Алгебра 8 класс Учебник Макарычев

3  4x – 3  4 x –1 –

-Algebra Class 8 (Zambak)-Zambak Publishing

2. The Set of Positive Rational Numbers If a rational number represents a point on the number line on the right side of zero, then it is called a positive rational number. a is a positive rational number if a and b are both positive integers or both negab tive integers. 2 –2 2 and For example, are positive rational numbers, and denoted by . 7 –7 7

The set of positive rational numbers is denoted by Q+. Q+ =

a a |  0 and a, b  , b  0> b b

3. The Set of Negative Rational Numbers If a rational number represents a point on the number line on the left side of zero, then it is called a negative rational number. a In short, is a negative rational number if a is a positive integer and b is a negative integer, b or if a is a negative integer and b is a positive integer. –5 5 are negative rational numbers. We can write negative rational and 4 –4 5 –5 5 numbers in three ways: –   . 4 4 –4

The set of negative rational numbers is denoted by Q–. a a Q– = < |  0 and a, b  , b  0>b b 10

A. THE SET OF REAL NUMBERS 1. Understanding Real Numbers In algebra we use many different sets of numbers. For example, we use the natural numbers to express quantities of whole objects that we can count, such as the number of students in a class, or the number of books on a shelf. The set of natural numbers is denoted by N. N = -6

The set of whole numbers is the set of natural numbers together with zero. It is denoted by W. W = -6

The set of integers is the set of natural numbers, together with zero and the negatives of the natural numbers. It is denoted by Z. Z = <. –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . >-6

We use integers to express temperatures below zero, distances above and below sea level, and increases and decreases in stock prices, etc. For example, we can write ten degrees Celsius below zero as –10°C. To express ratios between numbers, and parts of wholes, we use rational numbers. 8 2 3 0 17 For example, , , – , , and are rational numbers. 3 5 7 7 1 The set of rational numbers is the set of numbers that can be written as the quotient of two integers. It is denoted by Q. Q=

a | a, b   and b  0> b 7 2 -7

Some rational numbers

We can write every rational number as a repeating or terminating decimal. Conversely, we can write any repeating or terminating decimal as a rational number. 3 321  0.6, and  0.324 = 0.324242424. 5 990 –– 0.6 is a terminating decimal, and 0.324 is a repeating decimal.

There are some decimals which do not repeat or terminate. For example, the decimals

R = R+   R– R+ is the set of positive real numbers R– is the set of negative real numbers

do not terminate and do not repeat. Therefore, we cannot write these decimals as rational numbers. We say that they are irrational.

A number whose decimal form does not repeat or terminate is called an irrational number. The set of irrational numbers is denoted by Q or I. Definition

The union of the set of rational numbers and the set of irrational numbers forms the set of all decimals. This union is called the set of real numbers. The set of real numbers is denoted by R. R = Q  Q For every real number there is a point on the number line. In other words, there is a one-to-one correspondence between the real numbers and the points on the number line.

-1 0 1 2 Some rational numbers

The real numbers fill up the number line.

We can summarize the relationship between the different sets of numbers that we have described in a diagram. As we know, the set of natural numbers is a subset of the set of whole numbers, the set of whole numbers is a subset of the set of integers, the set of integers is a subset of the set of rational numbers, and the set of rational numbers is a subset of the set of real numbers. This relationship is shown by the diagram on the left. Algebra 8

1. Understanding Square Roots Remember that we can write a  a as a2. We call a2 the square of a, and multiplying a number by itself is called squaring the number. The inverse operation of squaring a number is called finding the square root of the number. Objectives

After studying this section you will be able to: 1. Understand the concepts of square root and radical number. 2. Use the properties of square roots to simplify expressions. 3. Find the product of square roots. 4. Rationalize the denominator of a fraction containing square roots. Definition

If a2 = b then a is the square root of b (a  0, b  0). We use the symbol ñ to denote the square root of a number. ñb is read as ‘the square root of b’. So if a2 = b then a = ñb (a  b, b  0). Here are the square roots of all the perfect squares from 1 to 100. 

The equation x = 9 can be stated as the question, ‘What number multiplied itself is 9?’ There are two such numbers, 3 and –3. Rule

 x if x  0. x2 | x |   – x if x  0.

In other words, if x is a non-negative real number, then if x is a negative real number, then Radicals

32  3, ( 32  9  3), and (–3)2  –(–3)  3 ( (–3) 2  9  3).

We can conclude that the square root of any real number will always be greater than or equal to zero. ò–9 is undefined. Negative numbers have no square root because the square of any real number cannot be negative. ò–9  3, since 32 is 9, not (–9). ò–9  –3, since (–3)2 is 9, not (–9).

Note x = ñ9 and x2 = 9 have different meanings in the set of all real numbers.  ñ9 = 32 = |3| = 3  If x2 = 9 then x = 3 or x = –3.

Evaluate each square root. a. ò81

f. ó0.64 = 0.8 i. ò–4 is undefined

–42  –16 is undefined

Evaluate each square root. a. ó100

10000  100 Algebra 8

2. Properties of Square Roots Property

For any real number a and b, where a  0, and b  0, ñañb = óab. For example,

25  16  25  16  5  4  20, 3  27  3  27  81  9, 36 a2  36 a2  6 a ( a  0), and 5  5  5  5  25  5.

Mathematics is a universal language.

Simplify each of the following.

a. ñ2ñ8 = ó28 = ò16 = 4

7  7  7  7  49  7

c. ò50ñ2 = ó502 = ó100 = 10

25  1  25  1  25  5

b. ñ7 ñ7 c. ò50ñ2

576  36  16  36  16  6  4  24

10  90  10  90  900  30

For any real numbers a and b, where a  0, and b > 0, a b

If a > 0 then a a

24  4  2, and 6 1 49

Simplify the expressions. a.

25 25 5 = = 9 3 9

16 16 4   49 49 7

625 625 25   144 144 12

1 1 1 – – 100 10 100 24a3

24 a3  4  a2  4  a2  2a 6a

a5  b6  a4  b4  ( a2  b2 )2  a2 b2 ab2

For any real number a and n  Z, ( a )n  an

Proof ( a )n  a  a  a  . 

n factors of ña

For example, ( a )2  a2  a, ( 5)3  53  125, and ( 2 )8  2 8  256  16. 16

Evaluate (ñ2)4 + (ñ5)4 – (ñ5)2 – (ñ2)6. ( 2 )2  ( 5)4 – ( 5)2 – ( 2 ) 6  2 4  5 4 – 5 2 – 2 6  (22 )2  (52 )2 – 52 – (23 )2  22  52 – 5 – 2 3  4  25 – 5 – 8  16

3. Working with Pure and Mixed Radicals Definition

A radical expression is an expression of the form index

Square roots have index 2. However, we usually write square roots in their shorter form, ña: 2

A mixed radical is a radical of the form x  n a (x  Q, x  )

For example, 3ñ2, 6ñ7, and 9ó115 are mixed radicals. ò55, ò99, and ò27 are not mixed radicals. We say that they are pure radicals. We can convert between mixed and pure radical numbers to simplify radical expressions. Property

For any real numbers a and b, where a  0 and b  0, a2  b  a b and a b 

8  4  2  2 2  2  2 2  2  2 2, 27  9  3  32  3  32  3  3 3, 32  16  2  4 2  2  4 2  2  4 2, and 50  25  2  5 2  2  5 2  2  5 2.

Simplify the expressions. a. ñ8 + 2ò32 – ò18 + ò72 – ò98 b. 2ò48 + 3ò27 – ó108 + ó243

8 = 22  2 = 2 2 2 32 = 2 4 2  2 = 8 18 = 3  2 = 3 2 2

72 = 6  2 = 6 2 98 = 7  2 = 7 2 2

8  2 32  18  72  98  2 2  8 2  3 2  6 2 7 2  2  (2  8  3  6  7)  6 2

b. 2 48  3 27 – 108  243  2 4 2  3  3 3 2  3 –

 8 3  9 3 – 6 3 9 3  (8  9 – 6  9) 3  20 3 EXAMPLE

Write the numbers as pure radicals. a. 2ñ2

a. 2 2  2 2  2  2 2  2  b. 3 5  32  5  9  5  c. 5 3  52  3 

d. 10 10  10 2  10  100  10  1000 e. x y  x2 y Property

For any non-zero real numbers a, b, c, and x, añx + bñx – cñx = (a + b – c)ñx .

Note ña + ñb  óa+b For example, ñ9 + ò16 = 3 + 4 = 7, but ó9 + 16 = ò25 = 5. 18

Perform the operations. a. ñ3 + ñ3

e. ò50 + ò98 + ó162 Solution

f. 5ñx – ò9x + ó64x

a. ñ3 + ñ3 = (1 + 1)ñ3 = 2ñ3 b. 2ñ5 + ñ5 = (2 + 1)ñ5 = 3ñ5 c. 3ñ6 + 4ñ6 = (3 + 4)ñ6 = 7ñ6 d. 10ñ5 – 3ñ5 = (10 – 3)ñ5 = 7ñ5 e. ò50 + ò98 + ó162 =

ó252 + ó492 + ó812 = 5ñ2 + 7ñ2 + 9ñ2

= (5 + 7 + 9)ñ2 = 21ñ2 f. 5ñx – ò9x + ó64x = 5ñx – 3ñx + 8ñx = (5 – 3 + 8)ñx = 10ñx EXAMPLE

Compare the following numbers. a. ñ7 . 3

Let a, b, m, and n be four real numbers, satisfying a = m + n and b = m  n. Then, 1.

Proof 1. In order to verify these expressions, suppose that t = òm + ñn. t2 = (ò m + ñn)2 = (ò m + ñn)  (ò m + ñn) = (ò m  ñn) + (òm  ñn) + (ñn  òm ) + (ñn  ñn) (by the distributive property) = m + (ò m  ñn) + (ñn  ò m ) + n = m + n + 2ómn a

(by the commutative property)

 t = a + 2ñb  t = a  2 b 2

2. We can prove the second part in the same way. Try it yourself. Radicals

Simplify the expressions. Use the property to help you. a.

3  2 2  2  1  2 1 2+1

6  32  6  2 8  4  2  2  2 4+2

6 – 4 2  6 – 2  2 2  6 – 2 2 2  2  6 – 2 8  4 – 2 2 – 2 4+2

e. We need a 2 in front of ò21 before we can use the property. Therefore, let us multi2

ply the expression by

Check Yourself 1 1. Simplify the expressions. a. ñ2  ñ2 e.

2 2. Evaluate the following.

a. (ñ3)2 + (ñ4)4 – (ñ5)2 – (ñ2)4

b. (ña)4 + (ñb)2 – (ñc)6

3. Simplify the expressions. a. ò18

f. 2ñ2 + 3ñ2 – 4ñ2 20

g. ò50 – ò18 – ò32

e. 5ñ3 – 2ñ3 + ñ3 h. ó12x + ó27x – ó48x Algebra 8

4. Write each number as a pure radical. a. 5ñ3

5. Perform the operations. a. 6

27 75 12  – 4 4 4

6. Compare the numbers. a. 3ñ5 and 2ò10

7. Write each expression in its simplest form. a.

g. ( 6 – 2 )  ( 8  2 12 )

h. ( 7  1)  ( 8 – 28 )

Answers 1. a. 2 b. 16 c. 6x d. 6 e. 4 f. 2 g. c. 4ñ3 d. 2ñ5 e. 4ñ3 f. ñ2

2. a. 10 b. a2 + b – c3 3. a. 3ñ2 b. 5ñ2

g. –2ñ2 h. ò3 x 4. a. ò75 b. ò45 c. ò32 d. ò20 e. a2  b

1 1 c. –2ñ5 > –3ñ3 7. a. ñ2 – 1  2 3 b. 2 + ñ2 c. ñ5 – ñ2 d. ñ2 + 1 e. ñ5 – 2 f. 2 – ñ3 g. 4 h. 6 i. 2

5. a. 3ò30 b. 3ñ2 c. –ñ3 d. 3ñ3 6. a. 3ñ5 > 2ò10 b.

Simplify the following. a.

Start from the radical on the ‘inside’ of the expression and move outwards. a. Start with ñ9, on the inside, and work outwards. 4  21  13  9  4  21  13  3  4  21  16  4  21  4  4  25  4  5  9  3

1 4 1  6 6 72 16  6 6 72 16 16 4  6 6 72 

 6 6  6  6 36  6  6  36  6

9 25 5 9 3  1  1   16 16 4 4 2 21

a a a a .  7. Find a.

x  x  x  .  5. Find x.

a. Let x  2 2 2 2 . . x2  ( 2 2 2 2 . )2

(take the square of both sides)

(remove a square root)

a a a a .  7 ( a a a a . )2  7 2

( x  x  x  . )2  5 2

x  x  x  x  .  25   5

a a a a .  49    7

4. Multiplying Square Roots To multiply expressions containing square roots, we used the product property of square roots: ña  ñb = óa  b. We can also use the distributive property of multiplication over addition and subtraction to simplify the products of expressions that contain radicals. For example, 2ñ8  3ñ2 = 2  3  ñ8  ñ2 = 6ò16 = 64

Multiply the rational part by the rational part and the radical part by the radical part.

= 24 ñ2  (ñ3 + 2ñ2) = ñ2  ñ3 + ñ2  2  ñ2 = ñ6 + 2  ñ2  ñ2 = ñ6 + 2  2 = ñ6 + 4 22

Perform the operations. a. ñ2(ñ5 + ñ3)

c. 2ñ5(ñ3 + ñ2 + 2ñ5 – ñ7)

a. ñ2(ñ5 + ñ3) = ñ2  ñ5 + ñ2  ñ3 = ó2  5 + ó2  3 = ò10 + ñ6 b. ñ3(3ñ3 + 2ñ2)= ñ3  3ñ3 + ñ3  2ñ2 = 3  ó3  3 + 2  ó3  2 = 3  3 + 2  ñ6 = 9 + 2ñ6 c. 2ñ5(ñ3 + ñ2 + 2ñ5 – ñ7)= 2ñ5  ñ3 + 2ñ5  ñ2 + 2ñ5  2ñ5 – 2ñ5  ñ7 = 2ò15 + 2ò10 + 4ò25 – 2ò35 = 2ò15 + 2ò10 + 20 – 2ò35

Multiply and simplify. a. (ñ2 + ñ3)  (ñ2 + ñ3)

a. (ñ2 + ñ3)  (ñ2 + ñ3) = ñ2  ñ2 + ñ2  ñ3 + ñ3  ñ2 + ñ3  ñ3 = ñ4 + ñ6 + ñ6 + ñ9 = 2 + 2ñ6 + 3 = 5 + 2ñ6 b. (5 + ñ5)  (5 + ñ5)= 52 + 2  5  ñ5 + (ñ5)2 = 25 + 10ñ5 + 5 = 30 + 10ñ5

Multiply and simplify. a. (ñ2 + 1)  (ñ2 – 1)

b. (ñ5 + ñ3)  (ñ5 – ñ3)

e. (ña + ñb)  (ña – ñb)

c. (1 – 2ñ2)  (1 + 2ñ2)

a. (ñ2 + 1)  (ñ2 – 1) = ñ2  ñ2 – ñ2  1+1  ñ2 – 1  1 = (ñ2)2  12 = 2 – 1 = 1 b. (ñ5 + ñ3)  (ñ5 – ñ3) = (ñ5)2 – (ñ3)2 = 5 – 3 = 2 c. (1 – 2ñ2)  (1 + 2ñ2) = 12 – (2ñ2)2 = 1 – 4  2 = 1 – 8 = –7 d. (ña + 1)  (ña – 1) = (ña)2 – 12 = a – 1 (a  0) e. (ña + ñb)  (ña – ñb) = (ña)2 – (ñb)2 = a – b (a, b  0)

Multiply and simplify. a.

3  5  3 – 5  (3  5)  (3 – 5)  3 2 – ( 5) 2  9 – 5  4  2

2  2  2 – 2  (2  2 )  (2 – 2 )  2 2 – ( 2 ) 2  4 – 2  2

Multiply and simplify. a. (ñ3 + ñ2)  (ñ5 – 1)

b. (ñ5 + ñ3)  (ñ7 + ñ2)

c. (2ñ3 + 1)  (ñ5 + 1)

d. (3ñ2 – 2)  (ñ5 – ñ3)

a. (ñ3 + ñ2)  (ñ5 – 1)= (ñ3  ñ5) – (ñ3  1) + (ñ2  ñ5) – (ñ2  1) = ò15 – ñ3 + ò10 – ñ2 b. (ñ5 + ñ3)  (ñ7 + ñ2) = (ñ5  ñ7) + (ñ5  ñ2) + (ñ3  ñ7) + (ñ3  ñ2) = ò35 + ò10 + ò21 + ñ6 c. (2ñ3 + 1)  (ñ5 + 1) = (2ñ3  ñ5) + (2ñ3  1) + (1  ñ5) + 1 = 2ò15 + 2ñ3 + ñ5 + 1 d. (3ñ2 – 2)  (ñ5 – ñ3)= (3ñ2  ñ5) – (3ñ2  ñ3) – (2ñ5 + 2ñ3) = 3ò10 – 3ñ6 – 2ñ5 + 2ñ3

5. Rationalizing Denominators 1

Look at the numbers

. They are all fractions, and each fraction 5 2 12 13 has an irrational number as the denominator. In math, it is easier to work with fractions that ,

have a rational number as the denominator. Definition

Changing the denominator of a fraction from an irrational number to a rational number is called rationalizing the denominator of the fraction. Rationalizing the denominator does not change the value of the original fraction. To rationalize the denominator, we multiply the numerator and denominator of the fraction a by a suitable factor. For example, if the fraction is in the form , we multiply both the b numerator and the denominator by ñb. a

ab . Note that b

ab have the same value: they are b

equivalent fractions. Look at some more examples: 3 2 3 3

3  10 3 10 .  22 4 Algebra 8

An expression with exactly two terms is called a binomial expression. Two binomial expressions whose first terms are equal and last terms are opposite are called conjugates, i.e. a + b and a – b are conjugates. If a  0 and b  0, then the binomials xña + yñb and xña – yñb are conjugates. We can use conjugates to rationalize denominators that contain radical expressions. 1 For example, let us rationalize . ñ3 – ñ2 is the conjugate of ñ3 + ñ2. 3 2 Therefore, we multiply the numerator and the denominator by ñ3 – ñ2 to rationalize the denominator. 1 3 2

1  ( 3 – 2) ( 3  2 ) ( 3 – 2 )

3– 2 3– 2   3– 2 3–2 1

(a + b)(a – b) = a2 – b2 (ña + ñb)(ña – ñb) = a – b where a  0 and b  0. EXAMPLE

Rationalize the denominators. a.

5  (3  2 2 ) (3 – 2 2 )(3  2 2 )

5 3  5 2 2 3 2 – (2 2 ) 2

3 5  2 10 3 5  2 10   3 5  2 10 9–8 1

( 3 – 2 ) (2 2  1) 3  2 2  3  1 – 2  2 2 – 2 1   (2 2 – 1) (2 2  1) (2 2 ) 2 – 12

2 6  3–2 2 2 – 2 8 –1

( 6  2 ) (1  3) 6  6  3  2 1  2  3   (1 – 3) (1  3) 12 – ( 3) 2 6  18  2  6 6  3 2  2  6 2 6 4 2   – 6 –2 2 1– 3 –2 –2

(3 2 – 2) (5 – 2 5) 3 2  5 – 3 2  2 5 – 2 5 – 2 2 5   (5  2 5) (5 – 2 5) 5 2 – (2 5) 2

15 2 – 6 10 – 10 – 4 5 15 2 – 6 10 – 10 – 4 5  25 – 20 5 25

Rationalize the denominators to find the sum. 3

2 3–2 2  3 3–2 2   2 3 2 2       3 – 2 2  3 2 2 3–2 2   3–2 2 3 2 2  2

( 3  ( 3 – 2 2 ))  ( 2  ( 3  2 2 )) ( 3  2 2)  ( 3 – 2 2) ( 3  3) – ( 3  2 2 )  ( 2  3) ( 2  2 2 ) ( 3)2 – (2 2 )2 3–2 6  6 4 7– 6 6 –7   3–8 –5 5

Check Yourself 2 1. Rationalize the denominators and simplify. a.

2. Rationalize the denominators and simplify. a.

3. Rationalize the denominators and simplify. a. d.

c. ñ2 d. –ò15 e. ò15 f.

5 –1 3 6 6 d. 2 2

g. 5ñ2 – ò10 + 3 ñ5 – 3 h.

6 –16  3 2 a – ab a  b  2 ab 2 5 j. k. –9ñ3 – 6ñ7 3. a. b. ñ2 c. d. 6 4 3 a–b a–b

e. 17 3 – 3 6 Algebra 8

1. Evaluate the square roots. a. ò36 16×2

5. Perform the operations.

f. ò80 – ó125 + ò45

g. ò75 + ó108 – ò48 + ò27

2. Simplify the expressions. a. ñ3  ñ3

h. 3 2 x  4  18 xy2

9×3  16 x3 – 4 x 25 x

3. Simplify the expressions. 50

72 8 32 x3 y2 24 x

6. Write each expression in its simplest form.

4. Write each number as a mixed radical. a. ñ8

7. Simplify the expressions. a.

10. Rationalize the denominators. a.

10 2 7 –5 10  2 21 7 3

8. Find x in each equation. b. 3 3 3 3 .  x

3x  3x  3x  .  9

9. Find the products. a. ñ5  (ñ2 + ñ3) b. ñ7  (1 + ñ7) c. –ñ2  (ñ3 – ñ8 + 1)

11. Perform the operations. a. b. c. d.

e. ñ6  (2ñ3 + 3ñ2) f. (3 + ñ5)  (3 – ñ5) g. (2ñ2 – 3)  (2ñ2 + 3) h. (2ñ3+2)  (2ñ3 – 2) i. (ò12 + ñ8)  (ñ3 – ñ2) j. (–ò12 + 2ñ2)  (ñ2 + ñ3) k. l. m. 28

12. Perform the operations. a.

2 33  2 3–3 5  2 3  2  3  16 – 9 3

1 100  99 Algebra 8

After studying this section you will be able to: 1. Understand the concepts of nth root and rational exponent. 2. Write numbers in radical or rational exponent form. 3. Understand the properties of expressions with rational exponents. 4. Use the properties of rational exponents to solve problems.

A. RATIONAL EXPONENTS 1. nth Roots In section 8.2 we studied exponential equations. For example, 2n  2n = 2 is an exponential equation. Let us solve it. 2n  2n = 22n = 2

22n = 21 2n = 1, n =

1 1 for n in the original equation we will get 2 2  2 2  2, . If we substitute 2 2 1

but we know that ñ2  ñ2 = 2. Therefore, 2 2  2  2 2. Remark

Let x  R – . If xm = xn then m = n. Definition

For any natural number n and a, b  R. 1

n If an = b then a = b n  b. a is called the nth root of b. It is denoted by ñb. n

In the expression ña, a is called the radicand and n is called the index. n

Remember that we do not usually write the index for square roots: ña = ña.

Look at some examples of different roots: 52 = 25 and 5 = ò25

‘the square root of 25 is 5’,

‘the cube root of 8 is 2’,

3 = 27 and 3 = ò27

‘the cube root of 27 is 3’, and

2 = 16 and 2 = ò16

‘the fourth root of 16 is 2’.

2. Rational Exponents Definition

If m and n are positive integers (n > 1), and b is a non-negative real number, n

m is called a rational exponent. n 2

For example, the numbers 8 3 , 4 2 , and 2 2 have rational exponents. EXAMPLE

Write the expressions in radical form.

c. 5 3  3 52  3 25

d. x 4  4 x3 EXAMPLE

Write the expressions with radical exponents. 3

64  43  4 3  41  4

ab2  ( ab 2 )5  a 5  b 5

If b is any real number and n is a positive integer (n > 1): 1. If b > 0 then ñb is a positive real number. n

2. If b = 0 then ñb is zero. n

Check Yourself 3 1. Write the expressions in radical form. 1

2. Write the expressions with rational exponents. 3

3. Simplify the expressions. a. ò16

x2  y4 h. 4 16  a4  b8

Answers 1. a. ñ2 b. 3 a c. 3 a2 d. 5 x3 e. 6 x2  y3 1

f. 6 x g. a2  b2 1

e. x 3 f. a2 g. ( x2  y4 )3 h. ( x3 y2 )6

3. a. 4 b. 3 c. –4 d. 5 e. 2

f. –2 g. xy2 h. 2ab2

B. PROPERTIES OF RADICALS Property

For all real numbers a and b, where a > 0 and b > 0, and for any integer m and n, where m > 1 and n > 1: 1.

Look at the examples of each property. 1.

a. ñ5  ñ4 = ó54 = ò20 5

x3  y6  z2  3 ( x  y2 )3  z2  x  y2 z2

64 x2 4 4 4 4  16 x  4 2 4  x  2 4  x  2 x 4x

a. 2  3  3 2 3  3  3 8  3 

2 4 12 16  27 33

Check Yourself 4 1. Simplify the expressions. a.

2. Perform the operations. a. ñ3  ò12

3. Simplify the expressions. 3

4. Simplify the expressions. a.

5. Perform the operations. a. 32

6. Simplify the expressions. 3

7. Write each expression in its simplest form. 3

Answers 1. a. 2 b. 2 c. –3 d. –2 e. 3x 2. a. 6 b. 3 c. x d. x  3 y2 4. a. 2 3 5 b. 3 3 3 c. 2 4 2 6. a. 12

d. xy 4 xy2 d. 24 x7

5. a. 2 6 2 7. a. 6 3

b. x 12 x c. a 6 a

b. 20 x c. x d. x2 e. 9 81

C. RADICAL EQUATIONS Definition

An equation that has a variable in a radicand is called a radical equation. For example, the equations ñx = 25,

2 x – 1  3 x  5 are radical equations.

Let us look at some examples of how to solve radical equations. EXAMPLE

( x  1)2  32 (take the square of both sides)

Therefore, 8 is a solution. EXAMPLE

( 3x  1)2  52 3x  1  25 3x  24 x8

Therefore, 8 is a solution. 33

Therefore, 11 is a solution.

( x2  12 )2  ( x  6)2

x2  12  x2  12 x  36

Therefore, –2 is a solution. EXAMPLE

Therefore, 41 is a solution. EXAMPLE

4x  1 – 5x – 1  0.

4x  1 – 5x – 1  0 ( 4 x  1)2  ( 5 x – 1) 2 4x  1  5 x – 1 x2

4  2 – 1 – 5  2 – 1 0 ?

Therefore, 2 is a solution. 34

3x  1  3x  6  5.

3x  1  5 – 3 x  6

(take the square of both sides)

( 3x  1)2  (5 – 3 x  6 ) 2

3x  1  25 – 2  5  3 x  6  3 x  6

10  3x  6  30 ( 3 x  6 )2  3 2 3x  6  9 3x  3 x1

3  1  1 – 3  1  6 5 ?

Therefore, 1 is a solution.

Check Yourself 5 1. Solve each equation and check your answer. a. ñx = 5

4x – 3 – 2 x – 2  0

Answer 1. a. 25 b. 4 c. 35 d.  e. 25 f. 8 g. 3 h. Radicals

1 17 i. 2 j. k. 6 l. 3 m. 26 n. 2ñ2 o. 1 p. 1 2 5 4 35

1. Write the expressions in exponential form and simplify if possible. a. ò21 3 5

3. Simplify the expressions. 3

6. Simplify the expressions. 3

x  1 2 x  x 1– 2 x  8 3

4. Perform the operations. a.

2. Write the expressions in radical form. a. a 2

5. Solve the equations.

e. 3x  3–2x  33x+1

g. (x – y)2  (y – x)3  (x – y)–4 h. 298 + 298 + 298 + 298

7. Simplify the expressions. a.

10. Solve the equations for x.

ax –1 ax – 2 5 2 104

e. (2x – 3)3 = (x + 1)3 f. (2x – 4)6 = x6 g. 5  23x – 1 – 23x+1 = 256

8. Perform the operations. a. (–2)5  (–2)3

(–2 3 )–3  (–2 2 )6 1 (– )3 2

12 x  12 x  12 x  81 4x  4x  4x

3  4x – 3  4 x –1 –

3  93 x –1  ((–3)2 ) –4 81  (243) x

11. 3a = 25 and 3b = 5. Find

12. 3x = 4. Find 92x + 3x+1.

13. 2x = 3y = a. Write (12)xy in terms of a, x, and y. 14. 2a – 3 and 4b + 7 are integers with 32a – 3 = 54b + 7. Find a + b.

9. Simplify the expressions. 2

a. 2x – 1 + 2x – 1 + 2x – 1 + 2x – 1

= 1. Find the sum of the possible

b. ax + 2  ax – 3ax c. 3x+1 + 3x – 1 + 3x+2 – 3x – 2

16. 44 = 16x. Find x.

10 x  10 x  10 x  10 x d. 5x  5x  5x  5x

313  311 – 39 312  310

g. (–1)101  (–1)125  (–1)100  (–1)99  (–1)49 h.

((–39)  (–2) )  (–1) (–3)125  6 –127  2126

17. |x + y – 3| + |x – y – 1| = 0. Find x. 18. Simplify |x – 4| + 2|3 – x| if 3 b > c

10. k = 1254  642. How many digits are there in the number k? D) 3x+1

32 x  243x  9x  3. Find x. 81x1

12  48 – 27 75 – 2 3

19. Evaluate C) 3

11  2 30 – 8  2 15 3–2 2

x x2 x  xn . Find n.

After studying this section you will be able to: 1. Define statistics as a branch of mathematics and state the activities it involves. 2. Describe some different methods of collecting data. 3. Present and interpret data by using graphs. 4. Describe and find four measures of central tendency: mean, median, mode, and range.

A. BASIC CONCEPTS 1. What is Statistics? Statistics is the science of collecting, organizing, summarizing and analyzing data, and drawing conclusions from this data. In every field, from the humanities to the physical sciences, research information and the ways in which it is collected and measured can be inaccurate. Statistics is the discipline that evaluates the reliability of numerical information, called data. We use statistics to describe what is happening, and to make projections concerning what will happen in the future. Statistics show the results of our experience. Many different people such as economists, engineers, geographers, biologists, physicists, meteorologists and managers use statistics in their work.

statistics Statistics is a branch of mathematics which deals with the collection, analysis, interpretation, and representation of masses of numerical data. The word statistics comes from the Latin word statisticus, meaning ‘of the state’. The steps of statistical analysis involve collecting information, evaluating it, and drawing conclusions. For example, the information might be about:

what teenagers prefer to eat for breakfast; the population of a city over a certain period; the quality of drinking water in different countries of the world; the number of items produced in a factory. Algebra 8

The study of statistics can be divided into two main areas: descriptive statistics and inferential statistics. Descriptive statistics involves collecting, organizing, summarizing, and presenting data. Inferential statistics involves drawing conclusions or predicting results based on the data collected.

2. Collecting Data We can collect data in many different ways.

a. Questionnaires A questionnaire is a list of questions about a given topic. It is usually printed on a piece of paper so that the answers can be recorded. For example, suppose you want to find out about the television viewing habits of teachers. You could prepare a list of questions such as:

 Do you watch television every day?  Do you watch television: in the morning? in the evening?

 What is your favourite television program?  etc. Some questions will have a yes or no answer. Other questions might ask a person to choose an answer from a list, or to give a free answer. When you are writing a questionnaire, keep the following points in mind:

1. A questionnaire should not be too long. 2. It should contain all the questions needed to cover the subject you are studying. 3. The questions should be easy to understand. 4. Most questions should only require a ‘Yes/No’ answer, a tick in a box or a circle round a choice.

In the example of a study about teachers’ television viewing habits, we only need to ask the questions to teachers. Teachers form the population for our study. A more precise population could be all the teachers in your country, or all the teachers in your school.

Statistics and Graphics

b. Sampling A sample is a group of subjects selected from a population. Suppose the population for our study about television is all the teachers in a particular city. Obviously it will be very Xdifficult to interview every teacher in the city individually. Instead we could choose a smaller group of teachers to interview, for example, five teachers from each school. These teachers will be the sample for our study. We could say that the habits of the teachers in this sample are probably the same as the habits of all the teachers in the city.

A sample is a subset of a population.

The process of choosing a sample from a population is called sampling. The process of choosing a sample from a population is called sampling. When we sample a population, we need to make sure that the sample is an accurate one. For example, if we are choosing five teachers from each school to represent all the teachers in a city, we will need to make sure that the sample includes teachers of different ages in different parts of the city. When we have chosen an accurate sample for our study, we can collect the data we need and apply statistical methods to make statements about the whole population.

c. Surveys One of the most common method of collecting data is the use of surveys. Surveys can be carried out using a variety of methods. Three of the most common methods are the telephone survey, the mailed questionnaire, and the personal interview.

3. Summarizing Data In order to describe a situation, draw conclusions, or make predictions about events, a researcher must organize the data in a meaningful way. One convenient way of organizing the data is by using a frequency distribution table. A frequency distribution table consists of two rows or columns. One row or column shows the data values (x) and the other shows the frequency of each value (f). The frequency of a value is the number of times it occurs in the data set. For example, imagine that 25 students took a math test and received the following marks.

Алгебра 8 класс Учебник Макарычев

На сайте Учебник-скачать-бесплатно.ком ученик найдет электронные учебники ФГОС и рабочие тетради в формате pdf (пдф). Данные книги можно бесплатно скачать для ознакомления, а также читать онлайн с компьютера или планшета (смартфона, телефона).

Алгебра 8 класс Учебник Макарычев – 2014-2015-2016-2017 год: Читать онлайн (cкачать в формате PDF) – Щелкни!

Пояснение: Для скачивания книги (с Гугл Диска), нажми сверху справа – СТРЕЛКА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ . Затем в новом окне сверху справа – СТРЕЛКА ВНИЗ . Для чтения – просто листай колесиком страницы вверх и вниз.

Текст из книги:

Ю. Н. Макарычев Н. Г. М индюк К. И. Пешков И. Е. Феоктистов АЛГЕБРА Учебник ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 4 г СВОЙСТВА СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ Для любого аФОп целых тип: ,т н _ т + п а а =а % % (аТ = а” Для любых аФОиЬФОи целого п: (abr = aV, (jf=f ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ (а + ЬУ = + 2аЬ + (a-bf=a-2ab + b^ . Примерз. Докажем тождество – 5с +2 _ ^ _ 9 с^ + 2с-1″^ Так как черта дроби представляет собой знак деления, то для доказательства тождества воспользуемся определением частного: частным от деления числа а на число Ь (Ь ^ 0) называется такое число к, что а = bk. Значит, для доказательства тождества достаточно показать, что при любых значениях с верно равенство (с2+2с- l)(c-2) = c”-5c-h2. Имеем: (с^ + 2с – 1)(с – 2) = с^ + 2с^ – с – 2с^ – 4с + 2 = с^ – 5с + 2. Тождество доказано. Глава 1. Дроби В этой главе мы будем заниматься преобразованиями рациональных выражений. Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень. Рациональные выражения делятся на два класса: целые и дробные. Целым называется рациональное выражение, которое не содержит операции деления на выражение с переменными. Дробным называется рациональное выражение, которое не является целым, т. е. содержит операцию деления на выражение с переменными. Например, выражения I • 75, Ьа\ х^-1х + 6, (& + cf – b(b – 2с), — целые рациональные выражения, а выражения i + i X Q 2 ^ g _ х-^у ’ а – 8 дробные рациональные выражения. Заметим, что выражения |jcl, а-\2Ь\ и вообще выражения, содержащие переменную под знаком модуля, не являются рациональными выражениями. В дальнейшем вы познакомитесь и с другими выражениями, которые не являются рациональными выражениями. Следует обратить внимание на существенное различие в понятиях дробь и дробное выражение. Дробь может быть как дробным, так и целым выражением, а дробное выражение может и не быть дробью. Например, ^ и — — это дроби. Но ^ — целое выражение, о а о а — — дробное выражение. Выражение (х + 6) : у не является дробью, но это выражение — дробное. Добавим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда она имеет смысл, а ее числитель равен нулю, т. е. ^ = О, если а = О и Ь ^ 0. §1. дроби и их свойства 1. Какие из выражений 1 X а . —+ 2, 9’ 8’ а+Ь’ 2 ’ у являются дробями? 2. Представьте в виде дроби выражение: а) If; в)-0,75; Д) 0,2а:; б) з|; г) 0,37: 1,11; е)2| Упражнения для повторения 21. Запишите путем перечисления элементов множество обыкновенных дробей с числителем, равным 1, и знаменателем ft, где: а) Ь — простое двузначное число, меньшее 50; б) Ь — простое двузначное число, большее 50. 22. Разложите многочлен на множители: а) 10а5 + 155^; в) ху -Zx- Зу; д) – 16; б) 27а2 – 18а5; г) 2ху – Ъу^ – 6л: + \Ъу\ е) 49 – Ь\ 23. Разложите на множители выражение: а) х^ – Юл: + 25; в) (а + 1)^ – 9а^; д) х^ + 8г/^; б) г/2 + 6г/ + 9; г) Ъ^- Упражнения для повторения 45. Найдите значение дроби: а) 12,7^ – 5.3^ 5 0,96 + 2,6 ’ б) 3,6^ + 7,2 • 15,4 + 15,4^ 1,9(13,2 – 3,7) 46. Решите уравнение а) (лг- 2)(х – 3) = о б) (лг – 1) (х + 2) = о в) х^-25 = 0; г) х^~ 4х = 0; д) – 9л: + 14 = 0; е) д:^ + 7л: – 8 = 0. 47. Найдите наименьшее значение выражения: а) л:” – 6л: + 10; б) + 4Ь^ + 26 – 4сЬ + 10а – 20Ь. 48. Разложите на множители: а) л:^ + л: + т; о 2 1 б) у^-^у + 9’ в) а* – 16; г) а* + 324. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Какое выражение называют дробью? Приведите примеры числовой дроби и дроби, содержащей переменные. 2. Укажите допустимые значения переменных для дроби: а) б) в) JC-8 ’ -1′ а-Ь 3. Какое выражение называется рациональным, целым, дробным? Приведите примеры целого и дробного рациональных выражений. 4. Сформулируйте основное свойство дроби. Запишите тождество, выражающее это свойство, и докажите его. 5. Поясните на примере, как выполняется сокращение дробей. 6. Докажите тождества — Ъ а а -а – – и – =—-и сформули- ъ ь ъ руйте соответствующие свойства дроби. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ______________ Сложение и вычитание дробей Покажем, что сумму и разность дробей всегда можно представить в виде дроби. Рассмотрим случай, когда две дроби имеют одинаковый зна- а Ь менатель, т. е. дроби вида: – и – . § 2. Сумма и разность дробей 21 Докажем, что в этом случае выполняется тождество а Ь а + Ь с с с (1) а Ъ По условию с О, так как в противном случае дроби ~ и -не имели бы смысла. а Ь Обозначим дробь – буквой ft, а дробь – буквой I: с с Тогда по определению частного a = cky b = cl и а-\-Ь= ck + с1 = c(k + I). Значит, а + ft = c(ft + 1), Отсюда, учитывая, что с О, получим, что ft + Z = ^ ^ , , , , ^ + ^ Так как – + -= ft + ^Hft + Z=—, то с с с а Ь а + Ь с с с Мы доказали, что равенство (1) верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. мы доказали тождество. Опираясь на тождество (1), выполним сложение трех дробей: а + Ь а Ь d I а Ь \ d а + Ь d а с с с \ с с 1 с с с + Ь + d Вообще для двух и более дробей выполняется правило: чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Пример 1. Выполним сложение дробей + Зху -7ху 5х-10у 5х-10у Имеем: х^ + Зху 4j/^ – 7ху х^ + Зху + – 7ху Ъх-\Оу ^ Ъх-Юу ^ Ъх-Юу х^-Аху + Ау^ _ Упражнения для повторения 72. Решите уравнение: Зл: – 1 2jc + 3 5jc + 15 а) б) 2 7х – 4 6 2 = 8х – 1 в) и только при этих л. Отсюда л € . Значит, при л € данная дробь является целым числом. 2л^-7л + 12 Выполнив деление, мы представили дробь п-2 в виде суммы двух слагаемых: многочлена 2л – 3 и правильной дроби^ 34 Глава 1 ■ Дроби т. е. дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Такое преобразование называют выделением целой части из дроби. Заметим, что если при делении многочлена на многочлен в остатке окажется нуль, то это означает, что данный многочлен делится на другой многочлен. Например, многочлен 2х^ – ISx^ -f 16л: – 5 делится на двучлен х – 5: X – 5 2х^ – 3JC -f 1 _2л:3-13л:2-Ь 16л: – 5 2л:”-Юл:^ _ -Зл:” -h 16л: -Зл:”+15л: X – 5 X – 5 О ЗаЧ5аЬ+20Ь” П р и м е р 4. Найдем значение дроби ———^—-, если известно, что – = 0,2. а Представим данную дробь в виде суммы, поделив почленно каждый член числителя на знаменатель, а затем заменим част- ное – его значением — числом 0,2: а За^ + 5аЬ+20Ь‘ За” 5аЬ 20fc” „ ^ ——5—– = -V + ~ + —= 3 + 5 • – +20 а” а” а” а” а = 3 + 5 • 0,2 + 20 • 0,2″ = 3 + 1 + 0,8 = 4,8. С)’= 75. Представьте дробь в виде суммы двух дробей с однозначными знаменателями: 8 15 29 41 76. Представьте дробь в виде суммы трех дробей: ^ 182 ’ ^ 165 • 77. Представьте дробь ^ в виде суммы трех дробей со знаменателями: а) 5, 6 и 15; б) 4, 6 и 12; в) 6, 10 и 30. § 2. Сумма и разность дробей 35 78. При каких значениях а и Ь выполняется тождество: Sx а Ь 5jc – 3 а) (jc + l)(jc-2) х + 1 х-2 ’ б) х-9 х-3 а Ь + — х + 3 79. Представьте дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых — многочлены первой степени относительно х: 5JC-1 4JC + 3 JC + 28 а) х <х-1) ’ л*-1 ’ д) л*-36 ’ б) 7JC-6 ^ х + 2 е) Злг-4 <х + 2)(х-3) ’ л*-25 ’ л* + Юл+ 24 80. Представьте дробь в виде суммы двух дробей, знаменатели которых — многочлены первой степени: 6jc + 1 X + 17 4x^-1' (2x-l)(3x+2) 5 Зх + 18 7х -6 9x^-4’ (4л: - 1)(3л: - 5) • 81. Выполните деление многочлена на многочлен: а) (с® - 4с" - 16а + 15): (а + 3); б) (блг" + 13л:* - 9л:* - 31л: - 14): (Зл: + 2); в) (г/® - 21у - 20): (у + 4); г) (Sb* - 225* + 5* + 165 - 15): (25 - 5). 82. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных п дробь принимает натуральные значения: а) 7 71^ + Зп + 12 б) 2п^ -8д + 5 п в) г) (n-7f (2n-3f д) е) п -8п + 17 + 12д + 3 (П-2Г 83. Зная, что т е Zy найдите целые значения дроби: а) тг -Ют+ 27 т-5 б) (m-6f т-3 ’ в) (3m-4f т (x-2yf 84. Найдите значение дроби ---1—, если: X а) - = 3; У б) ^ = 1; 2х-3у в) —17^ = 7. 36 Глава 1 ■ Дроби 85. Докажите, что при любом х, отличном от нуля, значение дроби является дробным числом. 86. Укажите все точки графика функции г/ = х^-4х+6 х-2 координаты которых являются целыми числами. 87. Запишите уравнения всех прямых, не имеюш;их обш;их j точек с графиком функции f(x) = —х - 1— ^ проходящих через точку с координатами: а) (2; 3); б) (2; 4); в) (0; 1). 88. Докажите, что графики функций г/ = -2х + 6 и г/ = (X - 3)^ 9х^+ 27X 27 не имеют общих точек. ♦>Упражнения для повторения 89. Выполните сложение или вычитание дробей: JC+4 X а^+Ь!^ 1 в) ,2 4* б) X У+7 2у+1 ^ 1-V с^+Ь^ а-Ъ а-\-Ь^ Sab ^3 l3 а -о + Ь+1 1 90. Найдите значение дроби —j—j—j- при Ь = – —1-9 Н-о 91. Две речные пристани А и Б расположены на расстоянии S км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна v км/ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Сколько времени t (в часах) потребуется катеру на путь от А до Б и обратно? Найдите если s = 60, v = 33. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. Приведите примеры. 2. В чем состоит правило сложения дробей с разными знаменателями? Приведите пример. § 3. произведение и частное дробей 37 + 4х а 3. Представьте дробь —^—- в виде суммы дробей вида —г X ~У X — о , используя метод неопределенных коэффициентов. х + 3 4. Найдите целые значения п, при которых значение дроби п^-2п + 6 является целым числом. § 3. А ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ н 5. V Умножение дробей. Возведение дроби в степень Покажем, что произведение двух дробей тождественно равно дроби, у которой числитель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых а с дробей. Иначе говоря, докажем, что если – и — — произволь- ные дроби, то имеет место тождество ас ас Ь ‘ ~d ^ М’ (1) а с Обозначим значение дроби – буквой k, а значение дроби — а с буквой I: – = ky — = I. Тогда по определению частного а = bk и с = dl. Перемножив правые и левые части этих равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, найдем, что ас = .(£)■; B.isr. «)(-¥ Г; 101. Упростите выражение: / х-£ (x-yf+4xy \х + у1 (x+yf-4xy (a^-b”Y (a-bf + 2ab в) X + ху ху – у” (a-bf 2;су -х^ -у^ X + 2ху + у ж) х^ – 14х + 49′ у^ – 12х + 35 (2xV ( 2а У I 2х^ У б)(у); 6а^ – 54 (а – 3) г) а^7 – 5а + 66 – 30 а6 + 6а + 36 + 18 у ^ а^ + 6а + 9 106 – 6″ – 25 42 Глава 1. Дроби 102. Найдите значение выражения: а) б) 9у^ – вОу + 100 0у6у + 1 9у^ + гОу + 25 0,6z/-2 0,2jc®-25 0,1jc-0,2 , если у = 6jc’-12jc ^ 2 ^ ) если X = – . 0,2jc4jc + 5 5 103. Упростите выражение а® + 4а^ + 10а + 12 а® – За^ + 8а а® – а^ + 2а + 16 а^ + 2а + 6 ♦> Упражнения для повторения 104. Найдите частное и остаток от деления многочленов: а) + 5а^ – 6а + 1 и – За + 1; б) 2Ь^ – + 3&2 – 2 и Ь^-Ь-2. 105. Средняя скорость пассажирского поезда на участке от А до В равна 80 км/ч, а товарного — 60 км/ч. Каково расстояние между А и Б, если известно, что этот путь пассажирский поезд проходит на 12 минут быстрее, чем товарный? 106. Выразите х через а и Ь из уравнения: а) 5л: + Ь = а; б) 2а – Sx = Ь; 6. Деление дробей , л: в) ^ = а; т) – =Ь. ‘ X а с Докажем, что частное двух дробей – и — , где Ь ^ 0, с ^ 0 и ad d Оу тождественно равно дроби — , т. е. имеет место тождество с d ad be (1) ad Умножим дробь — на дробь — : ad be е d ade bed a b’ ad e a Из тождества т” • “Т = т по определению частного выте-Ье d b кает, что равенство (1) является тождеством. § 3. произведение и частное дробей 43 Тождество (1) можно представить в виде: а с а d d с где – — дробь, обратная дроби – . При делении одной дроби на другую удобно пользоваться правилом: чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. ^ ^ . 28а® ^ 70а® Пример 1. Разделим дробь на дробь . Применив правило, получим: 28а® 70а® 28а® 1626^ 4 • 7 • 81 • 2а®Ь^ 816® ‘ 1626^ 816® 70а® 81 • 7 • 10 • а®6® 4а Пример 2. Выполним деление дроби с’ – Зс’ + 1 на – с – 1 дробь 7ТТТТ Имеем: с’* – Зс^ + 1 – с – 1 – l) – + с + 1 с®-1 ’с^ + с + 1“ с®-1 с^-с-1 (с^ – 1 + с)(с^ – 1 – с)(с^ + С + 1) с^ + с-1 l)(c^ – с – l) с – 1 + 6с + 9 (с – 1)(с^ + с + l)fc^ – с Пример 3. Разделим дробь с^ + 6с + 9 : (с2 + Зс) = с-5 (c + Sf на двучлен + Зс: с-Ь с(с + 3) (c+3fl с-ьЗ (с – 5) с(с+ 3) с^- 5с ’ 107. Выполните деление: а) Зх 9х^ 2с’ • Sy^ ’ 1211/ • 5JC® 9х^ 13л: б) • 8у^’ Д) ( а® 2Ь^ е) 144а^ : в) 4^ • 3?’ 24а® 56 44 Глава 1, Дроби 108. Вьшолните действия 50 Глава 1. Дроби 122. Упростите выражение: а) ху+2х 71/+ 14 2у + 3 2а-Ь ЗЬ 4а^-2аЬ в) г) Sb 10п^ 4 9 9 2) т -т п 5п^ 2рд -2pq + q^ ^Р + Я 2p-q 2p+q 2p-q’ 123. Выполните действия: а) (а^ – х^) \ —— + ~2~i – —— ); ^ ^ ^ \ а + л: аг-х^ а-х г б) е) 1 < 1 1 Ь^ + 2Ьу + у^ ^ JC \ ( 1 1 / V л: + 3 ^ л:"-Зл: + 9 - ^ + 5); ^ а + Ь а-6\ /а-Ь а+Ь ^ а-Ь а + 6 / V а + 6 ' а-Ь>1 / 3x + j/\ . х-у х + у / 4 г 124. Упростите выражение X- -6у 26-За 17 =(з^ (2г/-^- ^)); 2а б) (за – 2Ь + 4у^-1 /____у + 1 Ч„2_2, 2 / 9а”-46″ У _ 2 \ у^-у^-у+1 ‘\у’‘-2у+1 ‘ |/”-1 1/+1 ^ \ х-1 (л:-1)” x(x-lf 125. Докажите, что при любых допустимых значениях переменной X значение выражения не зависит от х: + Д. + 2/’U-2 л:*-8 д:”+2д: + 4/’ /6 6л: л:” + 2л:+4\ Зл:” V 2-л: 8-л:” ‘ л:+2 ‘ 4-л:” ‘ § 3. произведение и частное дробей 51 126. Докажите тождество: 4аЬ а) ( 4аЬ ^ Ь) + 1 = 2а б) ( (a-2f а + Ъ 2 1 \ ■ а’-4 (a + 2f )’ / а-0,26 о,баб 0,2 \ V 5a4afc+0,2fc^ 5а”-0,046″ а-0,26 / ‘ I 9 18 9 г) 18 а+6’ (о2 – 4)2 = 16; 5а-6 = 1; (х + З)” л:”-9 (*-3)” 127. Упростите выражение: а) б) У у-1 I/® – 4i/^ + 41/ – 1 у – 2у^ -2у + 1 4л:” + 8 4 – л:” 2л:® + Зл:” – 4л: + 2 (jc – 1) • I/” – Зг/ + 1 ’ ^,2 1 ^ 1–+ — X X 128. Представьте в виде рациональной дроби: 2а-Ь + 1 а) б) 2а”+6 в) -1 л: + — 2 X а Ь о а . «2 l2 > а о — + — 6 а 1 1 —— г) г + л: + 3 —+ 1 ух 129. Докажите тождество: а) а” Л +1 Z. f “ -il (6-1)“ 6-1 ч J ^2 ^ “ 1 а” а \ + 1 / (6 – 1)^ ^ / [(6-1)“ ь-1 Д:: + У = 1; / б) X у л:® 4 4 1/ 1 —г + -^ + 1 “^2 2 . л: I/ 130. Найдите наименьшее значение выражения л:”-9 л:-3 \ 2 V л:-3 х + 3 г 52 Глава 1 ■ Дроби 131. Найдите наибольшее значение выражения 4 (х ,1 2 / – + 1 + 12 J V ♦> Упражнения для повторения а Ъ 132. Докажите, что если – = -, то верно равенство: о + Ь Ь с \ у 133. Моторная лодка прошла против течения реки 16 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 40 минут меньше, чем на путь против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте правило умножения дробей. Приведите пример. 2. В чем состоит правило возведения дроби в степень? 3. Сформулируйте правило деления одной дроби на другую. Приведите пример. 4. Представьте выражение 2х^ + 8jc Дополнительные упражнения к главе 1 К параграфу 1 134. Найдите значение дроби: 37Ч111 а) 2-0,35 7 16? :6^ 5 6 в) 40 -1,2 + 31 б) 6—-^ г) 395 + 79^ 84 Дополнительные упражнения к главе 1 53 135. Найдите значение дроби: а) 3 – б) 1 + 1 + 1 – 1 – 1 + 1 + 136. При каких целых значениях п дробь принимает целые значения: а) 91 159 д) 5 Зл + 5 ’ 6л + 1 ’ л’ – 4’ б) 123 ^ 205 е) 6 „ 4л – 1 ’ 7л + 2 ’ – 3^ 137. При каких значениях переменной имеет смысл дробь: 1 а) б) х^-9х ’ х^-\&х 8 |л:| -2 45 |д:| +5 д) 2-6 X__ 3– X 1 ^ 1^1 138. Найдите область определения функции: л: 1 а) I/ = л:”-49 ’ б) г/ = y^-lQx ’ в) г/ = |я:| -X 139. При каких значениях а значение дроби равно нулю: а) а’-169 а б) |а| -5 в) 140. Зная, что а, Ь, с и d — отличные от нуля числа и ad = be, докажите, что: а с а + с а Ь ” d ’ г) Ь +d ^ V а Ъ ^ д) Ъ d с ~ d ’ а + пЬ с nd^ а + Ь с + d е) 2а + Ь _ а Ь d ’ 2с + d с ’ в) Замечание. Последнюю пропорцию доказал Архимед в III в. до н. э. 54 Глава 1 ■ Дроби 141. Сократите дробь: ху-1,2у^ jc40,4jcj/ ^ jci/ + 0,4i/^ ’ в) 2а^ – а 2а^ +а 1 + —- а^-а + — а^ + а + г) 4 ЗЬ – I/ 1 ^ ^2 1 — а — 4 4 3& + у 66 1.2 ^1. ■■■ 2 1.2 ^1. Ъ – -Ъу + -у^ + -Ьу + -у 9 9‘ ь^–у” 9^ 156. Упростите выражение: 1 1 (а-Ь)(а-с) ib-c)ib-a) <с-а)(с-Ь) ’ б) (а-Ь)(а-с) ф-с)<Ь-а) ^ <с-а)(с-Ь) ’ в) (а-Ь)(а-с) ib-c)ib-a) <с-а)<с-Ь) ' 2 157. Представьте дробь - в виде суммы трех дробей со зна- менателями: а) 5, 6 и 10; б) 3, 5 и 15. Дополнительные упражнения к главе 1 57 158. Найдите значения а, Ь и с, при которых равенство х^-х + 1 а Ъ с (x-ir (x-iy (x-ir является тождеством. 159. Представьте дробь в виде суммы трех дробей, знаменателями которых являются многочлены первой степени: ^ 3x^-4 х^-4х ’ б) 2у -5|/ + 3 у^-4у^ + 3у ’ в) 3z + 62+2 + 3z^ + 2z ’ 160. Найдите значение дроби: а) при = -1,75; У -У -пУ~о б) --Jпри у = 2,5. у^ + -у + - 161. Найдите все целые значения дроби, зная, что п € N: а) тУ-4 ^ в) -тУ п + З ’ га + 1 б) га'-Зга-15 (га-1)(га + 1)'-1 п-Ъ г) п-1 162. Найдите целые значения а, при которых дробь принимает целые значения: а) ia-2f 4а о, 108 36 81 + --- + б)- (За + 2) 163. Укажите натуральные значения а и Ь, при которых 111 верно равенство “ + т = « . а о о ^гьл JC + 5 к 4jc - 40 164. Ученик, решая уравнение ^ - о = ^ , привел его 13 - JC левую часть к обш;ему знаменателю и получил JC -ь 5 - 5(:у - 7) х-1 4х - 40 ^ 4х — 40 4jc - 40 _ . Отсюда он получил равенство —z------------- = ------. Далее ( — X I -ч — -у 13 - JC 13 - JC ученик рассуждал так: поскольку числители дробей равны, то равны и знаменатели, т. е. 7 - л: = 13 - л:, откуда 7 = 13. Какую ошибку допустил ученик? 58 Глава 1. Дроби 165. Докажите, что значение выражения f JC®" 1 ^ f jc'" 1 1 1 x"-l x"+ 1 J 1 ^л:"+1 x"-! при целом X, отличном от 1, и натуральном п является натуральным числом. К параграфу 3 166. Упростите выражение: а) X +Х + X а +ах + аЬ + Ьх а -ах-Ьх + аЬ -ax-ab+bx +ax-bx-ab ’ X* + x^-xy- 2x x^-2x-2y-y^ x^ +x^y + xy^+ y^ 10a"+40ab+406" + 2ab-Sa a‘-3a+6b-^‘ 5a +106 1полните умножение: 4x* + 4x^y + y^-4 6xy 4x^+2y-4 4x^ + 2y + 4 ’ 9a^-6ab^ + b*-9 12a6 12(a + l)-46^ 3(a-l)-6‘“ ■ б) в) г) 167. Вь а) б) 168. Упростите выражение: а) б) 169. Докажите, что если а, Ь и с отличны от нуля, то равенство верно: (а + bf а Ь а) —---^ = Tj при условии, что т =“ ; (Ь + с) о ос 111 1 б) а-\-Ь + с условии, что (а -h b)(b -h с) = 0. 1 в) xY ^-y^ /1 1 X х^л-у^ x"‘+y'‘ y® „2- 1] 1 г) xY+xY /1 1 \ ^ y>4 ’ У + – + 2 У (x + yf-xy’^y^ x^ >’ Дополнительные упражнения к главе 1 59 170. Упростите выражение: – 30i/z + 10×2 – Sxy х^ – lOOz^ а) б) в) 2 -Х2 X -Х2 а^ + а-гЬ-9Ь^ Оху – 4х – 91/ + 6 (a4b^)’-aV а – 36 9i/’-12jc + 4 jc’-12jc + 36 • 3jci/-18i/-2jc + 12 171. Зная, что а + 6 + с = О, найдите значение выражения: а + 26 + с 2а + 46 – Зс а + 86 + с За + 76 – 7с ’ За + 46 – 7с 2а + 6 + с 4а + 56 – 6с 7а + 6 + с ’ 172. Представьте в виде дроби: ^ 4а’-12а6+9б’ а) 4аЧ12а6 + 9б” / 1 Q -а’-а6 + -б’ 3______4_ -а^ +а6 +—6^ / 0,2аЧа6 ^ V 0,26^ + а6 / V 2£ + 10а6 + 25б’ )■ 25аЧЮа6+б” 173. Докажите тождество / а + 6 а-Ъ \ I а + Ь а-Ь \ а 6 ^Va-6 ^ а + 6/ V а-6 а + 6/ 6 ^ а’ 174. Упростите выражение: в) г) \^а + а+Ь ‘ ( 2а+1 \ х+у \ + 1/ 1 I х-у •1^ х^-уЧ’ 2cd / 2c + d 2с – d) + 2cd 2c + d \ 2c-d 2х 3jc + 3i/ 2х-3у .(эг/^ бху + 9у^-6ху 4х^-бху 60 Глава 1. Дроби 175. Докажите, что при любом натуральном п является натуральным числом значение выражения: = ^ 176. Докажите, что если -^ = -^ = -5., то: Хо X, а) б) JC, + JC„ + JC, + лгз + 177. Докажите, что при любом т, отличном от нуля, значение выражения \2т^ -h -h 1 2т^ является отрицательным числом 178. Упростите выражение: а)| 1 0,56 – 1,5 26-6 \ 6-3 ^ 0,56″ – 1,56 + 4,5 V.9^’ 3 0,86’ + 21,6 ’ 2 б)| 2а \ 0,5а – 1 < 0,5а + 1 2-а 1 ^ 1 '■ —а - 1 2,5а - 2 ’ 4 в) 1 t 3,6x1/ + 2,1у^ 2х \ 1 12jc" + 7ху i 1,44х^ - 0,491/^ ■ 2,Ах + 1Лу>X + Зу rW 1 2«/ ]. < ' 0,5х г)\ 0,5jc + у 0,25л:‘ Ч JCI/ + 1/" / ’ * Упражнения для повторения 195. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у = -0,1л: -h 0,5 и г/ = 0,3л: + 0,1. 68 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел 196. Решите уравнение в целых числах: а) Зх - 2у = 5; б) 2х - Зу = 5. 197. В классе трое учащихся хорошо знают физику, пятеро — английский язык и двое — биологию. Сколькими способами можно составить команду из трех человек для участия в интеллектуальном марафоне, если в команде должен быть один человек, хорошо знающий физику, один — английский язык и один — биологию? 9. ^ Взаимно однозначное соответствие Пусть требуется сравнить число элементов множеств X и У, где X — множество двузначных чисел, У — множество трехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 9. С помощью непосредственного подсчета числа элементов можно установить, что п(Х) = п(У). Однако к этому выводу можно прийти и не прибегая к подсчету. Поставим в соответствие каждому двузначному числу такое трехзначное число, которое получается из него приписыванием справа цифры 9. При этом каждое трехзначное число из множества У окажется соответствующим для некоторого двузначного числа, а именно для того числа, которое получается из него зачеркиванием последней цифры. Соотношение между множествами X и У показано с помощью схемы: 10, 11, 12, : I I 109, 119, 129, 98, 99 I t 989, 999. Говорят, что между множествами X и У установлено взаимно однозначное соответствие. Вообще, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие единственный элемент множества В и при этом любой элемент множества В оказывается соответствующим некоторому единственному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие. Установив в рассмотренном выше примере взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, мы тем самым показали, что п<Х) = п(У). §4. Множество натуральных и множество целых числ 69 Приведем теперь пример взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами. Рассмотрим множество N натуральных чисел и множество Р четных натуральных чисел. Натуральному числу п поставим в соответствие число 2п. Тогда каждому элементу множества N будет соответствовать единственный элемент множества Р. При этом каждый элемент множества Р окажется соответствующим для единственного элемента из множества N, так как любое натуральное четное число можно представить в виде 2п, где п € N, и причем единственным способом. Соотношение между множествами N и Р показано на схеме: 1, 2, 3, 4, 1 I t t 2, 4, 6, 8, п, I 2л, Мы показали, что между множествами N и Р можно установить взаимно однозначное соответствие. Этот пример может вызвать удивление, так как множество Р является собственным подмножеством множества N. Однако из него ясно, что привычные для нас представления, касающиеся конечных множеств, нельзя переносить на бесконечные множества. Рассмотрим теперь пример взаимно однозначного соответствия между нечисловыми множествами. Пусть даны две окружности с общим центром О (рис. 6). Произвольной точке К внутренней окружности поставим в соответствие точку К' внешней окружности, лежащую на луче ОК. Очевидно, что для любой точки внутренней окружности найдется единственная соответствующая ей точка внешней окружности и, наоборот, любая точка внешней окружности является соответствующей для некоторой точки внутренней окружности. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек внутренней окружности и множеством точек внешней окружности. Установив взаимно однозначное соответствие между множествами точек окружностей, мы тем самым показали, что окружности содержат одинаковое число точек, хотя очевидно, что длина внутренней окружности меньше длины внешней. Этот удивительный факт еще раз 70 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел убеждает нас в особенностях соотношений между бесконечными множествами. 198. Укажите способ, позволяющий установить взаимно однозначное соответствие между: а) множеством натуральных чисел и множеством целых отрицательных чисел; б) множеством всех натуральных чисел и множеством нечетных натуральных чисел. 199. Между какими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если каждой правильной дроби со знаменателем 11 поставлена в соответствие сумма ее числителя и знаменателя? 200. Между какими числами устанавливает взаимно однозначное соответствие таблица квадратов двузначных чисел? Для чисел 43, 57, 79 укажите соответствующие. Какому числу соответствует число 729; 3969; 9604? 201. Каждому целому числу поставлен в соответствие его модуль. Является ли взаимно однозначным соответствие между множеством целых чисел и множеством их модулей? 202. Укажите способ, позволяющий установить взаимно однозначное соответствие между: а) множеством натуральных чисел и множеством их квадратов; б) множеством всех натуральных чисел и множеством натуральных чисел, больших 5. 203. Укажите способ, позволяющий установить взаимно однозначное соответствие: а) между множеством четных натуральных чисел и множеством нечетных натуральных чисел; б) множеством квадратов натуральных чисел и множеством кубов натуральных чисел. 204. На рисунке 7,а показано, как можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами точек отрезков АВ и CD, Для точек К, L и М найдите соответствующие им точки. Отметьте точку, которой соответствует точка Р'. 205. Укажите какой-либо способ, позволяющий установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек полуокружности и множеством точек диаметра АВ (рис. 7, б). §4. Множество натуральных и множество целых числ 71 ♦>Упражнения для повторения 206. Упростите выражение: 2 + х-2у х^+6у^ -1 1- а) б) 2у^ в) Х^ + У^ ху Х^^у^ 207. Докажите, что при любом значении х принимает положительные значения квадратный трехчлен: а) – 18л: -h 101; б) Зл:^ – 12л: -h 33. 208. Найдите ординаты общих точек графиков функций: а) г/ = л:^ и г/ = (2 – хУ\ б) г/ = (л: -h 2)^ и г/ = (2л: – 1)^. 10. ^ Натуральные числа. Целые числа Числа 1, 2, 3, 4, 5, . , употребляемые при счете, называют, как известно, натуральными числами. Каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы, т. е. за каждым натуральным числом п следует число п Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за натуральным числом, которое получается из него вычитанием единицы, т. е. натуральное число л, где п 1, следует за числом п – 1. Исключение составляет число 1, которое не следует ни за каким натуральным числом. Множество натуральных чисел обычно обозначают, как вы знаете, буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный). Множество N бесконечное, в нем есть наименьший элемент — число 1, но нет наибольшего элемента. 72 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел Сумма и произведение двух натуральных чисел всегда являются натуральными числами, т. е. на множестве натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, а именно: если a^Nnb^Ny то a-\-b€Nnab€N. Иначе обстоит дело с вычитанием и делением. На множестве натуральных чисел эти действия в ряде случаев невыполнимы. Другими словами, уравнения а-\-х = Ьиах = Ь, где а € N, Ь € Ny на множестве натуральных чисел не всегда имеют решения. Например, имея в запасе только натуральные числа, нельзя решить уравнения 8 -I- л: = 3, 5л: = 16. Для того чтобы вычитание натуральных чисел было выполнимо во всех случаях, множество натуральных чисел дополняют числом О и числами, противоположными натуральным, которые обозначаются так: -1, -2, -3 и т. д. Натуральные числа, противоположные им числа и число О составляют множество целых чисел: . —3, —2, —1, О, 1, 2, 3, . . Множество целых чисел, как известно, принято обозначать буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число). Множество Z также является бесконечным, в нем нет ни наименьшего элемента, ни наибольшего. В множестве Z всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения. В результате выполнения любого из этих действий над целыми числами получается целое число, т. е. если a^Znft^Z, то a + b€Z, a-b^ZnabGZ. Однако деление по-прежнему и на множестве Z выполнимо не во всех случаях, т. е. уравнение ах = Ь, где а G Z и Ь € Z, не всегда разрешимо в целых числах. Так, например, на множестве целых чисел не имеет корней уравнение Зл: = -11. Заметим, что если для любых двух элементов множества К определена некоторая операция (например, сложение) и результат выполнения этой операции также принадлежит множеству Ку то говорят, что множество К замкнуто относительно этой операции. Так, например, множество N натуральных чисел замкнуто относительно таких операций, как сложение и умножение, а множество Z целых чисел замкнуто относительно трех операций — сложения, вычитания и умножения. Множество N натуральных чисел является собственным подмножеством множества Z целых чисел. Покажем, что между § 4. Множество натуральных и множество целых числ 73 множествами Z и N можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого будем выписывать целые числа, располагая их следующим образом: на первом месте запишем число О, а далее будем брать в порядке возрастания натуральные числа и за каждым натуральным числом будем записывать противоположное ему целое число. Получим: О, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . л, -Пу . где п € N. Поставим числу О в соответствие число 1, числу 1 — число 2, числу -1 — число 3, числу 2 — число 4 и т. д. Вообще каждому натуральному числу п поставим в соответствие число 2л, а противоположному ему целому отрицательному числу -п поставим в соответствие число 2л -I- 1. Тем самым каждому целому числу мы поставим в соответствие единственное натуральное число. При этом каждое натуральное число окажется соответствующим вполне определенному целому числу. Установленное соответствие показано с помощью схемы: О, 1, “1, 2, —2, 3, —3, . л, “Л, . I I 1 I t м : t 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2л, 2л -f 1, . Таким образом, мы убедились, что между множеством Z целых чисел и множеством N натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Если между множеством М и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, то множество М называют счетным. Таким образом, мы доказали, что множество целых чисел Z является счетным. В предыдущем пункте было показано, что счетным является множество Р четных натуральных чисел. 209. Не вычисляя значения выражения, определите, являет- ся ли оно натуральным числом: а) (112,8 -h 167,2) -17; б) (1284 – 1113) : 210. Верно ли утверждение: а) если а € iV, то а € Z; б) если а i Ny то а i Z; в) 175 (341,6 – 248,6); г) 2,17 (3 – 1,15 – 3,45). в) если а € Z, то а € N; г) если а i Zy то а i N? 74 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел 211. Задайте путем перечисления элементов множество А целых значений х, удовлетворяющих условию: а) -4 Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определения пересечения множеств и объединения множеств. 2. Какое соответствие между множествами является взаимно однозначным? 3. Объясните, каким образом можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством целых чисел и множеством натуральных чисел. §5. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ 11. V Свойства делимости В множестве целых чисел всегда выполнимы сложение, вычитание и умножение чисел, т. е. сумма, разность и произведение целых чисел всегда являются целыми числами. Иначе обстоит дело с делением. Лишь в отдельных случаях при делении одного целого числа на другое в частном получается целое число. Напомним, что разделить число а на число ft, где Ь ^ 0, — это значит найти такое число ft, при умножении на которое числа Ь получается а, т. е. верно равенство bk = а. Ограничение, которое накладывается на Ь, объясняется тем, что при а О равенство О • ft = а не является верным ни при каком ft, а при а = О равенство О • ft = а верно при любом ft, т. е. частное становится неопределенным. Это делает понятной часто употребляемую фразу: «На нуль делить нельзя». § 5. Делимость чисел 77 Нас будет интересовать случай, когда а и Ь (Ь 0) — целые числа и частное от деления а на Ь также является целым числом, т. е. когда существует целое число k такое, что а = bk. В таком случае говорят, что «а делится на Ь нацело» или, короче: «а делится на Ь». Определение. Целое число а делится на целое число Ь, не равное нулю, если существует такое целое число fe, что а = bk. Например, 56 делится на -8, так как 56 = (-8) • (-7), где -7 — целое число, а 78 не делится на -8, так как не существует такого целого числа ft, для которого верно равенство 78 = (-8)ft. Если а делится на Ь, то число Ь называют делителем числа а, а число а — кратным числа Ь. Говорят также, что «а кратно 5». Например, делителями числа 4 являются числа 1, -1, 2, -2, 4, -4. Кратными числа 4 являются числа 4, -4, 8, -8, 12, -12 и т. д., вообще любое число вида 4т, где т € Z. Рассмотрим некоторые свойства делимости (буквами обозначены целые числа). 1. Всякое число а, отличное от нуля, делится на себя. 2. Нуль делится на любое число Ь, не равное нулю. 3. Если а делится наЬ (Ь ^ О) иЬ делится на с (с ^ О), то а делится на с. 4. Если а делится на Ь (Ь О) и Ь делится на а (а О), то числа а и Ь либо равны, либо являются противоположными числами. Справедливость первого свойства вытекает из того, что равенство а 1 = а верно при любом а, а второго — из того, что равенство ft • 0 = 0 верно при любом ft 0. Докажем справедливость третьего свойства. Из определения делимости следует, что а = bk, ft = cm, где кит — целые числа. Отсюда а = (cm)k, т. е. в силу сочетательного свойства умножения а = с(тк), где тк — целое число, а это означает, что а делится на с. Докажем теперь справедливость четвертого свойства. Из определения делимости следует, что а = Ьк иЬ = am, где кит — целые числа. Отсюда а = (ат)к, т. е. а = а (тк). Так как а ^ 0, то тк = 1. Однако mk = 1 для целых чисел тик тогда и только тогда, когда оба числа тик равны 1 или равны -1. В первом случае числа а и ft равны, во втором — они отличаются только знаком. Определение и свойства делимости находят применение при решении задач. 78 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел Приведем примеры. Пример 1. Пусть а и Ь — целые числа, причем Ь ^ 0. Докажем, что если а делится на Ь, то а’* делится на при любом натуральном п. Из определения делимости следует, что существует такое целое число к, что а = bk. Возведя обе части этого равенства в степень п, получим, что = (Ьку, т. е. • к’^. Так как к — целое число и Ь О, то ft” также является целым числом и ft” 0. Следовательно, по определению а” делится на ft”. Пример 2. Выясним, каково соотношение между множеством А чисел, кратных 6, и множеством В чисел, кратных 18. Пусть целое число а делится на 18. Из условия, что а делится на 18 и 18 делится на 6, следует, что а делится на 6. Значит, каждое число, кратное 18, является кратным 6, т. е. каждый элемент множества В является элементом множества А. При этом в множестве А есть элементы, не принадлежащие В, например число 12. Это означает, что множество В является собственным подмножеством множества А. Соотношение между множествами А и В показано с помощью кругов Эйлера на рисунке 9. 229. Укажите, если возможно, два значения а, при которых верно высказывание: а) а делится на 11; в) 0 делится на а; б) 17 делится на а; г) а делится на 0. 230. Докажите, что если а кратно 6 и ft кратно 5, то произведение aft кратно 30. 231. Верно ли высказывание: а) если а делится на 15, то а делится на 5; б) если а делится на 5, то а делится на 15; в) если а делится на 30, то а делится на 90; г) если а делится на 105, то а делится на 35? 232. Покажите с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В, если: а) А — множество чисел, кратных 4, В — множество чисел, кратных 12; б) А — множество чисел, кратных 96, В — множество чисел, кратных 16; § 5. Делимость чисел 79 Рис. 9 в) А — множество чисел, кратных 37, В — множество чисел, кратных 111. 233. Пусть F — множество чисел, кратных 36. Принадлежит ли множеству F число а, если известно, что: а) а кратно 9; б) а кратно 72; в) а кратно 108? 234. На схеме Эйлера (рис. 10) меньший из кругов изображает множество чисел, кратных 12. Приведите пример бесконечных множеств, которые могут изображать два других круга. 235. На схеме Эйлера (см. рис. 10) средний круг изображает множество чисел, кратных 4. Приведите пример бесконечных множеств, которые могут изображать два других круга. 236. Пусть Р — множество чисел, кратных 5, isT — множество чисел, кратных 15, F — множество чисел, кратных 60. Укажите: а) два числа, принадлежаш;их всем трем множествам; б) два числа, которые принадлежат множеству Р, но не принадлежат множествам К F\ в) два числа, которые принадлежат множествам Р и К, но не принадлежат множеству F. Покажите соотношение между множествами Р, К и F с по-мош;ью кругов Эйлера. ♦> Упражнения для повторения 237. Упростите выражение 1 1 а + Ь а + Ь а + Ь 238. Найдите значение выражения, зная, что п € N: gn + l . 5П-1 _ gn-1 . 5П + 1 g2n + 3 а) 40″ б) gZn + 2 , g2n + 3 _ ^2п + 1 . g2n + 1 80 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел 239. Изобразите схематически график функции: |л:^,если |л:| 1. У = 12. ^ Делимость суммы и произведения Докажем некоторые свойства делимости суммы и произведения. При доказательстве воспользуемся тем, что сумма и произведение целых чисел есть целое число. 1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число. Доказательство проведем для трех слагаемых. Пусть каждое из целых чисел а, Ь и с делится hsl р (р ^ Z, р 0). По определению а – pk, Ь = pi, с = рт, где k, I и т — целые числа. Тогда a-\-b-\-c=pk-\-pl-\- рт = p(k -h I -f m). Так как k, I и m — целые числа, то k I m — целое число, a значит, по определению а b с делится на р. С помощью тех же рассуждений и преобразований можно доказать справедливость данного свойства для любого числа слагаемых. Заметим, что обратное утверждение не верно. Из того, что сумма а Ь с делится на р, не следует, что каждое слагаемое делится на р. Примером может служить сумма 4 -I- 10 -f 16, которая делится на 3, тогда как каждое слагаемое не делится на 3. 2. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то разность делится на это число. Пусть а и Ь — целые числа, а делится на. р и Ь делится на р (р € Z, р ^ 0). Если Ь делится на р, то -Ь также делится на р. Представив разность а-Ь в виде а (-Ь), получаем сумму, которая в силу предыдущего свойства делится на р, так как в ней делится на р каждое слагаемое. 3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число. Пусть а, Ь и с — целые числа, а делится на р (р € Z, р 0), Ь делится на р, а с не делится на р. Докажем, что сумма а Ь с не делится на р. § 5. Делимость чисел 81 Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что сумма а Ь с делится на р. Тогда в разности (а + Ь + с) – (а + Ь) уменьшаемое и вычитаемое делятся на р, а значит, разность делится на р. Так как разность (а Ь с) — (а Ь) равна с, то получается, что с делится на р, а это противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно и сумма а + ft + с не делится на р, что и требовалось доказать. 4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Пусть в произведении целых чисел а и Ь множитель а делится на с (с € Z, с 0). По определению а = ck, где k — целое число. Тогда аЬ = (ck)b и в силу сочетательного свойства умножения аЬ = c Упражнения для повторения 259. Найдите пересечение и объединение множеств натуральных делителей чисел 15 и 18. Чему равен наибольший обилий делитель этих чисел? 260. Найдите все точки с целочисленными координатами, принадлежаш;ие графику функции: а) а <х) = б) hп, то хотя бы в одной клетке сидит более одного зайца, П р и м е р 3. Докажем, что среди 13 разных целых чисел всегда найдутся два числа, разность которых делится на 12. Действительно, в зависимости от остатков, которые получаются при делении целого числа на 12, множество целых чисел разбивается на 12 классов. Допустим, что 12 из данных чисел попадут в разные классы. Однако тринадцатое число в соответствии с принципом Дирихле попадет в один класс с каким-либо из этих чисел. Таким образом, среди данных чисел всегда найдутся два числа, которые при делении на 12 дают одинаковые остатки, а это означает, что их разность делится на 12. В самом деле, если а и Ь — целые числа, а = 12д^ -I- г и Ь = 12^2 + г, где О Упражнения для повторения 290. Упростите выражение: 2а – 3 12а – 4а^ + 9 – 6а 8а® + 27/ 291. Найдите, при каких значениях коэффициента k прямая, заданная уравнением г/ = -I- 3, не проходит через точку: а) А(4; -1); б) Б(-4; 1); в) С(0; 3). 292. Найдите область допустимых значений переменной в выражении: X X V л: V л: а) JC – 1 ’ б) л:” – 1 ’ в) + 1′ х‘ + X 14. ^ Признаки делимости При решении многих задач, например при разложении чисел на простые множители, сокращении дробей, вынесении общего множителя за скобки, упрощении уравнений и т. п., полезно знать некоторые признаки делимости^ позволяющие. 92 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел не выполняя деления, определять, делится ли одно число на другое или нет. Так как деление целых чисел сводится к делению их модулей, то признаки делимости формулируются для натуральных чисел. Докажем некоторые уже известные вам признаки и выведем новые. При доказательстве будем использовать особенности записи чисел в десятичной системе счисления и свойства делимости. Начнем с признаков делимости на 2 и на 5. Всякое натуральное число можно представить в виде 10а -f Ь, где а — число десятков, Ь — число, выраженное последней цифрой. Слагаемое 10а при любом а делится на 2. Значит, делимость суммы 10а -f Ь зависит от делимости второго слагаемого. Если Ь делится на 2, т. е. цифра Ь — четная, то сумма 10а -f Ь делится на 2, а если Ь не делится на 2, т. е. цифра Ь — нечетная, то сумма 10а -I- Ь не делится на 2. Таким образом, мы доказали признак делимости на 2: число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой. Так как в рассмотренной сумме 10а -f Ь слагаемое 10а делится на 5, то с помощью тех же рассуждений можно доказать признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой О или 5. Выведем теперь признаки делимости на 4 и на 25. Всякое натуральное число можно записать в виде 100а -f -h (10Ь -h с), где а — число сотен, 10Ь с — число, выраженное двумя последними цифрами. В сумме 100а -I- (10Ь -f с) слагаемое 100а делится на 4. Значит, делимость суммы зависит от делимости второго слагаемого 10Ь -f с. Если 10Ь с делится на 4, то сумма делится на 4, а если 10Ь с не делится на 4, то сумма не делится на 4. Значит, доказан признак делимости на 4: число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, выраженное его двумя последними цифрами, делится на 4. Учитывая, что в рассмотренной сумме 100а -f (10Ь с) слагаемое 100а делится на 25, можно с помощью тех же рассуждений доказать признак делимости на 25: число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, выраженное его двумя последними цифрами, делится на 25. § 5. Делимость чисел 93 Докажем теперь признаки делимости на 9 и на 3. Доказательство проведем на примере шестизначного числа. Пусть дано число abodef, где а ^ 0. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых и преобразуем эту сумму, выделив в ней слагаемое, деляш;ееся на 9. Получим: а • 10^ -f ft • 10″ -f с • 10″ -f d • 102 -f е • 10 -f / = = (99 999a -f a) -f (9999b -h b) -f (999c -h c) -h (99d -f (9c -f c) -h / = (99 999a -h 9999b -h 999c -f 99d -h 9c) -f -l-(a-fb + c-l-d-fc-l- f). В полученной сумме первое слагаемое делится на 9 (на 3). Значит, если второе слагаемое делится на 9 (на 3), то сумма делится на 9 (на 3), а если второе слагаемое не делится на 9 (на 3), то и сумма не делится на 9 (на 3). Однако второе слагаемое представляет собой, как говорят, сумму цифр данного числа. Рассуждения, проведенные для шестизначного числа, справедливы для любого многозначного числа. Таким образом, мы вывели признаки делимости на 9 и на 3: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9; число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Выведем теперь признак делимости на 11. Для этого воспользуемся тем, что всякое число вида 10^’^ – 1 или -I- 1, где n^N, делится на 11. Действительно, число вида – 1 делится на 11, так как оно записывается с помош;ью четного числа девяток, например 102-1 = 99, 10″-1 = 9999, а число 102″ +1 делится на 11, так как сумму 102″ + 1 можно представить в виде произведения, в котором первый множитель равен 10 -I- 1, т. е. равен 11. Как и при доказательстве признака делимости на 9, рассуждения проведем на примере шестизначного числа. Пусть дано число abodef, где а ^ 0. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых и выделим в ней слагаемое, делящееся на 11: а 10″ -h Ь • 10″ -f с • 10″ -h d • 102 + в • 10 -f / = = а (10″ -f 1) -f b(10″ – 1) + c(10″-f 1) -f d(102- 1) + e(10 + 1) + -l-/-a-l-b-c-l-d-e = = [a (10″ -h 1) -f b(10″ – 1) -h c(10″-h 1) -f d(102- 1) + e(10 -h 1)] -h -h [(b -h d -h /) – (a -h C -h e)]. 94 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел Первое слагаемое, заключенное в квадратные скобки, делится на 11. Значит, сумма делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится второе слагаемое, заключенное в квадратные скобки и представляющее собой разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах. Проведенные рассуждения справедливы для любого многозначного числа. Отсюда получается признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11. В практике вычислений часто используется свойство, связанное с делением натурального числа на взаимно простые числа, т. е. такие натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1: если натуральное число делится на каждое из двух взаимно простых чисел, то оно делится на их произведение. Докажем это. Начнем с более общего случая. Пусть число т делится на а и на Ъ, где а, Ь, т — натуральные числа. Докажем, что т делится на число р (р ^ N), которое является наименьшим общим кратным чисел а и Ь. Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что т не делится на р. Тогда т = pq г, где О Упражнения для повторения 312. Не вычисляя значение а, определите, является ли оно целым числом, если: а) а = 216:^; б) а = 2304 • в)а = -7185:|. 313. Имеется два вида конвертов без марок и три вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для одного письма? 314. При каких значениях а, Ь, с, d является тождеством равенство: а) -h + 2 = ах Ъ) а по предположению — наибольпгее простое число. Оно не является также составным, так как по свойству делимости суммы не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5, . р^, а других простых чисел по предположению нет. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и, значит, множество простых чисел бесконечное. В натуральном ряду простые числа распределяются крайне неравномерно. Можно показать, что в нем существуют сколь угодно большие промежутки, не содержащие ни одного простого числа. Действительно, пусть п — произвольное натуральное число. Составим натуральное число 1 • 2 •. • п 5, то либо р^~ 1, либо 19 делится на 30. Так как число р — простое, то в зависимости от остатков, которые могут получаться при делении числа р на 30, оно может иметь вид: ЗОт + 1, ЗОт + 7, ЗОт -I- 11, ЗОт -I- 13, ЗОт -h 17, 30m + 19, 30m + 23, 30m + 29. Иначе говоря, число р может быть представлено в одном из видов: 30т ± 1, 30т ± 7, 30т ± 11, 30т ± 13. Выражая отсюда р^, получим: р2=(30т ± 1)2 р2=(30т ± 7)2 900 m2 ± 2 30т + 1, 900 m2 ± 2 30т 7 -h 49, p2=(30m ± 11)2 = 900 m2 ± 2 30т • 11 -h 121, p2=(30m ± 13)2 = 900 m2 ± 2 • 30т 13 -h 169. Очевидно, что в первом и третьем случаях на 30 делится число р2 – 1, а во втором и четвертом — число р2 – 19. Пример 2. Докажем, что если п € N и п> 1, то значение выражения (п^ 1)(п – \)1, то значение первого множителя является натуральным числом, большим 1. Так как + 2 – 2л = (л – 1)^ + 1, то значение второго множителя при указанных значениях л также является натуральным числом, большим 1. Таким образом, если n^N и л>1, то значение выражения (л^ + 1)(л – 1)(л + 1) + 5 является натуральным числом, имею-ш;им два натуральных делителя, каждый из которых больше 1, а это означает, что оно является составным числом. 315. Выпишите все простые числа от 50 до 100. 316. Из данных чисел 401, 411, 421, 431, 441, 451, 461, 471 выберите простые числа. 317. Найдите все простые числа, на которые делится сумма любых четырех последовательных степеней числа: а) 2; б) 3; в) 5. 318. Укажите наименьшее натуральное число, которое имеет только три простых делителя. 319. Разложите на простые множители число: а) 1176; б) 1020; в) 101. 320. Сколько натуральных делителей имеет число: а) 32; б) 48; в) 5!? 321. При каком условии число тп 5, то при делении на 12 в остатке получается 1. 327. Докажите, что если простое число р равно разности р-1 р+1 квадратов двух целых чисел, то эти числа равны —^ и —^ . 328. Докажите, что если т — составное число, то число 2^” – 1 также является составным. 329. Найдите все простые числа р такие, чтобы числа р + 10 и р + 14 также являлись простыми числами. 330. Простые числа, которые можно найти по формуле М = 2р – 1, где р — простое число, называются числами Мер-сенна (по имени французского богослова, философа и математика Марена Мерсенна (1588—1648)). Найдите несколько первых чисел Мерсенна. Упражнения для повторения 331. При каких целых значениях т уравнение 4тх + 2 = 5 + д: имеет целые корни? 332. Упростите выражение (X – 3)(х -2) (х – 2)(х – 1) (х – 1)х х(х + 1) + 1 + + (х + 1)(х + 2) (д + 2)(х + 3) • 333. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость одного автомобиля на 10 км/ч меньше скорости другого. Через 2 часа расстояние между автомобилями составило 50 км. Найдите скорость каждого автомобиля. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение понятия «а делится на &». Сформулируйте и докажите свойства делимости чисел. 2. Сформулируйте свойства делимости суммы и произведения. Приведите доказательства. 102 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел 3. Сформулируйте теорему о делении с остатком. Найдите неполное частное и остаток от деления -5 на 4. 4. Сформулируйте признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25. Докажите признаки делимости на 4, 9, 11. 5. Какое число называется простым? Докажите, что среди простых чисел нет наибольшего. ♦> Дополнительные упражнения к главе 2 К параграфу 4 334. Начертите два каких-либо квадрата так, чтобы их пересечением были: а) прямоугольник; в) треугольник; д) точка. б) квадрат; г) отрезок; 335. В классе 32 учащихся, каждый из которых посещает факультативные занятия по математике или по физике. Из них 20 учащихся занимаются факультативно математикой, а 16 учащихся — физикой. Сколько учащихся посещают оба факультатива? 336. Из 30 учащихся класса каждый занимается хотя бы в одной из спортивных секций — гимнастической, волейбольной или баскетбольной. В гимнастической секции занимаются 17 учащихся, в волейбольной — 14, в баскетбольной — 12. При этом 7 учащихся занимаются гимнастикой и волейболом, 5 — гимнастикой и баскетболом, 3 — волейболом и баскетболом. Сколько учащихся этого класса занимаются во всех трех секциях? 337. Из 32 владельцев участков, входящих в кооператив, каждый выращивает крыжовник, смородину или малину. Известно, что 25 человек выращивают крыжовник, 28 человек — смородину, 29 человек — малину. При этом 20 человек выращивают крыжовник и смородину, 18 — крыжовник и малину, а 10 человек выращивают ягоды всех трех видов. Сколько человек выращивают смородину и малину? 338. Верно ли, что при любом целом т является целым числом значение выражения: -т-2 а) Зт + 2 ^ +5т-12 ^ б) ———? т + 4 Дополнительные упражнения к главе 2 103 339. Известно, что при некоторых х и у значение дроби 2х-3у „ —– является целым числом. Верно ли, что при тех же х и у У целым числом является значение выражения ? У 340. Известно, что при некоторых значениях тип значение дроби — является целым числом. Является ли целым числом п при тех же тип значение дроби: Ьт^-Зп^ ^ (4т-п)(4т-\-п) а) —— ; б) ——-i—- (т-п)(т^-\-тп-\-п^) ^ ~з * 341. Найдите все целые значения а, при которых значение + 4 дроби ” “Y является целым числом. 342. Найдите все целые значения т, при которых корень уравнения тх – 2х = т^ 2 является целым числом. К параграфу 5 343. Докажите, что: а) 9^ + 3^ + 27^ делится на 39; б) 25^ – 5^ – 125 делится на 95; в) 4® + 8^ – 2^® делится на 44; г) 6® – 36^ + 216 делится на 93. 344. Докажите, что если сумма целых чисел а, Ь и с делится на 6, то сумма их кубов также делится на 6. 345. Докажите, что среди семи целых чисел найдутся хотя бы два числа, разность которых делится на 6. 346. Докажите, что если целые числа а и Ь при делении на натуральное число п дают равные остатки, то числа а’” и Ь’”, где т е N, при делении на п также дают равные остатки. Используя этот вывод, найдите остаток от деления: а) 5^^^ на 6; б) 3^^® на 8. 347. При делении на 7 число m (т € Z) дает остаток 1, число п (п € Z) — остаток 3, а число р (р е Z) — остаток 2. Докажите, что число 12т + 11п 2р делится на 7. 104 Глава 2. Целые числа. Делимость чисел 348. Целое число х при делении на 5 дает остаток 1. Какой остаток получится при делении на 5 числа х^; числа х^? 349. Докажите, что если при делении целого числа д: на 4 получается остаток 1, то число х^ + х – 2 делится на 4. 350. Какие остатки могут получиться при делении квадрата натурального числа: а) на 6; б) на 8? 351. Найдите наименьшее натуральное число, которое: а) при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2; б) при делении на 9 дает остаток 5, а при делении на 4 — остаток 3. 352. При делении натурального числа п, меньшего 60, на числа 3, 4 и 5 получили соответственно остатки а, Ь и с. Докажите, что число п равно остатку от деления числа 40а + -I- 45& -I- 36с на 60. 353. Докажите, что при любом целом п значение выражения: а) -I- 6п делится на 6; б) делится на 36. 354. Докажите, что если каждое из целых чисел m и п не кратно 3, то число делится на 3. 355. Докажите, что если числа m (/тг € Z) и 6 взаимно просты, то разность – 1 делится на 6. 356. Делится ли число 44. 4 : 30 раз а) на 4; б) на 3; в) на 9; г) на 6; д) на 66? 357. Докажите, что если п — простое число и п > 3, то разность – 1 делится на 24. 358. Докажите, что при любом целом а разность а® – делится на 30. 359. Докажите, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 12 дает остаток 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. 1 §6. 16. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ МНОЖЕСТВО РАЦИОНАЛЬНЫХ И МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Рациональные числа В множестве целых чисел не всегда возможно выполнить де- [ение. Но если расширить множество целых чисел, введя дроб- 117 7 1ые числа, такие как т, 7. “7 и т. д., то в множестве 2 ZOO 1;елых и дробных чисел деление становится выполнимым. Це-[ые и дробные числа составляют множество рациональных чи-ел. Слово «рациональное» происходит от латинского слова atio — отношение (частное). Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (первая буква французского слова qutient — отношение). В этом множестве выполнимы сложение, вычитание, умножение и де-[ение, кроме деления на нуль. В результате выполнения любой 13 этих операций над рациональными числами получается )ациональное число, т. е. множество рациональных чисел Q ямкнуто относительно четырех арифметических операций (исключая деление на нуль). Например: 3 2 13 7 3 1 5 3 1 4 г 5^ 4 10 + 15 ” 30’ 8 4 “ 8’ 6 5 2 ’ 9 • 5 Вообш;е если а е Q и Ь е Q, то а Ь е Q, а – Ь е Q, аЬ е Q; если а е Q и Ь е Q и Ь Ф 0, то а : Ь е Q. Рациональные числа применяются при измерении величин длин, площадей, объемов, промежутков времени и др.). Так, [апример, если длину отрезка ОБ (рис. 12) принять за единицу О В н- к м Рис. 12 106 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 1 3 длины и обозначить ее буквой е, то ОБ = 1е, ОК = « е, ОМ = 5 ^ ^ ОС = 2е, ОР = 2^- Если единичный отрезок ОВ (рис. 13) разделить на 3 равные части, то при той же единице длины е получим: ОХ = 2 4 OY = -е, OZ = -е. О н- в X Y Z Рис. 13 Положительные рациональные числа записываются в виде обыкновенных дробей, а отрицательные — в виде обыкновенных дробей со знаком минус. Одно и то же рациональное число может быть представлено многими способами. Например, 3 6 4 8 Так как черта дроби является одновременно и знаком деления, то и дробное отрицательное число можно записать в виде ^ 1 -1 3 -3 7 -7 _ дроби, например: ~ ~2^ “~5’~4 “~4‘ обра- зом можно представить любое целое число в виде дроби с любым натуральным знаменателем. Возьмем, например, знаменатель 2, получим: -6 -4 -2 0 2 6 ~ ~~2’ ^ ~2′ ^ ^ 2’ ^ ~2’ ^ ^ 2‘ Вообще любое рациональное число можно представить в виде дроби, числитель которой — целое число, а знаменатель — натуральное, т. е. в виде отношения целого числа к натуральному. Для каждого числа существует сколько угодно таких дробей, но среди них есть лишь одна дробь с наименьшим знаменателем. Для целых чисел таким знаменателем является число 1. Так, « -3 ^ -2 , -1 ^ о ^ 1 ^ 2 ^ 3 -3=—, -2=^, -1 = -];» 0=1» 1 = 1» 2=Y’ § 6. Множество рациональных и множество действительных чисел 107 Рассмотрим теперь вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей. Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен степени числа 10, записывают в виде десятичной дроби. Например: 10 “ 100 4005 1000 4,005. Если знаменатель обыкновенной дроби содержит лишь простые множители 2 или 5, то ее можно привести к знаменателю, представляющему степень числа 10, и записать в виде десятичной дроби. Например: 7 28 43 3 15 ^ ” 100 ^ “^100 =2,15. Если знаменатель несократимой дроби содержит другие простые множители, кроме множителей 2 и 5, то ее нельзя пред- 17 9 ставить в виде десятичной дроби. Например, дроби и — нельзя привести к знаменателю, являющемуся степенью числа 10, и поэтому нельзя записать в виде десятичной дроби. В таких случаях при делении числителя на знаменатель не может получиться в остатке 0 и деление продолжается бесконечно: 17 I 50 20 20 6 2,8333. 9 90 20 11 0,8181. 20 90 20 Считают, что эти дроби обращаются в бесконечные десятичные дроби: 17 9 — = 2,8333. ; — = 0,8181. . О 11 в таких дробях начиная с некоторого момента одна цифра или группа цифр бесконечно повторяются. Это объясняется неизбежным повторением остатков при делении. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом. Так, в бесконечных десятичных дробях 2,8333. и 0,8181. периодами являются 3 и 81. Бесконечные десятичные периодические дроби записывают короче: выписывают все цифры до первого периода и приписывают к ним период, заключенный в круглые скобки. 108 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни Например, У = 2,8333. = 2,8(3); ^ = 0,8181. = 0,(81). Читают: 2 целых 8 десятых и 3 в периоде; О целых 81 в периоде. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав к десятичной дроби бесконечную последовательность нулей. Например, 4,271 = 4,271000. = 4,271(0); -5,68 = -5,68000. = -5,68(0). Таким же способом можно представить любое целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Например, 75 = 75,000. = 75,(0); -32 = -32,000. = -32,(0); о = 0,000. = 0,(0). Значит, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет некоторое рациональное число. Возьмем, например, бесконечную десятичную периодическую дробь х= 0,8333. = 0,8(3). Умножив ее на 10, получим 10д: = 8,333. = 8,(3). Разность 10х – х равна 7,5: 8,333. 0,833. 7,5 Отсюда 9л: = 7,5; X = 75 90 ’ X = Значит, 0,8(3)=-. Таким образом можно обратить любую бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную. Заметим, что бесконечная десятичная дробь с периодом 9 обращается в натуральное число или десятичную дробь. §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 109 Пусть, например, х= 5,6(9), тогда 10x = 56,(9), 10х – х = 51,3, 9л: = 51,3, х = 5,7. Так как любой десятичной дроби соответствуют две бесконечные десятичные дроби, одна с периодом 9, другая с периодом О, то дроби с периодом 9 обычно не рассматривают. 3 4 9 6 360. ЬСакие из чисел -100; – ~ ; гг ; 7; -8; г; 0; – г; 1 являются: . о 1U Z 1 а) целыми положительными; б) целыми отрицательными; в) дробными положительными; г) дробными отрицательными? Верно ли. что: 4 14 7 • г = 1^т 5 ■ 7 – 3 : 9 6 ЛГ; MI-I ) ■ Ь д) 1 • (ь -1) : 3 =)(!-! е. (2 -1) l.i €Z? 362. Верно ли, что: а) если а € ЛГ, то а € Z и а € Q; б) если а € Z, то а € iV и а € Q? 363. Напишите два значения х, при которых: а) X е Z и X е N; б) X е Q и X е Z; в) xeQnxeN. 364. Напишите две дроби, знаменателем которых яляется число 17 и которые выражают натуральные числа. 365. На рисунке 14 кругами изображены множества Q и Z. Множеству каких чисел соответствует заштрихованная часть? 110 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 366. Представьте каждое из чисел 0; 5; -6; 1,4; 0,25 и -0,75 в виде дроби с целым числителем и наименьшим натуральным знаменателем. 4 12 2 367. Представьте каждое из чисел ; “1,2; -8 и 2~ О о 4 а двумя способами в виде дроби -, где а е Z и Ь е N. 368. Сравните рациональные числа: а) -2,7 и -2,69; B)-f 6 и–; 6 8 7 8 3 5 7 б) 8 ” 9 = г)3- и 3-; е) 1- и 1,875. 369. Сравните числа: а) – и 0,(3); б) 1,(65) и 1^; в) 2,7(8) и 2,8(7); г) -62,31(564) и -62,31(465). 370. Назовите пять рациональных чисел, заключенных между числами: 8 9 а) 5,01 и 5,02; б) – 1,1 и -0,99; 5 6 в) 7 и 7; г) -п д) 32,0(62) и 32,0(70); е) -5,3(4) и -5,3(5) . 371. Напишите пять дробных чисел, заключенных между числами: а) 6,3 и 7,3; в) ^ и ^; д) 0,1(7) и 0,1(8); б) -8,9 и -5,1; г) и -^; е) -3,2(52) и -3,2(51). 372. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 2 3 ’ 1 в)-з; Д) -23; 3 ж) 4-; б) 19 15 ’ г) 18; ч 12 373. Запишите в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: 5 101 .48 12 a)-g; б) 8 ’ в) – 125 ’ г) 7 • §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 111 374. Представьте в виде обыкновенной дроби число: а) 1,(3); в) 1,6(7); д) 5,2(45); б) 2,(25); г) 0,41(6); е) 3,6(020). 375. Найдите значение выражения: а) 3,1(28) + 2,(21); б) 3,1(28) + 2,4(1). 376. Найдите модуль разности х и у, если: а) X = 7,(8) иу = 5,(4); б) х = 1,(38) иу = 2,(57). Результат округлите до десятых. 377. Начертите отрезок. Пусть его длина равна 1е. Постройте 1 4 отрезки длиной 0,1е, ~е. Каким числом выражается длина каждого из построенных отрезков, если единица длины – е? ♦> Упражнения для повторения 378. Докажите, что при любом целом значении х является целым числом значение дроби: а) +S) + 16 лг^ + 4 б) &(х* -2х)-Щ2-Ах) Х^- 2 и т. д. ( 2 —) = 2 получаем: — = 2, = 2п^. Так как п / п — четное число ил ^ 1, то — четное и потому т — четное число. Значит, т можно представить в виде 2ft, где ft — натуральное число. Получим: Рис. 18 Множество чисел, расположенных между числами а иЬ, называют числовым интервалом или просто интервалом от а до Ъ. Его обозначают с помощью круглых скобок: (а; Ъ). Интервал от а до Ь показан на рисунке 19 штриховкой. Светлые кружки означают, что числа а и Ь не принадлежат итервалу (а; Ъ). ________тшшшшшищ___________________► (а;Ь) Рис. 19 Если к интервалу (а; Ь) добавить числа а и &, то получится числовой промежуток, который называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают с помощью квадратных скобок: [а; &]. Отрезок [а; Ь] изображен на рисунке 20. ____________iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii_____________ а Ь [а; Ь] Рис. 20 Если к интервалу (а; Ь) добавить лишь одно из чисел а или &, то получится еще два числовых промежутка. Их называют полуинтервалами и обозначают с помощью круглой и квадратной скобок: [а; Ь) и (а; Ь]. Полуинтервалы [а; Ь) и (а; Ь] изображены на рисунках 21 и 22. 4111111111111111111111111ШЩ_______________^ [а; Ь) Рис. 21 ^IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIH (а; 6] Рис. 22 118 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни а (а; +00) Рис. 23 а [о; +00) Рис. 24 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII_____________^ а (-оо; а) Рис. 25 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII (-оо; а] Рис. 26 Отметим на координатной прямой число а. Множество чисел, больших числа а (рис. 23), называется открытым числовым лучом или просто открытым лучом от а до плюс бесконечности и обозначается с помощью круглых скобок: (а; -1-оо). Если к этому промежутку добавить число а, то получим числовой луч от а до -1-00. Его обозначают так: [а; -1-оо) (рис. 24). На рисунках 25 и 26 изображены открытый луч (-оо; а) и луч (-оо; а]. Числовой промежуток от -оо до +00, который состоит из всех действительных чисел, называют числовой прямой и обозначают (-оо; -|-оо). 401. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток: а) (-3; 4); в) (-5; -2]; д) (-1; +оо); ж) [2; +оо); б) [-5; 0]; г) [1; 6]; е) (-оо; 1); з) (-оо; -1]. 402. Задайте неравенством числовой промежуток, изображенный на рисунке 27, и запишите его обозначение. 403. Запишите обозначение числового промежутка, представляющего множество чисел х таких, что: а) -8 6; б) 4 5; з) д: -4. § 6. Множество рациональных и множество действительных чисел 119 а) ^lllllllllllllllllllllli. б) illlllllllllllllllllllllllllllllllllllll^ в) miiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii. г) llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllli. 11 Д) miiiiiiiiiiiiiiiiim 0,1 0,2 е) lllllllllllllllllllllllllllllHllllllim Рис. 27 404. Изобразите на координатной прямой промежуток, представляющий множество А, если: а) А = < д: I д: >-3>; г) А = < д: | 4 2>. 405. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству: а) |д:| 3; г) |д:| > 5; е) |д:| > -1. 406. Какое из множеств <д:| |д:| 1>является числовым промежутком? Обозначьте его и изобразите на координатной прямой. 407. Существует ли в промежутке [6; 15) наименьшее число; наибольшее число? 408. Существует ли в промежутке (-2; 3] наименьшее число; наибольшее число? 409. Найдите все целые числа, принадлежащие промежутку: а) [-1,5; 2]; б) (-4; 4); в) (103; 107]; г) -1^ 4 120 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 410. Найдите два каких-нибудь дробных числа, принадлежащие интервалу: а) (-0,5; 0,5); в) (-0,5; -0,49); 411. Какие из дробей вида — , где п е N, принадлежат отрезку Li2’ 2_ 412. Найдите дроби вида — , где п е N, принадлежащие отрезку J_. 1 36’ 4 413. Какие дроби вида —, где п е N, принадлежат промежут- ку [и- 414. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, являющийся пересечением числовых промежутков: а) [-2; 3] и (0; +оо); в) (-3; 2) и (-оо; -2]; б) (-сю; -2) и [-2; 0]; г) (-сю; 5), [2; +сю) и (0; 5]. 415. Покажите на координатной прямой числовой промежуток, являющийся объединением числовых промежутков: а) [-2; 3] и (0; +сю); в) (-3; 2) и (-сю; -2]; б) (-сю; -2) и [-2; 0]; г) (-сю; 5) и (7; -1-сю). 416. Верно ли, что: а) [-8; 7) п [-8; 8] = [-8; 7]; б) (3; 16) U (0; 24) = (3; 24); в) (-сю; -1) U (-2; -1-сю) = (-сю; -1-сю); г) (-сю; 4) п (-4; -1-сю) = (-4; 4)? 417. Является ли числовым промежутком объединение промежутков: а) (-3; 5] и [5; 12); г) (-7; 1) и (-5; 3); б) [-2; -1) и (-4; -2]; д) [2; 8] и [3; 7]; в) [-1; 6) и (6; 8]; е) [-1; 1] и [2; 4]? §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 121 f Упражнения для повторения 418. Сравните числа: а) 4,35(7) и 4,3(57); б) -6,5(31) и -6,53(1). 3 5 419. Представьте каждое из чисел 1-, -12~у -2,25 и 7,13 в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. 420. Учащиеся 8-го класса, выбирая старосту, выделили пять основных кандидатов: Андреева, Борисову, Виктюка, Галкину и Дмитриева. Результаты тайного голосования приведены ниже (фамилии кандидатов сокращены): Б, Б, В, Г, А, А, Г, В, В, А, Б, Б, Г, Г, А, Д, Д, А, В, А, Д, В, В, Б, А, Г, В, Г, А, Д. По этим данным составьте таблицу частот. 19. ^ Интервальный ряд данных В статистических исследованиях важно представлять данные в наглядном, удобном для анализа виде. Одним из таких способов является построение интервального ряда данных. Рассмотрим пример. Учащиеся двух 8-х классов по итогам выполнения теста по русскому языку получили баллы, указанные в таблице (О, 1, 2 и 3 балла не получил ни один из учащихся). Кол-во Баллы учащихся 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8А 1 0 0 1 1 0 1 2 2 3 3 4 3 2 1 1 0 8Б 0 1 1 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 3 1 2 1 Объединим учащихся, получивших менее 6 баллов, в первую группу, получивших от 6 до 10 баллов — во вторую группу. 122 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни ОТ 11 до 15 баллов — в третью, более 16 баллов — в четвертую. Таблица частот в этом случае будет выглядеть так: Кол-во учащихся Группа первая (от 1 до 5 баллов) вторая (от 6 до 10 баллов) третья (от 11 до 15 баллов) четвертая (от 16 до 20 баллов) 8А 1 3 14 7 8Б 1 1 14 9 Изобразив эти данные в виде столбчатой диаграммы (рис. 28), можно сравнить результаты, полученные учащимися двух классов (светлый столбик на рисунке — результаты, полученные учащимися 8А класса, темный — учащимися 8Б класса). Вообще, если исследуют большое количество вариант, то удобно сначала провести их группировку, а затем заменить выборку интервальным рядом. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных делят на равные 10– § 6. Множество рациональных и множество действительных чисел 123 части, и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. В нашем случае наибольшее количество баллов, которое могли получить учащиеся, равно 20, а наименьшее — 0. Следовательно, разделив разность 20 – 0 = 20 на 4, получим длину каждого интервала, равную 5 баллам. За начало первого интервала часто выбирают наименьшую варианту или ближайшее к ней целое число, расположенное левее. Для каждого интервала указывают количество данных, попавших в этот интервал. При этом граничное число обычно относят к следующему интервалу. В некоторых случаях для анализа статистических данных используют не таблицу частот, а таблицу отношений частот к общему числу данных в ряду. Это отношение, обычно выраженное в процентах, называют относительной частотой варианты. В нашем примере таблица относительных частот будет иметь вид: Относительная частота, % Группа первая вторая третья четвертая 8А 4 12 56 28 8Б 4 4 56 36 Поскольку сумма частот равна объему ряда, то сумма относительных частот составляет 100%. Это полезно помнить для самопроверки. Заметим, что, говоря о статистике, мы до сих пор чаще всего рассматривали этап обработки полученных данных. Несколько слов стоит сказать и об этапе сбора статистических данных. Проведение любого массового исследования, будь то организация тестовой проверки всех учащихся целого региона или опрос населения о работе жилищно-коммунального хозяйства, требует больших усилий и финансовых затрат. В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным: из всей изучаемой совокупности данных, называемой генеральной совокупностью, выделяют определенную часть, т. е. составляют выборочную совокупность данных — выборку. Именно она подвергается статистической обработке и исследованию. 124 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни Выборочное исследование проводят еще и тогда, когда проведение сплошного исследования связано с порчей или полным уничтожением продукции. Например, исследование повреждений автомобиля при столкновении с неподвижным препятствием (так называемый crash-test) проводят не для всех экземпляров, выпущенных за месяц, а для одного (изредка для нескольких). Такое исследование дает возможность внести в конструкцию автомобиля изменения, повышающие его прочность. Добавим, что выборка должна быть представительной, репрезентативной (от франц. representatif — показательный), т. е. достаточной по объему и отражающей характерные особенности всей генеральной совокупности. 421. У учащихся 8-го класса измерили рост и получили следующие результаты (в сантиметрах): 164; 176; 177; 180; 181; 179; 175; 180; 176; 165; 162; 168; 157; 185; 176; 160; 162; 158; 181; 179; 168; 164; 179; 163; 160; 176; 162; 178; 164; 182. Представьте эти данные в виде интервального ряда, взяв в качестве длины интервала: а) 5 см; б) 10 см. Для каждого интервального ряда постройте гистограмму. 422. При изучении учебной нагрузки учащихся 8-х классов попросили отметить время, которое они в определенный день затратили на выполнение домашних заданий. Получили следующие данные (с точностью до 0,1 ч): 2,6; 3,4; 3,2; 2,9; 1,9; 1,5; 1,8; 4,2; 1,6; 3,4; 3,2; 3,1; 2,5; 2,7; 3,1; 2,9; 2,8; 1,5; 3,1; 3,4; 2,2; 2,8; 4,1; 2,4; 4,3; 1,9; 3,6; 2,0; 2,8; 3,9. Представьте полученные данные в виде интервального ряда с длиной интервала 1 ч и составьте соответствующую таблицу относительных частот. 423. Проведите статистическое исследование в своем классе, выяснив среднее время, затрачиваемое каждым учащимся на путь от дома до школы. Полученные результаты запишите в виде интервального ряда данных. Заменив каждый интервал его серединой, найдите среднее время, затрачиваемое учащимися класса на путь от дома до школы. §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 125 424. Учащимся 8-х классов небольшого города была предложена контрольная работа по алгебре, состоящая из шести заданий. При подведении итогов была составлена таблица, в которой было указано количество учащихся, верно выполнивших одно, два, три и т. д. задания. Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных частот. Количество выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 6 Количество учащихся 0 7 33 87 223 146 54 425. На гистограмме (рис. 29) представлены данные о распределении рабочих цеха по возрастным группам. Пользуясь гистограммой, найдите: а) число рабочих цеха в возрасте от 28 до 33 лет; б) число рабочих цеха в возрасте до 33 лет; в) общее число рабочих цеха; г) самую многочисленную возрастную категорию рабочих цеха. 426. Является ли выборка репрезентативной (представительной), если при изучении влияния телевизионной рекламы на спрос потребителей были опрошены: а) юноши в возрасте от 18 до 28 лет; б) пенсионеры; в) все члены садового товарищества? 0-18 18-23 23-28 28-33 33-38 38-43 43-48 48-53 53-58 Возраст Рис. 29 126 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни ♦> Упражнения для повторения 427. Решите уравнение: а) (2х – 3)(3д: + 2) = 0; б) (2х – 3)(3х + 2) = -6; в) (2х – 3)(3х + 2) = 6х\ 428. Упростите выражение X___ . 2ху 2у – Зх 9х^ – 4i/2 2у – Зх 2у + Зх – 1 429. Два автомобиля, расстояние между которыми 315 км, выехали навстречу друг другу. Скорость первого автомобиля составляет 50 км/ч, а скорость второго – в 1,2 раза больше. Найдите время, через которое автомобили встретятся, если известно, что второй до встречи сделал остановку на 15 мин. 20^ ^ Абсолютная и относительная погрешности В вычислениях на практике используют, как правило, десятичные дроби с ограниченным числом десятичных знаков. Если дробь бесконечная или содержит слишком много десятичных знаков, ее округляют. Например, иррациональное число тг, которое выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,1415926536. в зависимости от решаемой задачи округляют до десятых, сотых, тысячных и т. д. Получают различные приближенные значения тг, например 3,1; 3,14; 3,142; 3,1416; 3,14159. Найдем по графику функции у = 0,6л: -1-1,3 (рис. 30) ее приближенное значение при х = 1,7; 3,6: если X = 1,7, то I/ ~ 2,3; если х = 3,6, то у ^ 3,5. По формуле у = 0,6л: -1-1,3 можно найти точные значения функции при тех же значениях аргумента: если л: = 1,7, то I/ = 2,32; если х = 3,6, то у = 3,46. Приближенные значения отличаются от точных значений на некоторое положительное число. В первом случае оно равно разности между точным и приближенным значениями, а во втором — разности между приближенным значением и точным: 2,32 – 2,3 = 0,02; 3,5 – 3,46 = 0,04. §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 127 Рис. 30 Можно сказать, что точные значения отличаются от приближенных на модуль разности между ними, так как: |2,32 – 2,3| = 0,02; |3,46 – 3,5| = 0,04. Модуль этой разности называют абсолютной погрешностью приближенного значения. Определение. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений. В рассмотренном примере абсолютная погрешность приближенного значения 2,3 равна 0,02, а абсолютная погрешность приближенного значения 3,5 равна 0,04. Приведем другие примеры. Пример 1. Округлим десятичную дробь 76,2961 до сотых и найдем абсолютную погрешность приближенного значения. Выполнив округление, получим: 76,2961 ~ 76,30. Найдем абсолютную погрешность: 176,2961 – 76,30| = 0,0039. Значит, абсолютная погрешность приближенного значения 76,30 равна 0,0039. Пример 2. Округлим десятичную запись числа тг до десятых и найдем абсолютную погрешность приближенного значения. Известно, что п равно 3,1415926536. При округлении до десятых получаем: 7Г = 3,1415926536. ^ 3,1. 128 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни Вычислим абсолютную погрешность: |тг – ЗД| = 0,0415926536. Вместо полученного результата со многими цифрами берут оценку абсолютной погрешности с одной или двумя цифрами, не считая 0 целых и другие нули, предшествующие первой, отличной от нуля цифре. В нашем случае можно взять число 0,05, полученное при округлении абсолютной погрешности до сотых с избытком. Говорят, что 7Г = 3,1 с точностью до 0,05. Заметим, что при округлении любой десятичной дроби до десятых получаем приближенное значение с точностью до 0,05, при округлении до сотых — с точностью до 0,005 и т. д. Вообще при округлении десятичной дроби до некоторого разряда получаем приближенное значение с точностью до 5 единиц следующего разряда. Часто используют более грубую оценку. Считают, что при округлении десятичной дроби до некоторого разряда получают приближенное значение с точностью до одной единицы этого разряда. В нашем примере 3,1 есть приближенное значение числа тг с точностью до 0,1. Во многих случаях, так же как и в примере 2, невозможно найти абсолютную погрешность приближенного значения, так как неизвестно точное значение. Примером могут служить результаты, получаемые при измерении длин, промежутков времени, масс и других величин. Вообще, если х ~ аи|д:-а| 3; 2,5. Вычислите абсолютную погрешность каждого приближенного значения. 434. Найдите приближенное значение длины каждого отрезка (рис. 32) и укажите его точность. 435. За одну поездку израсходовали бензина более Зли менее 4 л. Укажите точность приближенного значения израсходованного бензина, если за приближенное значение принять: а) 3 л; б) 4 л; в) среднее арифметическое 3 л и 4 л. 436. На митинге присутствовало более 20 тыс. и менее 30 тыс. человек. Какое число является более точным приближенным значением числа людей, присутствовавших на митинге? Укажите точность этого приближенного значения. А В I——————-1 С h- D Е Рис. 32 §6. Множество рациональных и множество действительных чисел 131 Рис. 33 437. Каждую из десятичных дробей 0,45; 2,53 и 31,98 округлите до десятых и вычислите абсолютную и относительную погрешности приближенных значений. 12 438. Запишите 2— в виде десятичной дроби, округлите получившуюся дробь до единиц и до десятых. Вычислите для каждого приближенного значения абсолютную и относительную погрешности. 439. Найдите по графику функции у = – 1 (рис. 33) при- ближенные значения у при д: = 1,8; -1,5.Вычислите относительную погрешность каждого из приближенных значений. 440. Рост человека приближенно равен 175 см с точностью до 1 см. Оцените относительную погрешность. 441. Площадь Белого моря приближенно равна 90 тыс. км^ (с точностью до 500 км^). Оцените относительную погрешность приближенного значения. 442. Измерили толщину проволоки L и расстояние I от Земли до Луны. Получили результаты: L ~ 2,4 мм с точностью до 0,1 мм; I ~ 384 400 км с точностью до 50 км. Сравните точности измерений, оценив относительные погрешности. 132 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни ♦> Упражнения для повторения 7 3 443. Представьте каждое из чисел 2~; -7,5 и -6 в виде отношения целого и натурального чисел. 444. Упростите выражение: 3,25; а) / 3 1 – ^ \1х- 2х – \1 – д: + 1 + X 1 + Xvl 1 + б) / 1 + \ \х + 1/ х^-ху^1 • х^ – ху’ 445. Известно, что а-\-Ь-с = аиаЬ-ас-Ьс = ^. Выразите через а и Р выражение + с^. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Какие числа образуют множество рациональных чисел? Какие числа представляют множество бесконечных десятичных периодических дробей? Как обозначается множество рациональных чисел? 2. Какие числа называются действительными? Как обозначается множество действительных чисел? 3. Какие числа называют иррациональными числами? 4. Какие действительные числа можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем? 5. Приведите примеры различных промежутков, запишите их с помощью скобок и изобразите на координатной прямой. 6. Объясните, как заменить выборку интервальным рядом данных. 7. Что называют относительной частотой варианты? 8. Сформулируйте определение абсолютной погрешности приближенного значения. 9. Что означает запись х ^ а с точностью до Л? 10. Сформулируйте определение относительной погрешности приближенного значения. 11. Что означает запись х ^ а с относительной точностью до а%? §7. Арифметический квадратный корень. Функция у = 4х 133 §7. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. ФУНКЦИЯ у = л/х 21. V Арифметический квадратный корень Задача. Площадь квадрата равна 729 см^. Чему равна сторона квадрата? Допустим, что сторона квадрата равна х см, тогда его площадь равна см^. По условию задачи площадь квадрата равна 729 см^. Значит, = 729. С помощью таблицы квадратов двузначных чисел найдем, что одним из корней уравнения = 729 является число 27. Очевидно, что другим его корнем служит противоположное число, т. е. число -27. Условию задачи соответствует только положительный корень. Итак, сторона квадрата равна 27 см. Решая задачу, мы составили уравнение вида х^ = а, где а — некоторое число. Выясним, сколько корней имеет уравнение такого вида в зависимости от значения а. Если а о, то уравнение х^ – а имеет два корня. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся графиком функции у – х^ (рис. 34). Рис. 34 134 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни При а > О прямая у = а пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси у. Обозначим абсциссы точек пересечения Xi и Х2. Тогда х1 = а и х1 = а, т. е. числа х^ и Х2 являются корнями уравнения, причем х^ = – Х2. Корень уравнения х^ = а называют квадратным корнем из а. Например, каждое из чисел 27 и -27 является квадратным корнем из 729. Вообще, квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Неотрицательный квадратный корень из числа получил специальное название — eipu

О, то уравнение х^ = а имеет неотрицательный корень, т. е. при любом а > О существует неотрицательное число, квадрат которого равен а. Иначе говоря, при любом а > о выражение \[а имеет смысл. Если а /а является рациональным числом. Однако значение этого выражения может быть иррациональным числом. Например, раньше было показано, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Значит, \/~2 — иррациональное число. Иррациональными числами являются также значения выражений , у[3 , – у1 6,2 , 2 yj~2 , ^/T -I- yj~2 и т. п. Можно доказать, что если натуральное число а не является квадратом какого-либо натурального числа, то >/а — иррациональное число. Из определения арифметического корня следует, что если выражение yfa имеет смысл, то \[а > О и (ЛГ =.. Найдем, например, значение выражения -0,5(>/1з)^. Так как Га ~ у[Ъ » если а – 1,Ь = 0,64; б) yja-b , если а = 1, Ь = 0,64; в) 2у[аТлЬ , если а = 0,12, Ь = 0,01; г) –у/За – Ь , если а = 0,6, Ь = 0,8; д) yJa-\-yfb , если а = 0,7, Ь = 0,09; е) -yja-yjb , если а = 4,8, Ъ = 0,64. 451. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, найдите: а) 72^ ; г) “72916 ; ж) 776561 ; б) 71369 ; д) 0,5 74356 ; з) -7^2401 ; в) 74761; е) 3 75625 ; и) -72+V9604 г) 7^> 0,7; 452. Верно ли, что: а) 7^= 1,7; 6)-j2- =-1,5; д) “70^ /5-2Ь 462. Докажите, что если а > 1, то – ^ . Из данных выражений V 8 ’ V 15 ’ V 26 ’ V 35 ’ V 50 ’ V 23 выберите те, которые можно преобразовать, используя это тождество, и выполните преобразование. 138 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 463. Решите уравнение: а) ^/^=3; б) 3>/л=1,5; в)7^-16 = 0; г) 0,1>/I+9=0. 464. Решите уравнение: а) yjx-3 = 2,5; в) ^х-4 – 0,6 = 0; б) ^2+х = -1,7; г) 3^6+х + 0,9 = 0. 465. Найдите корни уравнения или докажите, что их нет: а) ^Jз + л/х =2; в) -у/з + \j^+ yfx = 2; б) – л[х = 1; г) у1з + ^ = 2. 466. Решите уравнение, разложив левую часть на множители: а) X – 2 ‘ у[х =0; в) х – 2 – \jx – 2 – 0; б) 2х – у[х =0; т) 2х 2 – -Jx 1 = 0. 467. Зная, что переменные принимают только положительные значения, выразите из формулы: а) d = 4,1л/л переменную Л; б) переменную а; в) v = 0,6y/2gh переменную h; г) ^ = переменную I. -♦> Упражнения для повторения 16 25-а^ 468. Докажите, что при а > 10 выражение а -принимает положительные значения. 469. Сократите дробь: 36-6′ а) 56’+606+ 180 ’ б) Зо^-За’ 2а-а’-1 ’ в)- Л + 46 + 2cib 566″-7а” * 470. Докажите, что множество натуральных степеней числа 3 замкнуто относительно умножения и не замкнуто относительно сложения. § 7. Арифметический квадратный корень. Функция у = Ух 139 22. ^ Вычисление и оценка значений квадратных корней Рассмотрим один из приемов нахождения приближенных значений арифметического квадратного корня. Этот прием основан на следующей теореме. Теорема. Если а > Ь > О, то у[а > у[Ь. Доказательство. Так как по условию а > &, то а – & > 0. Поскольку а>0и&>0, тоа = (л/а) и & = (л/б). Следовательно, а-Ъ= (л/а) – (л/б) = (л/а – л/ь)(7а + >/ь). Поскольку а – Ь > 0, то (л/а – \1ь) <у[а -н л/ь) >0. По определению арифметического квадратного корня и учитывая, что а > 0 и & > 0, будем иметь уГа > о и yfb >0. Тогда yfa yfb > 0. Но произведение двух множителей положительно, если множители имеют одинаковый знак, т. е. если л/а + \[ь > о, то и л/а — у/ь > 0. И тогда у[а > yfb , что и требовалось доказать. Используя доказанную теорему, можно вычислять приближенные значения корня с одним, двумя, тремя и т. д. знаками после запятой. Покажем это на примере л/2. Найдем сначала два последовательных натуральных числа, между которыми заключен л/2. Так как V /2, начинается так: 1,41421. , т. е. 72 = 1,41421. . Для нахождения приближенного значения арифметического квадратного корня с заданной точностью используют и другие приемы, однако все они являются достаточно трудоемкими. В практических расчетах для нахождения приближенного значения арифметического квадратного корня применяют специальные таблицы или калькулятор. Для извлечения квадратного корня с помощью калькулятора используется специальная клавиша, отмеченная знаком §7. Арифметический квадратный корень. Функция у = Ух 141 Чтобы извлечь квадратный корень из положительного числа а, надо ввести в калькулятор число а, а затем нажать клавишу \J\. Тогда на экране высветится ответ. Найдем, например, с помощью калькулятора ^17,2 с точностью до 0,0001. Для этого введем в калькулятор число 17,2 и нажмем клавишу [^. На экране высветится число 4,1472882. Округлив результат до четырех десятичных знаков, получим. что Тглг – 4,1473. При нахождении с помощью калькулятора значения выражения, содержащего квадратные корни, используют в случае необходимости память калькулятора, а при ее отсутствии записывают промежуточные результаты, чтобы использовать их в дальнейшем. Сравните числа: а) д;5 и ^ ; в) 5,8 и у/34 ; б) 7бД и |б| ; г) -Д7 и -4; д) 0,72 и 7^5 ; е) -л/ОД и -0,8. 472. Расположите в порядке возрастания числа: 6; ^47; -1,7; -^3; 0. 473. Расположите в порядке убывания числа: -ДЗ; 0; -jS; -1,5. 474. Верно ли, что: а) 3 /5 . 478. С помощью калькулятора найдите значение выражения (ответ округлите до тысячных): а) ^Ja , если а = 2,6; 36,01; 415; б) если а = 8,2; 136,4; 0,444. 479. С помощью калькулятора найдите с точностью до 0,1 см сторону квадрата, площадь которого равна: а) 15 см^; б) 42 см^; в) 60,5 см^; г) 216,5 см^. 480. Вычислите с помощью калькулятора значение выражения (ответ округлите до сотых): а) Vn/M ; б) VWEo? ; в) ^/бДб+ТШз . 481. Найдите с помощью калькулятора значение выражения (ответ округлите до сотых): а) , если а = 17,6; Ь = 36,34; б) yja^ + , если а = 8,24; Ь = 44,11. 482. Свободно падающее в безвоздушном пространстве тело проходит S м за ^ с, где t = J— , ^ = 10 м/с^. Пользуясь калькуля- V ^ тором, вычислите t с точностью до 0,01, если s равно: а) 165; б) 208. 483. Время t (в секундах) полного колебания маятника вычисляется по формуле t = 2n — , где I — длина маятника (в сан- тиметрах), ^ ~ 10 м/с^, п ~ 3,14. Найдите с помощью калькулятора t с точностью до 0,1, если I равно: а) 78; б) 116. ♦> Упражнения для повторения 484. Упростите выражение: 1 + Зл: + 1 Ьх^-х 6х^ – 2у^ + ху Ьх-1 6х^ – Зху – у + 2л: у^ – 4х^ 2х^ – ху §7. Арифметический квадратный корень. Функция у = yfx 143 485. Постройте график функции у = где х > 0. Найдите: а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 0,5; 1,5; 2,5; б) множество значений аргумента, при которых значение функции меньше 4, но больше 1. 486. Упростите выражение: а” • (-а”)2 a^ а)М б) 240^6 • (0,5аЬ^У За*Ь^ 23. ^ функция у = у/х и ее график Выражение у[х имеет смысл при любом неотрицательном значении х, причем любому неотрицательному действительному числу соответствует единственное значение этого выражения. Значит, формула у = у/х задает функцию, областью определения которой является множество всех неотрицательных действительных чисел, т. е. D(y) = [0; -1-оо). Рассмотрим свойства функции у = у/х и особенности ее графика. 1. Если X = О, то у = О, если х > О, то у > О, т. е. на всей области определения функция принимает неотрицательные значения. Это свойство непосредственно следует из определения арифметического квадратного корня. Геометрически оно означает, что график функции проходит через начало координат и расположен в первой координатной четверти. 2. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Пусть Xi и Х2 — произвольные значения аргумента, причем Х2 > х^. Обозначим через у^ и у2 соответствующие значения функции. Тогда по теореме, доказанной в предыдущем пункте, из условия Х2> Xi > О следует, что yj^ > . Значит, У2> У 3. Областью значений функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, т. е. Е(у) = [О; Ч-оо). В самом деле, из определения арифметического квадратного корня следует, что любое значение функции у = 4х является неотрицательным действительным числом. Покажем теперь, что любое неотрицательное действительное число т является значением функции. Из равенства у/х = т, где т > О, следует. 144 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни что X = Значит, при х = функция у = \fx принимает значение, равное т, где т > О, т. е. число т принадлежит области значений функции. Таким образом, областью значений функции является множество всех неотрицательных действительных чисел. Геометрически это означает, что любая прямая у = т, где т > О, пересекает график, причем только в одной точке. Построим график функции у = yfx. Для этого составим таблицу значений функции (с точностью до 0,1), используя при необходимости калькулятор: X 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 у 0 0,7 1 1,2 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу. Проведя через эти точки плавную линию, получим график функции у = yfx (рис. 35). Выясним, каково взаимное расположение графиков функций у = у[х VL у = х^, где X > 0. Если а и Ь — неотрицательные действительные числа и Ь = Va , то = а. Это означает, что если точка с координатами (а; Ь) принадлежит графику функции У= то точка с координатами (Ь; а) принадлежит графику Рис. 35 § 7. Арифметический квадратный корень. Функция у = Vx 145 Рис. 36 функции у = где х > 0. Верно и обратное: если точка (Ь; а), где Ь > О, а > О принадлежит графику функции у = где х > О, то точка (а; Ь) принадлежит графику функции у = у/х . Так как точки с координатами (а; Ь) и (Ь; а) симметричны относительно прямой у = х, то отсюда вытекает, что каждой точке графика функции у = \[х соответствует симметричная ей относительно прямой у = х точка графика функции у = х^у где X > О, и наоборот: каждой точке графика у = х^у где х > Оу соответствует точка графика функции у = %[х , симметричная ей относительно прямой у = X. Отсюда следует, что графики функций у = \/х и у = х^у где X > Оу симметричны относительно прямой у = X (рис. 36). Таким образом, график функции у = yfx — «лежачая» полу-парабола, расположенная в первой координатной четверти и симметричная относительно прямой у = х полупараболе, которая является графиком функции у = х^у где х > 0. 487. Пользуясь графиком функции у = 4х у найдите: а) значение функции при Ху равном 1,5; 6,5; 7,5; б) при каком значении аргумента значение функции равно 1,5; 2; 2,5. 146 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 488. Пользуясь графиком функции у = 4х , найдите: а) значение у[х , если д: = 2; 6; 8; б) значение х, при котором 4х = 0,8; 1,7; 2,6. 489. Функция задана формулой у = 4х . С помощью калькулятора найдите с точностью до 0,01: а) значение у при х = 12,6; 104,8; 1286,5; б) значение х, при котором у = 6,83; 26,45; 78,11. 490. Пользуясь таблицей значений функции у = у[х , составленной для построения ее графика, найдите с точностью до 0,1 приращение, которое функция получает при возрастании х: а) от 1 до 3; б) от 3 до 5; в) от 5 до 7. Сравните результаты. 491. С помощью калькулятора найдите с точностью до 0,01 приращение, которое функция у = у[х получает при возрастании х: а) от 10 до 20; б) от 1200 до 1210. Сравните результаты. 492. Из данных точек А (-36; 6), Б (0,81; 0,9), С (1,96; 1,4), Б (1,21; 1,1), Б (0,0625; 0,25) выберите те, которые принадлежат графику функции у = \fx . 493. Пересекает ли график функции у = 4х прямая: а) д: = 36; б) д: = 100; в) у = 36; т) у = 100; д) у = -16? При положительном ответе укажите координаты точки пересечения. 494. Найдите координаты точки пересечения графика функции I/ = и прямой: а) д: = 4; б) д: = 0,81; в) у = 4; т) у = 0,81. 495. Пересекаются ли графики функций: а) у = у/х и у = -X – S; б) у = у/х и у = х? 496. Изобразите схематически график функции: а) у = -у/х ; б) у = yf^; в) у = . 497. Докажите, что графики функций у = 4х и1/ = д:-1-0,5 не имеют общих точек. §8. Свойства арифметического квадратного корня 147 Упражнения для повторения 498. Найдите значение выражения: а) ЗлЛй44 – (-0,3/7 б) (-24h8Y – ц-4оЖу. 499. Известно, что т — рациональное число, не равное 0. Является ли рациональным или иррациональным число: а) 7т^ + 4; 6) -у[Ъ\ -♦> в) т т Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня. Имеет ли смысл выражение ^(-4)^ , ? 2. Объясните на примере числа как можно найти первые три цифры в десятичной записи этого числа. 3. Укажите область определения функции у = у[х и сформулируйте ее свойства. Какие особенности графика этой функции вытекают из указанных свойств? 4. Каково взаимное расположение в координатной плоскости графиков функций у = yfx и у = где х > 0? §8. 24. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ______________ Квадратный корень из произведения, дроби и степени Нетрудно проверить, что каждое из равенств ,___ г- 02 %/4-25 – ^/4 • ^/49 “ ^/49 ’ ^ ^ является верным. Докажем теоремы, выражающие соответствующие свойства арифметического квадратного корня (в формулировках теорем для краткости вместо «арифметический квадратный корень» будем просто говорить «квадратный корень»). Теорема 1. Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей, т. е. если а > о,ь ^ о, то у/аЬ — yfa • yfb . 148 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни Доказательство. При а > О, & > О выражение у/а • yfb имеет смысл и принимает неотрицательные значения. При этом Ш-Ш =аЪ. Значит, по определению арифметического квадратного корня, если а > О, & > О, то у[аЬ = yfa-yfb • Доказанная теорема распространяется на случай, когда рассматривается корень из произведения трех и более множителей. Теорема 2. Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т. е. fa \[а если а > 0,Ъ>0, то у[а Доказательство. Если а > О, & > О, то выражение имеет смысл и неотрицательно. Покажем, что квадрат этого выражения равен ^. Действительно, л л (JEL (S)‘ а ~Ь’ Значит, по определению арифметического квадратного корня [а _у/а что и требовалось доказать. Тождества, выражающие свойства квадратного корня из произведения и дроби, часто используют в вычислениях и преобразованиях, поменяв в них местами левую и правую части: 4а-4ъ= ^Jab при а > О, Ь > О, 4а – при а > О, Ь > 0. Теорема 3. При любом значении а и натуральном к верно равенство 4^ = \а^\. § 8. Свойства арифметического квадратного корня 149 Доказательство. Начнем со случая, когда /г = 1, т. е. докажем сначала, что у/а^ = \а\. Если а > О, то по определению квадратного корня \[а^ = а и по определению модуля \а\ = а. Если а Оу у /2 + >/3 + >/5 — иррациональное. Допустим, что л/2 + л/з + л/б = m, где т — рациональное число. Тогда V2 + >/3 = m – >/5 , (>/2 + V3/ = (m->/5f, 2+2>/б-1-3 =m^-2m\/5 + 5, 2>/б + 2т>/5 = т% (2>/б + 2тпу15 )^ = 24 + 8т л/^ + 20т^ = т^. Так как m ^ 0, то отсюда Sm Получаем, что иррациональное число равно рациональному числу. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и, значит, число т — иррациональное. § 8. Свойства арифметического квадратного корня 151 500. Найдите значение выражения: а) 70,0001 16; б) 70,0049-8100; в) 70,64-144. 501. Вычислите значение корня: \3,61’ ч о13. \ 36 ^36’ д) Jl-0,04-64 ; ^144 ^ 49 ’ е) М 16 4 9 502. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, найдите значение выражения: а) 719600; г) 746,24; ж) 72,89-81; б) 7280 900; д) 70,1444 ; з) 70,04-98,01; 1 729 1 1,44 \529’ и) \ 47,61* Найдите значение выражения: а) 750-98; в) 72,5-12,1; д) 73,2-7,2-49 ; б) 732 -128; г) 717-51-27; е) 72,5-12,5-20 Найдите значение корня: а) ч/50″-14″ ; в) V34″-i6″; д) 72,9^-2,1^ ; г1 (74^-24^ . е) 6,2″-5,9′ 81 ’ ^ \ 121 ’ V 2,43 • 505. Представьте выражение в виде произведения двух корней: а) ^/^, где а > о, Ь > 0; б) , где д: 0; г) yjax+bx , тде а 0. 152 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 507. Вычислите: а) ^ ; в) ^(-5)® ; д) » где п € N; б) ^(-8)“ ; г) ^(0Д)° ; е) , где п 6 ЛГ. 508. Найдите значение выражения: а) у[а^ при а = 6,5; 8,3; -0,1; б) у[а^ при а = 3; 1; -0,1; в) у[а^ при а = 1; -2; 0,1. 509. Верно ли равенство: а) ^(-6)® = 6′; в) ^(-5)'” = (-5)2″, где п € N; б) V(-9)“ = г) у] (-2)*”*^ = (-2)2″+1, где п € ЛГ? 510. Вычислите значение выражения: а) ^52.72 ; б) 72®-3® ; в) 722.52 г) 7102 -6® 511. Найдите значение корня: а) if; 6, If; в) [¥ Ь2 ’ г) (-1) 02 в) 765 536 г) 735 721 512. Найдите значение корня: а) 711664; д) 746 656; б) 750 625; е) 730 276; ж) 7211600; з) 7164 025. 513. Замените выражение тождественно равным: а) ; б) у/х^ ; в) 3>/^; г) 5>/?; д) л/49а^‘ 514. Преобразуйте выражение, зная, что Ь > 0: а) 7^; в)Тб4^; д)12Ь®74^; б) 7^; г) 527^; е) 515. Преобразуйте выражение, зная, что о 0; б) у[а>^ , если & 0; д) аЬ VoV , если Ь о. 518. Найдите значение произведения: в)УШ7^; б)л/й]|; r)fis/0;72; 519. Найдите значение частного: ^/Щ8 7з -J2M а) Таз б) в) у/О^ г) Vos ^/5a5 520. Упростите выражение: ^Т3 + ^Т2 |зТ2-0,75Тб; б) (0,5^/6-^/3)4^/3-2^/^8. а) И 3 521. Упростите выражение: а) (2Т1;2-ТГ5)Ч4Т13 ; б) 20ТМ2-(5Т0Д+2Тб;б)\ 522. Решите уравнение: а) (s/6^-2f = ^/з(^/^-^/^2)+6x; б) (^/7^-2^/5)(^/^ + 2^/5)=7л;-V2(^/^-^/^). 523. Докажите, что является иррациональным число: а)Т2 + >/5; б)л/5-ТЗ; в) Т7 + ч/б + 1; г) Тз + л/5 + >/б . 524. Докажите, что если а > 0, 6 > 0, то: а) 2ayfab + a^>/b + 2b\lab + abyjb 2T^ + aVb =a + b; B) “f*”/ b\a aHb У a + b ^ b =« + *’• 154 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни ♦> Упражнения для повторения 525. Имеет ли смысл выражение: а) ; б) V3,6 2,4-3 ; в) ? 526. Решите систему уравнений: а) 2х – у = 3, X 2у = -1; б) Зх + 2у = 1, X – Зу = 4:. 25. ^ Преобразование выражений, содержащих квадратные корни Вы познакомились с различными преобразованиями выражений, содержащих квадратные корни. К ним относятся: представление корня из произведения в виде произведения корней, а корня из дроби — в виде частного корней; умножение и деление корней; извлечение корня из степени. Рассмотрим теперь другие примеры тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни. 1. Вынесение множителя за знак корня. Пусть требуется упростить выражение Для этого представим число 75 в виде произведения, в котором один из множителей является квадратом натурального числа, и применим теорему о корне из произведения. Получим: 7^ = 725-3 = 7^-7з = 57з. Мы представили ^/75 в виде произведения чисел 5 и 7з. В таких случаях говорят, что мы вынесли множитель за знак корня. Теперь можно упростить данное выражение: Тз-ьТ^ = Тз-ьбТз = б7з. 2. Внесение множителя под знак корня. Сравним значения выражений 2л/10 и л/41. Представим в выражении 2>Яо множитель 2 в виде арифметического квадратного корня и выполним умножение корней: 2710 = 7^ • 710 = 740. §8. Свойства арифметического квадратного корня 155 Мы заменили произведение 2>/l0 выражением V3o . В таких случаях говорят, что мы внесли множитель под знак корня. Теперь можно сравнить данные выражения. Так как л/40 /2 можно преобразовать, внося под знак корня множитель 5: -5V2 = -(5ч/2)= -у125-2= –М. Выражение a^/^5 , где а 0. Получим: yfu — yj~b ~ — yj~b 1 Дробь y[a + y[b принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель является наименьшим, т. е. при а = 0. Если а = 0, то -7=—7^ = -/= . Значит, наибольшее значение дроби равно yj~U + yj~b yfb V5- Найдем это значение с точностью до 0,01 с помощью калькулятора: ^ = да = 0,45. Пример 2. Упростим выражение аУа + ь4ь у[д yJb _|_ 2\fb____Jab O’ ~ b Jq 4- a — b Упростим числитель первой дроби, воспользовавшись форму- aJa + bJb iJaf + iJbf Ja + Jb yfa Jb ЛОЙ суммы кубов двух выражений: (Va + Vb)(a – у[сЛ) + &) ^ rzz . г. ——-IZTTb——- =–Vai.+6. Поскольку первая и последняя дроби данного выражения имеют одинаковый знаменатель, то сначала найдем разность этих _______а – Jab + Ь Jab а – 2л/о6 + Ь (Ja – Jb) о_____ двух дробей: —г——–г =——г— = —;;—г—• оаме- ТИМ, что разность а – Ь можно представить как разность квадратов (Л) – ш , так как по условию а^ОуЬ^ОиаФЬ. Тогда полученная дробь после сокращения будет равна ^ ^ Остается Ja – Jb , 2Jb Ja Jb выполнить последнее действие: Ja + Jb Ja Jb Ja + Jb = 1. § 8. Свойства арифметического квадратного корня 157 527. Вынесите множитель за знак корня: а) ^; б) ^Дбо ; в) ; г) ^200р. 528. Вынесите множитель за знак корня: а) 5 yfl8 ; в) – ^72о ; д) -8 ; б) -6^; г)0,2^[Ш; е)-^[0^. 529. Вынесите множитель за знак корня: а) ; в) ^8х’^ ; д) , где JC > 0; б) ^17а® ; г) ^18i/® ; е) , где а 0; б) 772; г) з7б; е) x^yffa , где д: 0. 533. Расположите в порядке возрастания числа: yjlS; 6^2; 5^3; 4^6; 2^7. 534. Расположите в порядке убывания числа: -3^5; 3/7; -2/1; 7^2; 5^3. 158 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 535. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а 6 16 зТб ’ yja + b ’ 7а+7б’ 4Ь г) yjx-y ’ ^Jc-4 536. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 18 16 _____________________________1_______ ^^2^3 + 3’ ®^72 + 7з + 1’ 2 + ч/2 +n/5 + ^/^0 ’ И 1 _______1_______ 3^5-1’ ^/5+^/з-^/2’ ^/I5 -n/Io +^/3-V2• 537. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби: 2 + V3 V5 + ^/2 3-^7 1-Va 2-V3 ’ V5-V2 ’ 3 + V7 ’ 1 + 7^ • 538. Известно, что а, >/^ — рациональные числа. Верно ли утверждение, что рациональным является также число: /а . а) (^/^ – ч/&)(2л/^ + 37&); б) 7“ ; в) ^ ^ ^ ? 539. Известно, что Ху у, у[х – yjy — рациональные числа. Докажите, что Vx и Ту также являются рациональными числами. 540. Упростите выражение: а) б) в) ^ ■ Л] “ ^ ^ + 7^ – – f – 5./^ V 2 j V 2 X – 2J^ fx + -Vxy Vx л: , если X > О, I/ > 0. 541. Решите уравнение: а) + зТвх = 1 – ; в) бТ^ + – 15 = 7Т^; /х /^1 ч О 11 Мз \ 9 “б’ \з \1б ~12‘ §8. Свойства арифметического квадратного корня 159 542. Докажите, что числа являются противоположными: 543. Докажите, что числа являются взаимно обратными: а)3-2^и3+^; б) 7 – л/48 и ^/i9 + 4 ^ . 544. Найдите, при каком а дробь принимает наибольшее значение, и вычислите это значение: \[а-Ь ^/a-4 , 3-7^ + 4 7^ + 1 -3 — ! ПI — ! 41—– ! г)—-^- а) а-25 5-а 545. Докажите тождество: а) 7а- 7^ 7а + 1 7а-1 7а-1 7а+1 ■47а = 4а; а-8 I- 2y[^-\-yyfx-x^Jy в) г) ayfa-^byfb yjo^^ yja -Г yjb a\fa-byfb Sa-Sb Л2 i yfa+yfb 1 9’ yjab ^Ja —yfb 546. Упростите выражение: a) I—-^^ + yja-y/b 1 ‘ (6b-6af ^ 3б7а-3б7ь ‘ 2a • T’ a -I- yla^ – b^ a – yla^ -^ 4x -h Vx -b 4 Tjc – Vjc: -b 4^ / x – yjx + A yfx + yfx~r~4i ^ \x + 4 ^ f b) jc: -b yjx^ – 2лс: _ лс: – у1х^ – 2лс: л: – у1х^ – 2х X + \1х^ – 2х ■ L^-4 ’ г) ^1/ – ^/^ n/^ -ь «/ 547. Упростите выражение: UTT2 х^-2ху + у’ -Гу а‘ +4 I® + 2sf2 Л -72 у 2 -1- — а У б) ( 1 аЧб ^ [^1 д -1- “Тз а — 7з з7з 1“’ ^ J 160 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 548. Упростите выражение: у]а^ -1 а) 1 1 г + – если а = б) yJa-1 yJoTl j , c> 0, & > 0, & > c; 2bslx^-l если x = -2 a b b V у , a > 0, b > 0, a > b. ♦> Упражнения для повторения 549. При делении некоторого целого числа на 26 получили остаток 17. Какой остаток получится при делении этого числа на 13? 550. Докажите тождество: / 1 iV .2 276“ ^ -Sab Sab-a^-Ж г + 1 а + Sb Sa% • 551. Решите уравнение: а) ^ , то | 4 – ^[5 | = 4 – ^ . Итак, мы получим, что 721-875 =4- В некоторых случаях удается освободиться от внешнего радикала с помощью формулы двойного радикала: 7о±т5 = J a + yja^-b I a-yja^-b где а и b — некоторые числа, причем а > О, Ь > О, – Ь > 0. Впервые эти формулы упоминаются в X книге «Начал» Евклида. Нетрудно убедиться в справедливости этой формулы. Действительно, при указанных условиях правая часть равенства представляет собой выражение, которое имеет смысл и принимает неотрицательное значение. Докажем, что квадрат этого выражения равен а ± у[Ь . В самом деле. yfc^ b\ _ a + Va^-b 2 4 a + y]a^-b ± 2yfb + a – yja^ -b a^-(a^-b) ^ a-yja^-b = Cl ± yfb> Справедливость формулы доказана. В тех случаях, когда разность – Ъ является точным квадратом, формула двойного радикала позволяет освободиться от внешнего радикала. 162 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни Пример 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении ТтбЦ/зШ. По формуле двойного радикала имеем: ^75-,/зШ = I /75 + ^2601 _ 175-^2601 Пример 3. Освободимся от иррациональности в знаменате- ^2^+2 Умножим числитель и знаменатель дроби сначала на ^/2^/3+2 , а затем на у[2 . Получим: ^2^3 + 2 _ yj24s + 2-^24s + 2 _ 2^3+2 _ 2^3 + 2 _ ^273-2 7273-2-7273+2 V12-4 73 ^ ^ ^ (73+1)72 ^ 76+72 72 72•^M 2 • Пример 4. Докажем, что при 1 в) 72-7з • 72+73; г) 7717-272 • 7717+272 • Титульный лист первого русского печатного издания «Начал» Евклида, Санкт-Петербург, 1739 г. 164 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 556. Найдите значение выражения: а) /723^^ • ^/^/^+^/^9 + sl^yf2+7 • ^5^2-7; б) у]г-2^ ■ 73+271 – 77-276 • 77+276. 557. Докажите, что 72 + >/3-72 + 72 + >/3 – 72 – 72 + >/3 =1- 558. Упростите выражение: а) (7з + 75 + 7з – 75); б) (7б – зТз – 7б + зТз)’; в) (7? + 473 + 77 – 473)’; г) (ТЛт”-“^ – 7>Д7 + 2л/2)’. 559. Найдите и а, если: а) а = 721 +27м + 721-27м ; б) а = 722 + 2735 – 722 – 27^ . 560. Упростите выражение, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а) 73+272 ; в) 713-4^3 ; б) 74-273 ; г) 79+472 . 561. Найдите значение х, если: а) лс = 7^1+^ + 7i1-6n/2 ; б) лс = 712-2711- 712+2711 • 562. Докажите, что значение выражения является целым числом: а) 73-272 – 72 ; в) 731+375-475; б) 7з- 74+273; г) 716-3^3 + 273. § 8. Свойства арифметического квадратного корня 165 563. Выясните, рациональным или иррациональным числом является значение выражения: а) у[12+2Щ + ^12-2^11 ; б) 1. 567. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а) yj2a+2yja^-l , гдеа>1; б) yj2a+2^Ja^^^ , где а > &. 568. Докажите, что если а > О, & > О, аЬс > 4, то afec + 4 jbc _ \labc-2 4а 166 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 569. Упростите выражение: а). 1зЬ -h 1зЬ + 2а – , если а>0,Ь>0,а> б) 1а + ^4(а-1) а-у/4(а-1) 4 (a-7i^^^a + 7i^”a-2’ecлиa>2. ♦> Упражнения для повторения 570. Докажите, что при а > -1 выражение а + 1 а – 1) 4а а – 1 а + 1 5а-5 принимает положительные значения. 571. В одной системе координат постройте графики функций у = и у = X + 6у с их помощью найдите решение уравне- ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте и докажите теоремы о квадратном корне из произведения и дроби. 2. Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из степени. Найдите значение выражения ^(-2)® (-3)®. 3. На примере выражений ^50а и 2^объясните, как выполняется вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под знак корня. а а 4. На примере выражений объясните, как в выражениях такого вида можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. ♦> Дополнительные упражнения к главе 3 К параграфу 6 572. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: б) П 70 ’ в) 468 99 ’ 300 • Дополнительные упражнения к главе 3 167 573. Запишите три каких-либо рациональных числа, заключенных между числами и 0,(7). 574. Найдите значение выражения: а) 1,(3) + 3,(1); в) 1,(3) – 0,2(21); б) 1,(3) -h 3,2(5); г) 2,1(6) : 0,3. 575. Диагональ квадрата равна 2е, где е — единичный отрезок. Докажите, что сторона этого квадрата не выражается через отрезок е рациональным числом. 576. Может ли разность рационального и иррационального чисел быть рациональным числом? 577. Докажите, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. 578. На координатной прямой изобразите числовой промежу- ток: а) [3; 3,(3)]; в) (-3,3; -3,03); б) [-3; 0,3); г) (-3,0(3); +сю). Запишите неравенство, задающее каждый числовой промежу- ток. 579. На координатной прямой изобразите числовой промежуток, заданный неравенством: а) -у. Запишите обозначение и название каждого числового промежутка. 580. Среди учащихся 8-го класса провели опрос: сколько времени (в среднем) занимает дорога от дома до школы. Были получены следующие результаты (в минутах): 16; 6; 14; 3; 7; 28; 12; 23; 35; 8; 17; 31; 40; 24; 7; 5; 13; 18; 11; 4; 6; 22; 30; 14; 15; 6; 27; 8. Используя полученные данные, составьте интервальный ряд с интервалом: а) 5 мин; б) 10 мин. Для каждого интервального ряда данных постройте гистограмму. 3 125 2 9 5 581. Запишите каждое из чисел —, , 3-,5— и7-в о4 о 11 О виде десятичной или бесконечной десятичной дроби. Округлите результат до десятых и найдите абсолютную погрешность приближенного значения. 168 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 3 5^4 92 582. Запишите каждое из чисел 4 -, 1 – , 2 — и в виде десятичной дроби, округлите результат до десятых, найдите относительную погрешность и выразите ее в процентах. 583. Какое из приближенных значений 3,14; 3,15; 3~ и 10 3— числа п = 3,14159. является более точным? 584. Округлите слагаемые в сумме 2,8475 -I- 5,139 до десятых, сложите приближенные значения и найдите абсолютные погрешности приближенных значений слагаемых и суммы. 585. Докажите, что лучшим из трех приближенных значений а, & и – числа а является среднее арифметическое а и Ь, если а /Й; г) а = л/^, Ь = с = л/106. 592. Решите уравнение: а) у/Зх^ +1 = 4; г) 9 – 47^ = 1; б) 5 + 73-0,4jc =1; д) 3 + 2 72+0,6jc = 9; в) 370,7л: +6 = 7; е) 6 – Зу1х-1= 7. 593. Пересекает ли график функции у = у[х прямую: в) у = 0,5л:; б) у = 0,5л: + 1? При положительном ответе укажите координаты точек пересечения. К параграфу 8 594. Найдите значение выражения: а) V16,9 14,4 0,36; в) 72,5-2,4+2,5^ ; б) 78,1 0,64 12,1; г) 719,6 4,6-19,6. 595. Вычислите значение выражения: а) 12,5^-10″ V 64 ’ в) 1 б) V 5=-1,4= ’ г) 65^-25^ 1,96 596. Упростите выражение; а) при X > 9; в) ^х^-12х+36 при х > 6; б) ТсГ^^при о 1. 597. Упростите выражение: а) 7&”-5+0,25-7&”-1,25+0,36, если 0,5 170 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 598. Вынесите множитель за знак корня: а) Vo^» если а > о, & 0, I/ > 0; в) , если а > 0, Ь > 0; г) ^ТблсУ, если X 1; б) и у[^ при Ь > 1. 601. Упростите выражение: а) (Зх/2 – l)(l + 3n/2) – (Зх/2 – – 6n/3; б) (8 + 2^ЛL5)/2); в) (4>/2 – 2n/3)(6n/2 + 3n/3) – (l – ^/з)(^/3 + l); г) (Зл/2 + 2^/з)(^/з – л/2)’ + 2>/з. 602. Найдите значение выражения: а) + 6 при а = 1 – у[3; б) – 6а^ при а = 1 + у[2. 603. Докажите, что каждое из чисел 2 + ^3 и 2 – ^3 явля- 7^ + ^ У‘2 _ 4х + 1 = 0. ется корнем уравнения 604. Из данных чисел выберите пары противоположных чисел: 1-3^; -0,2^ +0,1^; ^8-3; 1 1 _ 712 + 72’ 3+272’ 718-1. Дополнительные упражнения к главе 3 171 605. Из данных чисел выберите пары взаимно обратных чисел: 3-2^; 4б -1; Д2-^2; 0,1^2+0,2 4^; 3 + 242; 0,240+0,2. 606. Выясните, при каких значениях а дробь принимает наибольшее значение, и найдите это значение: а) 1-4^. З-а б) + 4 ~2 607. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1 __________________1_____ 42 + 43 + 45’ 2-^f2-4з + S ’ 1 _____________________1________ 46 + 42-I’ n/10 – л/Гб + ^/^4 – • 608. Упростите выражение: а) б) у/ь + j— + 1 yja yjab yfb yfab + 1 \ / 1 + у V аЬ )’ л / 1 – у к ayfb J 609. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений переменных: ‘^ч/а + 4^ _ -у/а – ^ yll6ab _ 4^ – 4ь 4^ + 4ь)’ ’ х4у~у4х+24^ а) 610. Сократите дробь: х^+х^ + 1’ 2ч/1 -х^ +х‘ -2 1 – ,Jl- X • ^Jx + 1 ’ 611. Найдите значение выражения: а) 4/4-4Д5 + ч/4+чДб ; в) ч/б+З^б + ч/б-2ч/5 ; б) ч/7- чЯз – ч/7+чЯЗ ; г) ч/7- -4/7+ ч/ЗЗ . 172 Глава 3. Действительные числа. Квадратные корни 612. Упростите выражение: а) (VvloTe + V>/46 – б)’ (Лука Пачоли (1445—1514), итальянский математик); б) (Vl2 + S + ^|l2 -sf (Михаил Штифель (1486—1567), немецкий математик); в) (V5 + л/з + yjb-sfs) (Симон Стевин (1548—1620), голландский инженер). 613. Докажите, что 2 + 7з 2- 7з = л/2 ^/2 + ^2 + л/З V2 – >/2 – л/з (Жозеф Бертран (1822—1900), французский математик). 614. Докажите, что 6 + 4^/2 6-4>/2 ^/2 + ^/6 + 4^/2 ^/2-^/6-4^/2 = 8. 615. Упростите выражение: а) 76+2^5 – 75 ; в) + ^9+2^14 ; б) ^3 – 77+4л/3 ; г) ^23+8^7 – ^23-8^7. 616. Упростите выражение: 617. Упростите выражение: Х+1/-1 Va+1 Va(Vb + l) т: гтт > если л: = /— ^ , i/ =—j==-. Х-1/ + 1’ Vafe + 1^ Vob-1 618. Докажите, что х/1о+^14+^Ш+^ = Л+л/З+Тб- (Тождество индийского математика и астронома Бхаскара, (1114 — позднее 1178 г.)). Дополнительные упражнения к главе 3 173 619. Упростите выражение: а) yj +1 9 б) yj +1++6д^ + 9 9 в) – 7“ » где о > О; г) + yja-2 , где а > 2; Д) ^Ja+3-4^^a^ ~ Va+8-бл/а^ . где а >10. 620. Упростите выражение: yjx + 2у[х^ -1 + – 2yfx^ -19 если: а) ; б) д: > 3. 621. Докажите, что при положительных значениях а, & и с выражение yJa-\-b-\-c-\- 2yjac -\-bc-\-yja-\-b-\-c- 2у[ас-\- be тождественно равно: а) 2yJa-\-b 9 если а Ь > с; б) 2yfc 9 если а Ь о, то уравнение ,следовательно, и равно- сильное ему уравнение ах^ с = 0 имеет два корня: у — и с с . Если – – Упражнения для повторения 640. Выделите квадрат суммы или квадрат разности из квадратного трехчлена: а) m2 – Зт -I- 2,5; в) х2 – 4х + с; б) р2 -I- 5р – 8; г) х2 + 6х – с. § 9. Квадратное уравнение и его корни 179 641. Найдите значение выражения: X + + 9 а) ^ ^ S ^ ^ ^ “ 0,36; у – Зу[у + 2,25 б) ^ ^ ^ ^ ^ 642. Верно ли, что является рациональным числом значение выражения: а) (^8 – 3^2 – ^8 + 3^2) ; б) (^5 – 2^3 + ^5 – 2V3)’? 28. ^ Формулы корней квадратного уравнения Решим квадратное уравнение – 2х – 1 = 0. Разделив обе части уравнения на 3, получим равносильное 2 2 1 . ему квадратное уравнение – ~ =0. 2 1 Выделим из квадратного трехчлена х^ – ~х – – в левой части получившегося уравнения квадрат разности: о 1111 Х-2Х 3 + 9- 9- 3-О, \2 Решим получившееся уравнение относительно х – -: Отсюда 12 12 дг- – =– илидг- – = X = – – или X = 1. Значит, корнями уравнения являются числа – – и 1. Таким же способом решим квадратное уравнение ах^ + &х + с = 0. (1) 180 Глава 4. Квадратные уравнения Разделим правую и левую части уравнения (1) на а, получим равносильное ему уравнение 9 ^ с -h -X -h – =0. а а о Ь с Выделим из квадратного трехчлена х^ “л: + – квадрат суммы: + L + Ш ■ Ш + а = Отсюда -Г – с ^ ~—2 “I” “ = 0. 2а 1 4а^ а ^ ь\‘ с ^ 2а) ~ 4а^ а ’ – 4ас ^ 2а/ 4а’ ‘ (2) — 4дс Числитель дроби ——2— , т. е. выражение – 4ас, называ-4а ют дискриминантом квадратного уравнения ах^ Ьх с = О (от лат. discriminarey что означает различать). Его обозначают буквой D. Значит, D = b^~ 4ас. Используя обозначение дискриминанта, уравнение (2) можно записать в виде D Знаменатель дроби положителен, так как по определению квадратного уравнения а ^ 0. Поэтому лишь от D зависит, какие значения (положительные, нуль или отрицательные) принимает эта дробь. Рассмотрим отдельно каждый случай. D 1) Если Z) > о, то > 0. В этом случае при решении непол- ного квадратного уравнения (3) относительно ^ ^ получаем: Ь ГБ , штх+ § 9. Квадратное уравнение и его корни 181 Отсюда ь ^ ь ^ X + ^ или X + — = – , 2а 2а 2а 2а Ь , 4^ ь Jd X = ~1Г + ИЛИ X = – — – , 2а 2а 2а 2а -ь ^ Jd -ь- Jd X = –—— или X = —–—— . 2а 2а Следовательно, уравнение (1) в этом случае имеет два корня: -ь Jd -ь- Jd ^ 2а ^ 2а Применяется краткая запись: х = Равенство -Ь±4р 2а ^ ^ ^ ^ , где D = – 4ас, 2а называют основной формулой корней квадратного уравнения. D 2) Если £) = О, то = 0. В этом случае при решении непол- Ь ного квадратного уравнения (3) относительно ^ ^ получаем: Отсюда X = 2а • Следовательно, уравнение (1) в этом случае имеет один ко-Ь ^ рень – —. Этот корень можно получить по основной формуле корней квадратного уравнения. При D = 0 она дает: 2а ’ X = 2а • 182 Глава 4. Квадратные уравнения D 3) Если Z) о, то уравнение имеет два корня; если Z) = о, то уравнение имеет один корень; если Z) 0. Применим формулу корней квадратного уравнения: 1 + ^/49 2 6 ’ X = д:. X = _ 2 3 1 ± 7 12 о » Хо 1 2 • ^ 2 1 Ответ: 3 ; • Пример 2. Решим уравнение 4д:2 – 12д: -1-9 = 0. Вычислим дискриминант: D = (-12)2 – 4.4.9 = 144 – 144 = о, i) = 0. Применим формулу корней квадратного уравнения: 12 ± То X = X = 2 • 4 3 Ответ: 1-. Пример 3. Решим уравнение Зд:2 + бд: -I- 5 = 0. Вычислим дискриминант: i) = 36 – 4 • 3 • 5 = 36 – 60, i) 2 = 2(^1 -1- то хотя бы одно из уравнений х^ -I-+ Pi^ + qi = о и х^ Р2Х q2 = о имеет корень. 666. Докажите, что если уравнения ах^ + Ьх + с = 0 и Ьх^ + -I- сд: -I- а = о имеют общий корень, то он равен 1. 667. Найдите значение т, при котором уравнения х^ — (2т -I- \)х + т + \ = о и 2д:^ – (4т – 1)х -1-1 = 0 имеют общий корень. ♦> Упражнения для повторения 668. Упростите выражение: а) (2л/3 – 372)(з72 + 2Тз); б) /5; в) (aV2 – 7з)’ – 2а2; г) (3n/6 + 2л/з)(3>/б – 2V3). 669. Найдите значение выражения: п 2 \ Т:-2 +- п т т при m = — и л б) 1- 15 ’ а – 1 а + 1 т? тп т + п + тп (а^ – 1) при а = 1-. 670. Если к трехзначному числу справа приписать такое же число, то получится шестизначное число, кратное 7, 11 и 13. Докажите. 188 Глава 4. Квадратные уравнения 29. ^ Уравнения, сводящиеся к квадратным Некоторые уравнения удается решить, используя метод введения новой переменной. Рассмотрим примеры. Пример 1. Решим уравнение 16д:^ – бЬх^ 4-4 = 0. В это уравнение переменная х входит только во второй и в четвертой степени. Так как х^ = то уравнение можно свести к квадратному, обозначив х^ буквой у. Получим 161/2 – 651/ -h 4 = 0. Решив это уравнение, найдем, что У\ = ^ и 1/2 = 4. Возвра- щаясь к переменной х, получим уравнения х^ = — и = 4, 1о корнями которых являются числа – ^ у ~7» 2 и -2. 4 Ответ: 2; -2. 4 4 Уравнение 16д:^ – ббд:^ + 4 = 0 имеет вид ад:^ + Ьх^ + с = 0, где а ^ 0. Уравнения такого вида называют биквадратными. Дополнение «би» (от лат. bis — дважды) связано с тем, что такое уравнение является квадратным относительно квадрата переменной X. Биквадратное уравнение можно решить, используя подстановку у = х^. Подсказкой для такой подстановки является само уравнение. В некоторых других случаях уравнения также удается решить с помощью введения новой переменной, но найти подстановку бывает сложнее. Пример 2. Решим уравнение д:(д: + 0,5)(д: + 1,5)(д: + 2) = 31,5. Если записать его в стандартном виде, то получится уравнение д:^ + 4д:” + 4,75д:2 + 1,5д: – 31,5 = 0, для которого трудно найти какой-либо способ решения. Поступим иначе. Заменим многочленом произведение первого и четвертого множителей, а также второго и третьего. Получим: (д:2 + 2д:)(д:2 + 2д: + 0,75) = 31,5. § 9. Квадратное уравнение и его корни 189 В левой части дважды встречается выражение + 2х, причем переменная д: ни в какое другое выражение не входит. Введем новую переменную i/ = -h 2х. Тогда уравнение сводится к уравнению с переменной у: у(у + 0,75) = 31,5. Упростив его, получим: 1/2 -h 0,751/ – 31,5 = о, 4i/2 -h 31/ – 126 = 0. Решив это уравнение, найдем: Ух = -6, У2 = 5,25. Подставив найденные значения у в равенство у = х^ + 2х: х^ 2х = -6 или х^ + 2х = 5,25. Уравнение х^ 2х = -6 не имеет корней, а уравнение х^ 2х = = 5,25 имеет два корня: х^ = -3,5 и Xg = 1,5. Итак, исходное уравнение имеет два корня: -3,5 и 1,5. Ответ: -3,5; 1,5. 671. Решите биквадратное уравнение: а) X* + 7х^ -8 = 0; г) Ах* – 12х^ + 3 = 0; б) л:” – 17х^ + 16 = 0; д) 16у^ + \5у^ -1 = 0; в) 2х^ – 17х^ + 35 = 0; е) у” + 2у2 + 6 = 0. 672. При каких значениях переменной равно нулю значение трехчлена: а) – М + 36; г) Ах* – 5х^ + 1; б) у* – 12у^ + 27; д) X* – 2,5х^ – 6; в) -р” +р^ – 0,25; е) 2у* – 17у= – 9? 673. Найдите координаты точек пересечения с осями коор- динат графика функции: а) у = X* – \0х^ + 9; в) у = X* – Ох^; б) у = Ах* – \7х^ + 4; г) у = л:’* + Ах^. 674^. Решите уравнение: а) – 3 • |л:| – 4 = 0; V ^ ^ – гч б) – 3 • |л:| + 1 = 0; в) + 4 • |х| + 3 = 0; ^ Последнее уравнение данного упражнения составлено персидским ученым Омаром Хайямом (1048—1122). 190 Глава 4. Квадратные уравнения 675‘. Решите уравнение с помощью введения новой переменной: а) X* + 5х^ = 126; в) х* = 2х^ + 8; б) х* + 24 = 10х^; г) = Ьх^ + сх^ 676. Найдите корни уравнения: а) (x^ – 1)2 – 18(л:2 – 1) -ь 45 = 0; б) (х^ + 1)2 – 10(jc2 -Ь 1) -Ь 9 = 0. 677. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) (x^ + 2xf – 5(x^ + 2х) -24 = 0; б) (х^ – xf – 15(л:2 -х)~ 100 = 0; в) 3(л:2 + xf – 10jc2 – IOjc = 48; г) (j/2 – 2i/)2 – 4у2 + 81/ + 3 = 0. 678. Найдите удобную замену переменной и решите уравнение: а) (х^ + 3х- 20)(л:2 + Зх + 2) = 240; б) (х^ – X + 8)(х^ – х-6)= 120. 679. Найдите корни уравнения: а) (х -Ы)(л: -Ь 2)(х + 3)(х + 4) = 840; б) х(х – 2)(х – 4)(jc – 6) – 105 = 0; в) (х + 4)(х + 6)(л: + 8)(jc -Ь 10) = 5760; г) (у – 2)(у – 3)(у – 4)(у – 5) – 360 = 0. 680. Решите уравнение, используя введение новой переменной: а) (х^ -Ь 4л:)2 – (jc -Ь 2)2 = 416; б) (х^ – 2х)2 + (х- 1)2 = 73; в) (л:2 + 6х)2 – 4(х + 3)2 = 156; г) 3(^2 + 2л:)2 = 35(л: + If + 115. ♦> Упражнения для повторения 681. Найдите наибольшее и наименьшее целые значения переменной х, при которых дробь правильной, JC + 8 а дробь — неправильной. ^ Уравнения этого упражнения составлены арабским ученым XI в. ал-Кархи. §9. Квадратное уравнение и его корни 191 МЫ 682. При каких значениях параметров а и & решением систе-2х – у = а. Ьх – у = 1 является пара чисел (4; 5)? 683. В конце учебного года 11 учеников 8-го класса сдавали норматив по бегу на 100 метров. Зафиксированные результаты (в секундах) представлены в таблице. Данила 15,3 Стас 16,1 Паша 14,7 Петя 16,9 Аня 25,1 Наташа 20,2 Лена 21,8 Оля 19,9 Миша 15,4 Катя 18,4 Боря 15,5 Найдите медиану показанных учениками результатов. 30. ^ Решение задач с помощью квадратных уравнений Во многих случаях при составлении уравнений по условиям задач получаются квадратные уравнения или уравнения, сводя-щ;иеся к квадратным. Такие задачи часто встречаются в математике, физике, технике. Решение задач с помощью уравнений сводится, как известно, к трем основным этапам: — обозначить неизвестное число буквой и составить уравнение; — решить уравнение; — истолковать результат в соответствии с условием задачи. Рассмотрим примеры. Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов в 1^ раза. А этот катет больше другого катета на 10 см. Найдите больший катет. Решение. Пусть больший катет равен х см. Тогда гипотенуза равна 1^х см, меньший катет равен (х – 10) см. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т. е. х^-\-(х- 10)2 = 1-х 4 . 192 Глава 4. Квадратные уравнения Решим уравнение: 25 -h – 20л: + 100 1о 32х^ – 320х + 1600 = 25x^ 7х^ – 320л: + 1600 = 0, \d – 160^ – 7 – 1600 = 14 400, X = 160 ± 120 = 40, ^2 = 5 – . По условию задачи значение х должно быть больше 10. Этому условию удовлетворяет лишь первый корень — число 40. Ответ: 40 см. Задача 2. Через какое время тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 30 м/с, окажется на высоте 40 м (без учета сопротивления воздуха)? Решение. Воспользуемся формулой h = Vot , где Л (в м) — высота, которой достигает тело через t с, Vq (в м/с) — начальная скорость и ^ (в м/с^) — ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с^. Подставляя в эту формулу вместо переменных h, Vq и g их значения, получим уравнение 40 = 30^ – Отсюда 5^2 – 30^ -h 40 = о, – 6t + S = 0. По дополнительной формуле корней квадратного уравнения найдем: Упражнения для повторения 700. Сократите дробь: 2аЬ -\-2by ау а) б) 27л:®-8 2аЬ-2Ьу-\-ау-у^ ’ 701. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: а) у = 7х 1,4; б) у = 2х^ 9х – 5. 702. Упростите выражение: Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определение квадратного уравнения. 2. Какие квадратные уравнения называются неполными? Приведите примеры неполных квадратных уравнений. 3. Сформулируйте определение дискриминанта квадратного уравнения. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? 4. Напишите основную формулу корней квадратного уравнения. 5. Напишите формулу корней квадратного уравнения со вторым четным коэффициентом. §10. 31. СВОЙСТВА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Теорема Виета Особого внимания заслуживают квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называются приведенными. Если в приведенном квадратном 196 Глава 4. Квадратные уравнения уравнении обозначить второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой qy то уравнение будет иметь вид + рх + q = 0. Из основной формулы корней квадратного уравнения можно получить более простую формулу корней приведенного квадратного уравнения: -p±^/^ X = , где D = – 4q. Рассмотрим свойства корней приведенного квадратного уравнения. Решим уравнение (х – 3)(д: – 5) = 0. Левая часть уравнения есть произведение двух множителей х – 3 и х – 6. Так как это произведение равно нулю, то л: – 3 = о или д: – 5 = 0. Значит, х^ = 3, Х2 = 5. Раскроем скобки в левой части уравнения и приведем подобные слагаемые: _ Зх – 5х 15 = о. х^-8х-\-15 = 0. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, замечаем, как в этом квадратном уравнении образуется второй коэффициент и свободный член. Второй коэффициент получается при сложении чисел, противоположных корням уравнения, а свободный член — при умножении корней. Этим свойством обладают корни любого приведенного квадратного уравнения. Свойство корней приведенного квадратного уравнения выражается теоремой, названной теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета (1540—1603). Франсуа Виет (1540—1603), французский математик, по профессии юрист; ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнения («Введение в аналитическое искусство», 1591). Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2, 3 и 4-й степеней. Виет получил существенные результаты в тригонометрии, астрономии, криптографии; с появлением его работ в научных кругах Европы стали использоваться десятичные дроби. Среди своих открытий Виет особенно высоко ценил установленную им зависимость между корнями и коэффициентами уравнений. § 10. Свойства корней квадратного уравнения 197 Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение рх q = 0. Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня: -p-Jb -p + /d и ^2 = . Найдем сумму корней: -р-у/Ъ , -р + у[в -2р Х, + Х,= = — =-р. Сумма корней равна -р, т. е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: Xi~\- Х2= -р. Найдем произведение корней: -р-у[Ъ -р+/о 2 ’ 2 “ 4 Х,-Хо = p^-D p^-(p^-4q) 4g = q- 4 4 4 Произведение корней равно q, т. е. свободному члену: л:1л:2= q- Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней -р ± о д: = 2 • В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два равных корня: -р + О р -р – о р Xi = 2 = у ^2= 2 ^ ~ ^ ‘ Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной. Сложив Xi и ^2, получим -р: Xi + Х2 = = -р- 198 Глава 4. Квадратные уравнения Перемножив и Xg, получим — . Но так как Z) = = О, то = 4д, а поэтому Хо = 4q = q- 4 4 Пусть корни квадратного уравнения ах^ Ьх с = О равны Xi и Х2- Разделив обе части этого уравнения на а (а ^ 0), получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение х^ -\-—х-\- — = 0, имеющее те же корни. а а По теореме Виета: Xi + Х2 = – ‘ х.Хо = Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета: если числа тип таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения рх q = 0. Доказательство. Пусть х^ рх q = 0 — приведенное квадратное уравнение, а числа тип такие, что т + п = -р и тп = q. Подставив в это уравнение вместо р равное ему число -(т -I- п), вместо q равное ему число тп, получим равносильное ему уравнение х’^ – 0. Те же корни имеет и равносильное ему приведенное квадратное уравнение – 14л: -8 = 0, полученное при умножении обеих частей уравнения – – 7л: – 4 = 0 на 2. По теореме Виета: Ху + Х2 = 14, ХуХ2 = -8. Пример 2. Выясним, верно ли решено уравнение д:^ -I- 4д: — 21 = о, если в ответе получились числа 3 и -7. Сумма чисел 3 и -7 равна второму коэффициенту приведенного квадратного уравнения д:^ -I- 4д: – 21 = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену: 3 + (-7) = -4; 3 (-7) = -21. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 3 и -7 являются корнями уравнения д:^ -I- 4д: – 21 = 0. Пример 3. Составим квадратное уравнение, корнями которого были бы числа – ^ ^ “ f * 1 2 Найдем сумму и произведение чисел – – и – -: 2 3 7 6 ’ 1 3 • Напишем приведенное квадратное уравнение, в котором 7 ^ 1 вторым коэффициентом является -, а свободным членом -: о о х‘+|д:+|=0. По теореме, обратной теореме Виета, числа — и — являются корнями этого уравнения. о 7 1 Уравнение д:^-1–д:-1–=0 сохранит те же корни, если обе его части умножить, например, на 6: бд:^ -I- 7д: -I- 2 = 0. 200 Глава 4. Квадратные уравнения Ответом для задания в примере будет либо приведенное 7 1 квадратное уравнение ~х ~ = О, либо какое угодно равносильное ему неприведенное квадратное уравнение. 703. Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения, имеющего второй четный коэффициент. 704. Решите приведенное квадратное уравнение: а) х^ -8х+1Ь = 0; в) -h 13л: -h 42 = 0; б) -I- 2л: – 8 = 0; г) д:^ – 9д: – 10 = 0. 705. По теореме Виета найдите сумму и произведение корней уравнения (если эти корни существуют): а) х^ -\-9x- 10 = 0; г) -д:^ -h 5д: -h 24 = 0; б) m2 – 1,1т – 0,6 = 0; д) 40т2 -Ь 38т -15 = 0; в) -h 42,5^ -h 100 = 0; е) 54i/2 -h 69y -h 20 = 0. 706. Найдите второй коэффициент и свободный член приведенного квадратного уравнения – ky t = 0, если его корнями являются числа: а) 10 и – 6; б) – 3 и – 8; 2 1 5 11 r)-g и 707. При каких значениях у и г сумма корней уравнения д:2 + Зд: – 10 = о равна 2у – 2, а их произведение равно у -I- 22? 708. При каких условиях сумма корней приведенного квадратного уравнения х^ рх q = 0 равна их произведению? 709. В каких случаях сумма и произведение корней приведенного квадратного уравнения являются противоположными числами? 710. Среди пар чисел | ^ и г I 1\ 1-; -1- найдите 3 4 J такую пару, которая составлена из корней уравнения: а) д:2 – 4д: – 77 = 0; в) бд:^ – 5д: -h 1 = 0; б) д:2 – f д: = 0; г) 12д:2 – д: – 20 = 0. о о 711. Решите уравнение по формуле корней и сделайте проверку по теореме, обратной теореме Виета: а) – 5x – 36 = 0; в) – 1 д: – 1 f = 0; б) д:^ – 16д: -Ь 55 = 0; 12 8 г) 32х^ -Ь 44х -Ь 15 = 0. § 10. Свойства корней квадратного уравнения 201 712. Один из корней уравнения + рх + 54 = 0 равен 6. Найдите другой корень и второй коэффициент. 2 713. Число — один из корней уравнения 9х^ Зх -\-+ g = 0. Найдите другой корень и свободный член. 714. Уравнение + pjc + 1 = 0 имеет одним из корней число ^. Найдите другой корень и второй коэффициент. 715. Дано квадратное уравнение ах^ + Ьх + с = 0. Его корни Xi и jCg. Найдите: а) Xi и Ь, если а = 1, JCg = 14 и с = ^140; б) Xi и с, если а = 1, jCg = -30 и Ь = 18; 2 в) Xi и Ь, если а = 10, JCg = – и с = 2; 5 г) jCj и с, если а = 12, = “ 4 и Ь = 17. 716. При каком значении с один из корней уравнения 4х^~ – 20х -I- с = о на 2 меньше другого? 717. Найдите значение Ь, при котором один из корней уравнения 2х^ -Ьх-\-3 = 0в6 раз больше другого? 718. Разность корней квадратного уравнения х^ – 4х -\-q = о равна 20. Найдите q. 719. Один из корней квадратного уравнения 24jc^ – IOjc -I-+ g = о на ^ больше другого. Найдите д. 720. Разность квадратов корней приведенного квадратного уравнения равна 24. Второй коэффициент этого уравнения равен 2. Найдите свободный член уравнения. 721. Не производя вычислений по формуле корней квадратного уравнения, определите знаки корней уравнения: а) – 17jc -h 4 = о б) + 20jc -h 5 = о в) -h 30jc – 1 = о г) х^-25х-2 = 0; д) Зх^ – 5х 2 = 0; е) 2х^ + 9х + 3 = 0; ж) 5х^ -h IOjc -4 = 0; з) ^л;2-11х-8 = 0. 202 Глава 4. Квадратные уравнения 722. Устно. Найдите корни уравнения: а) – 5jc + 6 = 0; в) + 5jc + 6 = 0; б) – jc – 6 = 0; г) + jc – 6 = 0. 723. Устно. Найдите корни уравнения: а) – (3 + а)х + За = 0; в) – (3 – а)х – За = 0; б) + (3 + а)х + За = 0; г) + (3 – a)jc – За = 0. 724. Докажите, что ни при каком значении Ь корни уравнения: а) + bjc – 3 = О не могут иметь одинаковых знаков; б) 2х^ + bjc + 5 = О не могут иметь разных знаков. 725. Уравнения х^Ч- 2р^х + = О и х^ + 2pzX + ^2 = 0 таковы, что ^1 + ^2 = 2piP2. Докажите, что если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни. 726. Докажите, что если в уравнении х^ рх q = О коэффициенты р и q — целые числа и уравнение имеет рациональные корни, то эти корни — целые числа. 727. При каких значениях п: а) один из корней уравнения х^ – 8х -1 = 0 равен 0; б) корни уравнения х^ + (2п – 7)х -3 = 0 являются противоположными числами; в) корни уравнения х^- IOOjc -I- 3/г – 2 = О являются взаимно обратными числами? 728. Сумма коэффициентов квадратного уравнения ах^ + bjc + -I- с = О равна нулю тогда и только тогда, когда один корень урав- с нения равен 1, а второй равен Докажите это утверждение. 729. Сумма старшего коэффициента и свободного члена квадратного уравнения ах^ Ьх + с = 0 равна среднему коэффициенту тогда и только тогда, когда один корень уравнения ра- с вен -1, а второй равен . Докажите это утверждение. 730. Устно. Найдите корни уравнения: а) 35×2 _ 59^ + 24 = 0; в) 78х^ – 55х -23 = 0; б) 138×2 + 135х -3 = 0; г) 5,13×2 + 6,2х + 1,07 = 0. § 10. Свойства корней квадратного уравнения 203 731. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются: а) 3 и 4; б) 3 и -4; в) -3 и 4; г) -3 и -4. 732. Составьте приведенное квадратное уравнение, если его корнями являются: а) а и 2а; б) а и -2а; в) -а и 2а; г) -а и -2а. 733. Составьте приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен: а) л/З; б) >/з – 1; в) -у/Е; г) 2 – Тб. ♦> Упражнения для повторения 734. Один катет прямоугольного треугольника на – см больше другого. Гипотенуза равна 2,5 см. Найдите периметр треугольника. 735. Отношение диагонали прямоугольника к его длине равно 5 : 4. Ширина прямоугольника 6 см. Найдите его площадь. 736. Найдите значение квадратного трехчлена 1 2 – -X – S3 при X = -9; -3; 0; 10; 11. 737. При каком значении а уравнения х^ – ах 1 = 0 и х^ – X + а = о имеют общий корень? 738. Докажите, что если число т – 2yfk , где т е Z и k е N, является корнем уравнения х^ рх q = 0, в котором р и q — рациональные числа, то число т -I- 2yfk также является корнем этого уравнения. 32. ^ Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Рассмотрим выражения с двумя переменными а + Ь аЪ – а – Ъ, (а – Ь)^, 204 Глава 4. Квадратные уравнения Если в каждом из них переставим переменные, т.е. всюду вместо а поставим Ь и вместо Ь поставим а, то получим тождественно равные им выражения: Ъа — Ъ — а = аЪ — а — Ъу (Ь – а)2 = (а – Ь)\ Ь-\- а а-\-Ь О Л CL о Такие выражения называют симметрическими относительно входящих в них переменных. Выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если при перестановке этих переменных получается тождественно равное ему выражение. Например, симметрическими выражениями относительно двух переменных являются суммы и произведения натуральных степеней этих переменных, а также выражения, полученные из них с помощью сложения, вычитания, умножения и деления: а + Ь, . аЪу а^Ь^у а^Ь^у а^Ъ^у . а + & аЬ(а^ + у + а^Ъ\ – (а” + Ъ\ Г.2 . l2 (I -\-о Симметрическими выражениями являются также четные степени разности двух переменных. Нечетные степени разности двух переменных симметрическими выражениями не являются. Наиболее простыми симметрическими выражениями относительно двух переменных являются сумма и произведение этих переменных, т. е. а -I- Ь и аЪ. Через а + Ъ маЪ можно выразить любое рациональное симметрическое выражение относительно а и &. Для примера выразим симметрические относительно а и Ь выражения (а – ЬУ и (а – ЬУ через а Ь и аЬ: (а – ЪУ = а^ – 2аЬ = = -h 2аЬ + – 4аЬ = (а -h ьу – 4аЬ; (а – ЬУ = ((а – ЬУУ = ((а -h ьу – 4аЬу. Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров. Пример 1. Квадратное уравнение рх q = О имеет корни Xi и Х2. Не решая этого уравнения, выразим через р и q суммы х1 -I- xjy xf х1 и х\ + Х2- § 10. Свойства корней квадратного уравнения 205 Выражения xf + Xi + Х2 и xf + xj — симметрические относительно Xi и JCg. Выразим их через Xi + Х2И Х1Х2, а затем применим теорему Виета. Начнем с суммы квадратов корней: xf + х1 = (Xi + Х2У – 2x^X2 = (-рУ – 2q=p^ – 2q. Используя полученный результат, выразим сумму кубов и сумму четвертых степеней корней: xf + х1 = (Xi + X2)(xf + xf – Х1Х2) = = -р(р2 – 2q- q) = -p^ + 3pq; xf + xj = (xf + xfy – 2xfxf = (p^ – 2qy – 2q^ = = p* – ^p^q + – 2q^ = P* ~ ^P^q + 2q^. Пример 2. He решая уравнения x^ + px + q = 0, имеющего корни Xi и X2, выразим через p и q выражения (x, – Х2У и (Xi – Х2У. Выражения (xj – Х2У и (jCj – Х2У — симметрические относительно дг, и Х2. Выразим их через дс, -Ь дсг и х^Х2, а затем применим теорему Виета: (Xi – Х2У = (ДС1 + Х2У – 4x^X2 = Упражнения для повторения 752. Решите уравнение: а) 8д;2 -3х = 0; б) 7х^ + 4jc = 0. 753. При каком значении п один из корней уравнения х^ – 1х + 2п = о в 2 раза больше одного из корней уравнения х^ – Ъх ^ п =0? 754. Упростите выражение: а) ^7-4^3 + 7з ; б) . 33. ^ Разложение квадратного трехчлена на множители Найдем значение квадратного трехчлена Зх^^ – 7х + 2 при X = 2: Зд;2 – 7jc + 2 = 3 • 22 – 7 • 2 + 2 = 0. При X = 2 квадратный трехчлен Зх^ – 7:с + 2 обраш;ается в нуль. Такое значение переменной называют корнем квадратного трехчлена. Определение. Корнем квадратного трехчлена называется значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю. Чтобы найти корни квадратного трехчлена ах^ + Ъх + с, достаточно решить уравнение ах^- Ьх с = 0. Найдем, например, корни квадратного трехчлена Зх^ – 7х + 2. Для этого решим квадратное уравнение Зх^ – 7х + 2 = 0: D = (-7)2 – 4 • 3 • 2 = 25, 7±5 X – g , = 2, = I • Значит, квадратный трехчлен 3:^2 – 7:с -I- 2 имеет два корня: 2И-. 208 Глава 4. Квадратные уравнения Число корней квадратного трехчлена ах^ Ьх с зависит от числа корней квадратного уравнения ах^ + + с = О, а следова- тельно, от его дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения ах^ + Ьх + с = О называют также дискриминантом квадратного трехчлена ах^ + Ъх + с. В зависимости от дискриминанта квадратный трехчлен так же, как квадратное уравнение, может иметь два корня, один корень (или два одинаковых корня) или вовсе не иметь корней. Корни квадратного трехчлена можно использовать при его разложении на множители. Пример 1. Разложим на множители трехчлен – 23JC -h 112. Найдем корни квадратного трехчлена х^“ – 2^х -I- 112: – 23JC -h 112 = О, D = 529 – 4 -112 = 81, 23±9 х^ = 16, = 7. По теореме Виета второй коэффициент -23 равен -(16 -I- 7). Подставим это выражение в квадратный трехчлен х^ – 2^х +112 вместо второго коэффициента, раскроем скобки и применим способ группировки: – 23JC -h 112 = – (16 -h 1)х -h 112 = = – 16JC -1х + 112 = х Упражнения для повторения 765. Буквами а и Р обозначены корни уравнения 15х^ -4х– 2 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения: в) 2(а – Р)2 + 5; а) (а – Р)^ + 4аР; б) (а – Р)2 + ЗаР; 766. Решите уравнение: х’‘ -8 3-2х^ – а) ^———^ = 1; г) -(а – Р)2 – ар. б) х-1 х^ -2 767. Разложите на множители: а) -5у^ + 1бу + 4ау – 12а; б) Зт^ – Зтп^ + 2т^п – 2п^. 768. Сторона одного квадрата на 3 см больше стороны другого. Найдите стороны квадратов, если сумма их плош;адей равна 317 см2. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ах^ + Ъх + с = 01 §11. Дробно-рациональные уравнения 213 2. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета. 3. Приведите пример симметрического выражения относительно двух переменных. Напишите простейшие симметрические выражения. 4. Сформулируйте определение корня квадратного трехчлена. Сколько корней имеет квадратный трехчлен? 5. Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трехчлена. § ы ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Решение дробно-рациональных уравнений До сих пор мы занимались целыми уравнениямиу т. е. такими уравнениями, в которых обе части являются целыми выражениями. Примерами целых уравнений могут быть уравнения ^ ^ ^ ^ х + 1 ^ Зх-1 „ 2х – 1 = Ьх + о, =1-1- —-— . К целым уравнениям относят- ся линейные и квадратные уравнения. Если одна часть уравнения — целое выражение, а другая — дробно-рациональное или обе части — дробно-рациональные выражения, то уравнение называют дробно-рациональным уравнением. Примерами дробно-рациональных уравнений яв- 1 ^ x + 7 ляются уравнения — = 5:с -f 3; х-1 х + 2 -h 1. Некоторые целые уравнения можно привести к линейным или квадратным уравнениям, с которыми мы уже встречались. Рассмотрим еще два примера. Пример 1. Решим уравнение jc + l 2х-1 ^ 3~ “ 5 * Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дро-1 х+1 2х- бей ^ — число 15. Получим: 15х – 5л: – 5 = 6л: – 3. Перенесем 6л: в левую, а -5 в правую часть уравнения (изме-ненив их знаки) и приведем подобные слагаемые: 15х – 5л: – 6х = 5 – 3, 4х = 2. 214 Глава 4. Квадратные уравнения Используя свойства уравнений и тождественные преобразова- х+1 2х-1 ния выражении, мы привели целое уравнение х – —^ = —— к равносильному ему линейному уравнению 4х = 2. Его корнем 1 является число -. Ответ: -. Пример 2. Решим целое уравнение х^ + 3 X 5х-3 ~4 3 ” 6 • Умножим обе части уравнения на общий знаменатель входящих в него дробей — число 12. Получим: Зх^ + 9 -4х = 10х – 6. Перенесем в получившемся уравнении все члены из правой части в левую и приведем подобные слагаемые: Зх^ – 14х + 15 = 0. (2) С помощью свойств уравнений и тождественных преобразований нам удалось свести целое уравнение (1) к равносильному ему квадратному уравнению (2). Решив его, найдем, что оно 2 имеет два корня: 3 и 1 -. Ответ: 3; 1 – . о в некоторых случаях к линейным или квадратным уравнениям можно привести и дробно-рациональные уравнения. Однако это приведение отличается важной особенностью. Рассмотрим пример. Пример 3. Решим уравнение х + 1 10х + х + З • (х-2)(х+3) – х-2 • Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение (х – 2)(х -I- 3). Получим целое уравнение (х – 2) (х+ 1) + 10х = 4(х + 3). (4) Каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4). §11. Дробно-рациональные уравнения 215 Однако нет оснований утверждать, что уравнения (3) и (4) равносильны, так как левая и правая части уравнения (3) умножались не на число, отличное от нуля, а на выражение с переменной. Ведь если корень уравнения (4) обращает это выражение в нуль, то при этом одна или обе части уравнения (3) не будут иметь смысла. Поэтому не всякий корень уравнения (4) будет корнем уравнения (3). Используя свойства уравнений и тождественные преобразования, приведем целое уравнение (4) к равносильному ему квадратному уравнению + 5х-Ы = 0. Его корнями являются числа 2 и -7. Число 2 обращает в нуль общий знаменатель (х – 2) (х – 3), поэтому оно не является корнем уравнения (3). При х = -7 значение выражения (х – 2) (х 3) не равно нулю. Поэтому -7 является корнем уравнения (3). Ответ: -7. Вообще чтобы решить дробно-рациональное уравнение, целесообразно: 1) привести его к целому уравнению, умножив левую и правую части на общий знаменатель; 2) решить получившееся целое уравнение; 3) исключить из множества корней целого уравнения те корни, при которых левая или правая части уравнения не имеют смысла, т. е. обращают в нуль общий знаменатель дробей. Пример 4. Решим уравнение 2 X ‘ + 8 – 4х – 4 * Разложим знаменатель второй дроби на множители, получим уравнение 2 + 8 б х~*~х^-4х“х-4’ Приведем это уравнение к целому, для чего обе его части умножим H8L х(х – 4): 2(х – 4)х^ 8 = 6х. Выполнив тождественные преобразования и применив свойство уравнений, получим квадратное уравнение х^ – 4х = 0. 216 Глава 4. Квадратные уравнения Его корнями являются числа О и 4. Оба они не являются 2 корнями дробного уравнения, так как при х = О дробь — не имеет смысла, а при х = 4 дробь Ответ: корней нет. х-4 не имеет смысла. 769. Решите уравнение: _ Зу-11 а) „_9 – 2-у ’ 1-то” б) в) 2у”-3 _ У-2 т+1 т + 5 ~ 6то+30’ 2х‘+9х 4х-10 ^+5 4х + 10 г) Д) е) 9 й” + 1 4х+13 1 3fe+4 ’ 1 ■ 2х”-7’ 2 /+у 5J/+14′ 770. Найдите корни уравнения: а) 5х + 2 х + 40 = 0; г) 3i/+l 2J/-6 х-2 X у+2 – у-3 ’ б) Зт-4 т-1 = 0; д) 4fl + 3 2а+ 9 т т+1 5а + 12 а + 4 в) 2х-1 х+1 = 0; е) 4х + 1 5х-4 х + З Зх-7 JC + 1 ~ 2х-2 • 771. Решите уравнение: а) 4то”-5 2m + l г) а 4а + 15 то-3 то-З ’ За + 5 2а Зх+20 16-Зл:” 4т-1 3 – m б) х-4 “ 4-л: ’ д) т + 2 + 2m – 4 в) 6-fe е) 2-Зх + l-9x 4k+32 “ Л + 8 ’ 6х-1 1 + Зх = 0; = 0; -0. 772. Найдите корни уравнения: 12л:”+1 а) 2х+3 = + б) 2а – 5 = 2у” + 1/ 4у+10 = -3; 7о-5 За-9 ’ ^ „ Зт? + 7т 773. При каких значениях аргумента х равны соответствующие значения функций: Зх+7 ^ _ 6л:2-4^ а) I/ = х-г и у = 2х 1; б)у = 7- хиу = 2JC+11 §11. Дробно-рациональные уравнения 217 774. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: 3—2jc 4jc^ + X а) I/ = и I/ = -2х + 3; 6)y = 2x + &ny= — ^ . 775. Решите уравнение: , 2х-1 Зх+2 а) TTV + = 8; б) х + З 4т + 3 т-3 х-2 2т-1 т + 3 –2; 1 + 4-г/ = г/+4 5 2а^-2а + 16 а-5 г) п^2 А + 9а^-4 а-3 3fl + 2 2 — 3fl 776. Найдите корни уравнения: Зу-н2 j/-3 3 4z/^ + i/ ^ 16z/^-l “ 4i/-l ’ б) в) 5а+ 6 3 + 2а 9 – 4а Зх + 2 2х + 1 4x^-4x + l 2x^-1 1 X Sx-1 2x-S Зх^ + 2х X 9x4l2x + 4 777. Решите уравнение: 20 а+1 а-3 а) а^-4 б) 2а-4 0+2’ Зр+1 2р-1 4/-12р+9 4р-6 “ 2р-3’ 778. При каких значениях переменной: 2л:-3 Зх + 1 а) сумма дробей х + 5 и х-6 равна их произведению; б) разность дробей 4x+l х-2 и 2х-5 х + З равна дроби — 4х-47 х^+х-6 779. Решите уравнение: 9 „ а) + ‘4 X ^х_3^ -|3 ^ 1 .2 +^4; б) х-2 у 2^;2_3jc + 6 л х-2 218 Глава 4. Квадратные уравнения ♦> Упражнения для повторения 780. Разложите на множители: а) – 10х + 36; в) 3k^ -8k- 28; б) -х^ + 7х – 10; г) -2т^ + 5т – 3. 781. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения 6х^ – х – 1 = 0. 782. Решите относительно х уравнение: а) х^ – 5тх + Зт = 0; б) тх^ – 26х + 25 = 0. 783. Упростите выражение: а) ^9-4^2 – ^3+2^2 ; б) ^49-12^ • ^49+12^/5 . 784. Пересекаются ли графики функций у = – 4jc – 3 и I/ = 3jc^ + 2jc – 2? 35. ^ Решение задач с помощью уравнений Задача. Знаменатель обыкновенной дроби на 2 больше числителя. Если числитель дроби увеличить в 2 раза, а знаменатель 1 увеличить на 16, то дробь уменьшится на ~. Найдите дробь. Решение. Пусть числитель дроби равен х^ тогда ее знаменатель равен X + 2. После увеличения числителя в 2 раза, а зна- 2х менателя на 16 получается дробь х+18 . Так как полученная дробь меньше данной дроби х + 2 2х х + 18 1 4 • (1) Решим дробно-рациональное уравнение. Умножим левую и правую части уравнения (1) на 4 (jc -I- 2) Упражнения для повторения 807. Разложите на множители: а) – X – 110; в) 2т^ – Ьт – 12; б) Зх^ + IOjc + 3; г) 6у^-у- 2. 808. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни: 11 a)5-V7n5+V7; б)з^^Из_^. 222 Глава 4. Квадратные уравнения 809. Принадлежат ли графику функции у = 2х^ – Ах + Ъ точки А (-1,5; 15,3), В (0,5; 3,5) и С (1,5; 6,5)? 810. Докажите, что верно равенство: 1 1 2^-9 ~ 2j^ + 9 ^ 7+3J5 7-3J5 7-3^5 7 + 3^5 “ ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Приведите пример целого уравнения и пример дробно-рационального уравнения. 2. При решении дробно-рационального уравнения его свели к квадратному уравнению, имеющему корни -5 и 7. В каком случае эти числа являются корнями дробно-рационального уравнения? ♦> Дополнительные упражнения к главе 4 К параграфу 9 811. Решите уравнение: а) 2- =0; б) + – = 0; 812. Решите уравнение: а) 2jc^ – Зх = 0; б) |х-4x^ = 0; в) -ОДх^ + 10 = 0; г) 6 – 1,21/2 = 0. в) 2×2 _ Зд,. г) х2 = -5х. 813‘. Решите уравнение: а) 5×2 = 40д;; в) 3×2 = 27; 25 б) ух2 = 100; г) 3×2 _ yj26x^. ‘ Уравнения этого упражнения составлены: а) и б) среднеазиатским ученым Мухаммедом ал-Хорезми (783 — около 850); в) преподавателем Венского университета Генрихом Шрейбером (ум. в 1525); г) немецким математиком Адамом Ризе (1492—1559). Дополнительные упражнения к главе 4 223 814. Найдите корни уравнения: а) (2х – 1)2 – (х – 2)2 = 0; б) (Зх + 5)2 – (2х + 5)2 = 0; в) (2а2 – 3)2 – (2а2 + 1)2 + 1 = 0; г) (т + 4)(щ2 – 4щ + 10) – + 1)(/га – 1) = /п2 + 1. 815. Решите относительно х уравнение: а) х2 = о; в) х2 = а^; д) 2×2 _ Зд,д _ q. б) х2 = -а; г) х2 = -а2; е) х2 – 9о = 0. 816. Решите уравнение с помощью выделения квадрата суммы или квадрата разности: в) 4×2 _ -^2х -1-5 = 0; г) 9×2 + 12х – 5 = 0. а) х2 -Ь 6х – 16 = о б) х2 – 4х – 12 = о 817. Найдите корни уравнения: а) 6×2 – 7х -Ь 2 = 0; б) 8×2 + Юх – 3 = 0; в) 9×2 – 12х -I- 4 = 0; г) 20×2 -Ыбх -Ь 3 = 0; 818. Решите уравнение: а) 2у^-5у + 1 = 34; б) -3m2 + 7щ -ь 24 = -2; в) ^ п2 – 6л -Ь 10 = -6; г) 2 (х – 3)2 -Ь ЗОх = -Зх – 1; д) (3ft – 1) (3ft -Ь 1) = (2ft -Ь 3)2 е) 3 (2х + 1)2 = (6 – х) (х -Ь 6) – д) х2 – 2х – 2 = 0; е) 4×2 – 4х – 7 = 0; ж) х2 -I- 6х -I- 4 = 0; з) х2 -Ь 2х – 11 = 0. – 14; 32. 819. При каких значениях переменной верно равенство: а) (2х – 1)2 = -2х -I- 1; в) (Зх – 1)2 = -Зх – 1; б) (Зх -Ь 2)2 = -Зх – 2; г) (Зх + 1)2 = -Зх + 1? 820. Найдите значения переменной, при которых равны значения выражений: а) 4×2 – 5х -Ь 3 и 2×2 – Зх -Ь 27; б) -Зтп2 + 4т -ь 1 и -5т2 -I- 6т -I- 1; в) Зр2 – Юр -Ь 4 и -2р2 + 7р-2; г) -5×2 – 2х – 3 и 3×2-1- зод: + 21. 224 Глава 4. Квадратные уравнения 8214 Решите уравнение: а) 10х = + 21; д) Зх^ + 12 = ЗОд:; б) = 12JC + 288; е) Зд:^ + 12 = 9х; в) х^ + IOjc = 39; ж) 144 + = 36jc; г) Зд;2 + 12 = 12д:; з) д:^ = 12д: – 36. 822. Составьте биквадратное уравнение с целыми коэффициентами, зная, что один из его корней равен >/5, а второй >/2. 823. Решите уравнение: а) (д;2 + 6xf – 4(д;2 + бд: + 1) – 17 = 0; б) (х^ + xf – 5(д;2 + д: – 4) = -6; в) д:(д: – 2)(д: – 3)(д: – 5) = 72; г) (д: + 2)(д: – 3)(д: – 6)(д: – 1) = -56. 824. Найдите корни уравнения: а) х^(х + ly – 40х^(х + 1)2 + 144 = 0; (х + 3)^ бЦх + 3)2 ^ б) ——- + 900 = о . ‘ X* х^ 825. Решите уравнение^ 3:с + 4>/д:^ – Зд: = х^ 4, используя введение новой переменной. 826. Докажите, что один из корней каждого из квадратных уравнений ах^ -(а + с)д: + с = 0и ах^ Ьх – (а + Ь) = 0 равен 1. 827. Докажите, что если квадратное уравнение ах^ Ьх + с = 0 имеет корни, то они обратны корням квадратного уравнения сх^ + bjc + а = 0. 828. Разность кубов двух последовательных целых чисел равна 217. Найдите эти числа. 829. Найдите три последовательных четных натуральных числа, квадрат большего из которых равен сумме квадратов двух других чисел. ^ Уравнения этого упражнения составлены: а) и б) среднеазиатским ученым Мухаммедом ал-Хорезми (783 — около 850); в) персидским ученым Омаром Хайямом (1048—1122); в) — ж) французским математиком Николой Шюке (ум. 1500); з) немецким математиком Михаилом Штифелем (1487—1567). 2 Уравнение взято из книги «Практика геометрии» (1220) итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Дополнительные упражнения к главе 4 225 830. Длины в сантиметрах трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, выражаются тремя последовательными натуральными числами. Площадь поверхности этого прямоугольного параллелепипеда равна 724 см^. Найдите его ребра. 831. Белый прямоугольник, длина которого 9 см и ширина 6 см, наклеен на зеленый так, что образовалась зеленая рамка одной и той же ширины. Найдите ширину рамки, если площадь зеленого прямоугольника 130 см^. 832. Из квадратного листа картона изготовили открытую коробку, вырезав по углам квадраты со стороной 5 см. Найдите сторону квадратного листа, если объем коробки 845 см^. 833. За весь сезон в футбольной лиге было сыграно 132 матча. Каждая команда сыграла с каждой один раз на своем поле и один раз на чужом. Сколько команд было в лиге? 834. Несколько волейбольных команд организовали турнир, на котором было проведено 15 игр. По условию турнира каждая команда играла с каждой один раз. Сколько команд участвовало в турнире? К параграфу 10 835. При каком значении с один из корней квадратного уравнения – 5:с -I- с = 0: 3 а) на 1 – больше другого; б) в 4 раза больше другого? 836. Найдите свободный член квадратного уравнения 5jc^ – + k = Оу корни которого х^ и jCg, если: а) 2jci – Ъх2 = 11; в) Ъх^ = 5^2 – 1; б) -JCi -h 2:^2 = 4,2; г) 2х^ – 3 = ~Ъх2. 837. Найдите значение коэффициентов Ь и с квадратного уравнения -2х^ -h bjc -h с = 0, если: а) один из его корней равен 3, а другой — свободному члену с; б) один из его корней равен -2, а другой — коэффициенту Ъ. 226 Глава 4. Квадратные уравнения 838. Используя квадратное уравнение рх q = О, выразите через р и д: а) сумму чисел, обратных его корням; б) сумму квадратов его корней; в) квадрат разности его корней; г) сумму кубов его корней. 839. Докажите, что при любом значении а уравнение Чх^ + Юх + + 1 = О не имеет положительных корней. 840. Докажите, что при любом значении Ъ уравнение Ьх – 7 = о имеет один положительный и один отрицательный корень. 841. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) 6х^ – 8,4jc + 2,7; в) 2х^ – SxyfS + 3; б) -4,4д;2 + 8,7х + 0,2; г) 4х^ – Ху[5 – 25. 842. Сократите дробь: 2т^ + Зт – 9 а) 4m^-12m + 9 ’ б) сЧ2с-8 + Зс — 4 ’ в) х^-4х-5 843. Упростите выражение: ^ 4х + 18 а) -~1 – + ‘ X -х-6 х + 3 б) т-8 т^-7т-8 т + 2 т-4 – 1. 844. Представьте уравнение в виде а(х^У + Ьх^ -I- с = 0 и решите его сначала относительно х^, а потом относительно х: а) 4х^ – 37х^ + 9 = 0; б) 9х^ – 37х^ + 4 = 0. 845. Разложите на множители многочлен: а) + 17х^ + 16; в) 4х^ – 17х^ + 4; б) jc” + 2х^ – 24; г) 9х^ – 26х^ – 3. 846. При каких значениях т не имеет корней уравнение: а) 2х”^ + 4х^ + т = 0; б) Зх^ – тх^ + 3 = 0? К параграфу 11 847. Решите уравнение: 5 X 20 + а) ^2 б) х“-4 8 х-2 х-2 х + 2 ’ 4 х-3 ’ Дополнительные упражнения к главе 4 227 в) г) 8 х^-Зх-10 х + 10 JC + 2 х-6 ’ х-5 х-4 х^-Зх-4 х + 1 ’ 848. Найдите корни уравнения: а) 7т + 9 Зт + 1 8т+ 3 2т^ – 4т т -4 Зт^-6т ’ б) 5x + 4 6-7х Зх + 1 Зх‘+9х х‘-3х 9-х^ ’ в) 4р + 5 Р + 1 Зр 4р^-1 + р-2р‘ – 2рЧр’ г) 7х-3 4х-1 2х + 1 ~ 2х-3х^ 9х‘-4 2х+3х^ д) 5т+ 4 2 2-7т -8 т-2 т ^+2т+4’ е) 3-2п 1-2п^ 2 л”+1 л + 1 ’ ж) х + 6 2 8x^-1 1+2х + 4х “ 2х-1 “ 1-8х” ’ з) 4 Зт-7 1-6т Зт + 1 ^ 27тЧ1 l-3m + 9m^ 849. При каком значении переменной х сумма дробей х + 2 и х+1 х-2 равна их произведению? 850^. Решите уравнение 10 851. Дана обыкновенная дробь, знаменатель которой на 1 меньше утроенного числителя. Если из нее вычесть другую дробь, числитель которой на 2 меньше числителя, а знаменатель на 4 меньше знаменателя данной дроби, то получится ^. Найдите данную дробь. ^ Уравнение немецкого математика и астронома Региомонтана (1436-1476). 228 Глава 4. Квадратные уравнения 852. Сумма числителя и знаменателя первой обыкновенной дроби равна 10, а второй 18. Числитель второй дроби в 3 раза больше числителя первой. Произведение дробей равно 1^. Най- 3 дите эти дроби. 853. Разность между знаменателем и числителем первой обыкновенной дроби равна 4, а второй 7. Знаменатель первой дроби в 2 раза меньше знаменателя второй. При делении первой 4 дроби на вторую получается ~. Найдите эти дроби. 854. Отправление поезда из города до станции, удаленной от него на 150 км, было задержано на 30 мин. Чтобы прийти в пункт назначения по расписанию, пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию? 855. Поезд должен был пройти 400 км. Когда осталось пройти три четверти этого пути, его задержали на 2,5 ч. Чтобы прийти вовремя, он увеличил скорость на 20 км/ч. Сколько времени, считая задержку, поезд был в пути? 856. Фермер отправился на машине в село, расположенное на расстоянии 60 км от его фермы. Первую четверть пути он проехал на 5 км/ч медленнее, чем предполагал. На оставшемся пути он увеличил скорость на 15 км/ч и на весь путь потратил 1 ч 5 мин. С какой скоростью предполагал ехать фермер? 857. Первый велосипедист проехал 36 км, второй 33 км и третий 35 км. Скорость второго была на 3 км/ч меньше скорости первого и на 1 км/ч больше скорости третьего. Третий велосипедист потратил времени на полчаса больше, чем первый. Сколько времени затратил каждый велосипедист? 858. Автомобиль прошел расстояние от села до города за 5 ч. В обратный путь он отправился с той же скоростью. Однако, проехав 50 км, он снизил скорость на 10 км/ч и поэтому на обратный путь он затратил на 1 ч больше. Какое расстояние от села до города? 859. Из одного города в другой, расстояние до которого 310 км, выехали одновременно два автомобиля. Пройдя 100 км, первый автомобиль увеличил скорость на 20 км/ч и прибыл во второй город вместе со вторым автомобилем. Второй автомобиль ехал Дополнительные упражнения к главе 4 229 все время с постоянной скоростью, которая была на 12 км/ч больше, чем скорость первого автомобиля в начале пути. Найдите скорость первого автомобиля в начале пути. 860. Три автомобиля перевозят грузы между двумя городами, расстояние между которыми 600 км. Первый автомобиль тратит на весь путь на 2,5 ч меньше, чем второй, а третий — на 5 ч больше, чем второй. Найдите скорость второго автомобиля, если скорость первого на 40 км/ч больше скорости третьего. 861. Катер прошел вниз по реке 115 км и вверх 170 км. Во втором случае он затратил на 5 ч больше, чем в первом. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч. 862. Лесорубы отправили по течению реки плот. За ним следом через 5,6 ч отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 36 км. С какой скоростью плыл плот, если моторная лодка шла быстрее плота на 10,5 км/ч? 863. От пристани вниз по реке отправлен плот, который должен был пройти до лесопильного завода 54 км. Плот был в пути 4 ч, когда навстречу ему от лесопильного завода отошел катер, скорость которого в стоячей воде 21 км/ч. Встреча произошла в 36 км от завода. Найдите скорость плота. 864. Туристы взяли напрокат лодку. За 3 ч они поднялись вверх по реке на 12 км и вернулись обратно. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения 2 км/ч? 865. Расстояние от пристани А до пристани Б, расположенной выше по течению реки, катер пройдет за 11,5 ч. Если он не дойдет 100 км до Б и возвратится обратно, то времени затратит столько же, сколько тратит на путь от А до Б. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч. 866. Поставили два забора из стандартных секций. Длина каждого забора 63 м. На первый забор пошло на 3 секции меньше, чем на второй, так как ширина каждой секции первого забора была на 0,5 м больше ширины секции второго забора. Найдите ширину секций, из которых собран каждый забор. 867. Окружность переднего колеса специального велосипеда меньше окружности заднего колеса на 0,6 м. На расстоянии 36 м переднее колесо делает на 5 оборотов больше заднего. Найдите длину окружности каждого колеса. 230 Глава 4. Квадратные уравнения 868. Два маляра могут покрасить стены за 12 ч. Сначала приступил к работе один маляр, и, когда он выполнил половину работы, его сменил второй. Вся работа была выполнена за 25 ч. За сколько часов каждый маляр может один выполнить всю работу? 869. Два фермера вырыли колодец за 24 ч. Сколько часов пришлось бы работать каждому из них отдельно, если одному из них потребовалось бы, чтобы выполнить всю работу, на 20 ч больше, чем другому? 870. Два автомата могут выполнить работу за 6 дней. За сколько дней каждый автомат отдельно выполнит всю работу, если одному из них потребуется на это на 5 дней больше? 871. За 16 дней двумя экскаваторами можно вырыть – траншеи для прокладки труб. За сколько дней выполнил бы эту работу каждый экскаватор, если одному понадобится для этого на 30 дней больше, чем другому? 872. Через две трубы половина бассейна наполнится за 2 ч. За сколько часов каждая труба наполнит бассейн, если одной потребуется на 6 ч больше, чем другой? 873. Две трубы наполнят бассейн на 16 ч быстрее, чем одна первая труба, и на 25 ч быстрее, чем одна вторая. За сколько часов обе трубы наполнят бассейн? 874. Первый теплоход вышел из порта А в порт В на сутки раньше второго теплохода, а пришел в порт В на сутки позже, так как вторую половину пути он шел медленнее на 10 км/ч, чем первую. Сколько суток шел второй теплоход в пункт Б, если, увеличив скорость на 10 км/ч, весь обратный путь он проделал за 6 суток? (Скорость первого и второго теплоходов в момент выхода из порта А одинакова.) 875. В некоторый момент времени часы показывают на 2 минуты меньше, хотя и идут быстрее, чем нужно. Если бы они показывали на 3 минуты меньше, но уходили бы в сутки на по л мину ты больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки уходят эти часы? в науке и практике часто приходится сравнивать два каких-либо числа. Для любых чисел а и Ь выполняется одно и только одно из соотношений: а равно Ь, а меньше Ь, а больше Ь. Результат сравнения чисел записывают в виде числовых равенств или числовых неравенств, используя знаки = , . Вам известно, как сравнить два натуральных числа, две обыкновенные дроби, две десятичные дроби, два отрицательных числа и т. п. В отдельных случаях для сравнения чисел используют некоторые специальные приемы. Приведем примеры. Пример 1. Сравним числа: 8 120 . ^ 4 ^5 5 9 “ 121 ’ “ 7 ’ ~ 36 “ ~ 123 * а) Для сравнения дробей заметим, что первая дробь отлича- 1 1 ^ ется от единицы на -, а вторая — только на . Значит, 8 m 9^ 121′ б) Первая дробь меньше – , а вторая больше – так как ее числитель больше половины знаменателя. Следовательно, 0,47 Ь. Тогда число а изображается на координатной прямой точкой, лежащей правее точки, изображающей число Ь, Это означает, что а = Ъ + с, где с — положительное число, так как передвижение по координатной прямой вправо соответствует прибавлению положительного числа (рис. 38, а). Отсюда по определению разности получим, что а – Ь = с, где с — положительное число. Аналогично можно показать, что если а О б) р Ь, так как (-1)®” > 0; в) а = Ь, так как 3^ + (-3)^ = 0. 876. Сравните числа: 38 11 39 “ 12 ’ г) 3,12 и 3-; б) 7 и д) 17,2(7) и 17,27; 19 “ 29’ е) -5- и -5,(3). §12. Числовые неравенства и неравенства с переменными 233 877. Замените «звездочку» какой-либо цифрой так, чтобы получилось верное двойное неравенство: а) 5,617 -16, * 4 > -16,15; 1*7 ^3 6 8 878. Расположите в порядке возрастания числа -1^; -1,2; 1,14; 1^; -1,5; 1,0(2). 879. Расположите в порядке убывания числа -0,55; 0,16; -^; 0,1(7). 880. Укажите все дроби вида — , где п е N, заключенные между числами: 1 1 а)-и-; б)-и-; в) 0,4 и 0,5. 881. Сравните значения выражений: а) 47,5^- 42,52 и 90; в) 6?| . 64| и 66^; 6,7″ + 1,7″ „ « ,72 , 1 72 . 3,9″ – 1,9″ о 04 , 1 04 б) —- и Ь,7 +1,7 ; г) ———– и 3,9’+1,9 . 0,4 2 882. в 12 ч 15 мин из поселка вышел турист и направился на станцию со скоростью 4,5 км/ч. Спустя 30 мин навстречу ему со станции вышел другой турист, который шел со скоростью 5 км/ч и в 13 ч 45 мин встретился с первым. Место встречи расположено ближе к поселку или к станции? 883. Вкладчик решил положить 3000 р. на полгода в один из двух близлежащих банков. Первый банк выплачивает доход из расчета 28% годовых, а второй ежемесячно дает доход в 2%, причем проценты начисляются со всей накопленной суммы. В какой из банков вкладчику выгоднее положить деньги? 234 Глава 5. Неравенства 884. Два вкладчика решили положить в банк на три месяца по 5000 р. Первый вкладчик положил деньги в банк, вы-плачиваюш;ий доход из расчета 32% годовых. Второй положил деньги в банк, который ежемесячно выплачивает по 2,5% с учетом всей накопленной суммы. Кто из вкладчиков получил больше денег? 885. Сравните числа х и у, если: 8i)x-y = (-2,7V«; 6)х-у=– (-1,116Г. 886. Известно, что а Ь + с. (V книга «Начал» Евклида). ♦> Упражнения для повторения 888. Определяя массу груза а с точностью до 1 кг, получили, что она равна 56 кг. Может ли масса этого груза, измеренная с точностью до 0,1 кг, быть равной: а) 56,4 кг; б) 54,9 кг; в) 56,1 кг; г) 57,2 кг? 889. Укажите наименьшее и наибольшее целые числа, принадлежащие промежутку: .1^ а) -3,5; 2-2 б) [-4; 8); в) (-12; V^]; г) [-л/7; ^/5 -I- 2]. 890. Найдите значение выражения: 27-729. 3® 9^ ’ ®^ 81-243‘ 37. ^ Свойства числовых неравенств Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств. Теорема 1. Если а а; если а > Ъ, то Ъ а. Аналогично доказывается, что если а > Ь, то Ь Ь и Ь > с, то а > с. Доказанное свойство отношения меньше (больше) называется свойством транзитивности (от лат. transitus — «переход», «прохождение»). Можно привести другие примеры отношений, обладаюш;их свойством транзитивности, например: отношение делимости между целыми числами (если а делится на Ь и Ь делится на с, то а делится на с), отношение параллельности между различными прямыми (если а\\Ь и Ь\\с, то а || с). Теорема 3. Если а Ьс. Доказательство. Рассмотрим разность ас-Ьс. Преобразуем ее: ас – Ьс = с(а – Ь). 236 Глава 5. Неравенства Если а О, то ас Ьс. Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления. Итак, доказано следующее свойство неравенств: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Следствие. Если а и Ь — положительные числа и ^ 1 1 а 7 • Доказательство. Разделив обе части неравенства , а Ь а так, чтобы получилось верное неравенство: а) -За . -ЗЬ; в) 5а – 17,6 . 55 – 17,6; б) 4,5 4,5 ’ г) — а + 2 5 + 2 8 894. Зная, что а 6а; в) -За + 7 > -а + 7 ; б) 5а -25? 897. Докажите, что если а > 5 > О, то: а) 26а > 125; б) -1,3а 2, то а^ > 2а; б) если а -5, то > -5а; г) если а Ь, d а, причем а, 5, с и d — положительные числа. Расположите в порядке возрастания 111 1 числа -, -, – и 3 . а Ь с d 900. Выполните почленное сложение неравенств: а) 8 > -1 и 1,5 > 1,3; б) -2,4 12 и 0,3 > 0,2; ^ ^ ^ и 4 Упражнения для повторения -31/ 905. При некоторых значениях х тл. у значение дроби а равно 0,7. Чему равно при тех же значениях x\iy значение дроби 2/^ • 906. Замените «звездочку», если возможно, цифрой так, чтобы было верным утверждение: а) число 76*4 кратно 18; б) число 12 является делителем числа 83*4. 9074 Докажите равенство Уэ + + л/4^ + ^ ^ 5 + 7з 908. Найдите корни уравнения: 8l)x^ + 2x-1 = 0; в) Зх^-2х-1 = 0; б) 2х^-6х + 3 = 0; г) Зх^-^Зх-1 = 0. 38. ^ Оценка значений выражений Рассмотренные свойства неравенств позволяют оценить значение выражения с переменными, если известно, в каких границах заключены значения переменных. Приведем примеры. Пример 1. Зная, что 11,5 О, и записывая результат в виде двойного неравенства, получим: 1,44 – у > -0,5, т. е. -0,5 /l5 – >/l4) (л/15 + yiS) = ГиТЁТЖ) = (Visf – iJIif Vl5 + ^/^4 (Vl5 +Vli) 1 Vl5 + ^Д4’ r— I— _ (л/45 – >/44) (^/45 + ^44) V45 – V44 – 1. + 744) 4б + 1. 244 Глава 5. Неравенства 927. Сравните значения выражений: а) уЦЗ-у/З и Vl2 + 2; в) 5л/2 + 3>/7 и бТб ; б) л/17 + >/7и 3V2 + V6; г) зТ5+7>/2 и 9^fЗ . 928. Докажите, что сумма медиан треугольника больше его полупериметра, но меньше периметра. 929. Зная, что 1,4 Упражнения для повторения 930. При каком натуральном q корни уравнения – 6х + q = 0 являются натуральными числами? 931. При каком целом q корни уравнения х^ 8х q = 0 являются целыми числами? = 37,5; 932. Решите уравнение: , (4х – 1)(х + 3,5) (2х + 1)(х -10,5) —–4—————-2—— (ДС+1Х4Х-1) (4-хУ б) —–J2———3~ – 933. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена: а) – 12JC + 55; б) – За + 7. 934. Найдите пересечение и объединение числовых промежутков: а) (-оо; 6) и (-6; +оо); б) [2; +оо) и [0; +оо). 39. ^ Доказательство неравенств О неравенствах а^ + 4 > о, (а – 5)2 > о, – а2 – 8 0. Нетрудно убедиться, что при значениях а, равных 0; 2; 5-, данное пера- § 12. Числовые неравенства и неравенства с переменными 245 венство верно. Чтобы убедиться в том, что оно верно при любом а, преобразуем трехчлен – а + 1, выделив из него квадрат двучлена: 1 11 а^-а + 1=а^-2 – а + – – – +1 = 2 4 4 1 а — 2 3 + 4′ Выражение iV а — 2, + – при любом а принимает положи-4 тельное значение. Следовательно, при любом а является верным неравенство – а + 1 > 0. Выполнив преобразование, мы, как говорят, доказали неравенство. Для доказательства неравенств используют различные приемы. Один из приемов состоит в том, что рассматривается разность между левой и правой частями неравенства и доказывается, что при любых значениях переменных эта разность сохраняет знак. Пример 1. Докажем, что произведение любых двух чисел не превосходит полусуммы их квадратов. Требуется доказать, что при любых значениях а и Ь верно неравенство аЬ 12х -I- ISy – 120. 246 Глава 5. Неравенства Составим разность левой и правой частей неравенств и преобразуем ее, выделяя квадраты двучленов: + 1/2 – (12х + 18у – 120) = = (д;2 – 12х + 36) + (1/2 – 18у + 81) + 120 – 36 – 81 = = (х- 6)2 + (I/ – 9)2 + 3. Так как (х – 6)2 > 0 при любом х и(у – 9)^ > 0 при любом у, то выражение (х – 6)2 + (г/ – 9)2 + 3 при любых значениях х и у принимает положительное значение. Значит, при любых х и у верно неравенство + 1/2 > 12х + 18у – 120. Пример 3. Докажем, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов. Пусть а и Ь — произвольные положительные числа. Требуется доказать, что ^3 , .3 а -\-о Составим разность левой и правой частей неравенства и преобразуем ее: а + & ^ 2 ) 2 а” + За”& + Заб’ + – 4а” – За”& + За&” – За” – 3&” 8 8 3а”(б-а)-3&”(&-а) (&-а)(За”-3&”) 3(а-&)^(а + б) 8 “ 8 “ 8 * При а > о, Ь > о составленная разность равна отрицательному числу или нулю. Значит, при а > 0, Ь > 0 рассматриваемое неравенство верно. Еще один прием доказательства неравенств состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство следует из некоторых других неравенств, справедливость которых легко устанавливается. Пример 4. Докажем неравенство > аЬ + ас + Ъс. Для того чтобы установить, что неравенство верно при любых значениях а, Ь и с, покажем, что оно следует из очевидных § 12. Числовые неравенства и неравенства с переменными 247 неравенств. В качестве таких очевидных неравенств возьмем неравенства: > 2аЬ, > 2ас, + > 2Ьс. Применив к ним теорему о почленном сложении неравенств, получим: + + а^ + с^ + Ь^-\- > 2аЬ + 2ас + 2Ьс. Отсюда 2а^ + 2Ь^ + 2с^ > 2аЬ + 2ас + 2Ьс, т. е. > аЬ + ас + Ьс. Неравенство доказано. Пример 5. Докажем, что если а > О, Ь > О, с > О, то (а+&+с) ^- + i + -l>9 а Ь с Преобразуем левую часть неравенства: (а + & + с)- 1 1 1 – + – + -а Ь с (а + & + с)(&с + ас + а&) аЬс *’ ”У аЬс + Ь^с + Ьс^ + а^с + аЬс + ас^ + а^Ь + + аЬс аЬс . Ь с а = 1 + – + -+ -4 а а Ь Нетрудно проверить, что при указанных значениях переменных верны неравенства а Ь ^ а с ^ Ь с – + – > 2, – +- > 2, – +- > 2. Ь а с а с Ь ^ ^ ^ л г. (а (а с) ( Ь с\ – + – +1= 3 + Ь с с [Ь а) + С а \ J + – +- 1 Значит, (1 1 1) (1 1 1Л (а + Ь +с) – +- +-[а Ь с) ^ 3 И” 2 -1- 2 -1- 2, т. е. (а -1- Ь -1- с) – +- +- > 9. Неравенство доказано. Пример 6. Докажем неравенство yl(a+c)(b-\-d) > 4аЬ -h yfcd при а > О, Ь > О, с > О, d > 0. 248 Глава 5. Неравенства Применить прием, использованный в предыдущем примере, здесь не удастся, поэтому поступим иначе. Воспользуемся тем, что при указанных значениях переменных левая и правая части неравенства являются положительными числами, и покажем, что неравенство того же смысла выполняется для их квадратов, т. е. докажем, что (V(a+c)(b+d)f > + ylTdf при а > о, b > о, с > о, d > 0. Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: (7(a + c)(b-i-d))^ – (^/^ + yfed) . Так как выражения yJ(a-\-c)(b-\-d) и yfab + yfed принимают положительные значения при указанных значениях переменных, то можно сделать вывод, что yJ(a-\-c)(b-\-d) > у[аЬ + yfed при а > О, Ь > О, с > О, d > О, т. е. неравенство доказано. 935. Из данных неравенств выберите те, которые верны при любых значениях а: а) 15а2 -h 4 > 0; в) -а^ – 2 0; г) (-af -h > 0. 936. Докажите неравенство: а) (Зх – 1) (2х – 2) > х(6х- 8); б) (ЗЬ – 4) (2Ь -h 8) с (с – 8). § 12. Числовые неравенства и неравенства с переменными 249 937. Верно ли при любом значении х неравенство: а) (6jc – 1) (jc + 1) > (2х + 3) (Зх – 2); б) (5 – 2х)(3 + х) (jc + 8) (jc – 18); г) (12 – х)(х + 12) > Зх(6 – JC) + 2х(х – 9)? 938. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) – 6л: + 15 > 0; в) у^> Ау – 5; б) – 8а + 19 > 0; г) 85 – 18 0; в) 4i/2 > 4у – 12; б) 4а^ + 4аЬ + 35^ > 0; г) 9л:^ > Qxy – 7у^. 940. Докажите неравенство: , (3a-2f „ а) – + 2а > 0; О а^+3 а в) 4 2 > 0; 6) + 5. > 0, ^ (6-6)” 6 ‘■> 10 + 5 ^ ®- 941. Докажите неравенство: а) х^ 18х – 6у 100 > 0; б) а^-\-Ь^-\-20-2а + 2Ь > 0; в) 4х^ + > 4х – 2а – 28; г) 9Ь^ -h 4с2 -h 2 > 6Ь – 4с. 942. Впишите вместо многоточия какое-либо число так, чтобы полученное неравенство было верно при любых значениях а и Ь: а) – 8а – 16Ь -I- . > 0; б) – 4а- 4Ь + . > 0; в) 4а^+ Ь^-\- 12а – 4Ь. > 0; г) 9а^ -h 16^2 – 6а – 8Ь -h . > 0. 943. Докажите неравенство: а) х^ -I- 4у^ – 4ху 2х – 4у 3 > 0; б) 2х^ + у^ – 2ху – 4х + 4у + Ъ> в) х^‘ – 4ху -h Ъу^ + 2у + 2> г) Ъх^ -I- 4ху + у^ + 4х + 3 > 0. 250 Глава 5. Неравенства 944. Докажите, что: Ь-1 а) если Ь > 5, то —^ – 2 > 0; х + З б) если JC > 7, то 4 945. Докажите, что: 4 при а > 0; б) ~ > 6 – у при у > 3. 946. Докажите, что если а > О и Ь > О, то: а) ТУ+”Т^“+г; б) — + — >а + Ь. ‘ а ‘ Ъ а 947. Докажите, что сумма двух положительных взаимно обратных чисел не меньше 2. 948. Докажите неравенство: 1 а Ь а) ^ >2 при а Ф 0; б)- + ->2 при аЬ > 0. 949. Докажите, что во всяком треугольнике полу периметр больше каждой из сторон. 950. Докажите, что если а, Ь, с — стороны треугольника, то О, Ь > О, то: 952. Докажите, что при любых о, Ь и с: а) а^+Ь^ + с^> 2(а + Ь +с)- 3; б) (а + Ь + сУ > 3аЬ + Ьс + ас. 953. Докажите, что при а > О и Ь > О верно неравенство: ч I— гг ^ I г / а^ + Ь^ а + ь а) yja + у1Ь > yja+b; б) 2 ‘ 954. Докажите, что если а > О и Ь > О, то: б) (а + Ь)^1Ш>2аЬ. §12. Числовые неравенства и неравенства с переменными 251 955. Пользуясь соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите неравенство: а) (а -h Ъ)(Ъ -h с)(а + с) > 8аЬс при а > О, Ь > О, с > 0; б) (а -h 1)(Ь -h 1) > 4^[аЬ при а > О, Ь > 0; в) у[аЬ + у[Ьс + у[ас О, Ь > О, с > 0; г) ^(a+b)(c+d) О, Ь > О, с > О, d >0. 956. Зная, что а > О, Ь > О, а Ь). 958. Расстояние между пунктами А и В равно 54 км. Мотоциклист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из А в Б и обратно, чтобы вернуться в пункт А к намеченному сроку. Однако из А в Б он ехал со скоростью на 1 км/ч меньшей, а воз-врапцался со скоростью на 1 км/ч больше, чем планировал. Докажите, что он не успел вернуться в А к намеченному сроку. 959. Одна группа туристов проехала 16 км по озеру, а другая проехала 8 км по течению реки и 8 км против течения реки. Скорость течения реки 2 км/ч. Какая из групп затратила на весь путь больше времени, если известно, что они использовали моторные лодки, имеющие одинаковую собственную скорость? ♦> Упражнения для повторения 960. Найдите пересечение числовых промежутков: а) (-оо; 4,8) и (-оо; 4); в) (-оо; 6,5) и (3; +оо); б) (7,2; +оо) и (7,7; +оо); г) (-оо; -9) и (-8; +оо). 961. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает остаток 3, а при делении на 3 — остаток 2. 252 Глава 5. Неравенства 962. Постройте график функции: а) I/ = 0,5х – 3; б) у = -0,5х + 1. 963. Решите уравнение: (Зх-2)(х + 1) а) – x(x + ll) = 0,4 ; (6x-2)(x + 0,5) , ^ ^ б) ——-i-(x + l)(jc + 0,5) = l. 6 ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сравните числа а и Ь, если разность а – Ь равна – 27; 3,2; 0. Сформулируйте определение, которое было использовано при сравнении чисел. 2. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства числовых неравенств, и докажите их. 3. Разъясните на примере, как оценить сумму, разность, произведение и частное чисел а и Ь, если 8 (Зх + 6)(х – 1). Разъясните, в чем состоит примененный вами прием доказательства неравенства. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМ_________________ Решение неравенств с одной переменной Задача. Туристы выехали на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке. Скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, чтобы прогулка продолжалась менее 3 ч? Пусть расстояние, на которое могут отъехать туристы, равно X км. Так как скорость лодки по течению реки равна 18 км/ч, а скорость лодки против течения реки равна 12 км/ч, то X на путь по течению реки туристы затратят — ч, а на путь 1о против течения — Всего в пути туристы будут находиться § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 253 — + — часов. По условию прогулка должна продолжаться 12 менее 3 ч. Значит, ^ ^ ^ 18 12 Неравенство — +7^ 5jc -f 4 > jc + 1 — множество, состоящее из всех чисел, кроме 3. Для неравенств с одной переменной справедливы свойства, аналогичные свойствам уравнений с одной переменной. Из данного неравенства получается равносильное ему неравенство, если: 1) из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком; 254 Глава 5. Неравенства 2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число; обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный; 3) в какой-либо части неравенства или в обеих его частях выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения неравенства. Первые два свойства можно доказать, используя свойства числовых неравенств. Третье свойство вытекает из того, что в результате тождественного преобразования получается выражение, значение которого совпадает со значением исходного выражения при всех допустимых значениях переменных. Заметим, что требование сохранения области определения неравенства является существенным. Так, например, если в неравенстве 3:с -I- — – — > -6 заменить нулем разность ^ , то получится неравенство 3:с > -6, которое не равно- сильно данному. Действительно, число О является решением второго, но не является решением первого, так как при х = О левая часть первого неравенства не имеет смысла. Рассмотрим примеры решения неравенств. Начнем с простейших неравенств вида ах > Ь и ах 4; б) -18:с > 5,4. Заменим каждое из неравенств равносильным ему неравенством вида X > а или х 20. Множеством решений этого неравенства является числовой промежуток (20; Н-оо) (рис. 41). Ответ можно записать как в виде промежутка (20; +оо), так и в виде неравенства, задающего этот промежуток. 20 Рис. 41 § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 255 1111111111111111111111111111111111111111111ШШ -0,3 Рис. 42 б) Разделим обе части неравенства на отрицательное число -18, изменив при этом знак неравенства на противоположный. Получим: X Ь, где Ь — некоторое число. Неравенство такого вида либо не имеет решений, либо решением неравенства является любое число. Пример 2. Решим неравенство: а) Ох Ъ или ах -27; г) -0,2:с ^ ^; ж) Ojc 2; в) -X > 1; е) Ох > -4; и) (^/3 – 2)х 1; д) 0,6х + 2 > 6 – х; б) 2 – 7jc 2 + 1,5х; г) 2 – 0,8jc >4; з) 2 – 3jc 0; в) у а; в) 3(2у – 5) -h 2(3у – 5) 0,2; е) 0,6(2jc -hi) – 0,4(3jc -h 2) > 1. 972. Решите неравенство: а) Зх(2х -1)-6х^> 2- х; б) 121/2 – (Зу + 4)41/ >у-10; в) (1 + Зх) (Зх – 1)> 6х-\- 9х^; г) (4х – 3) (3 -h 4jc) -h JC 5(0,2у – 1); в) (2х + 1)» – 4х2(2х + 3) > (0,2 + х) (х – 0,2) – х(х – 2); г) (4у2 + 1 + 2у) (2у – 1) – 2i/(4i/2 + 3) 39. 975. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству: а) 0,3(6 – х) – 0,5(1 – 2х) > 11; б) 0,8(1 – 4х) + 0,5(2 + 6х) 5 и X > ^ ; б) 5®х -J; О в) Ьх > 8 Зх и X > г) 2Ьх – 4 8 6-3’ 4 2Ь-3 977. При каких значениях а множеством решений неравенства: а) 0,3jc – 6 1,8а + X является числовой промежуток (6; +оо)? 978. Решите относительно х неравенство: а) (т + 1)х – 4 0; б) (2 + т)х + 6 1; ^ 0,3х ^ ^ ^ 12-0,2х 11-0,Зх б) ^ > 1,5; г) 5, > -7; е) 2 2; 12 ^ > 1. 8^3’ 2 0,3а ОЛу-1 -(0,1х-1) -г — > 12 4 * 984. Решите неравенство и покажите множество его решений на координатной прямой: ina_9v v_inzi 0; 15 б) 5-Зх 2х + 2. 985. При каких значениях а: ^ ^ „ 0,3-0,2а 0,1а-1,5 а) сумма дробей ——— и ——— меньше 5; о 12 0,6а-1 3 + 0,05а б) разность дробей —-— и ————- больше 6? 986. Решите неравенство: 8-Зх а) – X 0; б) X > 4 + в) 7 1. 260 Глава 5. Неравенства 987. Решите неравенство: V л ^ 3-х 1,3 + 1,1х а) 0,6х + —^ > 2 0,5х-1 ^ Зх б) 2 “ ^ ——-+ — 3 2 г* 2х – 1 . X I „ X € Z, ——–+ 1 7 3 3 991. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение: а) >/0,6х – 1; в) yj2x -н (х – 1)^; б) V2 – 0,8х; г) ^2х – (х + If ? 992. Найдите область допустимых значений переменной в выражении: , >/2х – 3,2 , 5 – 2x 2х-5 б) – 4х + 3. >/3 – 2х ’ г) 1 – six-2 3 – X § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 261 993. Найдите все значения р, при которых квадратное уравнение Зх^ – 2х р = 0: а) не имеет корней; б) имеет два различных корня; в) имеет решение. 994. При каких значениях параметра а уравнение (а – 2)х^ — 4jc – 5 = О не имеет корней? 995. При каких значениях параметра Ь уравнение (Ь -h 2jc -h 1 = О имеет два различных корня? 996. Решите относительно х уравнение и найдите, при каких значениях т корень уравнения является отрицательным числом: а) 0,2(jc – 3m) -h l,3(jc -h 2m) = 14; б) 0,6(3m – 2x) – 0,5(8m + x) = m + 13. 997. В один резервуар налито 70 л воды, а в другом — 150 л. В первый резервуар в минуту вливается по 6 л, а из второго в минуту выливается по 10 л. В какие моменты времени в первом резервуаре будет меньше воды, чем во втором? 998. Из пункта А в пункт В отправился велосипедист со скоростью 15 км/ч. Спустя 30 мин навстречу ему из пункта В выехал другой велосипедист. С какой скоростью должен ехать второй велосипедист, чтобы встретиться с первым через 2 ч 30 мин после своего выезда в точке, расположенной ближе к пункту А? 999. Зная, что сумма углов выпуклого л-угольника равна 180°(/1 – 2), найдите наименьшее число сторон, начиная с которого эта сумма больше 1000°. 1000. Зная, что угол правильного /г-угольника равен 180°(п-2) ——–, найдите наименьшее число сторон, начиная с которого этот угол больше 150°. 1001. Одна ремонтная мастерская берет по 37 р. за каждую облицовочную плитку и еще 1840 р. за работу, а другая берет по 43 р. за плитку и 1460 р. за работу. Укажите наименьшее число плиток, при котором выгоднее сделать заказ в первой мастерской, чем во второй. 262 Глава 5. Неравенства 1002. При каком значении с уравнение – 4(3с -1)х + 1 — 6с = О имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) положительный и отрицательный корни? ♦> Упражнения для повторения 1003. Укажите все целые числа, принадлежащие множеству А П Б, если: а) А = (-оо; 1,5), Б = (-3,2; +оо); б) А = (-оо; 0), Б = (-2,3; +00). 1004. Укажите все дроби вида —, где п g N, которые принадлежат промежутку [0,1; 0,2]. 1005. При делении на 7 одно число дает остаток 2, а другое — остаток 6. Какой остаток получится при делении на 7 произведения этих чисел? 1006. Найдите частное и остаток от деления квадратного трехчлена х – 8 на двучлен х – 5. 41. ^ Решение систем неравенств с одной переменной Пусть даны линейные функции, заданные формулами у = -X 1 и у = -2х + 4, и требуется найти множество значений X, при которых обе функции принимают положительные значения. Для этого надо найти множество общих решений неравенств ^:с-1-1>0и-2л:-1-4>0. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Определение. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы. Решить систему неравенств — значит найти множество ее решений. Иначе говоря, решить систему неравенств — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Множеством § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 263 решении системы является пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему. В записи для обозначения системы неравенств используют фигурную скобку. Вернемся к задаче, поставленной в начале пункта. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, надо решить систему неравенств Jix + 1>0, [ -2х + 4 > 0. Заменяя последовательно каждое неравенство равносильным ему неравенством, получим: -X > -1, X > -3, х -4; Общими решениями неравенств jc > -3 и jc 17. Пример 1. Решим систему неравенств 13 _ ^ 29, |jc>5,8, -X 3. 264 Глава 5. Неравенства Рис. 44 Решениями системы служат значения х, большие 5,8 (большего из чисел 5,8 и 3), т. е. удовлетворяющие условию х > 5,8. Значит, множеством решений системы является числовой промежуток (5,8; -1-00). Геометрическая иллюстрация этого вывода дана на рисунке 45. Ответ можно записать в виде числового промежутка (5,8; -1-оо) или в виде неравенства х > 5,8, которое задает этот промежуток. Пример 2. Решим систему неравенств -X -2 -1. Имеем: X 1, l2-l,5jc >5. Имеем: 0,2х >1,6, -1,5х > 3; X >8, X 8 и -5. Решая ее, найдем, что т. е. Jx>-0,5 |л: 2jc > -1, ^ X ^ Оуб. Множеством решений заданного двойного неравенства является числовой промежуток (-0,5; 5,5). 1007. Является ли решением системы неравенств j3-2x з|. X > 3,2; в) |0,2х > 0, |бл: -5, jc>6; х 5, е) |бх лс, 0,7лс 4х, Зл: 3-jc, [6+4x 2+6x; j6(2-x)-3(4x+l)>0, |l-2(6x-l)>3; r) l,2(jc-5)-0,2(3+x)>8, 2,5(4x-2)-x>4; д) 3) 0,3jc +1 1,3jc -1; fl,9jc – 0,4 > 1,7jc – 0,1, |6,8x + 2,3 x^ [6-2x>0; (x-4)(x+6) 2(3-x)+4x, 6(дг -1)+2(3 – х) > дг; 12(2-х) + х(4 + х) -(6x-lf; J(2x-l)(x+2)>2x^ |(0,2x-3f 6 + (х +1), |0,6(х-1)>0,5х(3 + х). 268 Глава 5. Неравенства 1014. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, которые являются ее решениями: а) JO,5(2-x)>0,2, в) J0,7(x-1) 0; |5(1 + 0,6л:) 0; г) 1015. Найдите целые решения системы неравенств: [(дс + З)* >jc^(x + 9), 37-12Х >0; (4-xf-x='(12-x) 0. 1016. Замените а каким-либо числом так, чтобы множество |3х>41,7, целых чисел, удовлетворяющих системе |2х-а 0,4, [2jc-a 0,5jc-8, 6jc-l>a + 2? 1018. При каких значениях Ь имеет решения система неравенств: f0,5(x-2)>0,4, [12 +Зл: 0; в) |0,5л:-1,5 0; г) а) 2х – Ь Ь-1,7? 1019. Решите систему неравенств: X X ^ \х-4 2х — 0; 3«/ . 4 в) г) X- 1 – X—– 1; в) 0,Зх+1 -х 2, 3– 0, а) ^-^ 0; б) — -1> Ху 4 3-х >0; г) 5-^>0, 4 Зх-4 >-1. 1022. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств: [5 + х а) -2х —–х; 4 3^ ^ 6 в) X – 3 1 ч ——х —+ —х; 6 3 б) х-8 1, .4 ^ ——-(х -1) —–; г) х + 6 х-1 Зх-2 X———–>- 2х>3- 5 4 х-8 20 1023. При каких значениях а решение системы уравнений \Зх + у = а-4, \х-у=а-1 удовлетворяет условию: х 0? 270 Глава 5. Неравенства 1024. При каких значениях Ь решение системы уравнений jx-2j/ = 2& + l, [6j/-x = 8& + 3 удовлетворяет условию: х > 0, у 6jc-22; л 1 1 1 0 3(л:-2); -3,5 2х+5. § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 271 1031. Решите систему неравенств: а) jc>28, У 1. jc>32, б) г/ 5, г) – jc>ll; У 0,5, а) 4х 6, в) ■ 5jc>-1,5; 2х + 3>1; Ь 0. Зх-8>х-4у 3-2х>4-х, 5-х>1-Зх. 6-2jc>4,5(2jc-1) + 2, |(,,6)>2,. х-0,4 >0,5; в) (6х -1) (X+2) – бл:^ 2(Зх-4); б) 15-6(3x-l)>0,5(4x-2), |(2х+1) 0; г) х+4^х-1 X “3“^“4~ 2’ Зх>1-0,5(1-4х), 1,5(х-2)>х-1. 1034. При каких значениях а не имеет решений система неравенств: а) б) Зх-1 0, 3х + 4 0, 3>2х-4, 5(х+3) 3х, 4х-5 о + 3? 1035. Если к некоторому натуральному числу прибавить его половину, то сумма будет больше 29, а если из этого числа вычесть его треть, то разность будет меньше 14. Найдите это натуральное число. 272 Глава 5. Неравенства 1036. Представьте число 75 в виде суммы двух натуральных чисел так, чтобы половина первого была меньше 29, а второе было бы меньше ^ первого. о 1037. Длина основания равнобедренного треугольника равна 36 см, а его периметр меньше 80 см. Какую длину может иметь боковая сторона треугольника? 1038. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 18 см, а его периметр больше 65 см. Какую длину может иметь основание треугольника? 1039. Из пунктов А и Б, расстояние между которыми 384 км, выехали одновременно навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, причем скорость товарного была на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Через 3 ч поезда еще не встретились, а через 4 ч оказалось, что встреча уже произошла и оба поезда, миновав место встречи, продолжают движение. Какой может быть скорость товарного поезда? ♦> Упражнения для повторения 1040. Докажите, что: 2 — JC а) – 1 0; б) а-2 а-1 > о при а > 4. 1041. Функция задана формулой у = 0,7х – 1. Найдите значение у при X, равном -1,5; 0; 1,5. При каком х значение у равно 0; 2; 1000? 1042. Какие остатки могут получиться при делении квадрата натурального числа на 9? 42. ^ Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля Рассмотрим приемы решения простейших неравенств с переменной под знаком модуля. Простейшие неравенства вида |:с – а| Ь, где а и Ь — некоторые числа, причем 5 > 0, можно решать, используя геометрические представления. Как известно, расстояние §13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 273 ^IllllllllllllllllllllllHllllllllllllllllllllllllj, ^ I I ^ ^ \х- а\ 3. Запишем неравенство в виде |:с-(-1)| > Зи вновь воспользуемся геометрическим смыслом модуля. На координатной прямой от точки -1 на 3 единицы удалены точки -4 и 2 (рис. 50). Точки координатной прямой, удаленные от точки -1 на расстояние, не меньше чем на 3 единицы, лежат на одном из числовых лучей: либо на числовом луче (-оо; -4], либо на луче [2; -\-оо), а решением неравенства служит объединение этих числовых промежутков: (-оо; -4] U [2; Н-оо). Основной прием решения неравенств с переменной под знаком модуля состоит в том, чтобы, используя определение и свойства модуля, освободиться от знака модуля, заменяя неравенство равносильным ему неравенством, системой неравенств или совокупностью неравенств. +5 JJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIjlllllllllllllH^ -4 Рис. 49 тишн^ -4 -1 Рис. 50 274 Глава 5. Неравенства Рассмотрим неравенства вида \f(x)\ Ь, где Ь — некоторое число. Если Ь Ь верно при любом значении х, т. е. его решением является числовая прямая (-оо; +оо). Если Ь > О, то неравенство \f(x)\ -Ь, т. е. двойному неравенству -Ъ Ь равносильно совокупности неравенств /(jt) ~Ь и fix) > Ь. Это обусловлено тем, что при Ь > О модуль, меньше, чем Ь, имеют числа, принадлежащие интервалу (~Ь; Ь), а модуль, больше чем Ь, имеют числа, находящиеся вне этого промежутка. И, наконец, если Ь = О, то неравенство \f(x)\ Ъ верно для любых значений х, для которых f 6. Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств – 5jc 6. Решением первого неравенства является интервал (2; 3), решением второго — объединение двух открытых числовых лучей (-оо; -1) и (6; +оо), а решением исходного неравенства — объединение всех трех промежутков: (-оо; -1) и (2; 3) U (6; +оо). Заметим, что при решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, иногда бывает полезным воспользоваться некоторыми свойствами модуля. Например, для любого действительного значения переменной а справедливо равенство \а\ = |-а|, поскольку расстояние от точки с координатой а на координатной прямой до начала координат равно расстоянию от точки с координатой -а до начала отсчета (эти точки симметричны относительно начала координат и, следовательно, равноудалены от центра симметрии). Из этого свойства следует, что \х – а\ = \а – х\. 1043. Найдите, при каких значениях х расстояние между точками А(х) и Б(8): а) меньше 4; в) не меньше 1; б) больше 3; г) не больше 5. § 13. Решение неравенств с одной переменной и их систем 275 1044. Используя геометрический смысл модуля, решите неравенство: а) |л:-7| 1; б) |л: + 5| > 6; д) |х + 17] -1. 1045. Найдите множество значений а, при которых для любых значениях х верно неравенство: а) |2 – л:| > 2а – 1; б) |7,2 -I- х| > 1,5 – Зо. 1046. При каких значениях а для любых значений х не имеет решения неравенство: а) |лс -Ь 1| 3,4; б) |12х – 1| > 17; б) 123 – jc| 2, [|3,5 – 2л:| 1. 1051. Решите неравенство: а) |х2 -Ы| > 2; б) |jc2 – 2л:| 0. 276 Глава 5. Неравенства ♦> Упражнения для повторения 1054. Из пункта А в пункт Б, находящийся на расстоянии 110 км от пункта А, выехал автомобиль. Через 0,2 ч после этого вслед за ним выехал мотоциклист, который, догнав автомобиль, немедленно повернул обратно. Двигаясь в обратном направлении с той же скоростью, мотоциклист возвратился в пункт А в тот момент, когда автомобиль прибыл в пункт В. Найдите скорость автомобиля, если скорость мотоцикла была равна 60 км/ч? 1055. Какая из двух дробей ближе расположена к единице: правильная – или неправильная —, где 0 Контрольные вопросы и задания 1. Что называется решением неравенства с одной переменной? Является ли решением неравенства 2:с – 3 > 4 число 5; число 3? Что значит решить неравенство? 2. Какое неравенство называется линейным неравенством с одной переменной? Решите неравенство: > 4; -2х > 6; 0 • > -2; о • JC Ъу где Ъ — положительное число. Дополнительные упражнения к главе 5 277 ♦> Дополнительные упражнения к главе 5 К параграфу 12 1057. Сравните значения выражений: 7з^ и 1 + ^; б) и 1 + /30 . 1058. Сравните значения выражений: а) /5+/15и/20; в)/2+/7и/П; б) /5+/Зи/б+/2; г)/3+/Т0и/Т5. 1059. Докажите неравенство: а) 3/3 + 2/2 2/6 + /2 ; в) /б + 2 О является отрицательным числом значение выражения: а-1 а +1 ^ (а^ +1 2 1 Л а -1 д +1 V а-1 J -1 +1 у 1062. Докажите, что при любом а > 1 является положительным числом значение выражения: + 4а+4 а-3 а-1 а-а^ 1063. Докажите, что если 0 0; б) (4х – 1)(4jc + 1) – 16(л: – 8) > 0; в) – блс + 18 > х(х – 2)(х + 1); г) х%х – 4) – х(х + 6)(лс – 6) > -68. 278 Глава 5. Неравенства 1065. Докажите неравенство, используя выделение квадрата двучлена: а) – JC + 3 > 0; в) – аЬ > 0; б) а2 + аЬ + 0; г) у^- 0,6у + 0,11 > 0. 1066. Докажите, что из всех прямоугольников, периметр которых равен 80 см, наименьшую площадь имеет квадрат. 1067. Моторная лодка прошла в первый день некоторое расстояние по реке и вернулась обратно. Во второй день она прошла такое же расстояние по другой реке и вернулась обратно. Скорость течения первой реки км/ч, а второй — Vz км/ч, причем 2(а + Ь) – 2; б) – аЬ>–; в) + с^>2а(Ь + с) – а^; 1 2 ’ ^ (a-\-bf а-\-Ь г) 8 ‘ 2 д) – 4а + 12 > 45 – Ъ\ 1070. Докажите, что при положительных значениях переменных верно неравенство: а) , гЛ а о ■>4аЬ • аЬ[а + 5) + ас[а + с) + Ьс 6. аЬс 1071. Докажите, что при а > 0 и 5 > 0 верно неравенство: (i * I) =* 2; в) а у/ь + Ь у[а 8 yfabc при а > О, Ь > О, с > 0; б) (а + 1) (Ь + 1) (а + с) (с + Ь) > 16 аЬс при а > О, Ь > О, с > 0. 1073. Докажите, что если а + Ь + с = 1,а>0, Ь>0, с>0, то VioTT + yJW+T + V4c+T х-~; X – 8 2х- 1 г) ;—-0,5х. 280 Глава 5. Неравенства 1076. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство: а) 12 – |(15 – 2) 0; в) 20 3х. 1080. Найдите множество отрицательных решений системы неравенств: (х-0,2 х + 0,4 а) б) –КО, 2 4 л:-4? 1090. Укажите какие-либо значения а и Ь, при которых \Ъх -Ъ >4, множеством решений системы ]_ 2 д;+а; б) 6х-2 „ 1+2лс 0,2(л:-1)>л:-|, 6(2jc-l)>3jc+a? 1094. При каких значениях а имеет смысл выражение: ■^“3 “ 2и а) /1,2а + 6 \ а ’ б) ■ – V 7″ ? ‘ а + 4 1095. Укажите множество допустимых значений х в выражении: а)^1-|2д:-3| ; в) 715-|Зд:-6| ; б) ^4-|Зл:-4| г) ^2-|1-5х| х-1 Дополнительные упражнения к главе 5 283 1096. Если из половины некоторого натурального числа вы- 2 честь его треть, то разность будет меньше 6, а если к – этого числа прибавить – его часть, то сумма будет больше 26. Найди-те это натуральное число. 1097. Из пункта А вышел пешеход. Одновременно вслед ему из пункта Б, удаленного от А на 45 км, выехал велосипедист, скорость которого в 3,5 раза больше скорости пешехода. Через 3 ч велосипедист еще не догнал пешехода, а через 4 ч оказалось, что он уже перегнал пешехода. Какой могла быть скорость пешехода? 1098. Решите неравенство: а) \х-2\ 1; г) _ ^1 > 0,2. 1099. Найдите все целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству 1,5 п, (2) (дт)п ^ (3) (аЬУ = (4) На эти свойства для нулевого показателя накладывается ограничение на основание степени а, т. е. а 0. Кроме того, при изучении дробей было доказано свойство: :?]■= где а и Ь — любые числа, причем Ъ ^ 0, п е N. § 14. Степень с целым показателем и ее свойства 285 Введем теперь понятие степени с целым отрицательным показателем. При этом новое определение должно быть таким, чтобы свойства степени с натуральным и нулевым показателем сохранили силу и для степеней с целым отрицательным показателем. Рассмотрим выражение 2^ : 2\ К этому частному мы не можем применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями, так как это правило согласно свойству а”” : а” = а”” ” имеет место, когда т > п. Если это правило распространить на случай, когда m 7 > 7 > 7 , 1, 2, 4, 8, 16 В виде последовательно- 10 о 4 Z сти степеней с основанием 2; б) 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 в виде последовательности степеней с основанием 10. 1105. Замените числа, входящие в последовательность 5-“, 5-2, 5-2, Ъ \ 5° • 2-\ 5 • 2-2, 52 • 2~\ • 2 \ десятичными дробями. 1106. Найдите значение выражения: а) 7-2; в) (-2Г; д) Ж) (-1)-1»; и) 1,5-2; б) 8-2; г) (-2)-2; е) R ’ 3) (-l)-^2; к) 2,5-2. 1107. Вычислите: а) -3-“; в) -(-5)-2; д) 2~^ + 3-‘; ж) 3 2 + 3 2; б) (-2)-“; г) -(-2)-2; е) 2 2 – З ^; з) 5 2 – 4 2. 1108. Найдите значение выражения: а) 7 • 5-2+ 12 • 10-2; в) 7 • 6 2- 4 • б) 5 • 3-2- 6 • 9-2; г) + 14 § 14. Степень с целым показателем и ее свойства 287 1109. Докажите, что при любом целом п\ а) если а > о, то а” > 0; б) если а о при четном /г и а” а “, если: a)a>lH/i6iV; б)0 Упражнения для повторения 1114. Найдите значение выражения: а + а + 5 а + 6 Ъ – а при а = 0,18, Ъ = 0,37. 1115. Постройте в одной системе координат графики функций у = VL у = 1. Найдите координаты точек пересечения этих графиков. 1116. Одна сторона прямоугольника на 6 см больше другой его стороны. Если большую сторону уменьшить в 2 раза. 288 Глава 6. Степень с целым показателем а меньшую увеличить на 2 см, то периметр нового прямоугольника уменьшится на 6 см. Найдите стороны данного прямоугольника. 44. ^ Свойства степени с целым показателем Сформулируем и докажем свойства степени с целым показателем. Для любого а ^ О и целых тип выполняются тождества: а^а’^ = (1) am : ап = а^-п^ (2) (дт)п = дтп (3) Для любых ат^^ОиЬ^Ои любого целого п выполняются тождества: (аЬУ = (4) а” (5) Их доказательство опирается на определение степени с целым отрицательным показателем, на свойства степени с натуральным и нулевым показателем, правила умножения и деления дробей и основное свойство дроби. Чтобы доказать, например, свойство (1), нужно рассмотреть три случая: 1) т > О и п > 0; 2) т > О и п О, п I /II, то имеем: а а* а” = : а* = а’””* = + Если т 0 и -/г > 0, получим: 1 111 л л — _-т _-п -т -п ——— _ ^т+л -(т + п) — Ь*« • Проведем доказательство свойства (2). Пусть а ч>^ о, m и /I — любые целые числа, а!^ \ а!” – а^. Тогда по определению частного: = aJ^. Согласно тождеству (1) имеем: + ” = aJ^. Отсюда хЛ-п = туХ-т-п. Значит, : а’^ = а'”””. Докажем свойство (4). Пусть а^ОуЬ^Оип — целое отрицательное число. Значит, -п — целое положительное число. Имеем: (аЬТ = —— = J- . J- = а^Ь”. _“Л |.~л а о а о (аЬ) ” а Ь ” а Аналогично можно доказать свойства (3) и (5). Таким образом, действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями. При этом при делении степеней с отрицательными основаниями снимается ограничение, согласно которому показатель степени делимого должен быть не меньше показателя степени делителя (т. е. теперь показатели степеней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами). 290 Глава 6. Степень с целым показателем Пример 1. Представим в виде степени выражение х Применив свойство (1), получим: Пример 2. Найдем значение выражения (5 О ® Применив свойство (3) и определение степени с отрицательным показателем, получим: (5-*)-« : = 5« : (5-‘)-» = 5« : 5* = 5^ = 125. Пример 3. Докажем, что значение выражения при любом а, отличном от нуля, является отрицательным числом. Применяя свойства степени, получим: (-8а-у ■■ т ^ = (~2^аУ : (-2-V)-® = = -2^a-l2 : (2’V») = -2~^а^ = Степень а® при любом а ^ О — положительное число. 1 ^ Следовательно, -~а® 1; б) О • (9-2)3; б) (81-2)-» • 272; г) (27-2)”. (з^з^г 1124. Представьте число Зз® в виде степени с основанием: а) 9; 6)27; в) 81; r)i; д)^; е)^. 1125. Найдите значение т, зная, что верно равенство: а) 5т. 5т + 1 = 125; р) 52т.5ш + 2 = 25^; б) 5ш. 5Ш-М = 5?; д) 52ш. 252Ш + 1 = 25″; в) 5т. 5т + 1 == 5-7; е) 125′” -5′” + з = 1255. 1126. Найдите значение выражения: а) 9 ” • 273; в) (2 ” • 43)2; д) (122.15-1)2. б) 8® • 64-3; р) (25-3.57)-!. е) (З5-2 • 492)-‘. 1127. Представьте в виде десятичной дроби: а) 10-2; б) 10-4. в) 24 • IQ-®; г) 3,5 • IQ-®. 1128. Упростите выражение: а) 2,50-2^3 • 8o3fe-3; г) J о®”-®ЬЗ”^• 2 ^ о”^®Ь> -2″; б) 2,4р-3д4. д) 9^д,2 -Лу2п + 3 . 0,32^2″ + 2у4 – 2л. в) |7П®л-9- 1^т”га2; е) 4,86с®”^з^з-л . 292 Глава 6. Степень с целым показателем 1129. Представьте в виде произведения: а) (x-2j/-2)-b г) (-За^Ь-^Г; б) д) (-0,5с’®Ь-^)-3; в) (0,1с-®Ь2)-3; е) 3 ж) (лг-“Ь^)-“; з) и) ИЗО. Представьте произведение в виде степени: а) 64а-3; в) д) 7— 32 б) 0,0001b*; е) 12,167а-9’’Ь‘2. 128 г) 1131. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени с отрицательным показателем: а) в) (0,01х^у~^)~^ • <Ъх~^у^)~^\ б) • <а-^ЪУ\ г) <^-^х-^у-^У^ • (54jcV)''- ♦>Упражнения для повторения 1132. Упростите выражение Зл + 1 — 1 – За За – 9а 2 Л V За – 1 1133. Принадлежит ли графику функции у = Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение степени с целым показателем. Представьте выражение в виде степени с положительным показателем. 2. Сформулируйте свойства произведения степеней, частного степеней и степени степени. Проведите доказательство свойства а”” • а'” = а””^” для случая m = -5, п = 7. §15. Выражения, содержащие степени с целыми показателями 293 3. Сформулируйте свойства степени произведения и степени дроби. Проведите доказательство одного из этих свойств для случая /1 = -6. ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ________§15- А СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ 45. V Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями В связи с введением степеней с целыми отрицательными показателями расширим понятие рационального выражения. Рациональным выражением будем теперь называть всякое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Такие выражения, как (а -I- Ь)”^, относятся к классу дробных рациональных выражений, так как х~^ = — , (а -h Ь)-2 = (а + ьу Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений, которые содержат степени с целыми показателями. Пример 1. Упростим выражение: а) а ^ ^ V д + & Имеем: а) и -\-о а-\-Ь б) а + 6 а~^ -\-Ь~ а-\-Ь 1 1 а Ь а-\-Ь Ь-\-а аЬ = аЬ. б) Здесь выгодно в числителе дроби вынести за скобки множитель а~^. Имеем: а^ + а [аа*) = а + а^. Пример 2. Представим выражение (afe-2 -h а^Ъ) (а-1 -h в виде рациональной дроби. 294 Глава 6. Степень с целым показателем Имеем: i + 1Т‘ = а Ь J аГ-\-Ь^ f а Ь а о аЬ <а-\-Ь)<а^-аЬ-\-Ь^)аЬ а^-аЬ-\-Ь^ а^Ь\а^-Ь) аЬ Пример 3. Упростим выражение <х^ + ху + у^)<х~^ + Х~^у~^ + У~^У^. Вынесем за скобки х^у^" в многочлене х"^ + ху + у^ м продолжим преобразование: <х^ + ху + у^) (х~^ + х~^у~^ + у~^)~^ = = х^уЧу~^ + х~^у~^ + х~^)(х~^ + х~^у~^ + у~^)~^ = = х^уЧу^^ + = х^у^. Пример 4. Найдем значение выражения (2а - & + 1)~^ + 2(4а^ -<Ь- if )'^ + (2а + & -1)'^ (2а - & + 1)^ + 2(4а' - (& -1)') + (2а + & -1)' 1,1 при а = - и Ь = -~. 4 2 Сначала упростим выражение. Для этого введем подстановку: 2а - Ь + 1 = JC, 2а + Ь - 1 = I/. Тогда данное выражение примет вид: х~^ + 2(хуУ^ + у~^ х^ + 2ху + Выполним преобразования этого выражения: х-^+2(ху)-' + у-^ (x-'+y-'f 2 Г x-' y-'iy + x)^ х^ + 2ху + у^ ~ (х + уГ - [ Х + у J х-\-у \ ^ J — ^-2„-2 — --- — •*• ~Х У - 2 2 - - ^ У (ху) Произведем обратную замену и выполним вычисления: 11 11 (хуУ ~ (2а-(&-1))(2а + (Ь-1)) " 4а"-(&-1Г 4 — 16 19 4 4 1 2 • §15. Выражения, содержащие степени с целыми показателями 295 1135. 1136. Представьте выражение в виде рациональной дроби: а) аЬ-1 + o-ife; г) Ь^(а~^ - Ь~^); б) (аЬ)-‘ + (аЬ)2; д) (a i + Ь >)(а + Ь)-‘; в) а Ча ‘ – г» ‘); е) (о’! + Ь)(о – Ь ‘). Докажите тождество: а) (о ‘ + Ь = б) (а > – = (а + (a-bf aV в) (о * + Ь ^)® = г) (о-> – Ь-‘)3 = (о+6Г (b-af 1137. 1138. 1139. Ь-^Г; г) (a■^ + + (a■^ – Ь Является ли тождеством равенство: а) (о + Ь)-^ = а-2 + 2а-‘Ь ‘ + Ь~^; б) а-2 – Ъ-^ = (а-> + Ь-1)(о-1 – Ь->)? Представьте в виде рациональной дроби: а) (а-> + b~^f – (о-> – b-^f\ в) (а’* + b’^f – 6-2,5jc, 4>-х-0,2; 3 б) 3,4-(3-лг) Дополнительные упражнения к главе б К параграфу 14 1162. Дана последовательность: 1111111 1 1 4, 2, 1, 2» 4» g» ig » 32» 04» 128’ 256’ 512’ Запишите эту последовательность, представив каждый ее член в виде степени с основанием 2. 1163. Докажите, что значения выражений являются взаимно обратными числами: а) 111 и (0,8)’®; б) 1000-2 и (0,001)-2; в) 3,5“* и 1^- I ; г) feil и (0,16)-5. 1164. Используя прикидку результатов действий, сравните с нулем значение выражения: а) 7.1- – 35 – (5)-‘; в) (1,5 • 10-®)(2,1 • 10«) – 3; б) 12 : -г + 876 • 2-2; г) 35 – (6,8 • 10^)(4,2 • 10 % Дополнительные упражнения к главе 6 301 1165. Представьте в виде степени с основанием 3 выражение, в котором п — целое число: а) 3″ • 3″-1; в) З*”^” : 3»”^®; д) 27″-‘ : f|] 5 б) (З’Г^’ • З””; г) 1• 9″; е) 1^1 -243″”^ 1166. Представьте в виде степени с основанием 5 выражение, в котором п — целое число: а) (0,1)” • 2″; б) 15=“”! — | ; 1 Г в) 10″ 1 Y 1250 1167. Вычислите: а) 7,5-> : (5-> -Ь 3 >); в) (2 > + 3 ‘)*: (2-‘ – З У; б) 3-2 : (6-‘ – 3-‘)2; г) (12-1 + 13-1) . Ц2-1 – 18 i). 1168. Верно ли неравенство: а) 0,9 – 1,1 • 1,3 30? 1169. Решите уравнение: а) Зд;2 – I лг – 3 I – 1 = 0; б) 2д:-2 – Злг-1 -2 = 0; в) (х^ -1)2 – 18(лг2 – 1) -ь 45 = 0; г) (х^ + 1)2 – 10(л;2 -Ы) -Ь 9 = 0. К параграфу 15 1170. Представьте в виде рациональной дроби: а) (х – х~^) : (х^ – х~^); в) / -1 U-1 а +& аЬ~^ -Ьа~^ ^ аЪ ^ + а ^Ь + 1 а^Ъ-аЬ-^ б) (у + ^/■^ – 1) : г) 302 Глава 6. Степень с целым показателем 1171. Найдите значение выражения 1,4(д:-2); ^ [0,14-0,04i/ 1. Построим график функции у = kf(x), где k = 2. Для этого расстояние каждой точки графика функции у = f(x) от оси X увеличим в 2 раза, т. е. умножим на 2 ее ординату. Построение выполним так: проведем, например, в точках оси X с абсциссами 1, 2, 3, 4, 5 и 7 перпендикуляры к оси х и длины отрезков, заключенных между осью х и соответствующими точками графика данной функции (А, В, С, В, В, В), увеличим в 2 раза. Получим точки А^, В^, Ci, В^, В^, В^. Через эти точки проведем линию, учитывая при этом, что каждая точка графика функции у = 2f(x) должна находиться от оси х на рас- 310 Глава 7. Функции и графики Рис. 53 стоянии в 2 раза большем, чем соответствующая точка графика функции у = f Упражнения для повторения 1203. Найдите все целые значения аргумента, при которых 2дс+5 функция g 0, или на \п \ единиц вниз, если л О, или на\т\ единиц влево, если т /jc + 6; г) I/ = Vjc+4 + 2. 1215. На рисунке 62 построены графики функций: у= 4х +Z; у= -Jx-2; у = у1х+2 ; у = у[х+2 + 3. Для каждого графика укажите соответствующую формулу. У1 к 1 1 — 2, О -А ( 5 0; г) область значений функции f, 1217. Укажите координаты вершины параболы: д) у = (х- 10)2 -1-8; в) I/ = -(х – Af -h 7; б) I/ = (jc + 9)2 – 5; т)у = – о. т = IJC – 41, если JC > 0. Решите уравнение: а) fix) = -5; в) fix) = 3; д) fix) = 6. б) fix) = 0; г) fix) = 4; е) fix) = -1. 1220. Изобразите схематически график функции gix) = ix- 2)2 и, пользуясь им, решите неравенство: а) gix) 0; в) gix) > 1. 1221. При каких значениях п график функции у = х^ п пересекает ось х в точках, абсциссы которых равны: а) -1 и 1; б) -2 и 2; в) -5 и 5? 1222. При каких значениях т график функции у = ix – mY пересекает ось у в точке, ордината которой равна: а) 1; б) 4; в) 9? ♦> Упражнения для повторения 1223. Выясните, при каких целых значениях а, где а Контрольные вопросы и задания 1. Что называют областью значений функции? Найдите E 1; б) 0 О, то х~^ > 0; если л: о и л: ^ +оо (читают: «икс стремится к плюс бесконечности»), то у ^ о («игрек стремится к нулю»). Пусть значения аргумента х, оставаясь положительными, неограниченно убывают, например х принимает значения: 1111 и т. д. Тогда соответствующими значения- 2 ’ 10 ’ 100 ’ 1000 МИ функции у = х~^ являются числа: 1, 2, 10, 100, 1000 и т. д. Это можно записать так: если л:>0ил:^0, то у ^ -hoo. Аналогично обстоит дело, когда л: о и X ^ +00, то у 0; если х>0их^0, то у +00. Если X О и потому х~^ > 0. Значит, все точки графика функции расположены выше оси X. 2. Любым противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции. Действительно, при любом х, отличном от нуля, 1 . _ ____________ (-xf ‘ X ^ = (-л:) так как х ^ = — и (-л:) ^ = Следовательно, точки графика с противоположными абсциссами симметричны относительно оси у, т. е. график функции симметричен относительно оси у. 3. Если X -hoo или X -оо, то у 0; если х ^0 (будучи положительным или отрицательным), то у -hoo. Действительно, если |л:1 неограниченно возрастает, то \х~^\ неограниченно убывает, оставаясь положительным числом, т. е. х~^-^ 0. Если \х I неограниченно убывает, т. е. |л:1 0, то х~^ неограниченно возрастает, т. е. х~^ -hoo. Геометрически это означает, что ось х и ось у являются асимптотами графика функции. Теперь построим график функции у = х~^. 324 Глава 7. Функции и графики Рис. 65 Рис. 66 Составим таблицу лишь для положительных значений аргумента, учитывая, что по свойству 2 при противоположных значениях X функция принимает одинаковые значения: 1 3 9 1 4 Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу, и точки с противоположными абсциссами (рис. 65). Через отмеченные точки проведем в первой и во второй координатных четвертях плавные линии. Получим график функции у = х~^ (рис. 66). Заметим, что функция у = х’^ при нечетном отрицательном п (т. е. при п = -3; -5 и т. д.) обладает такими же свойствами, как и функция у = х~^, а при четном отрицательном п (т. е. при п = -4; -6 и т. д.) — такими же свойствами, как функция у = х~^. График функции у = х^, где п — целое отрицательное число, состоит из двух ветвей; при нечетном п он расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при четном п — в первой и второй координатных четвертях. Ось х и ось у являются асимптотами для графика этой функции. 1227. Постройте график функции у = х~^, где л: > 0. Используя свойства графика функции и вычисления, найдите: а) значение у при х = 0,1; 0,2; 6; 20; б) значение х, при котором у = 0,01; 0,4; 8; 20; § 17. Дробно-линейная функция 325 в) множество значений аргумента х, при которых у 20; у > 100. 1228. Сравните числа: а) 0,57-1 JJ 0,75-1; б) 0,92-1 и 1; в) 2,38-1 и 2,19-1; г) 1,047-1 и 1. 1229. Принадлежит ли графику функции у = х ^ точка: а) А в) С(25; 0,04); б) В —; -7 7 г) D(-0,5; 2)? 1230. Постройте в одной системе координат графики функций у = X и у = х~^. Ответьте на вопросы: а) при каких положительных значениях аргумента верны равенство х~^ = хи неравенства х~^ х; б) при каких отрицательных значениях аргумента верны равенство х~^ = хи неравенства х~^ х? 1231. Докажите, что если точка А (а; Ь) принадлежит графику функции у = х~^, то точка В (Ь; а) также принадлежит графику этой функции. 1232. Постройте график функции У = X \ если о 1. Найдите: а) значение функции при х = 0,25; 0,5; 1; 2; 6; б) значения аргумента х, при которых у = 1,5; 3; 4. 1233. Постройте график функции: g(x) = X \ если X 2 . ^ 1 л: + 1,5, если х 1. 1235. Сравните числа: а) 0,85-2 и 0,63-2; в) (-0,365)-2 и (0,365)2; б) 5,71-2 и 6,23-2; г) (-1,25) 2 и (2,25)-2. 1236. Принадлежит ли графику функции у = х~^ точка: а) К 1 ^ ( 1 8; — ; в)Р \ ^ J 64J 6)L -2; –4 г) Q(-0,5; 4)? 1237. Постройте в одной системе координат графики функций у = х~^ VL у = х~^ у где л: > 0. Пользуясь графиками, сравните: а) 0,375-2 и 0,375-‘; б) 2,45-2 и 2,45-‘. 1238. Расположите в порядке возрастания числа: 5,7-2; 6 8-3. 5 7-1. 5 75. 6,8^; 6,8 ‘. 1239. Постройте график функции jc“2, еслил: > — ; 2 У = А 1 1 4, если — Упражнения для повторения 1240. Запишите в стандартном виде число и укажите значащую часть и порядок числа: а) 230 000; б) 40 900; в) 0,000285; г) 0,00705. § 17. Дробно-линейная функция 327 1241. В одной системе координат постройте графики функций у = X, у = у = х^у где X > О, Пользуясь графиками, расположите в порядке возрастания числа: а) 0,75; 0,75^; 075^; б) 1,32^; 1,32; 1,32з. 1242. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных а и Ь значение дроби не зависит от значений этих переменных: 10(a-bf (2x-3yf + 24xy (5а-5&)” ’ (х + 1,5у)” 1243. Найдите значение дроби X – 1у5у – 50. +6ху + 9у^ 8jc”-27y” зная, что 51. ^ Обратная пропорциональность и ее график Вы знаете, что прямая пропорциональность — это функция, которую можно задать формулой у = kx у где k — не равное нулю число. При положительных значениях аргумента и k > 0 эта функция обладает свойством: при увеличении значений х в несколько раз соответствующие значения у увеличиваются во столько же раз. В таких случаях говорят, что значения х прямо пропорциональны соответствующим значениям у у а переменная у пропорциональна X. Рассмотрим функцию у = k ~ при А; > 0, где независимая переменная х принимает положительные значения. 1 Согласно формуле у = k • — значения у прямо пропорциональны числам, обратным значениям х. Это значит, что с увеличением значений х в несколько раз соответствующие значения у уменьшаются во столько же раз. В таких случаях говорят, что переменная у обратно пропорциональна переменной Ху а саму функцию называют обратной пропорциональностью. Так же как и прямая пропорциональность, обратная пропорциональность находит широкое применение на практике. Например, — время, затраченное на прохождение одного и того же пути, обратно пропорционально скорости движения; 328 Глава 7. Функции и графики — количество товара обратно пропорционально цене этого товара при одной и той же сумме денег, затраченных на его покупку; — длина а (в сантиметрах) стороны прямоугольника обратно пропорциональна его ширине Ь (в сантиметрах) при постоянной площади S (в см^) прямоугольника. k В дальнейшем функцию У = ~ мы будем рассматривать при любом k 7^ О и любых положительных и отрицательных значениях аргумента. Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у = ^, где х — независимая переменная и fe — не равное нулю число. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности. k Областью определения функции, заданной формулой у = —, является множество действительных чисел, отличных от нуля, k так как выражение — имеет смысл при любых х, где л: ^ 0. Теперь выясним, что представляет собой график обратной пропорциональности. Вам известно, что графиком функции у = х~^, т. е. функции у = — , является гипербола, и вы знаете, как можно построить график функции у = kf(x), если известен график функции у = f(x). Опираясь на эти сведения, легко построить график лю- ^ ^ k 1 бои функции у = — , зная график функции у = ~ . k При k > о график функции У = ~ получается из графика 1 функции у – ~ путем его растяжения от оси х в k раз, если k > 1, и его сжатия к оси л: в ^ раз, если 0 0, и отметим особенности ее графика. 1. При любых положительных значениях х функция принимает положительные значения. При любых отрицательных значениях х — отрицательные значения. Из этого свойства следует, что график функции расположен в первой и в третьей координатных четвертях. График состоит из двух отдельных ветвей. 2. Любым противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат, т. е. график функции симметричен относительно начала координат. 3. Если X > о и X -hoo, то у 0; если х > 0 и х ^ 0, то у -1-00. Если х О, построим гра-6 фик функции у = ~ • Перечисленные выше свойства показывают, каким должен k быть вид графика функции у = — , где А; > 0. Для построения конкретного графика (при А; = 6) следует вычислить координаты нескольких точек графика, построить их и через них провести плавные линии (в первой и в третьей координатных четвертях). 330 Глава 7. Функции и графики Составим таблицу для некоторых положительных значений аргумента: X 1 2 3 4 5 6 у 6 3 2 1,5 1,2 1 Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых записаны в таблице, и точки с противоположными координатами, т. е. точки (-1; -6), (-2; -3), (-3; -2), (-4; -1,5), (-5; -1,2), (-6; -1). Через них проведем ветви гиперболы. Получим график 6 функции г/ = — (рис. 67). Перечислим теперь свойства функции г/ = — , где А; О и X ^ -hoo, то у О; если х > О и х ^ О, то у —оо. Если X О и в которых у О и в которых у г) «/ = 3 – X Упражнения для повторения 1255. Известно, что f(x) = 1. Найдите: а) /(0) + /(1) + Л-1); б) Л2) + 2ЛЗ) + ЗЛ4). jc^ + 2jc – 4 1256. Выделив из дроби все целые значения этой дроби. X + 1 целую часть, найдите 1257. Изобразите схематически график функции: а) 1/= \ 2, а другую для х -3. X -2 -1 1 2 7 у -6 -4 -3 -2,8 -2,4 X -4 -5 -7 -8 -11 у 2 0 -1 -1,2 -1,5 Построив точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции 2jc + 10 . = 71). Рис. 71 § 17. Дробно-линейная функция 339 Докажем теперь, что графиком любой дробно-линейной функции является гипербола, которая получается из графика функ-k ции у = — с помощью параллельных переносов вдоль осей коор- ах + Ь динат. Для этого нужно показать, что формулу у = можно представить в виде у = где k, т и п — произвольные числа, причем k О. ^ ^ ах+ Ь Выделим из дроби —– целую часть, учитывая, что с О и СХ + а ad-bc ^ 0. Для этого разделим двучлен ал: -h Ь на двучлен сх -h d: ах Ъ ad ал: -h — с сх d а с ad Ъ — — с ad ах ^ Ъ Значит, —– = – -I- —. Разделив обе части второй дро- сх d с сх т а Ъс – ad ^ ах + Ь а би на с, получим ■ = т + —7— сх + d \ а Ьс -ad d Пусть “ = —^2— “ ^ Тогда ах-\-Ь cx + d = Ji -\- Значит, произвольную дробно-линейную функцию можно k задать формулой у = ^ _ ^ -h д, где k ^ Q, х-т Ранее было показано, что график функции у = f О, или на | /п | единиц влево, если /п О, или на. \п \ единиц вниз, если п 0. 1264. Докажите, что графиком функции Зх” + 6JC ^ х” – 9х” + 2х – 18 является гипербола. 1265. Постройте график функции _ 2х – 8 g 2 2(ас Ъс – аЪ). 1272. Найдите область определения и область значений функции: а) f(x) = jc’-81 jc^-9 ’ б) g(x) = -25 jc + 5 1273. График функции У – ~ проходит через точку (-2; 4). Найдите значение k и постройте этот график. ♦> Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте свойства функций у = х~^ vl у = х~^ и отметьте особенности их графиков. 2. Что называется асимптотой кривой? Дополнительные упражнения к главе 7 343 3. Какая функция называется обратной пропорциональностью? k 4. Начертите схематически график функции У – ~ при А; > О и перечислите свойства этой функции. k 5. Начертите схематически график функции У – ~ при k Дополнительные упражнения к главе 7 К параграфу 16 1274. Зная, что f 0; |8-л:, если л: 1; г) У ^ [л: + 1, если л>-3. 1284. Найдите значение а, при котором точка К(-3; 4) принадлежит графику функции: а) у = (х af – 12; б) у = \ х – а \ 3. 1285. Известно, что точка А(6; 13) принадлежит как графику функции у = (х – 5У п, так и графику функции у = (х – тУ – 3. Найдите числа т vl п. Дополнительные упражнения к главе 7 345 12 1286. Постройте график функции у = — и найдите координаты точек пересечения (если они существуют) графика этой функции с прямой: а) у = 6; б) у = Зх; в) у = -х 7; т) у = -2х. 1287. Найдите значения коэффициентов k и Ъ, при которых k прямая у = kx Ь и гипербола У = ~ имеют общую точку: а)А(2; 3); б) В(-3; 6). 9 1288. Докажите, что гипербола У=~ и прямая у = -х 6 имеют только одну общую точку, и найдите ее координаты. 1289. Докажите, что если точка А(а; Ь) принадлежит гипер- k боле у = — , то и точка В(Ь; а) принадлежит этой же гиперболе. Как расположены точки А и В относительно прямой у = х? 1290. Напишите уравнение какой-нибудь прямой, которая 6 с гиперболой У =~> а) имеет только одну общую точку; б) имеет только две общие точки; в) не имеет общих точек. k 1291. Могут ли гипербола у = — и прямая у = ах Ь иметь три общие точки? 1292. Постройте график функции: 6 А а) г/ = -| л: l■^; б) у = гг ; в) i/ = – i^i . 1293. Функция задана формулой f(x) = \х-2\ • а) Найдите Д-4), Д-1), ДО), Д1), ДЗ). б) Докажите, что если а 2, то Да -h 2) = Д2 – а). в) Найдите область значений функции. 346 Глава 7. Функции и графики 1294. Укажите, в каких координатных углах нет ни одной точки графика функции: У=4^^+2; у=^[^+1; y=^l^-Q. 1295. Изобразите схематически график функции: а) г/ = yjx-4 + 2; б) У = yjx+6 + 1. Укажите область определения и область значений функции. 1296. Докажите, что графики функций у = yJx-5 и у = 5, где X > О, симметричны относительно прямой у = х. 1297. При каком значении а график функции у = у/х-6 симметричен относительно прямой у = х графику функции i/ = -Ь а, где л: > О? 1298. Постройте график функции у = у/х-1 + 4. Пользуясь графиком, укажите множество значений х, при которых у > 6. К параграфу 17 1299. Постройте в первой координатной четверти графики функций у = х”^, где neZn-2 1? 1300. Постройте график функции: \х~^, если 1 8 функция у = 2JC-4 JC-8 принимает значения, большие 2, а при л: 0, Ь>0, с>0 верно неравенство -h (Va -I- >/& -I- Vc ). 1319. Докажите, если л € iV, то верно неравенство: 1 1 1 11 1 б) 1 + . + ^ 0. 1321. Докажите, что при любом натуральном л, отличном о ^ л* -Зл -2 от 2, значение дроби ——— является натуральным числом. л^ -л -2 1322. Натуральные степени числа 3 записаны в виде последовательности 3^ 3^, 3^, . 3″, . . Какой цифрой оканчивается число в этой последовательности, стоящее на: а) 4-м месте; в) 12-м месте; д) 6-м месте; б) 8-м месте; г) 2-м месте; е) 10-м месте? 1323. Выполните подстановку х = – 2 л 4 И упростите выражение -1 с -у/х^ -1 350 Глава 7. Функции и графики 1324. Упростите выражение ^ замените х выраже- нием х = -2 IH-. , где а > О и Ь > 0. 1325. Упростите выражение: а) ^б+2л/б-2л/з-2>/2 ; б) . 1326. Сравните значение выражений: б) 79 + 4V2+4V3+2V6 и ^/9 + 273+2ЖЙ2Л5 . 1327. Докажите тождество + 2д:и + 9i/^ „ гг —„ r^–f—2t/ =sh + sly. x-2^Jxy + 3y 1328. Упростите выражение ^2+>/3 • ^2 + ^2+ >/3 • ^2 + yj2-\-yj2-\- V3 • ^2— ^2+ -^2+>/3 . 1329. Решите уравнение: а) (л:^ – Зл: + 4)^ – 5л:(л: – 3) – 14 = 0; б) (л:2 + 6л:) (л:2 + 6л: + 8) = 105; в) (л:2 – 8л: + 7) (л:^ – 8л: + 15) = -15; г) л: (л: + 1) (л: + 2) (л: + 3) = 24. 1330. Докажите, что если между коэффициентами уравнений л:^ + рл: + g = О и л:^ + р^л: + = О имеет место соотношение рр^ = 2(д + д^), то по крайней мере одно из уравнений имеет корни. 1331. Найдите значение а, при котором сумма квадратов корней уравнения л:^-ал: + а-1=0 будет наименьшей. 1332. Найдите такое значение а, при котором один из кор- 15 ней уравнения ———л:+а®=0 является квадратом другого. 4 Найдите эти корни. Задачи повышенной трудности 351 1333. Найдите значения параметра /п, при которых уравнения – 1 и i/ > О? 1336. Прямая у = X 2 пересекает параболу у = х’^ – ix 2 в двух точках А и В, Найдите на дуге АВ параболы точку, наиболее удаленную от прямой АВ. 1337. Постройте график уравнения у = I л:^ – 4 I и решите уравнение: а) б) ^2 _ 4 I =6; в) I – 4 I =2; -4| =4; г) _ 4| =0. 1338. Докажите, что при любом натуральном п, большем 1, выражение 4^” – 297 делится на 264. 1339. Докажите, что при всех допустимых значениях х верно неравенство X х-1 х-2 1340. Докажите, что при п е N верно неравенство: а) ^ ; 111 1.1 /—гг г л —7= + + —7= 1, то f 4 . а + — \ = а- . aj а 1344. Область определения функции f — множество Z, а область значений — множество . Функция обладает свойством: для любых целых а и Ь верно равенство f За^’-‘^’ “> ^У’ в) + 2; г) г’ + 24 4 4 16а1® + 2х + 3. 68. 25* 69. а) б) ^2 jqx + 9’ а“ – 65 536’ „ 165*’ , 1 . „ , 2а + 25 . , „ „ 5) ^32 _ 1* 71. а) ^^Г|Г2’ 5) в) “12; г) ^ – Ь + с’ КоР«еи нет; 356 Ответы б) 2; в) -1; г) -0,5. 77. = “g ^ Указание. Дробь замените равной ей дробью, знаменателем которой является НОК(5, 6, 15), т. е. 15 дробью Используя метод неопределенных коэффициентов, получим ^ ^ ^ Отсюда 15 = 6а + 5Ь + 2с. Положив а = 1, & = 1, найдем 19 5л: – 1 1 4 что с = 2. 78. а) а = д» & = gJ б) а = 2, & = 3. 79. а) ~ х х – V ч 3JC-4 _ Зх-4 _ ^ _П_ . 6JC + 1 _ + Юл: + 24 – (л: + 4)(л: + 6) ” л: + 4 л: + 6* 4л:2 – 1 ” 1 2 л + 17 5 7 ” 2х+1 2л:-1’ (2л: – 1)(3л: + 2) = 2л: – 1 ” Зл: + 2′ 81а)а’-7а+ 5; б) 2л:® + Зл^ – 5л: – 7; в) 1/2 – 41/ – 5; г) – 2Ь + 3. 82. а) При п = 3; д) при п = 5; е) при п = 3, 83. а) -3, 3, 6; б) -6, 0, 2, 4, 6, 12; в) -1, 1, 4, 64, 125, 343. 84. а) 1; б) 0; в) 9. 86. (0; -3), (1; -2), (3; 3), (4; 3). 87. у = 3, у = 2х – 1; б) у = X у = 2х; в) таких прямых не существует. 90. Оо»% о Y ^ ^ _ Q> 3 ч 40 мин. 94. в) -а”; г) (л” – I)®. 96. а) д» б) 5л: – 5. а + 5Ь. , 2л: + 6. 5 qq ^ 1 . г\ ^ • —Г~’ ЪГГЕВ’ 1ГГТ’ 1/ + 11- Зл – лр’ б) х-у’ ч 1 • ч а- Ь аа ч 1 • йч У + ^ • ч 6 . у^ + у -2 Л – 6’ а + 5‘ а + 2’ 2л^ + лр’ л:^ + бл’ у^ – у – 2′ (л – 7)® 36(а + 3)2 л« (а + б)-* Зу -10 100. ж) 3) _ 3)^ • 101. в) г) 102. а) = = -4; б) = -0,4. 103. а. 105. 48 км. 108. а) б) л” У + 2; в) 25a^^^bd^~ г) 110. г) 2^п ’ г; ^л-1^п-1- 2х^у – 2ху^. 9а + 7&. 2(а + 5)^ Д) о!? ’ е) За За + ЗЬ. P^-^pq – ч 252-ой “1- “’> 2а-25’ p^q + 2pg2 _ з^з- е) ‘ • 112. а) -2; б) не имеет „ . 5ля/. , .ix-bf y-b^ о5-6а-35+ 18. смысла. 113. в) г) 1. 114. а) б) в) ^+1Ь 125. ,, б) “ = 5^- 120- а) б) -д, в) 7^, г) Ответы 357 а^-ах. ^ Зу-ЗЬ а-Ь , “5ПГ’ ~Ь~- 121- а) б) в) 1; г) -1; д) 1; у^ + 2(/ + 1 2 — 2т? ^————; б) 0; в) ^ ^2 ; г) g – 2р. 123. а) 1 – 2х-, е) -Ъ. 122. а) „ Ьц + – 2х + 12. .5x^-3. . 2аЬ . . у п, > i б) в)—–^—-, г) —3^, д) е) 2ГТ%- 124. а) -1; б) 3^^ 2ft’ 12’^- у^^- 1″ Указание. Разложи- те на множители знаменатель каждой дроби в скобках, а затем примените распределительное свойство умножения, б) Указание. Знаменатель – 2х^ + Зх^ – 4jc + 2 представьте в виде (х – 1)\х^ + 2), сократите первую дробь в скобках, а затем воспользуйтесь распределительным свойством умножения. 128. а) “5 б) ^5 в) у г) ^2′ 130. 9. 131. 2. 1QO Л7 чтд а Ь If If 132. Указание, а) Из того, что следует: + 1 = р- + 1, а2 + &2 ^ + с2 а2 + &2 ^,2 а Ь а —ft^=—FT? =? = F= б)таккак^ = -, то^+1=- +1. а-1-ft ft-1-ca-bft Ь 1а+ Ь\^ Ь? ас “Г” = ~Т’ ЬТ~с = ~с’ = F = F = с- 133- 10 км/ч. 134. а) б) 8; в) 37; г) 79. 135. а) з|; б) 13. 136. а) п € ; б) п 6 ; в) п е (-9; 0>; г) п е (-1; 29>; д) п 6 (-3; 3>; е) п 6 (-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3>. 137. д) При хф0и1ХФЗ\ё) при jc Ж^’ ■’> “ЗбТ7- 15®- ®> ®= “> 158. а = 5 = с = 1. 160. а) 0,25; б) 1. 162. а) а = 2 и а = -2; б) а € . д: + 1. в) у)2 • г) д_2ь • 167. а) б) Zab. 168. _ х^ – Зху _ а) ле + 1; б) (/ – 2; в) г) х‘ – у‘. 170. а) . , 2д: – 3 (2а – 35)^. ^ – 2afc + . 5^ а + 3& + 1’ д: – 6 ■ 1^^- (2а + 35)2’®) ^ • 174. а) a_t, + i > jc^ + 2ху + 2cd 12jc^^ + Зу X + у + 1 ’ 2с^’ 2jcV3i/“* Указание, а) Пусть ^ ^ ^ = k. Тогда JCj = kx2, Х2 = feJCa, JCg = kx^. Сложив почленно эти *2 *3 *4 JCl + JC2 + JC3 равенства, получим: jc, + JCo + JCo = fe(jC2 + JC3 + x^). Отсюда _ . _ . ^ ‘ = *2 *3 ■*” ^4 JCi JCi + JC2 + Xs Xi = k = 6) из доказанного в a) следует, что ~;г~ПГ~ПГ = ~Z~* Х2 ^2 + Л3 + Л4 Х2 Ответы 359 JCl ч- JC2 + ^3 Х2 + Xs + Х4 ^з’ Xi-^ Х2-^ Xs JC2 + JC3 + JC4 Перемножив эти равенства, (х^ + Х2 + Хз\ . 4Ь-12. 4а . , + + J = ~5~’ б) 3^, в) 10^; 4д: ^ . X – Z ^ а? + X?. , л: + 1 , ,1 __ , а 7Т^- 179- “) б) ‘^Г^’ => 2FT1’ 7 «) “ + б; б) 181. а) б)^. Глава 2 190. 7 учащихся. 191. 18 человек. 192. 47 учащихся. 193. В офисе работает 11 человек, только английский язык знает 1 человек. 196. а) (2л + 1; Зл – 1), где л — целое число; б) (Зл + 1; 2л – 1), где л — целое число. 1 3 1 197. 30 способов. 206. а) —; б) “2 5 в) “■„2,7ТТГ#2 * 208. а) г/ = 1; б) г/ = 1, ху X X у -г лу у = 2д> 216. а) Да; б) нет; в) нет. 217. а) Да; б) да; в) да. 218. а) Нет; б) да. 219. б) -6, -3, -2, -1, О, 3; в) О, 1. 220. а) 1, 2, 4, 5; б) -11, 1, 3, 15. 225. а) (1; 17), (17; 1), (-1; -17), (-17; -1); б) (0; 17), (16; 1), (-2; -17), (-18; -1); в) (0; 19), (16; 3), (-2; -15), (-18; 1). 226. а) (3; 2), (-1; -6), (-7; -6), (-3; 2); б) (-5; 6), (3; -4), (3; 2), (-5; 0); в) (1; -1), (-1; 1); г) целочисленных 39 2 решений нет. 227. 4 учащихся. 228. 9. 237. -1. 238. а) б) 2-jy* 260. а) (3; 5), (-1; -1), (2; 5), (0; -1); б) (3; -1), (1; 3), (5; 3), (-1; -1); в) (0; 2), (2; 4), (-2; -5), (-2; -6); г) (2; 1), (0; 1). 261. а) Среднее 4 арифметическое равно 5у> медиана равна 6, среднее арифметическое меньше медианы; б) среднее арифметическое равно 5,25, медиана равна 5, среднее арифметическое больше медианы. 262. д)-1и2;е)-1и1; ж) -4 и 6; з) -5 и 5. 268. 18, 38, 60, 84. 269. 3. 270. а) О и 1; б) 0,1 и 4. 272. 5. 273. а) 3; б) 0. 274. 4. 276. Нет. 277. 11. 278. 7. 287. а) 19; б) 105; в) 77; г) 115. 288. а) б) в) г) 289. а) 609 076; б) 105 006. 290. а? + 27 gg—• 291. а) k ^ -1; б) k ^ в) таких значений k не существует. 37 11 292. а) X 1; 6) X ^ ±1; в) все числа; г) х О, х ^ -1. 303. а) б) в) г) Ц. 310. а) (1; 11), (-1; -11), (И; 1), (-11; -1); б), в) (2; 13), (0; -9), 360 Ответы (12; 3), (-10; 1); г) (2; 15), (0; -11), (14; 3), (-12; 1). 311. 26. 313. 6 способов. 314. а) а = -1, & = 1, с = 2, d = 2; б) а = 1, & = 2, с = -1, d = 1. 317. а) 2, 3, 5; б) 2, 3, 5; в) 2, 3, 5, 13. 319. а) 1176 = 2″ 3 7^; б) 1020 = 2^ х X 3 5 17; в) 101 = 2« 3″ 5^ 7. 320. а) 6; б) 10; в) 16. 329. 3. Указание. Воспользуйтесь разбиением множества целых чисел на классы в зависимости от остатков от деления на 3. 330. 3, 7, 31, 127, 511. 331. 0, 1. 332. ^2 _ Q* 333. 50 и 60 км/ч или 75 и 85 км/ч. 335. 4 учащихся. 336. 2 учащихся. 337. 12 человек. 341. -4, 0, 2, 6. 342. -4, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 8. 350. а) о, 1, 3, 4; б) 0, 1, 4. 351. а) 26; б) 23. 359. Указание. Воспользуйтесь разбиением множества целых чисел на классы в зависимости от остатков от деления на 6. Глава 3 361. а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) да; е) нет. 373. а) -0,8(3); б) 12,625(0); 4 1 ^1 577 в) -0,384(0); г) 1,7(14285). 374. а) р б) в) г) д) 17 992 1 е) -49^* 375. а) 5,3(40); б) 5,5(39). 376. а) 2,4; б) 1,2. 377. 2, 0,4, 5^. 37». .) 4^; 6, ail; „ ^ + 1. 389. а) Например, 0,2121121112. 399. а) (д1 + (,)’ + Ъ^’ 1 4 4 4 4 400. а = 1 з> Ь=Щ. 413. 416. а) Нет; б) да; в) да; г) да. 2 5 417. а) Да; б) да; в) нет; г) нет; д) да; е) нет. 427. а) 1,5; б) 0; р в) -1,2. 428. 3^ _ 4^- 429. 3 ч 40 мин. 431. а) 0,015; б) 0,004; в) 0,38; г) 1,3. 444. а) 1; б) ^2 i у2 • 445. – 2р. 447. а) -2, 2; б) корней нет; в) 0. 449. ж) — з) р и) -0,7. 450. в) 0,8; г) -1; д) 1; е) -2. 455. д) -0,81; е) 0,024. 456. а) 0,2; б) 1. 461. д) а + >/3; е) V5 – 2Ь. 464. а) 9,25; б) корней нет; в) 4,36; г) корней нет. 465. а) 1; б) 16; в) 1; г) 16. 466. а) 0; 4; б) 0; 0,25; в) 2; 3; г) -1; 0,75. 469. б) д ; в) _ Уд- 484. 2^- 486. а) а*; б) в) аЬ\ 498. а) 2,97; б) 3,96. 501. д) е) з|- 503. а) 70; б) 64; в) 5,5; г) 153; д) 33,6; е) 25. 504. г) 6^; е) 11- 512. а) 108; б) 225; в) 256; г) 189; д) 216; Ответы 361 е) 174; ж) 460; з) 405. 518. в) 40; г) 0,9; д) 0,5; е) 22. 520. а) 2; б) -12. 521. а) 6,3; б) -19,9. 522. а) |; б) 102,4. 526. а) (1; -1); б) (1; -1). 530. а) 4>/^; б) 29х^; в) г) Ъ,Ъа^4а. 536. в) 8+ 4n/2 – 4ч/б; ^/^2 + 7^-^/^8. ,, ^/^0-^/5-2 + ^/2. , Vi5 + V10->/3-n/2 г) J2——–= ——-3——–’ ———4———• ___ – 4и 1 2 1 540. а) б) 4v^; в) ———• 541. а) j2g’ 1б9’ 3‘ d 544. а) При а = 0; б) при а = 0; в) при а = -4; г) при а = -1. 546. а) б) -х; 7771’’ *’ -€• « •> f’ « » – 551. а) -|, 1; б) -1,5, 1. 558. а) 10; б) 6; в) 16; г) 2Ш – 6. 559. а) а = у/Т6; б)а= Ш. 560. а) V2 + 1; б) 73 – 1; в) 2>/з – 1; г) 2^2 + 1. 561. а) 6; б) 2. 564. а) eVVn + V2; б) Зч/2 • VV3 + 1; в) 3>/3 x/VsWl; г) 4V2V6 – Vl5 . 565. а) V5 – 2; б) ^3^ в) V§ + V2; г) . 566. а) —6; б) 6а + 1. 567. а) Va — 1 + Va + 1; б) Va — b + Va + b, 569. a) V^; 6) 2. 571. 3, -2. 574. a) 4,(4); 6) 4,5(8); в) 1,1(12); г) 7,(2). 575. Указание. Воспользуйтесь методом от противного. 584. З-^* 589. а) -1, о, 1, 2; б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; в) о, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; г) О, 1, 2. 591. а) 84; б) 4>/^; в) 13,5; г) 21,5. 2 10 2 15 7 6 592. а) 3 gJ б) корней нет; в) г) -4; е) Ид* 595. а) б) 1 g> в) 42 у 5 г) 599. а) -^/a; б) 2Vo6. 601. а) -2,5; б) 3; в) 32; г) Зч/2, 602. а) 30 – 14>/3; ^/^2 + Vl8 – ТЗО. б) -1. 606. а) При а = 2; б) при а = -4. 607. а) 12 б) 3n/6 – 5V2 – 4^/з – 1; в) 7б + n/з – V2 – 2; г) + ^ ^ 608. а) V& + 1; б) ^/a + 1. 610. а) – xV2 + 1; б) Vl – – 1. 611. а) %/l0; б) -^/2; в) 7^; г) -ч/б. 612. а) 47l0 + 4; б) 24 + 2Т1з8; в) 10 + 2ч/22. 362 Ответы 615. а) 1; б) -2; в) 2^/7; г) 2~Л. 616. а) -1, если а > 1; если О 4; >/а, если О /а + 2; д) 5. Глава 4 1 2 625. а) О, -0,6; б) О, 0,6; в) О, 0,7; г) О, 3; д) О, е) О, 627. а) О, б) в) О, г) -2V2, 2V2; Д) 0; е) 0. 629. Нет. л: = 0. 630. а) а – 1, 1 – о; б) 2т + 1, -2т – 1. 631. а) б) О, 5; в) О, г) д) 4, -4; е) О, ж) з) 0. 632. а) -1,1; б) О, в) -V2, V2; г) -5, 5; д) -l|, l|; е) О, 633. а) -5, 5; б) -2, 2; в) -1, 1; г) -\/2, \/2. 634. а) 0; 0,25; б) 1; 3,25; в) 0; г) 1,5. 635. а) д; = О или х= ^у; б) JC = О или X = 2у^; в) х = ±yyfl^; г) х = ±у1~у – у^ при у^ у /б. ,-1±7з ч-6±>/б. ,,1. о2. 3 ,1;в)—-г—; г)—jr-^; д)—^–; е)4, ж)-2,-2q, з)3, —р- б) 2 653. а) 1, -7; б) 5 ’ 2 ’ 3 ’ 4 4 ± V7. , 2 ± Vli. , о />1.. .4 7 ± в) -; г) 4, -2. 654. а) 13 д, 5. ; б) -3, 1; в) 1, г) 6, -4^; д) 7^, -2; е) ж) 1, 3) i 656. а) 4|, -3; б) 30, -19; в) 10, 7^; г) 6, -4; д) 2, -|; е) |, j. 657. g /3,5; г) ±^, +л/3; д) ±0,25; е) нет корней. 672. а) +2, ±3; б) ±3, ±73; в) ±^; г) ±1, ±|; д) ±2; е) ±3. 673. а) (0; 9), (1; 0), (-1; 0), (3; 0), (-3; 0); б) (0; 4), (0,5; 0), (-0,5; 0), (2; 0), (-2; 0); в) (0; 0), (3; 0), (-3; 0); г) (0; 0). 674. а) ±4; б) ±1, ±-^; в) нет корней; г) 1, -3; д) -1, 0,75; е) 2, -0,4. 675. а) ±3; б) ±2, ±>/б; в) ±2; г) О при + 4с 0; О и ^ + 4с > О, Ь – yJb^ + 4с 0; О и -—^ при + 4с > о, Ь – yJb^ + 4с > О и & – у/Ь^ + 4с о, 5 – VPTic > О и 5 – V52 + 4с > 0. 676. а) ±2; ±4; б) 0; 2. 677. а) 2; -4; б) 5; -4; в) 2; -3; г) 1 ± %/2; 3; -1. 678. а) -7; 4; б) -3; 4. 679. а) -8; 3; б) -1; 7; в) -16; 2; г) -1; 8. 680. а) -7; 3; б) -2; 4; в) -8; 2; г) -5; 3. 681. Наименьшего значения не суш;ествует, наибольшее значение равно 107. 682. а = 3, Ь = 1,5. 683. 16,9. 684. 9 и 14 см. 685. 42 см. 686. 96 и 90 см. 687. 24. 688. 6 и 8 м. 690. 16. 691. 11 и 13. 692. 6 и 9. 693. 7. 695. 32. 696. 44. 697. 10. 698. 8 и 7 л. 699. 20 и 10 л. 702. а) 1; б) >Уа – ^/5. 707. г/ = -3^. 2 2 = -3 g* 708. D > О, р и q — противоположные числа. 709. D > О, второй коэффициент равен свободному члену. 713. Х2 ; б) 3*^ в) З’”; г) 3″. 1124. а) 9**; б) 27*^; в) 81® г) (I) : Д) (^) ; е) . 1125. а) m = 1; б) m = 3; в) m = -4; г) m = 4 25 д) m = 1; е) m = 3. 1126. а) 3; б) 1; в) 16; г) 0,2; д) 92,16; е) 1128. а) 20а& б) 0,4; в) т’Ч-’’; г) + д) Ззс” + У; е) 5с”*®. 1129. г) 81а®”5 ®® д) -8с®5‘®; е) 5j^c-®“b®; ж) з) (/‘«”а*®”; и) c®”d ®”. ИЗО. а) (4а ‘)® ai® 1 1131. а) fji-; б) в) у)/ г) (0, ; в) 80д:®. О при jc 6 (0,2; 2], E о при Х 6 (-оо; 0) и (0; +Оо); Е = [0; +00). 1190. а) а = 2,5; б) а = 6,5. 1191. а) D(g) = [-7; 7], E; 6) i/ 6 . 1195. a) Указание. 36^^ + 1 представьте в виде произведения. 1196. а) 3; б) 1201. а) 1; б) 4; в) 2; г) 1. 1204. а) [4; +оо); б) 0. 1205. а) 686а“ “'”; б) 1218, а) х, = 1, = 4; б) Xi = о, JCg = 3; в) JC = 2. 1219. а) -3; б) -2, 4; в) -1, 1, 7; г) О, 8; д) 10; е) -n/s. 1220. а) (-оо; -1); б) [2; +оо); в) (3; +оо). 1221. а) При л = -1; б) при п = -4; в) при п = -25. 1222. а) При m = -1 и m = 1; б) при m = -2 и т = 2; в) при т = -3 и т = 3. 1223. При а, равном О, 1, 4, 9, уравнение имеет целые корни, т. е. целыми корнями уравнения при а 1; при О ху уг 2Х. Имеем: а^ с^ > аЬ Ьс са, аЬ Ьс са = (Vo&) + /са), (\/а&) + + <у[^) + (\/са), >ylab • be + yjab • be + yfbc • ca + yfca~db » ylab^c + ylabc^ + yla^bc = y[abcJb л-4c) • Отсюда (no транзитивности): Ответы 371 > yjabc/б > 1327. Указание. Пусть >/jc = а, у1у = Ь. Тогда выражение примет вид: + 2а Ь + а” – 2аЬ + ЗЬ^ -2Ь^ = (а’ + 3&’) -4aV ,________________ = J 2 о [ 01.2 – 2^’ = + 36^ + 2аЬ – 2Ь^ = = ^(а+ = а + & = у/х + у/у, 1328. 1. Указание. Перемножьте сначала 3-й и 4-й радикалы, затем результат умножьте на 2-й радикал и, наконец, З-у/Е 3 + >/5 произведение умножьте на 1-й радикал. 1329. а) 1; 2; —-—; —-—. Указание. Воспользуйтесь подстановкой – 3jc = ^; б) -1; 7; в) 2; 6; 4 -у[б; 4 + >/б; г) -4; 1. 1330. Указание. Допустим, что оба уравнения х^ рх q = О и х^ PiX -Ь = О не имеют корней. Тогда – 4д 1 и ^ > О, выполняется при k 6 (-2; 2) U (2; 4). При k = 2 система имеет бесконечное множество решений, которое с учетом условия, что X > 1 и у > Оу можно записать так: <(jc; у) \l /з ~ \/1, . ^ 1 I— I— 1 1 1 ~ очевидно. Остается случай, когда 8 а >О и & > 0. Учитывая это, воспользуемся неравенством yfab а-^Ь или аЬ < . Отсюда аЬ < - . Выполним преобразование (учитывая. что а + & = 1): а" + &" = (а + ЪУ - 4аЬ^ - 4а^Ь - ба^Ь^ = 1 - 4аЬ