J-. 801. 1)6 = 7; 2)6 = 1; 3)6=11; 4)6 = 11,5. 802. 1) i/ = -3; 2) y = x; 3) y = -x + 4; 4) y = -5x + 7. 803. 12 km. 804. 60 km, 12 км/ч, 5 Ч. 805. 8 лошадей, 30 дней. 806. 3 ч, 9 ч. 810. 2400 р. Ответы к заданиям «Проверь себя!» Глава I. 1) а) 120,3; б) -з|; 2)4у + 3х, i; 3) 10а+ 56. 6 3 Глава II. 1) Да, х = -4; 2) х = б) дг=3; 3) 7 м и 8 м. Глава III. 1) 5®, 3^, 2^^, 6*; 2) 36 + d; 3) -\,2Ъа*Ь^с^\0,7m-2n-l; 4) Зт^ -4, -3,8125. Глава IV. 1) 2а^ + 12а; 2) у(х~2); (4а -9)(4а + 9); Зд:^<1 -2х); (х-о)^; (x-l)(3-y);2(a-bf; 3) (а-36)(а + 3); 8. 3. Глава V. 1)6?^0, a?sl, 6;^-2; 2) i 4, 3) ^ а -б2’ *’ 6 ’ х-3’ Глава VI. 1) у=0; :с = 18; нет. 2) Рис. 34, а, б, в. Глава VII. 1) Да; 2) (3; -1); (1; -1); 3) 8 кг яблок, 10 кг груш. Глава VIII. 1) а) 89, 98; б) 88, 89, 98. 99; 2) 888. 889, 898, 899, 988, 989, 999; 3) АБВ, АВБ, ВАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Ответы, указания и краткие решения к задачам для внеклассной работы 814. Показать, что 16** =32-2®®. 815. Показать, что данное число равно 9-37-333^^®+21-37-777332 816. 1) Показать, что 2**^ =8-16‘*®. Последняя цифра числа 16'*® равна 6, так как при умножении чисел с последней цифрой 6 полз'чается число также с последней цифрой 6. Поэтому последняя цифра данного числа равна 8. 2) Показать, что 3**® =27*81^®. Так как последняя цифра числа 81®® равна 1, то последняя цифра данного равна 7. 3) Показать, что 7*®® =49-2401®®. Так как последняя цифра числа 2401®® равна 1, то последняя цифра данного равна 9. 817. 1) 5. 2) Показать, что данное число равно 27® •(27‘*)®® +53® •(53'*)®*, последняя цифра чисел 27'* и 53* равна 1, числа 27® — цифра 9, числа 53® — цифра 7. Поэтому последняя цифра данного числа равна 6. 818. Показать, что данное число равно 32•<32'* )** +43"(43'*)®®. Так как последняя цифра числа 32'* равна 6, то последняя цифра первого слагаемого равна 2, а так как последняя цифра числа 43* равна 1, то последняя цифра вторюго слагаемого равна 3. Следовательно, последняя цифра данного числа равна 5 и поэтому это число делится на 5. 819. Показать, что каждое из чисел 132 и 576 делится на 12. 820. Сначала показать, что данное число делится на 2. Затем показать, что если из степени числа 10 с нату-ральны.м показателем вычесть единицу, то получится число, все цифры которого равны 9. Далее записать данное число в виде (10®®-!) + 219 +(10*® -1)-180, поэтому оно делится на 9. 821. Показать, что л® + 11п = =(л-1) л (л1)+12п и произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6. 822. 1) Показать, что л® + Зл® + 5л + 105 = =(л-1)л(л + 1)+3(л® +2л + 35). 2) Показать, что л® + 12л® + 23л =(л-1)х хл(л- 1)+ 12(л® +2л). 823. Если оба числа тип четные или оба нечетные, то 5т + 7л 2 — четное число, и поэтому число (от + 7л + 2)'* делится на 2^ =16. Если одно из чисел т, л четное, а другое нечетное, то Зт + л + 5 — четное число, и поэтому число (Зт + л + 5)* делится на 2* =32 и на 16. 824. Показать, что 41т + 46л =4(7т5п)+13(т + 2л). 3-0 21,3 5j’ 5-7~2l5~7j’ ■■■’ 99-101“ If 1 1 ^ 1 ____L) сок и 1 If 1 1 ) 1 1 f 1 1 ^ 825. Используя равенства r = ql х' 2l99 lOlJ’ 101-103 2U0I IO3J 21,5 7 , показать, что 1 s=lfl-—1=— 2U 103 j 309‘ 826. Используя равенства 1/1 _J_ 2l4 16, 96-98 If 1 1 , показать, что 1=0,245. ”21,96 98j’ 98-100 2V98 100 J’ — --- 21,2 100, 827. Если оба числа х и у делятся на 2 или оба не делятся на 2, то числа X - у и X + у делятся на 2 и поэтому число х® -i/® =(x-i/)(x+ (/) делится на 4, но число 1990 не делится на 4; если же одно из чисел х, у делится на 2, а другое не делится на 2, то оба числа х-уих+у не целятся на 2 и поэтому число (х-1/)(х + 1/)также не делится на 2, но число 1990 делится на 2. 828. 1) Показать, что данное равенство можно записать так: (х + 1+ i/)(x + l- i/) = 7. Так как делителями числа 7 являются пары (1; 7) и (-1; -7), то задача сводится к нахождению целых решений четырех систем уравнений, решая которые найти искомые пары чисел: (3; 3), (3; -3), (-5; 3), (-5; -3). 2) Показать, что данное равенство можно записать в виде (j/-2+x)(i/ + 2-x) = -4. Так как делителями числа (-4) являются пары чисел (1; -4), (-1; 4), (2; -2) (в любом порядке), то задача сводится к нахождению целых решений шести систем уравнений, решгш которые, найти искомые пары чисел: (2; -2), (-2; -2). 829. Показать, что л^ + 3 3 л + Зл —;----= «“ - ПН— --. Осталось выяснить, при каких целых значениях п п ® +1 является це.тым числом. Заметим, что при л >2 выполняется дробь л + 3 л ® +1 неравенство л( л -1) > 2, откуда л®-л>2, л®+1>л + 3, т.е. числитель дро-л + 3 би л® +1 меньше знаменателя и поэтому эта дробь при л > 2 не может быть целым числом. При л -4, л®+1>-л-3, л® + 1>|л + 31, т. е. модуль числителя дроби ^ меньше положительного знаменателя дроби и по- Л” +1 этому эта дробь не может быть целым числом. Вычисляя значения данной дроби при х = -3; ±2; ±1; 0, показать, что целые значения получа- 2 ются при л = -3; -1; 0; 1; 2. 830. Показать, что х®-Х1/ +yi/® = 1 1 х–у\ + — (/®. 831. Умножить и разделить данное выражение на 2 / 28 (3-1), затем 5 раз применить формулу (а+5К“-5) = а® -6®, получится 220 3^2-1 . 832. Показать, что 4лг*+9i/^-4j: + 6j/ + 2 = (2x-1)^+(3i/+1)^. 833. Показать, что -xy-xz-yz=-((x-y)^ +(у-г)^ + -г (2-х)2). 834. 1) а® +2о2 -3=(а^ -а®) + (3а® -3)=(а-1)(о® +Зо + 3), 2) а®+а® +4=(а® J-8)-(a®-4)=(а*2Ха®-о+ 2); 3) а* + а + 1=(а® + ^а’* + а® )-(«■* + а® + а® ) +