Chizma geometriya

Информация о характеристиках, комплекте поставки, внешнем виде и цвете книжной продукции носит справочный характер и основывается на последних доступных к моменту публикации сведениях.

Chizma geometriya kitob pdf

Информация о характеристиках, комплекте поставки, внешнем виде и цвете книжной продукции носит справочный характер и основывается на последних доступных к моменту публикации сведениях.

Электронная книга
Перед покупкой рекомендуем ознакомиться с разделом “Как читать купленную книгу”!

Чтобы оформить заказ, Вы должны быть авторизованы.

Поделиться с друзьями в соцсетях

Аннотация
Комментарии и отзывы

Ushbu metodik qo‘llanma chizma geometriya va chizmachilik fanlari professor-o‘qituvchilarga, ayniqsa, yosh o‘qituvchilarga va shu soha aspirantlari hamda magistrlariga mo‘ljallab, Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi tomonidan 2008 yilda tasdiqlangan namunaviy dastur asosida yozilgan. Qo‘llanmada chizma geometriya fanini to‘liq o‘zlashtirish uchun zarur bo‘lgan bilimlar birligidan, mashg‘ulotlarni maqsadli loyihalash bo‘yicha olib borilgan ilmiy-tadqiqot ishlarimizda ishlab chiqilgan mavzulari bo‘yicha asosiylari keltirilgan. Undan chizma geometriyadan bilimlar birligini qisqacha ma’lumotnomasi sifatida soha professor-o‘qituvchilari o‘quv jarayonida keng foydalanishlari mumkin.

chizma geometriya -.

SH. MURODOV, L. HAKIMOV, A. XOLMURZAYEV CHIZMA GEOMETRIYA O ‘zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta ’lim vazirligi oliy o ‘quv yurtlari talabalari uchun darslik sifatida tavsiya etgan Professor SH. MURODOVNING umumiy tahriri ostida TOSHKENT «IQTISOD-MOLIYA» 2008 www.ziyouz.com kutubxonasi

Post on 22-Jul-2019

Documents

SH. MURODOV, L. HAKIMOV, A. XOLMURZAYEV CHIZMA GEOMETRIYAO zbekiston Respublikasi Oliy va o ‘rta maxsus ta lim vazirligi oliy o quv yurtlari talabalari uchun darslik sifatida tavsiya etgan P ro fesso r SH. MURODOVNING um um iy ta h r ir i o s tid a TOSHKENTIQTISOD-M OLIYA 2008 www.ziyouz.com kutubxonasi
22.151.3O i5 T a q z h i I a r : t. f. n., professor R .lsm atullayev, t. f. n., professor T.Azimov. M u rodov Sh.C hizm a geometriya: Oliy oquv yurtlari talabalari uchun darslik / Sh.Murodov, L.Hakimov, A.Xolmurzayev. T.: Iqtisod-Moliya, 2 0 0 8 .-2 9 6 b. I . H akim ov L. 2. Xolmurzayev A. M a z k u r d a rs lik O ‘zb e k is to n R e sp u b lik asi O liy va o rta m axsus ta lim v azirlig i tom onidan o liy o q u v y u r tla r i u c h u n tasd iq lan g an C h iz m a geom etriya v a m u hand islik g rafikas i l’ani n am u n av iy d a s tu r i a so sid a yozilgan. D ars lik d an u q ta . to ‘g ‘r i ch iz iqva tek islik lan iin g to ‘g ‘r i burchakli proyeksivalarini vasashiiing nazariy asoslari, sJjun/ngdek, egri cliiziq va sirtlam ijig hosil bo ‘lishi vachizm ada tasvirlanish usuilari bayort e tilgan . G eom etrik shakllaniing o ‘z a ro v a proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan vaziyatlari bilan b o g ‘liq pozitsion vam etrikm asalalarn i yechish . sirtlargaurinm a (ckisliklar o ‘tkazish . sirtlaming yoyilm alarin i yasash g a o id nazary v a am aliy m asalalar ham da aksonom etrik proyeksiyalar va u lam i turli p o z its io n m asalalam i yech ishda qoMlash kengyoritilgan. Chix.inalar o so n o qilishini ta ‘m in la s h m a q s a d id a ran g li tasv irla rd a b e rilg an .D arslik o l iy o q u v yurtlari ta lab a la rig a m o ‘lja llan g an boMih. undan loyiha-konstruk torlik ta sh k ilo tla ri x o d im la ri ham foydalan ish lari m um kin. |——— ————–! N . -iy ! ! f IS B N 9 7 8 -9 9 4 3 -1 3 -0 9 0 -6 Iq tiso d -M o liy a n a s h r iy o ti . 2 0 0 8 E zgulik m anbai n a s h r iy o ti , 2 0 0 8 www.ziyouz.com kutubxonasi
SOZBOSHI 0 zbekiston Respublikasi o liy ta Iim tizimi oldida turgan asosiy vazifalardan biri Kadrlar tayyorlash milliy dasturida belgilangan talablar asosida fanlar boyicha davlat ta Iim standartlari va namunaviy dasturlarga mos zamonaviy darslik va o quv qoIlanmaIaii yaratish va shu asosda talabalarga chuqur nazariy bilimlar berib, ulami yetuk mutaxassis qilib tayyorlashdir. Texnik bilimlarni mukammal egallashning shartlaridan biri grafik savodxonJikni oshirish, yani chizmalarni o qish va bajarishni bilishdir. Shu boisdan chizmalar chizishning asosi bo’igan chizma geometriya fanini chuqur organish talab etiladi. Chizma geometriya m atem atikaning bir tarm ogi hisoblanib, uch o’Ichamli fazodagi obyektlaniing tekislikdagi grafik modelini qurish asoslarini o’rganadi. Bu esa oliy taIim tizimida chizma geometriyaning o4rni naqadar muhimligini belgilaydi. Mazkur darslikda fanni oqitishda uning nazariy asoslarini texnika va qurilishda qollash bilan bogliq kopgina masalalar yoritilgan. D arslikda barcha m ateria lla r, jum ladan , geom etrik shakllarn i proyeksiyalash va ulaming ozaro vaziyatlarini aniqlashga doir pozitsion va metrik masalalar hozirgi zamon geometriyasi taraqqiyoti nuqtayi nazaridan bayon etilgan. Axborot va kompyutertexnologiyalari keng qoMIanilayotganligi hisobga olinib, darslikda chizmalar grafik usul bilan bir qatorda analitik usulda ham berilgan.Darslikda dizayn masalalariga kattaetibor berilib, chizmalar rangli tasvirlangan. Darslikni tayyorlashda chizma geometriya fanining nazariy, amaliy va uslubiy yutuqlari, o ‘q itishning yangi pedagogik texnologiyalaridan, shuningdek, mualliflarning uzoq yillar davomida shu sohada to plagan tajribalaridan foydalanildi. DarslikningkirishboMimi, I, VIII, XII, XIII boblari, shuningdek, qisqacha tarixiy malumotlar, asosiy geometrik orinlar, atama va tushunchalar izohli !ugati professor Sh.Murodov (TDPU), III, IV va V boblari TAYI professori L.Hakimov, VI, VII, XI boblari dotsent A.Xolmurzayev (FarPI) tomonidan, II, IX, X boblari esa TAYI katta o qituvchilari M.Jumayev va A.Toxtayev- lar bilan hamkorlikda yozilgan. Darslik mazmunini boyitish va chizmalarni rangli tasvirda berish borasida takliflar bergan professor O.U. Salimovga, shuningdek, moliyalashtirish va nashriyot ishlartni am alga osh irgan professor N .A . X alilovga o ‘z minnatdorchiligimizni bildiramiz. www.ziyouz.com kutubxonasi
Belgilanishi NomlanishiH, V, w gorizontal, frontal, profil proyeksiyalar tekisliklariHuVu V*. gorizontal, frontal va profil proyeksiyalar tekisliklarining bir va ikki marta almashtirilgan vaziyatlari A, B, C, D, E. va 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. fazodagi nuqtalar A \ B A”, B”. A ” ‘, B 1 “. fazodagi A, B. nuqtalaming gorizontal, frontal,profil proyeksiyalari Ap, Bp, CP. fazodagi ,4, B, C , . nuqtalaming P tekislikdagi proyeksiyalari a, h, c, d, e, . k, m, n fazodagi togri yoki egri chiziqlar a ‘\ b ‘, n ‘. a “, b “, n ” , . a ‘ , b ‘ n* fazodagi a, b, n. tokgri yoki egri chiziqlaminggorizontal,frontal,profil proyeksiyalari h gorizontal togri chiziqlar f frontal tokgri chiziqlar P profil togri chiziqlar P, Q, T, G, F.;. fazodagi umumiy vaziyatdagi tekisliklar Hh H2, gorizontal tekisliklar VU Vh Vh. frontal tekisliklar Wu W2, Wh. profil tekisliklar Ph, Qh, PV, Qv, Prn Qw fazodagi P va tekisliklaming gorizontal,frontal,profil izlari (AVC); a \ |b ; en d geometrik elementlar bilan berilgan tekisliklar A, 0,
Belgilanishi Nomlanishi Misol e () tegishli (tegishli emas) Masalan, () A nuqta shaklga tegishli (tegishli emas) yoki shakl A nuqta orqali otadi (otmaydi) *(*> ustma-ust tushgan(ustma-usttushmagan) Masalan, A=B- A va, nuqtalar ustma-ust tushadi ; va 2 shakllar ustma-ust tushmaydi) n kesishgan Masalan, \ – a va b togri chiziqlar ozaro kesishadi ayqash togri chiziqlar Masalan, a+b – a v a 6 t o gri chiziqlar ozaro ayqash IK-K) parallel (parallel emas)Masalan, a\\b (a\\b) -a v a b togri chiziqlar parallel (parallel emas) perpendikulyar Masalan, aLb – a v a b togri chiziqlar ozaro peendikulyar ztekis yoki ikkiyoqli burchak Masalan, .- AB va AC togri chiziqlar orasidagi burchak ikki togri chiziq orasidagi burchak Masalan, aAb – a v a b togri chiziqlar orasidagi burchak togri chiziq va tekislik orasidagi burchak Masalan, – a togri chiziq va P tekislik orasidagi burchak PAQ tekisliklar orasidagi ikkiyoqli burchak Masalan, P*Q – P va Q tekisliklari orasidagi ikkiyoqli burchak t^y o k itogri burchak belgisi www.ziyouz.com kutubxonasi
KIRISHl- . Chizma geometriya fanining maqsadi va vazifalari Chizma geometriya umumiy geometriyaning bir shoxobchasi bolib, narsaiami tasvirlash usullari yordamida ulaming shakllari, oMchamlari vaozaro joylashishlariga tegishli pozitsion va metrik masalalami yechishni o rganadi. Chizma geometriya matematika fanlari bilan uzviy bogliq boMib, um um texnika fanlaridan h isob lanad i. Chizma geom etriya boshqa geometriyalardan oziningsosiy usuli, yani tasvirlash usuli bilan farq qiladi. U tasv irlash usullari yordam ida o quvchining fazoviy tasavvurini kengaytiradi, tasvirlami yasash va oldindan yasalgan tasvirlami oqiy bilish hamda amaliyotdagi turli muhandislik masalalarini yechishga yordam beradi. Chizma geometriya qonun-qoidalari bilan nafaqat mavjud narsaiami, balki tasavvur qilinadigan narsaiami ham tasvirlash mumkin. Fazodagi shakllarning tekislikdagi chizmaiari chizma geometriya usullari bilan maMum qonun-qoidalar asosida hosil qilinadi. Buchizmalar orqali buyumning fazoviy shaktini chizish va o lchamlarini aniqlash mumkin. Chizmalar yordamida geometrik shakllarga tegishli stereometrik m asalalar yechiladi. Chizmalarsiz fan va texnika taraqqiyotini tasavvur qilib boMmaydi. Arxitektor vamuhandislar ijodiy ftkrlarini faqat chizmalar yordamida to liq bayon eta oladilar. Chizmalar asosida barcha muhandislik inshootlari quriladi, mashinalar, mashina qismlari, meditsina asboblari va hokazolar ishlab chiqariladi. Shakllarning bizga maMum bo!gan barcha geometrik xossalarini ulaming chizmalaridan olingan malumotlardan ham aniqlasa boMadi. Shuning uchun ham buyumlaming chizmalarini ulaming geometrik xususiyatlarini o zida aks ettiruvchi tekis geometrik modellar deb atash mumkin. Chizma geometriya fani quyidagilami o’rganadi: fazoviy shakllarning tekislikdagi tasvirlari, yani tekis modellari (chizmalari)ni yasash; tekis chizmada geometrik masalalami grafik yol bilan yechish; shakllarning berilgan tekis chizmaiari boyicha ulam ing fazoviy ko ‘rinishi va vaziyatini tasavvur qilish hamda yaqqol tasvirlarini yasash; geom etrik shakllarning chizm alarini bajarish va o qish orqali o quvchining fazoviy tasavvurini rivoj lantirish.Malumki, geometrik shaklning xossalarini analitik va grafik usullarda tekshirish mumkin. Shakllarning grafik modeliga asosan ulaming analitik www.ziyouz.com kutubxonasi
usuida beriiishini va aksincha, shakllaming analitik korinishidan ulaming chizmalarini yasash usullarini chizma geometriyada ham korish mumkin. Loyihalanadigan buyumlami faqatgina grafik usuida tasvirlash hozirgi zamon ishlab chiqarish talablarini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun chizmalami bajarishda grafik usullarbilan birga analitik usullardan ham foydalaniladi. Keyingi yillarda buyumlarning chizmalarini kompyuter grafikasi vosita- lari yordamida tayyorlashda avtomatlashtirilgan loyihalash sistemalarining kirib kelishi chizma geometriya fanining rivojlanishida yangicha mazmun kasb etmoqda. Geometrik shakllarni tashkil qiluvchi nuqtalar toplami bir nechta va cheksiz kop nuqtalardan tuzilgan boMishi mumkin. Geometrik shakllar juda kop. Ammo shulardan eng asosiylari to gri chiziq va tekislikdir. Nuqtalar, togri chiziqlar va tekisliklar orasida m alum munosabat o rnatilgan bolib, bu yotishlilik yoki tegishlilik deb yuritiladi. Masalan, A nuqta a togri chiziqqa tegishli – A ea; A nuqta P tekislikka tegishli – A e P ; a tog ri chiziq P tekislikka tegishli – a e P va hokazo. 2.1. N uqta. Nuqta eng boshlang’ich geometrik tushuncha bolib, u hajmsiz, yuzasiz, uzunlikka ega bolmagan geometrik elem ent deb qabul q iiingan . N uq ta ch izm alarda sh a rtli ravishda k ichk ina ay la n a c h a korinishida belgilanadi. 2.2. Tog4ri chiziq. Berilgan ikki nuqtadan otgan yagona geometrik shakl faqat togri chiziq boMadi. Tog ri chiziqni bitta nurda yotuvchi nuqtalar toplami deb ham qarash mumkin. Togri chiziqning uzunligini haqiqiy miqdor bilan oMchash mumkin emas. Togri chiziq uzunligi cheksiz (oo) miqdordir. Togri chiziq ikki nuqta bilan chegaralansa, tog ri chiziq kesmasi hosil boladi. Togri chiziq kesmasi haqiqiy miqdor o lchoviga egadir. Togri chiziq ustidagi nuqtalar to plamini ikki qismga – xos (chekli) va xosmas (cheksiz) nuqtalarga ajratish mumkin: xos A v A 2, A y . nuqtalami berilgan a togri chiziq ustida belgilab yoki tanlab boladi (1-rasm); cheksiz uzoqlikdajoylashgan xosmas n u q ta n i cr tog ri chiziq* ustida belgilab yoki tanlab boMmaydi; har bir togri chiziqda faqat bitta xosmas nuqta mavjud.2 3 . Tekislik. Tekislik ustida cheksiz kop nuqtalar va tog ri chiziqlar mavjuddir. Shunga kora, tekislikni nuqtalar yoki togri chiziqlar to plamidan 2-. Asosiy geom etrik tushunchalar Geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri shakl (figura)dir. Tarif. Har qanday tartibda joylasl: toplami geometrik shakl (figura) deyila www.ziyouz.com kutubxonasi
iborat deb qarash mumkin. Aniq sonli nuqtalaryoki togri chiziqlarberilganda tekislik berilgan hisoblanadi. Tekisikda yotuvchi togri chiziqiarni ham ikki turga – xos (chekli) va xosmas (cheksiz)ga ajratish mumkin: xos togri chiziqiarni tekisikda chizish va vaziyatini belgilash mumkin (2-a rasm); tekislikka tegishli bolgan har qanday ikki togri chiziq umuman kesishadi. Agar bu togri chiziqlar ozaro parallel bo Isa, u holda ular xosmas nuqtada (2-b rasm), agar parallel boImasa, xos nuqtada (2-a rasm) kesishadi; tekislikning xosmas chizigi tekisikda yotuvchi ikki xtiyory to^g^r chiziqning xosmas nuqtalarini tutashtirish bilan hosil qilinadi (2-v rasm). M alumki, tekislikdagi har bir togri chiziq bitta xosmas nuqtaga ega.Tekislikdagi togri chiziqlarning xosmas nuqtalari geometrik orni tekislikning xosmas chizig’i deyiladi (2-v rasmdagi mKchiziq). Tekislikning istalgan togri chizigi uning xosmas chizg bilan bir nuqtada kesishadi. ‘ Tekislikdagi parallel togri chiziqlar bitta xosmas nuqtada kesishadi (2-b rasmdagi Ax nuqta). Togri chiziq va tekisliklaming xosmas elementlari nazariy masalalami talqin qilishda va perspektiv tasvirlami yasashda qollaniladi. 2.4. Geom etrik fazo. Geometriyada bir jinsli (bir xil) obyektlaming to plami geometrik fazo deb yuritiladi. Geometrik fazoni nuqtalar, chiziqlar yoki sirtlartoplamlaridan tuzilgan deb qarash mumkin. Ma lumki, chiziqlar va sirtlar nuqtalardan tashkil topadi. Nuqta esa birinchi va boshlangich geometrik tushunchadir. Demak, geometrik fazoni shakl deb qarash mumkin. Real obyektlarni o rganish xossalariga qarab geometrik fazolar ham turlichaboMadi. Masalan, real obyektYevklid aksiomalari sistemasi boyicha o’rganilsa, Yevklid fazosi hosil boMadi. Yevklid fazosi uch o’lchamli (i?3) fazodir. Tekislik Yevklidfazosida ikki olchamli(P2) boMadi. Bizorganayotgan geom etriya Yevklid geom etriyasi deb yuritiladi. Yevklid fazosining Ac Ai A 2 A3 a /4co-o——- o——-o /-rasm. a) b) v) www.ziyouz.com kutubxonasi
kengaytirilgan modelini birinchi bolib ulugk rus geometri N.I.Lobachevskiy (1792-1856) yaratdi. Bu model Lobachevskiy geometriyasi deb yuritiladi va bu geometriyaning oziga xos aksiomalar sistemasi mavjud. 3-. Geometrik shakllarda ozaro birqiymatli moslik Biror tekislikda a va b to gri chiziqlar berilgan boMsin (3-rasm). Bu tekislikda ixtiyoriy S nuqtani olamiz. Bu nuqtadan xtiyoriy / to gr chiziq o tkazilsa, butogr] chiziq tftogri chiziqnM va>togri chiziqninuqtada kesadi. Xuddi sbuningdek, S nuqtadan / , 12 ly togri chiziqlar otkazilsa, unda ular a togri chiziqni/1,, A ,, A v . . . , n nuqtalarda va b to gri chiziqni B VB2, Bv Bn nuqtalarda kesib o tadi. Bunda a to4gri chiziqning har bir nuqtasiga b togri chiziqning nuqtalari mos keladi. a va b togri chiziqlarning o zaro kesishgan , nuqtasi o z-oziga mos keiadi. Shunday qilib, a va b tolg ri chiziqlarga tegishli nuqtalar orasida o zaro bir qiymatli moslik ornatiladi. a va b to gri chiziqlarda shunday nuqtalar 3-rasm. mavjudki, bir togri chiziqning xos nuqtasiga ikkinchi togri chiziqning xosmas nuqtasi mos keladi va aksincha. MasaJan, a to g sri chiziqning Ak nuqtasiga b togri chiziqning xosmas nuqtasi, b to gri chiziqning B. nuqtasiga a togri ch iz iqn ing^xosm as nuqtasi mos keladi. Xuddi shuningdek, togri chiziq bilan tekislik yoki ikki tekislik uchun ham ozaro bir qiymatli moslikni o rnatish mumkin. Bu xulosalami turli geometrik masalalami yechishdagi grafik yasashlarda qoilash mumkin. www.ziyouz.com kutubxonasi
1 bob. TASVIRLASH USULLAR I l.l- . Umumiy malumotlar Muhim geometriktushunchalardan biri shakllami tasvirlashdir. Geometrik tasvirlash biror 0 shaklning nuqtalari bilan ikkinchi 0 < shaklning nuqtalari orasida bir qiymatli moslik ornatishdir. Chizma geometriyada uch oMchamli R3 fazoning (tekislikning) har bir nuqtasini ikki olchamli R, fazoning (tekislikning) har bir nuqtasiga aniq grafik qoidalar asosida mos keltirib, bir qiymatli moslik omatiladi. Shuning uchun chizma geometriyani fazoni tekislikda aks ettiruvchi grafik tasvirlash geometriyasi deb yuritish mumkin. Geometrik fazo nuqtalar toplami deb qaralib, proyeksiyalash yoli bilan tekislikda aks ettiriladi. Masalan, fazoda biror S nuqta tanlanib, shu nuqta fazoning hamma nuqtalari bilan birlashtiriladi. Unda markazi Snuqtada bo'lgan togri chiziqlar dastasi hosil boladi. Shu fazoga biror P tekislikni kiritamiz. Unda S markazli chiziqlar dastasi bilan P tekislik kesishib, nuqtalar toplamini hosil qiladi. Tekislikdagi bu nuqtalar fazodaginuqtalamingtasviri (proyeksiyasi) deb yuritiladi. Bunda fazodagi nuqtalar bilan P tekislik nuqtalari orasida bir qiymatli moslik omatiladi. Agar S markazli chiziqlar dastasi fazosiga biror sirt kiritilsa, u holda bu sirtda fazodagi nuqtalaming tasviri hosil boladi va fazo nuqtalari bilan sirt nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o rnatiladi. Chizma geometriyada fazodagi shakllar markaziy yoki parallel proyeksiyalash usullari bilan biror tekislikda tasvirlanadi. Bu tekislik proyeksiyalar tekisligi deb yuritiladi. Shakllarning proyeksiyalar tekisligidagi tasvirini yasash esa malum qonun-qoidalarga asoslanib bajariladi. 1.2-. Markaziy proyeksiyalash usuli va uning xossaiari M arkaziy proyeksiyalash usuli geom etrik shakllarni tekislikda proyeksiyalashning umumiy holidir. Markaziy proyeksiyalashda proyeksiyalar markazi S va proyeksiyalar tekisligi P beriladi (1.1-rasm). S va P sistemasida fazodagi biror A nuqta berilgan bolsin. A nuqtani S markaz orqali proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Buning uchun S markaz bilan A nuqtani togri chiziq orqali birlashtirib, uni davom ettiramiz. Hosil boMgan SA proyeksiyalovchi nur proyeksiyalar tekisligi P bilan Ap nuqtada kesishadi, ya ni Ap=SAnP. Bunda Ap nuqta^ nuqtaning S markaz boyicha P proyeksiyalar tekisligidagi markaziy proyeksiyasi deb yuritiladi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Fazodagi ikkinchi b iror ix tiyoriy nuqta ham A nuqta singari proyeksiyalanib, S B n P -B p nuqtaning P proyeksiyalar tekisligidagi vaziyati an iq lan ad i. A gar b iro r n u q tan i P p ro y e k s iy a la r te k is lig ig a proyeksiyalovchi SC nur P tekislikka parallel bolsa (SCy/*), u holda bu nur P tekisligi bilan cheksiz uzoqlikda kesishib, C/v xosmas nuqtani hosil qiladi. SA, SB, SC . .togri chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar deb yuritiladi. Fazodagi biror nuqtalar to pJami proyeksiyalash m arkazi S orqali P proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalanganda S markazi i to*gri chiziqlar dastasi hosil boladi. Bu dastan ing p royeksiyalar tek islig i P bilan kesishuvidan hosil bolgan nuq tala rto plami fazodagi m alum birnuqtalar to plamining tasviri boMadi. M asalan, ABD uchburchakning markaziy proyeksiyasi ^^^Z ^uchburchak boMadi (1.2-rasm). Proyeksiyalar tekisligining ostida joy lashgan E nuqtaning Ep proyeksiyasi SEnP=Ep bilan aniqlanadi. Proyeksiyalar tekisligida yotgan nuqtaning Kr markaziy proyeksiyasi nuqtaning o zi bilan ustma-ust (K=Kp) tushadi. Markaziy proyeksiyalash konusli yoki qutbli proyeksiyalash, yoxud perspektiva deb ham yuritiladi. Masalan, markaziy proyeksiyalash apparatida biror egri chiziq berilgan bolsin (1.3-rasm). m egri chiziqning nuqtalar top!ami proyeksiyalar tekisligiga S markaz orqali proyeksiyalansa, uning proyeksiyasi mH egri chiziq hosil boMadi. U holda S markazdan o tuvchi proyeksiyalovchi nurlar toplami konus sirtini hosil qiladi. M arkaziy proyeksiyalashda proyeksiyalash m arkazi va buyumning proyeksiyasiga qarab uning fazodagi vaziyatini aniqlab boMmaydi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Markaziy proyeksiyalashning quyidagi xossalari mavjud:1-xossa. Nuqtaning markaziy proyeksiyasi nuqta boMadi.2-xossa. SA nurda yotuvchi A, A r A2, A 3. nuqtalarning markaziy proyeksiyalari A p nuqta bilan ustma-ust tushadi( 1.4- rasm).3-xossa . Proyeksiyalash m arkazidan o tmaydigan to gri chiziq kesmasining proyeksiyasi kesma boladi.Biror a to gri chiziq BC kesmasi orqali berilgan bolsin (1 .4-rasm). BC kesma S m arkaz orqali proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalanganda SBC proyeksiyalovchi tekislikhosil boladi. Bu proyeksiyalovchi tekislik P bilan BpCp kesma boyicha kesishadi. B C e a boMgani uchun BpCpe a p boladi. Proyeksiyalash markazi S dan o tuvchi togri chiziqning markaziy proyeksiyasi nuqta boladi. Masalan, DE togri chiziq kesmasining markaziy proyeksiyasi Dp=Ep nuqta bo ladi ( 1.4-rasm). 4-xossa. S markazdan o tmaydigan tekislikning markaziy proyeksiyasi tekislik bo’ladi. Masalan, ABC uchburchak tekisligining nuqtalar to plami S markaz boyicha proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalanganda ( 1.5-rasm) SABC proyeksiyalovchi piramida hosil boMadi. Bu piramidaning proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishuvidan A f i tiZp uchburchak hosil boMadi. S markazdan o tuvchi tekislik va unga tegishli geometrik shakllarning markaziy proyeksiyalari bitta to g ri chiziqqa proyeksiyalanadi. Masalan, SAB tekisligi va unga tegishli F nuqtaning proyeksiyasi A ^ f i p kesmada boladi (1.5-rasm). 5-xossa. Agar biror tekis shakl proyeksiyalar tekisligiga parallel boMsa, uning proyeksiyasi o ziga o xshash shakl boladi. 6-xossa. S proyeksiyalash markazidan o tuvchi va proyeksiyalar tekisligi P ga parallel bolgan nurlar ustidagi nuqtalarning markaziy proyeksiyasi P ning xosmas chizigi ustida boMadi. M arkaziy proyeksiyalashda S markaz, proyeksiyalar tekisligi P va proyeksiyalanuvchi shaklning ozaro vaziyatlariga kora quyidagi xossani keltirish mumkin: www.ziyouz.com kutubxonasi
7-xossa. Proyeksiyalanuvchi shaklning proyeksiyalar markazi bilan proyeksiyalar tekisiigiga nisbatan joylashuviga qarab uning proyeksyasi o ziga nisbatan katta yoki kichik bolishi mumkin. 1.3-. Parallel proyeksiyalash usuli va uning xossalari Markaziy proyeksiyalashdagi S markazni biror yonalishda cheksiz uzoqlashtirilsa, u holda SA, SB . proyeksiyalovchi nurfar ozaro parallel boladi (1.6-rasm). Bunday proyeksiyalash parallel proyeksiyalash deb yuritiladi. Demak, parallel proyeksiyalashni markaziy proyeksiyalashning xususiy holi deb qarash mumkin. Parallel proyeksiyalashda proyeksiyalar tekisligi P va s proyeksiyalash yonalishi beriladi. P va s sistemada fazodagi biror.4 nuqta berilgan boMsin (1.6-rasm). Bu nuqtaning proyeksiyasini yasash uchun A nuqtadan s yonaiishga parallel qilib nu ro tkaziladi. Bu nurning proyeksiyalartekisligi P bilan kesishgan nuqtasi A/t boMadi. Ap nuqta fazodagi A nuqtaning s yonalish boyichaPdagi parallel proyeksiyasi deb yuritiladi. Proyeksiyalar tekisiigining ostida joylashgan fazodagi ixtiyoriy b iror B nuqtaning s yo nalsh boyicha parallel proyeksiyasi Bp boMadi. Bunda B va A nuqtalamingproyeksiyalovchi nurlari o zaro parallel bolib, faqat ulaming yonalishIari qarama-qarshidir. AAr, BBp togr chiziqlarproyeksiyalovchi nurlar deb yuritiladi. Proyeksiyaar tekisligi P ga tegishli C nuqtaning proyeksiyasi shu nuqtaning ozida boMadi. Fazodagi ixtiyoriy d togri chiziqni proyeksiyalar tekisligi P ga $ yonalish boyicha proyeksiyalash uchun shu togri chiziq ustidagi istalgan ikki D va E nuqtalar proyeksiyalari yasalsa kifoyadir( 1.6-rasm). Bunda dto^g’ri chiziq nuqtalari orqali o’tuvchi parallel nurlar toplami proyeksiyalovchi tekslikni hosil qiiadi. Parallel proyeksiyalashda^ proyeksiyalash yonalisbining berilishi shartdir. Chunki s proyeksiyalash yonalishi berilmagan holda ixtiyoriy A nuqtaning P proyeksiyalar tekisligidagi proyeksiyasini cheksiz kop hosil qilish mumkin. Buyumning birgina parallel proyeksiyasi uning fazodagi korinishi va olchamlari haqida to liq ma lumot bera olmaydi. Buning uchun qoshimcha shartlar berilishi lozim. Parallel proyeksiyalash silindrik proyeksiyalash deb ham yuritiladi. Masalan, biror m egri chiziq berilgan bolsin (1.7-rasm). Bu egri chiziq nuqtalaridan otuvchi s proyeksiyalash yo ‘na lish iga parallel bolgan proyeksiyalovchi nurlar to’plami silindrik sirt hosil qiiadi. Bu silindrik sirt proyeksiyalartekisligi P bilan kesishib, w^egri chiziqni hosil qiiadi. Parallel proyeksiyalash ikki xil boMadi:1. Qiyshiq burchakli parallel proyeksiyalash. Bunda sx proyeksiyalash yonalishi,P proyeksiyalar tekisligi bilan otkiryok otmas burchaktashkilqiladi.2. To’g’ri burchakli para lle l proyeksiyalash. Bunda proyeksiyalash yonalishi proyeksiyalar tekisligi P ga perpendikulyar boMadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Geometrik shakllami parallel proyeksiyalashningquyidagi xossalari mavjud:1-xossa. Nuqtaning parallel proyeksiyasi nuqta boMadi.2 -xossa . P royeksiyalovchi nurda yotuvchi barcha nuqtalarn ing proyeksiyalari bitta nuqtada boMadi.3-xossa. Proyeksiyalash yonalishiga parallel boMmagan togri chiziqning proyeksiyasi to g 4ri chiziq boIadi. M asalan,! .8-rasmda s proyeksiya yonalishiga parallel boMmagan AB to g ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligi P ga parallel proyeksiyalangan. Bunda AB kesma nuqtalaridan otuvchi nurlar proyeksiyalovchi tekislikni hosil qiladi. Bu proyeksiyalovchi tekislik bilan P proyeksiyalar tekisligi A f i , , kesma boyicha kesishadi. Proyeksiyalash yonalishiga parallel bolgan togri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta boMadi. 1.8-rasmda CD to4gri chiziq kesmasi proyeksiya yonalishi s ga parallel. Uning P dagi proyeksiyasi Cp=Dp nuqta boMadi. 4-xossa.^ togri chiziq kesmasiga tegishli E nuqtaning parallel proyeksiyasi Ep shu togri chiziq proyeksiyasi A f i p kesmaning ustida boMadi (1.8-rasm). 5-xossa. Agar nuqta togri chiziq kesmasini biror nisbatda boMsa, bu nuqtaning proyeksiyasi ham kesma proyeksiyasini shunday nisbatda boMadi. Biror C nuqta AB kesmani AC:CB~r:q nisbatda boMsa, unda Cp nuqta ^ ^ k e s m a n i ham A pCp:C fip=r:q nisbatda boMadi (I.9-rasm). AB tog4ri chiziq kesmasini 5 yonalish boyicha proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Bunda proyeksiyalovchi tekislik bilan proyeksiyalar tekisligi P k e s is h ib ,^ ^ , kesmani hosil qiladi. Unda 4-xossaga asosan C eAB boMgani uchun Cpe A f i p boMadi. AB kesmaning proyeksiyalovchi tekislikdagi Ava.C nuqtalaridan ACl\\ApBp va CB^ApBp kesmalarni otkazamiz. Unda hosil bolgan ACC < va CBBt uchburchaklaro4zaro o'xshash boladi. Bu uchburchaklamingoxshashligidan A C :A C ^C B :C B X yoki AC:CB=AC):CBi boMadi. AC = ApCp va C B ~ C f ip boMgani uchun A C: C B -A pCp; C f i p=r:q boMadi. 6-xossa. Togri chiziqlarning kesishuv nuqtasi proyeksiyasi ulaming proyeksiyalarining kesishish nuqtasida b o ladi, yani A B nSD E boMsa, ApBprCpDP=Ep boMadi (1.10-rasm). Proyeksiyalash yo'nalishi boy icha^ va CD kesm alarning/i^, va C f i p proyeksiyalarining proyeksiyalar tekisligi P dagi proyeksiyalarini yasaymiz. www.ziyouz.com kutubxonasi
Kesmalarni proyeksiyalovchi tekisliklar o zaro EEp to ‘g ri chiziq bo’yicha kesadi, bunda EEfiC bolib, u E nuqtaning proyeksiyalovchi nuri boladi. AB va CD kesm alarining kesishuvidan hosil boMgan E nuqtaning proyeksiyalar tekisligi PdagiproyeksiyasiZspbo’ladi. 3-xossaga asosane/.f va EeC D boMgani uchun E ^ A f i p va E ^ C f i p boMishi shart. Demak, Ep nuqta A^B^ va S flp kesmalar uchun urnumiy nuqtadir. 7-xossa. Parallel togri chiziqlarning tekislikdagi proyeksiyalari ham parallel bo’ladi. Agar AB\\CD boMsa, boMadi. 1.11-rasmda sx yo’nalish boyicha AB va CD togri chiziq kesmalarining proyeksiyalar tek is lig id a g i^ ^ v a C f i p proyeksiyalari yasalgan. Hosil b o M g a n v a CD to ‘g ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklari proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishganda^^JJC ^^ kesmalar hosil bo’ladi. 8-xossa. Parallel to g ri chiziq kesm alarining nisbati bu kesmalar proyeksiyalariningnisbatiga teng bo ladi, ya’ ni AB\\CD bo lib, AB:CD= q bo4 Isa, A f t ^ C f i ^ q boMadi (1.11-rasm). Bunda 3-xossaga asosan A fi^ C jb p hosil boMadi. AB va CD tog ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklarida AE va C F
perpendikulyartushiriladi. Bu perpc;.Jiku!yamngPtekisIkdagi asosi/j, nuqta fazodagiv4 nuqtaning ortogonal proyeksyasi boMadi. Togri burchakli proyeksiyalashdageometrik shakl fazoda proyeksiyalar tekisligiga nisbatan ixtiyoriy holatda joylashgan b o isa , uning proyeksiyasida shaklning metrik (uzunlig, burchagi va boshqa) o lchamlar o zgaradi. Masalan, ortogonal proyeksiyalashda tog6ri chiziq kesmasining proyeksiyasi o4zidan kichik yoki teng bolladi: agar togri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bolsa, uning proyeksiyasining uzunligi kesmaningfazodagi uzunligi ga teng boladi (1.13-rasm); agartogri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligiga parallel bo’lmasa, uning proyeksiyasining uzunligi o zidan kichik boladi, yani Afip
uning fazodagi vaziyatini aniqlab bolmaydi. Buning uchun biror koshimcha shart kiritish zarur. Bunday qoshimcha shart sifatida buyumning birinchi proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar bolgan ikkinchi tekisiikdagi tasvirini olish mumkin. Bu ikki proyeksiyalar tekisligidagi tasvirlar buyumning fazodagi vaziyatini aniqlaydi. Ortogonal proyeksiyalash usuli texnik chizmalami chizishda, inshootlami loyihalashda kop qoMlaniladi. Bu usul tasviming yaqqolligini bermasa ham, grafik ishlaming aniq bajarilishini taminlaydi va buyumlaming tekisiikdagi tasvirlari orqali ularning olchamlarini oson vaqulay aniqlaydi. Texnik chizm alarni tuzishda proyeksiyalanuvchi buyumni o zaro perpendikulyar tekisliklarga nisbatan shundayjoylashtirish kerakki, unda buyumning asosiy oMchamlari va elementlari qulay holda tasvirlansin. Faqat shundagina buyum tasvirlariga qarab uning fazodagi korinishini tasavvur etish mumkin. 1. Nuqtaning markaziy proyeksiyasi qanday yasaladi?2. Qanday holda to g ri chiziqning markaziy proyeksiyasi nuqta bo’ladi?3. Markaziy proyeksiyalashda nim alar berilgan b o ladi?4. Parallel proyeksiyalash usuli qanday bajariladi?5. Parallel proyeksyalashda nim alar berilgan b o ladi? J6. Tog ri chiziqning parallel proyeksiyasi qanday yasaladi?7. Parallel togri chiziqlaming proyeksiyalari qanday joylashgan boladi?8. Qanday holda to g ri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta boladi?9. Ortogonal so zi nimani anglatadi?10. Tog ri chiziqqa tegishli nuqtalaming proyeksiyalari qanday joylashgan b o ladi? Nazorat savollari N ;7C T :iy n o n i J- , * 2 – Chizma geomctriya www.ziyouz.com kutubxonasi
II bob. G EO M ETRIK SIIAKLLARNING T O G RI BURCHAKLI PROYEK SIYALARI 2.1-. N uqtaning ikki ozaro perpendikulyar tekislikdagi proyeksiyalari Biror buyumning tasviriga qarab uning o qilishini ikkita o’zaro parallel bo Imagan proyeksiyalar tekisligiga proyeksiyalash orqali ta’miniash niumkin. Proyeksiyalar tekisliklarining o zaro perpendikulyar vaziyatda tanlab olinishi buyum tasviri o qilishini osonlashtiradi. Ozaro perpendikulyar bolgan ikki tekislik bir-biri bilan kesishib, fazoni to rt qismga – kvadrantlarga (choraklarga) boladi. Fazoda gorizonta) vaziyatda joy lashgan (2.1 -rasm) i f tekislik gorizonta! proyeksiyalar tekisligi, vertikal joylashgan V tekislik frontal proyeksiyalar tekisligi deb ataladi. H va V proyeksiyalar tekisliklari o zaro perpendikulyar boMib, ularning kesishgan Ox chizigiproyeksiyalar o qi deyiladi. Bunda H \a Ftekisliklar proyeksiyalar tekisliklari sistemasini hosilqiladi. Proyeksiyalar tekisliklari sistemasining bunday fazoviy modelida turli geometrik shakllar, shuningdek, detallar, mashina va inshootlarni joylashtirib, songra ularning chizmalarini yasash katta noqulayliklar tugdiradi va zaruriyati ham boMmaydi. Buyumlaming chizmalarini bajarishda bu tekisliklarning bir tekislikka joylashtirilgan (jipslashtirilgan) tekis tasvirlaridan foydalaniladi. Shu m aqsadda V p royeksiyalar tekislig i qozgalm asdan, H gorizontal proyeksiyalar tekisligini Ox proyeksiyalar o qi atrofida pastga 90 ga aylantirib, V tekislik bilan ustma-ust tushirib jipslashtiradi (2.2-rasm). Natijada H \ a V tekisliklarda bajarilgan barcha yasashlar asosiy chizma tekisligi sifatida qabulqilingan Kfrontal proyeksiyalartekisligigajoylashtiriladi. Bundanuqta yoki geometrik shaklning bitta tekislikdajoylashtirilgan ikki – gorizontal va frontal tasvirlari tekis chizma yoki kompleks chizm a-epyur hosil qiladi. Bu usulni birinchi marta fransuz geometri Gaspar Monj (1746-1818) tavsiya etgan. Shuning uchun bu tekis chizma Monj chizmasi deb ham yuritiladi. Amalda geometrik shakamingtogri burchakli proyeksiyalarini yasashda asosan proyeksiyalar o qlaridan foydalaniladi. Shuning uchun chizmada proyeksiyalar tekisliklarining konturini tasvirlash shart emas (2.3-rasm). Ma lumki, barcha buyumlar nuqtalar toplamidan tashkil topgan. Shuning uchun proyeksiyalashni nuqtadan boshlash maqsadga muvofiq boladi. Biror nuqta yoki geometrik shakl fazoning turli choraklarida joylashishi mumkin. 2.1.1. Birinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi A nuqta/chorakdajoylashgan bolsin (2.4-rasm). Uning H xa Ktekisliklardagi p royeksiyalarin i yasash uchun bu nuqtadan m azkur tek islik larga www.ziyouz.com kutubxonasi
2.2-rasm. HO 2.3-rasm. perpendikulyarlar otkazamiz va ularning bu tekislik lar bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, A nuqtadan //tek is lik k a tushirilgan perpendikulyaming asosi A’ bolsin. A nuqtadan V tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi A ” ni aniqlash uchun A ‘ dan Ox o qiga perpendikulyaro’tkazam izva^nuqtani aniqlaymiz. Ftekislikka tushirilgan perpendikulyarlar bilan 0-Xoqidag i^nuqtadanotkazilgan perpendikulyami kesishtirib, A ” nuqtani topamiz. A nuqtadan H \a V tekisliklarga o’tkazilgan perpendikulyarlaming A ‘ va A ” asoslari A nuqtaning to’g’ri burchakli proyeksiyalari deb yuritiladi. Bu yerda,A ‘- A nuqtaninggorizontalproyeksiyasi,A” – uning frontalproyeksiyasi deb ataladi va A(A ‘,A”) korinishdayoziladi. Shakldagi/14′ va AA chiziqlar proyeksiyalovchi nurlar yoki proyeksiyalovchi chiziqlar deyiladi. A nuqtaning chizmasini tuzish uchun tekisliklarning fazoviy modelini yuqorida qayd qilingan qoidaga muvofiq V tekislikkajipslashtiramiz (2.5-rasm). Bunda A nuqtaning^” frontal proyeksiyasi Ktekislikda boMgani uchun uning vaziyati o zgarmay qoladi. Gorizontal^’ proyeksiyasi //tek islik bilan Ox oqi atrofida pastga90 ga buriladi va Ktekislik davomida jipslashadi. Natijada^ nuqtaning A ‘ gorizontal ham da A” frontal p royeksiyalari Ox o qiga www.ziyouz.com kutubxonasi
A A A K x- A, H A 2.5-rasm. 2.6-rasm. perpendikulyar bolgan bittachiziqdajoylashadi (2.6-rasm). Bunda A ‘A “Q k bo)ib, u proyeksiyalami bogklovchi chiziq deb yuritiladi. Fazoning I choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal proyeksiyasi Ox o qining ostida, fron ta l proyeksiyasi uning yuqorisida jo y la sh g a n b o ‘lib , u lar Ox o ‘q ig a p erp en d iku lya r b o ‘lg a n b itta proyeksiyalami bog ‘lovchi chiziqda yotadi. 2.1.2. Ikkinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi.Fazodagi biror B nuqta II chorakda joylashgan boMsin (2.7-rasm). Uning proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan//va Ktekisliklargaperpendikulyarlar otkazamiz. Bu perpendikulyarlaming proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan B va B” asoslari B nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari boMadi. B nuqtaning chizmasini tuzish uchun tftekislikni 2.8-rasmda ko’rsatilganidek Ftekislikka jipslashtiramiz. Bunda B nuqtaning B” frontal proyeksiyasi vaziyati ozgarmay qoladi. Uning //tekislikdagi ‘gorizontal proyeksiyasi esa Ftekislikning yuqori qismi bilan jip s lash a d i va Ox o q iga perpendikulyar boMgan B “Bx proyeksiyalami boglovchi chiziqda boladi (2.9-rasm). Fazoning I I choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o qiga perpendikulyar bo Igan bitta proyeksiyalami bog lovchi chiziqda va Ox o ‘qining yuqorisida joylashadi. 2.1.3. U chinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi biror C nuqta III chorakda joylashgan boMsin (2.0-rasm). Bu nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalarini yasash uchun H va V tekisliklarga perpendikulyar tushiramiz. Bu perpendikulyarlaming H \a Ftekisliklardagi C va C” asoslari C nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari boMadi. Nuqtaning chizmasini yasash uchun / / tekislikni V tekislikning davomida jipslashtiramiz (2.11-rasm). Bunda C nuqtaning C” frontal proyeksiyasi V tekislikdabolgani uchun oz vaziyatini o’zgartirmaydi. Uning C gorizontal proyeksiyasi esa H tekislik bilan birga V tekislikning yuqori qism ida jipslashadi va 2 .12-rasmda korsatilgan vaziyatni egallaydi. www.ziyouz.com kutubxonasi
o 2.7-rasm. / ?\ V ‘ /e* fl* \, 2.H-rasm. 2.9-rasnt. B’ ; 1 Ui\ X ——————-i\. 10 ic-2.10-rasm. -z H Vfc_ l c % :’ o — —— – p 2.11-rasm. ‘ ,C’ 2.12-rasm. HO Fazoning III choragida joylashgan har qanday nuqtaning gorizontal proyeksiyasi o qiningyuqorisida, frontalproyeksryasi esa uning ostida, Ox ‘qigaperpendikulyar bo ‘Igan bitta proyeksiyalami bog lovchi chiziqdayotadi. 2.1.4. Tortinchi chorakda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi biror D nuqta fazoda IV chorakda joylashgan bolsin (2.13-rasm). Uning H www.ziyouz.com kutubxonasi
va V tekfsliklardagi proyeksiyalartni yasash uchun D nuqtadan bu tekisliklarga perpendikulyarlar otkazamiz. Perpendikulyarlaming H \a V tekisliklar bilan kesishgan D’ va D” asoslari D nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari boladi. D nuqtaning chizmasini tuzish uchun #tekislikni Ox oqi atroflda pastga 90 ga aylantiramiz va V tekisiik davomi bilan jipslashtiramiz (2.14-rasm). Bunda D nuqtaning D” frontal proyeksiyasining vaziyati o zgarmaydi. Gorizontal D’ proyeksiyasi esa H tekisiik bilan harakatlanib, Ox o qiga perpendikulyar boMgan D” nuqta bilan bitta proyeksiyalami boglovchi chiziqda yotadi (2 .15-rasm). Fazoning IV choragida joylashgan hor qcmday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox qiga perpendikulyar bo igan bitta proyeksiyalami bog lovchi chiziqda vaO xo qining ostida bo ‘ladi. 2.1.5. B issektor tekisliklarida joylashgan nuqtalarning chizm alari. Fazoning birinchi va uchinchi choraklarini teng ikkiga boMuvchi tekisiik birinchi bissektor tekisligi, shuningdek, ikkinchi va tortinchi choraklarini teng ikkiga boluvchi tekisiik ikkinchi bissektor tekisligi deb ataladi. Agar fazodagi nuqtalar proyeksiyalar tekisliklaridan teng uzoqlikda joylashgan bolsa, bunday nuqtalar bissektor tekisliklariga tegishli nuqtalar boladi. 2.16-rasm da birinchi bissektor tekisligida joylashgan va L nuqtalarning, 2.18-rasmda esa ikkinchi bissektor tekisligida joylashgan E va F nuqtalarning fazodagi vaziyati korsatilgan. Chizmada birinchi bissektor tekisligida joylashgan va L nuqtalarning proyeksiyalari (IC, K va L \ L) Ox o’qidan baravar uzoqlikda joylashadi (2.17-rasm). Ikkinchi bissektor 2 .13-rasm. 2.14-rasm. www.ziyouz.com kutubxonasi
tekisligida joylashgan E \ a F nuqtalaming proyeksiyalari (E \ E” va F , F ‘) chizmada ustma-ust tushadi (2.19-rasm). 2.1.6. Proyeksiyalar tekisliklari va koord inatalar o qida joylashgan nuqtalarning chizmalari. Fazoda biror nuqta proyeksiyalar tekisligida yoki proyeksiyalar oqidajoylashishi mumkin. M asalan^eZ/boM sin (2.20-rasm). Bunda/i nuqtaning gorizontal proyeksiyasi/1′ nuqtaning o ziga (A^A’), frontal proyeksiyasi A” esa Ox oqiga proyeksiyalanadi (2.21 -rasm). Shuningdek, nuqta Ox proyeksiyalar oqida ham joylashishi mumkin. Masalan, B eO x bolsa, bu nuqtaning B’ gorizontal va frontal proyeksiyalari shu nuqtaning o ziga proyeksiyalanadi, yani B=B’=B” boladi (2.21-rasm). L’ L ri r 1 ‘ 2.16-rasm. 2.17-rasm. ‘ ‘ HO F ‘m F ‘ www.ziyouz.com kutubxonasi
Turlichoraklardajoylashgan nuqtalam i//va Fproyeksiyalartekisliklariga proyeksiyalash va ularning chizmaiarini tuzishdan quyidagi xulosalarni chiqarish mumkin: Nuqtaning fazodagi vaziyatini uning ikki ortogonal proyeksiyasi tola aniqlaydi. Haqiqatan ham, A nuqtaning berilgan^’ gorizontal va A” frontal proyeksiyalaridan perpendikulyar chiqarilsa, ularning kesishish nuqtasi A nuqtaning fazodagi vaziyatini aniqlaydi (2.4-rasm). Fazodagi har qanday nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox oqiga perpendikulyar boMgan bir boglovchi chiziqda joylashadi. Masalan, A nuqtaning (2.6-rasm) chizmasini yasash uchun //tek islik V tekislik bilan jipslashtirilganda A ‘ALO x va A”AxOx boMgani uchun bu nuqtaning A’ va A” proyeksiyalari Ox oqigaperpendikulyar bo Igan bir togri chiziqda boMib qoladi. Fazodagi har qanday nuqtaning H va V proyeksiyalar tekisliklaridan uzoqliklarini shu nuqta gorizontal va frontal proyeksiyalarining Ox o qigacha boMgan masofalari aniqlaydi. Haqiqatan,^ nuqtadan //tekislikkacha bolgan masofa (2.4-rasm) AA’=A”Ax va F tekislikkacha bolgan masofa AA”=A’A . Demak, A nuqtaning H tekislikkacha bolgan masofasini A “A va V tekislikkacha bolgan masofani ^’^^m asofalar aniqlaydi. 2.2-. Nuqtaning uchta tekislikdagi proyeksiyalari 0 zaro perpendikulyar boMgan uchta proyeksiyalar tekisligi kesishib, fazoni 8 qismga – oktantlarga boMadi (2.22-rasm). Malumki, H tekislik – gorizontal proyeksiyalar tekisligi, V – frontal proyeksiyalar tekisligi deyiladi. Tasvirdagi W tekislik profil proyeksiyalar tekisligi deb ataiadi. Uchta proyeksiyalar tekislikligi o4zaro perpendikulyar joylashgan boMadi, yani HX.VX.W. Bu H, y va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasi deb yuritiladi. Tekisliklaming ozaro kesishishi natijasida hosil bolgan togri chiziqlar proyeksiyalar yoki koordinatalar o qlari deyiladi va Ox, Oy, Oz harflari bilan belgilanadi. Proyeksiyalar oqlarin tashkil qiluvchi Ox – abssissalar o qi, Oy – ordinatlar o qi va Oz – applikatalar o qi deb ataiadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Uchta proyeksiyalar tekisligining o’zaro kesishish nuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Bu sistemada musbat miqdor Ox o qiga (2.22-rasm) koordinatalar boshiO dan chapga, 0 y o qiga kuzatuvchi tomonga va O zoqiga yuqorigaqaratib qo4yiladi. Bu o ‘qlarning qaram a-qarshi tom onlari m anfiy miqdorlar yonalishi bolib hisoblanadi. P royeksiyalar tek islik larida geom etrik sh ak lla rn in g ortogonal proyeksiyalarini yasashni osonlashtirish uchun, odatda, bu tekisliklaming bir tekislikka jipslashtirilgan tekis tasviridan foydalaniladi. Shu maqsadda H tekislikni x-oqiatrofidapastga90ga va PFtekislikni O zoqiatrofidaongga 90 ga aylantirib, V tekislikka jipslashtiriladi (2.23-rasm). Bunda Ox va Oz proyeksiyalar o qlarning vaziyati ozgarmay qoladi (2.24-rasm). /tekislik V tekislikka j ipslashtirilganda Oy o qining musbat yo’nalishi Oz o qining manfiy yonalishi bilan, Oy o qining manfiy yonalishi esa Oz o qining musbat yonalishi bilan ustma-ust tushadi. Shuningdek, profi! proyeksiyalar tekisligi W frontal proyeksiyalar tekisligi Kbilanjipslashtirilganda(>yoqining musbat yonalishi Ox o qining manfy yonalishi bilan, uning manfiy yonalishi Ox oqining musbat yonalishi bilan ustma-ust joylashadi. Geometrik shaklning ortogonal proyeksiyalarini yasashda asosan H, V va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasining koordinatalar oqlaridan foydalaniladi. Shuning uchun chizmada proyeksiyalar tekisliklarini tasvirlash shart emas (2.24-rasm). Shuningdek, tasvimi soddalashtirish uchun koordinata o qlarining manfiy yonalishlari chizmada hamma vaqt ham ko’rsatilmaydi (2.25-rasm). Koordinata oqlarining manfiy yonalishlari nuqtaning qaysi oktantga tegishligiga qarab begilanadi. Amaliyotda nuqta va geometrik shakllarning fazoviy vaziyati va ulaming ortogonal proyeksiyalarigaoid masalalami asosan I-IV oktantlardayechish bilan chegaralaniladi. Nuqtaning proyeksiyalari fazon ing qaysi oktantida joylashuviga qarab proyeksiyalar o qlariga nisbatan turlicha joylashadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
2.2.1. Birinchi oktantda joylashgan nuqtaning chizmasi. FazoningI oktantida joylashgan A nuqta va o zaro perpendikulyar H, V va W proyeksiyalar tekisliklari sistemasi berilgan (2.26-a rasm). A nuqtaning ortogonal proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan proyeksiyalar tekisliklariga perpendikulyarlar o tkazamiz. Faraz qilaylik, A nuqtadan //tekislikka tushirilgan perpendikulyaming asosi A’ bolsin. Mazkur nuqtadan Ftekislikka tushirilgan perpendikulyaming asosini aniqlash uchun A’ dan Ox ga perpendikulyar otkazamiz va bu oqda/1 ni, son g ra ^ dan Oxg perpendikulyarqilibotkazilganchiziqning/i nuqtadan V tekislikka tushirilgan perpendikulyar bilan kesishgan A” nuqtasini topamiz. A nuqtadan W tekislikka tushirilgan perpendikulyam ing asosini (2.26-a rasm ) aniqlash uchun A’ dan Oy o qiga tushirilgan perpendikulyar o tkazamiz vaA y ni belgilaymiz. Songra./4 dan Oy ga perpendikulyar qilib otkazilgan chiziqning A nuqtadan W ga tushirilgan perpendikulyar bilan kesishgan A ‘” nuqtasini topamiz. A nuqtadan W tekislikka tushirilgan perpendikulyaming asosi A'”ni A” dan Oz oqigacha otkazilgan perpendikulyar orqali ham aniqlash mumkin. A nuqtadan H, V va W tekisliklariga otkazilgan perpendikulyarlarning a so s la ri^ ‘,^ ” va A'” nuqtaning ortogonal proyeksiyaiari deyiladi. BundaA’ -nuqtaning gorizontal proyeksiyasi, A ” – frontal proyeksiyasi v a ^ ” ‘ -profil proyeksiyasi deyiladi va A (A ‘^4″‘”) korinishida yoziladi. A nuqtaning chizmasini tuzish uchun V tekislikni qozgatmasdan H va W proyeksiyalar tekisliklarini Ftekislikkajipslashtiramiz(2.26-brasm).^nuqtaningy4″frontal proyeksiyasi V tekislikka tegishli boMgani uchun uning vaziyati o zgarmay qoladi. Gorizontal A’ va profil A”‘ proyeksiyalar / /v a W tekisliklariga mos ravishda tegishli boMgani uchun bu tekisliklar Ox va Ozoqlari atrofida pastga va ongga 90 ga buriladi va 2.26-b, v rasmda korsatilgan vaziyatni egallaydi. A nuqtaning hosil bolgan chizmasida uning A’ va A” proyeksiyaiari Ox ga perpendikulyar bolgan bir proyeksion chiziqda, frontal A va A ‘ profil proyeksiyaiari esa Oz o qiga perpendikulyar bolgan ikkinchi proyeksion chiziqda joylashadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Har qanday nuqtaning fro n ta l va pro fil proyeksiya lari Oz ‘qiga perpendikulyar bo’lgan bitta proyeksion bog’lovchi chiziqdayotadi. 2.26-rasmdan A A ‘~ O A – A A ” ‘ ekanligini ham an iq lash mumkin. Demak, chizmada/4 nuqtanm gJi’ gorizontal va A ” profil proyeksiyalari orasidagi proyeksion bogManish ch iz ig i markazi nuqtada bolgan, radiusi OA ga teng yoy yoki A v nuqtadan 45 da o tkazilgan chiziq yordam idafiosil qilinadi. Shuningdek, A ‘ v a ^ ‘” proyeksiyalar orasidagi proyeksion bogManishni chizm aning doimiy chizigi A A burchak bissektrisasi T^chiziq yordami bilan A ‘A y i” ‘ to g ri burchak orqali ham hosil qilish mumkin. 2.2.2. Ikkinchi oktantda joylashgan nuqtaning chizm asi. Fazodagi nuqta II oktantda joylashgan boMsin. Nuqtaning proyeksiyalarini yasash uchun bu nuqtadan tf, V va W proyeksiyalar tekisiiklariga perpendikuiyarlar otkazamiz (2.27-a rasm). Bu perpendikulyarlaming proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan ‘, B” va ‘” asoslari nuqtaning gorizontal, frontal va profil proyeksiyalari boJadi. nuqtaning chizmasini tuzish uchun / /v a W tekisliklarni Ftekislikkajipslashtiramiz (2.27-b rasm). nuqtaning B” frontal proyeksiyasi V tekislikda bolgani uchun uning vaziyati o zgarmay qoladi. Bu nuqtaning B’ gorizontal va ” ‘ profil www.ziyouz.com kutubxonasi
proyeksiyalari / /v a ifiekisliklariga tegishli bolgani uchun Ox va Oz o qlari atrofida 90 ga harakatlanib, 2.27-v rasmda ko’rsatilgan vaziyatni egallaydi. 2.2.3. Uchinchi oktantda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi C nuqta III oktantda joylashgan bolsin (2.28-arasm). Bu nuqtaning//, V vafV tekisliklaridagi proyeksiyalari C’, C” va C'” boMadi. Nuqtaning chizmasini yasash uchun H va W proyeksiyalar tekisliklarini V tekislik bilan jipslashtiramiz. Bunda//tekislik 90yuqoriga, PFtekisIikesa0zoqi atrofida 90 ga soat strelkasi yo’nalishiga teskari yoknalishda harakatlantirilib, V tekislikkajipslashtiriladi (2.28-b rasm). Cnuqtaning C” frontal proyeksiyasiV tekisiikda boMgani uchun uning vaziyati o4zgarmaydi. Gorizontal C va profil C'” proyeksiyalar Ox va Oz o qlari atrofida harakatlanib, 2.28-v rasmda korsatilgan vaziyatni egallaydi. 2.2.4. To*rtinchi oktantda joylashgan nuqtaning chizmasi. Fazodagi D nuqta IV oktantda joylashgan boMsin (2.29-a rasm). Mazkur nuqtaningH ,V v a W tekisliklardagi proyeksiyalari D, D” va D'” boladi. Nuqtaning chizmasini yasash uchun//va fK tekisliklarini K tekislik bilan jipslashtiramiz (2.29-b rasm). //tek is lik Ox o qi atrofida 90 yuqoriga ko’tarilganda V tekislik bilan jipslashadi, i f tekislik Oz o qi atrofida 90 ga soat strelkasiga teskari yona!ishda harakatlanib, V tekislik vaziyatiga keladi. D nuqtaning D” frontal proyeksiyasi V tekisiikda boMgani uchun vaziyati o zgarmay qoladi, uning D’ gorizontal va D ‘” profil proyeksiyalari Ox va Oz o qlari bo’yicha harakatlanib, 2.29-b rasmda tasvirlangan vaziyatni egallaydi. IV oktantda joylashgan D nuqta proyeksiyalarining koordinataoqlari sistemasiga nisbatan joylashuvi 2.29-v rasmda tasvirlangan. www.ziyouz.com kutubxonasi
2.28-rasm. / I . . D, D ” ‘ www.ziyouz.com kutubxonasi
2.2.5. Proyeksiyalar tekisiiklari va koordinata oqlarida joylashgaii nuqtalarning chizm alari. Birornuqta#proyeksiyalartekisligigategish!i bo’lsin (2.30-a rasm). Bu nuqtaninggorizontal proyeksiyasi mazkur nuqtada (E=Ef), qolgan ikkita proyeksiyasi esa proyeksiyalar oqiariga proyeksiya- lanadi (2.30-a, b rasm). Shuningdek, nuqta koordinata o qlaridan birida, masalan, E nuqta Oz koordinatalar o qida joylashgan bolsa, chizmada uning frontal va profil proyeksiyaiari shu nuqtaning o’zida, gorizontal proyeksiyasi esa koordinata boshida bo ladi (2.30-a, b rasm). a) a) F”-F” 5* Eo r \E’ \ 2.30-rasm. zA A>0 A’ b) 2.3I-rasm.b) z 2fi R /By x V b i B,0 ‘ A 0 ” B” BY y www.ziyouz.com kutubxonasi
Shunday qilib, nuqtani H, Vva PFproyeksiyalar tekisliklariga proyeksiyaash va uningtekis chizmasini tuzishdan quyidagi xulosalarga kelish mumkin: Fazoda berilgan har qanday nuqtaning: gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o qiga perpendikulyar bo’lgan bir proyeksiyalami boglovchi chiziqda joylashadi; gorizontal va profil proyeksiyalari Oy o qiga perpendikulyar bo’lgan bir proyeksiyalami bogMovchi chiziqda joylashadi; frontal va profil proyeksiyalari Oz o qiga perpendikulyar boMgan bir proyeksiyalami bogMovchi chiziqda joylashadi.Nuqtaning berilgan har qanday ikki ortogonal proyeksiyasi orqali uning uchinchi proyeksiyasini yasash mumkin.Masalan, biror ,4 (A’, A “) nuqtaning (2 .31-a, b rasm) ,4″‘ proyeksiyasini yasash uchun: nuqtaning gorizontal proyeksiyasidan Ox ga parallel qilib chiziq o tkaziJadi va uning O yo ‘q i bilan kesishgan A nuqtasi aniqlanadi; OA ni radius qilib, >4 nuqtasi f’tekislikning aylanish harakatiga mos ravishda 90 ga buriladi va liosil boMgan >4 ning yangi vaziyatidan Oz ga parallel chiziq chiqariladi; A” nuqtadan Ozga perpendikulyar chiqarilib, ularningozarokesishuvi A r” nuqta belgilanadi. 2.3-. Nuqtaning togri burchakli koord inatalari va proyeksiyalari orasidagi bogManish Geometriyada har qanday nuqta va shaklning fazodagi vaziyatini o zaro perpendikulyar uchtakoordinatalartekisliklari sistemasiganisbatan aniqlashqabul qilingan.BuusulfransuzmatematigivafaylasuflRene D e k a r t ( l 506-1650) ixtiro qilgani uchun dekart koordinatalar sistemasi deb yuritiladi. Bu sistemada nuqtaning fazodagi vaziyatini uning*, >> va z koordinatalari aniqlaydi. Masalan, fazoda berilgan biror A nuqtaning koordinatalari xA, y A va zA boMadi (2.33-a rasm). Ammo dekart koordinatalar sistem asida stereometrik masalalarni geometrik yasashlar fikran bajariladi, bu esa chizma asboblari yordamida muayyan geometrik shakllami yasash va ulami grafik usullar bilan tahliJ qilish imkoniyatini bermaydi. Fransuz geometri va muhandisi G.Monj dekart koordinatalar sistemasi asosida fazodagi har qanday nuqtaning uchta koordinatasini proyeksiyalar tekisliklari sistemasida ortogonal proyeksiyalari bilan o zaro grafik bogMadi. Haqiqatan, ortogonal proyeksiyalar sistemasida biror nuqtaning berilgan koordinatalari orqai uning proyeksiyalar tekislikaridan uzoqligini aniqlash mumkin. Masalan, biror A nuqtaning (2.33-a, b rasm) W profil proyeksiyalar tekisligidan uzoqligini zA abssissasi, V frontal proyeksiyalar tekisligidan uzoqligini ordinatasi va H gorizontal proyeksiyalar tekisligidan uzoqligini zA appiikatasi kabi koordinatalari aniqlaydi. www.ziyouz.com kutubxonasi
a) b) 2.33-rusm. Birornuqta berilgan koordinatalarigaasosan fazoningturli oktantlaridan birida joylashgan boMishi mumkin. Buni aniqlash uchun takror koordinata oqlarining yo’nalishi (2.22-rasm) ishoralariga asosan quyidagi jadvalni keltiramiz: 1-jadval OktantlarKoordinatalar X zI + + +II + – +III + – -IV + + -V – + +VI – – +VII – – -VIII – + – Bu jadvaldan foydalanib, nuqtaning berilgan koordinatalari ishoralari orqali uning qaysi oktantda joylashganligini aniqlash mumkin. Quyida koordinatalari bilan berilgan nuqtalaming fazodagi vaziyati va chizmasini yasashni korib chiqamiz: l-m asala.^(50,30,60) nuqtaning berilgan koordinatalari boyicha uning fazoviy vaziyati va chizmasi yasalsin. Yechish. A nuqta koordinatalari ishoralariga asosan / oktantda joylashgan ( 1 -jadvalga qarang). Shuning uchun /oktantningproyeksiyalartekisliklari fazoviy modelini va proyeksiyalar o’qlari sistemasini chizamiz(2.34-a rasm). Koordinata boshi dan (\%~5 mm, Oy o ‘qig =30 mm va 0 z o qigaz=60 mm 0lchabqoyamiz v a ^ , ^ vaAt nuqtalami belgilaymiz.A nuqtaninggorizontal A ‘ proyeksiyasini yasasfi uchun A v a /i nuqtalardan Ox va Oy o ‘q lariga* y 32 www.ziyouz.com kutubxonasi
perpendikulyarlar otkazamiz. Bu perpendikulyarlaming kesishish nuqtasi A nuqtaning gorizontal proyeksiyasi A ‘ boMadi. Xuddi shuningdek, A va At nuqtalardan Ox va Oz o qiariga otkazilgan perpendikulyarlaming kesishish nuqtasi A” uning frontal proyeksiyasi Ay va nuqtalardan Oy va Oz oqlarga o tkazilgan. Perpendikulyarlaming kesishish nuqtasi A nuqtaning profil proyeksiyasi A!” boMadi. A nuqtaning fazodagi vaziyatini aniqlash uchun uning A’, A va A'” proyeksiyalaridan H, va W tekisliklariga peendkulyarlar otkazamiz. Bu peendikulyarlaming kesishish nuqtasi A nuqtaning fazodagi omi boMadi. Umuman, A nuqtaning har qanday ikki proyeksiyasidan otkazilgan peendkulyarlaming kesishish nuqtasi A nuqtaning fazoviy ornini aniqlaydi. A nuqtaning chizmasini yasash uchun proyeksiyalar oqlari sistemasida (2.34-b rasm) Ox oqiga 40 mm, Oy o qiga 30 mm va Oz o qiga 60 mm oIchamlami qo’yamiz v a ^ , A va A, nuqtalarga ega bo lamiz. Bu nuqtalardan Oxt Oy va Oz proyeksiyalar o4qlariga o’tkazilgan peendikulyarlaning kesishish nuqtalari A nuqtaning A ‘, A ” va A ” ‘ proyeksiyalarini beradi, yaniA ( A \A ” ,A ” ‘l 2-masala. B(60, -^0 , 70) nuqtaning berilgan koordinatalari boyicha fazoviy vaziyati va chizmasi yasalsin. Yechish. nuqta koordinatalari ishoralariga asosan II oktantdajoylashgan. Nuqtaning proyeksiyalarini yasash uchun proyeksiyalar tekisliklarining fazoviy modelida (2.35-a rasm) koordinata o ‘q la r ig a berilgan **60, y=-4 0, z = 70 qiymatlami qoyamiz va hosil bolgan nuqtalami Bx, By va bilan belgilaymiz. Songra va nuqtalardan va Oy o qlarga, Bx va Bz dan Ox va Oz o qlarga, By va B2 cfan Oy va Oz o qlarga peendikulyarlar o4kazamiz va ularning kesishgan ‘, B” va ‘” proyeksiyalaridan tegishlichaH, Vva W tekisliklarga peendikulyarlar otkazamiz. Bupeendikulyarlaming kesishish nuqtasi izlangan nuqta boladi. Nuqtaning chizmasini yasash uchun proyeksiyalar oqlari sistemasini (koordinatalaming ishoralarini nazarda tutgan holda) chizamiz (2.35-b rasm). 3 – Chizma geometriya 33 www.ziyouz.com kutubxonasi
) b)2.35-rasnt. Koordinataboshi O nuqtadan Q ro q iboylab;cv= 60m m ,0yoqi bo’ylab^,*- 40 mm va Oz o qi boy!ab z =70 mm masofaiami olchab qoyib, Bx, By va Bz nuqtalarga ega bolamiz. Songra yuqorida qayd qilingan tartibda Bx va dan Ox v aO y o qiga, Bx vaB dan Ox va O yoqiga, Bx v a -.dan Ox va Oz c/qiga peendikulyarlar otkazib, B’ va ” proyeksiyalarini anqlaymz. Nuqtaning profil “‘ proyeksiyasini yasash uchun nuqtani Oz o qiga jipslashgan 0 y o qidan Ox oqigajipslashgan O yoqiga kochiramiz. Bu nuqtadan O y o q iga va nuqtadan Oz o qiga o tkazilgan perpendikulyarlarning kesishisfi nuqtasi B ‘” bo!adi. Shunday qilib, nuqtaning berilgan koordinatalariga kora uning ortogonal proyeksiyasi yasaldi, yani ( ‘, , ‘”). Nazorat savollari 1. Fazo kvadrantlari yoki choraklari nima?2. Tekis yoki kom pleks chizma nima?3. Nuqtaning gorizontal va frontal proyeksiyalari tekis chizmada qanday joylashadi?4. Nuqtaning frontal va profil proyeksiyalari tekis chizmada qanday joylashadi?5. Bissektor tek islik lari nima va ularga tegishli nuqtalam ing proyeksiyalari chizmada qanday joylashadi?6. Proyeksiyalar tekisliklariga tegishli nuqtalam ing proyeksiyalari chizm ada qanday tasvirlanadi?7. Nuqtaning berilgan ikki proyeksiyasiga asosan uchinchi proyeksiyasi qanday yasaladi?8. Uchinchi, to rtinchi, beshinchi, oltinchi oktantlarda joylashgan nuqtalam ing koordinata qiym atlari ishorasi qanday boladi? www.ziyouz.com kutubxonasi
III bob. T 0 4G 4RI C H IZ IQ N IN G O RTO G O N AL PR O Y EK SIY A L A R I 3.1-. Umumiy vaziyatdagi togri chiziqning ortogonal proyeksiyalari Togri chiziq eng oddiy geometrik shakl hisoblanadi. Bir-biridan farqli ikki nuqta orqali faqat bitta tog4ri chiziq o tkazish mumkin. Agar fazodagi bir-biridan farqli ikkita>4 va^nuqtalam i ozarotutashtirib, ikki qarama-qarshi tomonga cheksiz davom ettirilsa, a togri chiziq hosil boMadi (3.1-rasm). Togri chiziqning ikki nuqta bilan chegaralangan qismi shu to ‘g’richiziq kesmasi deyiladi. Togri chiziqlar a, b, c kabi yozma harflar bilan belgilanadi. A garto4gri chiziqlar chegaralangan bolsa, u holda AB, CD, EF. tarzida belgilanadi. Tog4ri chiziqning proyeksiyalar tekisliklaridagi proyeksiyalari holatini uning ikki ixtiyoriy nuqtasining proyeksiyalari aniqlaydi. Masalan, 3.1-a rasmda berilgan a togri chiziqning ortogonal proyeksiyalarini yasash uchun bu chiziqqa tegishli ikki A va B nuqtalarning ortogonal A \ A ” va B \ B” proyeksiyalari yasaladi. Bu ikki nuqtaning bir nomli proyeksiyalarini tutashtiruvchi d va a” chiziqlar fazoda berilgan a togr chiziqning gorizontal va frontal proyeksiyalari boladi. Shuningdek, AB kesma va uning AB va A “B proyeksiyalari a togri chiziqning fazodagi vaziyatini va uning a \ a proyeksiyalarini aniqlaydi (3.1-b rasm). Tarif. Proyeksiyalar tekisliklarining birortasiga parallel yoki perpendikulyarbo4lmagan togri chiziq umumiy vaziyatdagi togri chiziq deyiladi. .o www.ziyouz.com kutubxonasi
Togri chiziqning gorizontal va frontal proveksivalariga asosan uning profil proyeksiyasini ham yasash mumkin. Buning uchun uning yuqorida tanlab olingan A va B nuqtalarining profil proyeksiyalari yasaladi va ular o zaro tutashtiriladi (3.2-a, b, v rasm).+ T o ‘g ri chiziq proyeksiyalari faqat uning kesmasi proyeksiyalari orqaliginaemas, balki ixtiyoriy qsmi bilan ham berilishi mumkin. Umumiy vaziyatdagi to g ri chiziqning ortogonal proyeksiyalari tog ri chiziq bo’ladi va ular proyeksiyalar oqlariga nisbatan ixtiyoriy burchaklarni tashkil etadi. Bu burchaklar a, (3, yharflari bilan belgilanadi. Bu a, p, /burchaklar/5 kesmaning //, V, Wproyeksiyalar tekisliklari bilan mos ravishda hosil qilgan burchaklaridir, yani a=ABAH, f=ABAV, y=ABAW. Umumiy vaziyatdagi togri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisliklariga qisqarib proyeksiyalanadi.Uning haqiqiy uzunligini aniqlash keyingi paragraflarda koriladi. Proyeksiya tekisliklari bilan b ir xil burchak tashkil qilgan to gri chiziqlar. Agar birortogri chiziq fazoda H, F va W lar bilan bir xil burchak hosil qilib joylashgan bolsa, uning A B kesmasining uchala proyeksiyalari o zaro teng, yani AB*H=AB*V=AB”W boMsa, A’B,=A”B”=A”,B”‘ boMadi. Bunda A*B,stB nA ” teng yonli trapetsiyadan \B’~2B”=3A” va \B’=3B'”, demak, 3A'”=3B'” bolgani uchun Z3A”B”=45a boladi. Shu bilan birga A'”B'”\\A”B” bolib, Ax=Ay=Az boladi. S’ S 6′ www.ziyouz.com kutubxonasi
3.2-. Xususiy vaziyatdagi to gri chiziqlarning proyeksiyalari Tarif. Proyeksiyalar tekisligiga parallel yoki per- pendikulyar bo’lgan togri chiziq xususiy vaziyatdagi togri chiziq deyiladi. 3.2.1. Proyeksiyalar tekisligiga parallel togri chiziqlar.Gorizontal togri chiziq. Gorizontal proyeksiyalar tekisligi H ga parallel togri chiziq gorizontal chiziq (yoki gorizontal) deb ataladi (3.3-a, b rasm).Gorizontalning barcha nuqtalari //tekislikdan baravar masofada (AA’=BB’) bolgani uchun chizmada uning h ” frontal proyeksiyasi Ox o’qiga, /'”profil proyeksiyasi esa Oy oqiga parallel boladi. Gorizontalning h ‘ gorizontal proyeksiyasi ixtiyoriy vaziyatda boladi. Bu chiziq kesmasining gorizontal proyeksiyasi ozining haqiqiy o’ichamiga teng boMib proyeksiyalanadi. Chizmadagi /3 va y burchaklar h gorizontalning Kva iFtekisliklari bilan mos ravishda hosil qilgan burchaklarining haqiqiy kattaligi boMadi, yani: h\\H=>h”\\Ox va ti”\\Oy, A’B’~\AB\y ^ = h ^V va y= h*W. Frontal togri chiziq. Frontal proyeksiyalar tekisligi V ga parallel togri ch’mqfrontalto g richiziq (yoki frontal) (3.4-a, b rasm) deb ataladi. Frontalning barcha nuqtalari Ktekislikdan baravar masofada boMgani uchun chizmada uning / gorizontal proyeksiyasi Ox oq iga,/” profil proyeksiyasi esa Oz oqiga parallel boMadi. Frontalning frontal/ ‘ proyeksiyasi ixtiyoriy vaziyatda boladi. Mazkur chiziq kesmasining frontal proyeksiyasi uning haqiqiy olchamiga teng bolib proyeksiyalanadi. Chizmadagi a va /3burchaklar/frontaln ing// va W proyeksiyalar tekisliklari bilan mos ravishda hosil qilgan burchaklarining haqiqiy kattaligi boladi, yani: / j | F=>/’|| Ox va f'” \\O z, A”B”=\AB\, a = f * H x z y = f W . www.ziyouz.com kutubxonasi
y LJS J L ‘ ‘ ‘ y ,/ a) b)3.4-rasm. Profil to g ri chiziq. Profil proyeksiyalartekisligi W ga parallel bolgan togri chiziq profil to g ri chiziq (yokiprofil) deb ataladi (3.5, a, b-rasm). Profilning barcha nuqtalari fFtekislikdan baravar masofada bolgani uchun chizmada uning gorizontal proyeksiyasi Oy o qiga parallel, frontal proyeksiyasi Oz o qiga parallel boMadi. Profilning profil proyeksiyasi ixtiyoriy vaziyatda joylashgan boIadi. Mazkur chiziq kesmasining profil proyeksiyasi o zining haqiqiy olchamiga teng bolib proyeksiyalanadi. Chizmadagi ava/3burchaklarprofilchiziqningH va V tekisliklarbilan mos ravishda tashkil etgan burchaklarining haqiqiy kattaligi boIadi, yani: 3.2.2. P royeksiyalar tekisligiga perpendikulvar togri chiziqlar.Proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar tog ri chiziqlar proyeksiyalovchi to ‘g ‘ri chiziqlar deb ataladi. Gorizontal proyeksiyalovchi togri chiziqlar. Gorizontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar togri chiziq gorizontal proyeksiyalovchi to g ‘ri chiziq deb ataladi (3.6-a, b rasm). Bu togri chiziq //tekislikka nuqta bolib p\\W=>p,\\Oy\*p”\\Oz, A'”B ‘”= \AB\,a=p*H \z.=p*V. z www.ziyouz.com kutubxonasi
3.6-rasm. proyeksiyalanadi. Uning frontal va profil proyeksiyalari Oz o qiga parallel boladi. Bu tog4ri chiziq kesmasi V va W ga ozining haqiqiy o4lchami boyicha proyeksiyalanadi. F ro n ta l proyeksiyalovchi to g r i chiziqlar. Frontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar togri chiziqfrontal proyeksiyalovchi to g ‘ri chiziq deb ataladi (3.7-a, b rasm). Bunday to 4g 4ri chiziq V tekisligiga nuqta bolib proyeksiyalanadi. Uning gorizontal va profil proyeksiyalari Oy o qiga parallel boMadi. Bu togri chiziq kesmasi H x a W proyeksiyalar tekisliklariga o zining haqiqiy o lchami bo4yicha proyeksiyalanadi. Profil proyeksiyalovchi to gri chiziqlar. Profil proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar togri chiziq profil proyeksiyalovchi to g ri chiziq deb ataladi (3.8-a, b rasm). Bu togri chiziqlar profil tekisligiga nuqta bolib proyeksiyalanadi. Uning gorizontal va frontal proyeksiyalari Ox o ‘q iga parallel boMadi. Bu togri chiziq kesmasi H va V ga ozining haqiqiy oMchami boyicha proyeksiyalanadi. 3.2.3. Proyeksiyalar tek islik lari va koordinata o q Iarig a tegishli togri chiziqlar. To4gri chiziqlar H ^ V x a W proyeksiyalar tekisliklariga va Ox, Oy, Oz proyeksiyalar oqlariga tegishli boMishi mumkin. 3 .7-rasm. 39 www.ziyouz.com kutubxonasi
a) b) 3.8-rasm. Agar to gri chiziq biror proyeksiyalar tekisligiga tegishli bolsa, bu togri chiziqning bir proyeksiyasi bevositatogri chiziqning oziga, qolgan ikki proyeksiyasi esa koordinatalar o qiga proyeksiyalanadi. Masalan, CD (C D ‘, C “D “) togri chiziq frontal proyeksiyalar tekisligi V ga tegishli boMgani uchun (3.9-brasm), uning C”D” frontal proyeksiyasi mazkurtogri chiziqqa, gorizontal C D ‘ proyeksiyasi
3.3-. Togri chiziq kesm asini berilgan nisbata boIish Parallel proyeksiyalashning xossasiga asosan biror nuqta fazodagi togri chiziq kesmasini qanday nisbatda bolsa, uning bir nomli proyeksiyalari togri chiziq kesmasining proyeksiyalarini ham shunday nisbatlarda boMadi. 3.11 -a, .b rasmda berilgan chizmaga asosan nuqta AB kesmani A C :CB nisbatda bo’lgan, deb qabul qilinsin. Yuqoridagi xossaga binoan, nuqtaning proyeksiyalari AB kesmaning proyeksiyalarini xuddi shunday nisbatlarda boladi, yani AC :CB=A’C: C’B’=A”C”: C”B”. Togri chiziqqategishli nuqtaning bunday xususiyatidan foydalanib, har qanday togri chiziq kesmasini ixtiyoriy nisbatda proporsional bolaklarga bolish mumkin. Masalan, 3.12-rasmda berilgan AB(A’Br, A”B”) togri chiziq kesmasini teng 5 boMakka boMish uchun kesmaning ixtiyoriy, masalan, gorizntal proyeksiyasining A’ uchidan ixtiyoriy burchakda yordamchi a tog’ri chiziq otkaziladi. Bu tog*ri chiziqqa ixtiyoriy oMchamli teng kesmalar besh marta qoyib chiqiladi. Songra 5 va ‘ nuqtalar ozaro tutashtirilib, 4,3, 2 va / nuqtalardan 5B chiziqqa parallel chiziqlar otkaziladi. Natijada A ‘B ‘ kesma 5 ta teng boMinadi. Togri chiziq kesmasining gorizontal A’B’ proyeksiyasidagi bu nuqtalardan foydalanib, kesmaning A “B frontal proyeksiyasini proyeksion boglanish chiziqlari yordamida teng 5 boMakka bolish qiyin emas. Chizmadagi nuqtayii? to*gri chiziq kesmasini AC:CB=3:2 nisbatda boladi. 3.4-. Togr i chiziqning izlari Tarif. Togri chiziqning proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishish nuqtalari togri chiziqning izlari deyiladi. Umumiy vaziyatdagi togri chiziq hamma proyeksiyalar tekislikiarini kesib o’tadi. Biror a togri chiziqning gorizontal proyeksiyalar tekisligi bilan www.ziyouz.com kutubxonasi
3. ll-rasm. CB A 1 . . . .j. , A / I / / c 3.12-rasm.B* kesishgan nuqtasi uning gorizontal izi, frontal proyeksiyalar tekisligi bilan kesishgan nuqtasi frontal izi deyiladi. Shuningdek, togri chiziqning profil proyeksiyalar tekisligi bilan kesishgan nuqtasi uning profil izi deyiladi: arrf
3.13-rasm. bu nuqtadan Ox oqiga perpendikulyar o tkaziladi; tog4ri chiziqning frontal proyeksiyasi a” bilan perpendikulyarning kesishish nuqtasi uning frontal izining frontal proyeksiyasi av”=ay boMadi.Togri chiziqning profil izini yasash uchun (3.14-rasm): uning frontal proyeksiyasi Oz o qi bilan kesishguncha davom ettiriladi; hosi! bolgan a nuqtadan Oz ga perpendikulyar chiqariladi; to g ri chiziqning profil proyeksiyasi bu perpendikulyar bilan kesishguncha davom ettiriladi va awm a ^ n aniqlanadi yoki togri chiziqning d gorizontal proyeksiyasi Oy o qi bilan kesishguncha davom ettiriladi; hosil boMgan nuqtadan Oy o qiga perpendikulyar chiqariladi; uning a dan Oz ga chiqarilgan perpendikulyar bilan kesishish nuqtasi o to gri chiziqning profil izining profil proyeksiyasi boladi.Shakldagi a j a j ‘ nuqtalar m azkur a to g ri chiziq profil izining gorizontal va frontal proyeksiyalari boMadi. a ” nuqta a to gri chiziq profil izining profil proyeksiyasidir. www.ziyouz.com kutubxonasi
3.5-. Umumiy vazivatdagi togri chiziq kesmasining haqiqiy uzunligini va proyeksiyalar tckisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash Umumiy vaziyatda joylashgan togri chiziq kesmasining proyeksiyalari orqali uning haqiqiy olchamini va proyeksiyalartekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash masalasi amaliyotda kop uchraydi. A B to gri chiziq kesmasi hamda uning H , V va W tekisliklardagi proyeksiyalari berilgan bo lsin (3.15-a rasm). Kesmaning/i nuqtasidan AE\\A’B togri chiziq o4tkaziladi va togri burchakli AABE hosil qilinadi. Bunda BE=BB’-AA\ bu yerda AA^EB ‘ bolgani uchun BE=BB’~EB’ =Az boladi. Togri burchakli ABE uchburchakning AB gipotenuzasi A E katet bilan a burchak hosil qiladi. Bu burchak AB kesmaning H tekislik bilan hosil qilgan burchagi boiadi. Togri chiziq kesmasining V proyeksiyalar tekisligi bilan hosil qilgan burchag in i aniqlash uchun t o g ri burchakli A B F uchburchakdan foydalanam iz. Bu uchburchakning BF kateti AB kesmasining frontal proyeksiyasi A”B” ga, ikkinchi AF kateti uning A va B uchlarining V tekislikdan uzoqliklarining ayirmasiga teng boMadi. Bunda AF=AA-BB” bolib, BB=FA” boigani uchunAF=AA-F A “= ^ybo l \ad\. Togri burchakli ABF ning AB gipotenuzasi BF katet bilan hosil qilgan (3 burchak AB kesmaning V tekislik hosil qilgan burchagi boladi. 3.15-b rasmda AB kesmaning W tekislik bilan hosil qilgan y burchagini aniqlash korsatilgan. Bu burchakni aniqlash uchun togri burchakli AABF dan foydalanamiz. Bu uchburchakning bir kateti AB kesmasining profi\A ‘”B”‘ proyeksiyasiga, ikkinchi AD kateti A v a B uchlarining i f tekislikdan uzoqliklari ayirmasiga teng boladi. Bunda AD=AA”-BB”‘ bollib, B B ‘”-D A ” bo’lgani uchun AD=AA'”-DA'”=Ax boMadi. Chizmada kesmaning berilgan proyeksiyalari orqali uning haqiqiy uzunligi va proyeksiyalar tekisliklari bilan hosil qilgan burchaklarini aniqlash uchun yuqoridagi fazoviy inodel asosida togri burchakli uchburchaklar yasaladi. Shuning uchun bu usul to g ri burchakli uchburchak usuli deb yuritiladi. S.lS-rasm, www.ziyouz.com kutubxonasi
) ) Masalan. AB kesmaning ”, ” ” va ‘” ‘” proyeksiyalariga asosan uning (3.16- rasm) haqiqiy oMchami va t f bilan hosil qilgan a burchagini aniqlash uchun to g kri burchak li A ‘B ‘B 0 uchburchak yasa lad i. Bu uchburchakning bir kateti kesmaning gorizontal proyeksiyasiga, ikkinchi kateti esa kesmaning A va uchlari appkatalari ayirmasi Az ga teng boMadi. Bu uchburchakning ^ ‘5 ()gipotenuzasi AB kesmaning haqiqiy oMchami A ‘B = A B bolib, ABAH ~ZB’A ‘B0=a boladi. Kesmaning V tekislik bilan hosil qilgan burchagini aniqlash uchun tolglri burchakli A /f’ ‘^yasalad i. Bu uchburchakning bir kateti kesmaning frontale “5” proyeksiyasiga, ikkinchi kateti esa.A B kesmauchlari ordinatalari ay irm asi y ga teng b o lad i. H osil b o lgan ” = boMib, AB*V=AA”B”A= boMadi. AB kesmaning W tekislik bilan hosil qilgan burchagini aniqlash uchun esa togri burchakli AA'”B”‘A0 ni yasaymiz (3.16-b rasm). Bu uchburchakning bir kateti kesmaning profil A f”B ” ‘ proyeksiyasi, ikkinchi kateti kesma uchlarining W tekislikdan uzoqiiklarining abssissalar ayirmasi Ax boladi. Hosil bolgan B,f,A= AB \\, \=/.”‘B”A=yten% boladi. 3.6-. lkk i togri chiziqning o zaro vaziyatlari Ikki togri chiziq fazoda o’zaro parallel, kesishuvchi yoki ayqash vaziyat- larda bolishi mumkin. 3.6.1. Parallel to4gri chiziqlar. Tarif. Agar ikki togri chiziqning kesishuv nuqtasi bo imasa (yoki umumiy xosmas nuqtaga ega boMsa), ular parallel togri chiziqlar deyiladi. Parallel proyeksiyalaming xossasiga asosan parallel to gri chiziqlaming birnomli proyeksiyalari ham ozaro parallel boladi (3.17-a, b rasm), yani a\\b boIsa, u holda a’\\b’, a\\b”, ” W ” boMadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
Fazodagi umumiy vaziyatda joylashgan parallel togri chiziqlaming ikkita bir nomli proyeksiyalari o zaro parallel bolsa, ularning uchinchi proyeksiyalari ham ozaro parallel boMadi. Ammo to g ri chiziqlar biror proyeksiyalar tekisligiga parallel bolsa, u holda yuqorida keltirilgan shart bajarilmaydi. Masalan, W tekislikka parallel bo igan profil tog ri chiziq kesmalarining bir nomli gorizontal va frontal proyeksiyalari (p v a n n in g o zaro parallel bolishi yetarli bolmaydi (3.18- a rasm). Bunday hollarda togri chiziqlaming profil proyeksiyalarini yasash zarur. B undap ” ‘\\p 2′” bolsa, bu to gri chiziqlar ozarb parallel boMadi. Agarp C \p ” boMsa, bu togri chiziqlar ayqash boladi. Shuningdek, bu togri chiziqlaming ozaro vaziyatini profil proyeksiyalaridan foydalan- masdan ham aniqlash mumkin. Buning uchun: to g ri chiziq kesmalari bir nomli proyeksiyalarining nisbatlari tengligini aniqlaymiz. Kesmaning biror, masalan, D’, D nuqtasidan ixtiyoriy X www.ziyouz.com kutubxonasi
(otkir burchak ostida) parallel chiziqlar o tkazib, D’\=A’B’ va D”2=A”B” kesmalar qoyiladi (3.18-b rasm). Songra 1 va 2 nuqtalami va ” bilan tutashtiramiz. Agar ‘ 1 jjC”2 bolsa, bu to gri chiziqlar ozaro parai lel bo ladi. Aks holda bu togri chiziqlar ayqash to gri chiziqlar ekanligi isbotlanadi; togri chiziq kesmalarining bir nomli nuqtalarini o zaro kesishadigan qilib togri chiziqlar bilan tutashtiramiz (3.18-b rasm). Agar chiziqlaming kesishish nuqtasining ‘ va E” proyeksiyalari bir bogMovchi chiziqda bo Isa, u holda CD va AB to4gri chiziqlar bir tekislikka tegishli va ozaro parallel bo ladi. 3.6.2. Kesishuvchi togri chiziqlar. Tarif. Agar ikki togri chiziq fazoda umumiy bir (xos) nuqtaga ega boMsa, ular kesishuvchi togri chiziqlar deyiladi. Fazodagi togri chiziqlar kesishish nuqtasining proyeksiyasi shu to gri chiziqlar proyeksiyalarining kesishish nuqtasidaboMadi (3.19-rasm). Kesishuvchi togri chiziqlaming bir nomli proyeksiyalari ham chizmada ozaro kesishadi va kesishish nuqtasi proyeksiyalari bir proyeksion bog’ lovchi chiziqda bo ladi. Fazoda umumiy vaziyatda kesishuvchi togri chiziqlar berilgan bolsa, bu to- gri chiziqlaming faqatikkita bir nomli proyeksiyalariningkesishishikifoyaqiladi. Agar kesishuvchi chiziqlaming biri proyeksiyalar tekisligining birortasiga parallel bolsa, u holda ulaming ikkita bir nomli proyeksiyalarining ozaro kesishuvi yetarli bolmaydi. Masalan, AB va F to^^ i chiziq kesmalarining biri Fkesm a tekislikka paralleljoylashgan(3.19-v rasm). Bu chiziqlaming o zaro vaziyatini ulaming profil proyeksiyalarini yasash bilan aniqlash mumkin. Agar kesishish nuqtasining proyeksiyalari bir boglovchi chiziqda joylashsa, bu togri chiziqlar ozaro kesishadi, aks holda togri chiziqlar kesishmaydi. 3.6.3. Ayqash tog ri chiziqlar. Ta*rif. Ikki to gri chiziq ozaro parallel bolmasa yoki kesishmasa, ular ayqash togri chiziqlar deyiladi. Malumki, parallel va kesishuvchi togri chiziqlar bitta tekislikka tegishli boladi. Uchrashmas togri chiziqlar esa bir tekislikdayotmaydi (3.20-a, b rasm). Uchrashmas togri chiziqlaming bir nomli proyeksiyalari chizmada ozaro kesishsa ham, kesishish nuqtalari bir bogMovchi chiziqqa tegishli bolmaydi. Masalan, 3.20-rasmda AB
3.19-rasm. 3.7-. Togri burchakning proyeksiyalanish xususiyatlari Teorema. Agartogri burchakning bir tomoni tekis- likkaparallel bolib, ikkinchi tomoni bu tekislikka per- pendikulyarbolmasa, mazkurtogri burchak shu tekislikka haqiqiy kattalikda proyeksiyalanadi. Bu teoremani isbotlash uchun 3.21-a rasmdan foydalanamiz. Shakldagi ZABC=90 ga teng va uning ikki tomoni tekislikka parallel vaziyatda joylashgan deb faraz qilamiz. Bu vaziyatda uning gorizontal proyeksiyasining qiymati o ziga teng bolib proyeksiyalanadi, yani Z A ‘B ‘C -90 boladi. Togri burchakning BC tomonidan //tekislikka peendikulyar qilib P tekislik o’tkazamiz. U \\oida. AB L P bo lib, HnP= PH hosil boIadi. Agartogri burchakning BC tomonini AB tomoni atrofida aylantirib, ixtiyoriy C, vaziyatga kehirsak ham uning bu tomonining proyeksiyasi PH bilan ustma- ust tushadi. Shunga kora, Z A B C ^Z A ‘B ‘C ‘^9 0 boladi. Demak, ABC=90bolib, AB \\H \ a bolsa, Z A B ‘C = 90 boIadi. www.ziyouz.com kutubxonasi
3.20-rasm. 3.21-rasm. Chizmada ABC(AB\\H) va /.D EF(D E\\V) to g ri burchaklarning tasvirlanishi 3.21 -b, v rasmlarda keltirilgan. Togri burchakningproyeksiyalanish xususiyatidan chizmageometriyada metrik masalalami yechishda keng foydalaniladi. 3.8-. Chizm alarda korm ishlikni aniqlash Geometrik shaklning fazodagi o zaro vaziyatlariga oid m asalalar yechishda tasvirlami yaqqollashtirish maqsadida ularning korinadigan va korinmay digan qismlarini aniqlashga to gri keladi. Faqatbirinchi oktantdajoylashgan geometrik shakllaming kuzatuvchiga nisbatan yaqin turgan elementlari ko’rinadi. uning orqasidagi elementlari korinmaydi. Boshqa oktantlarda joylashgan shakl yoki uning tarkibiy qismi korinmas deb hisoblanadi. Geometrik shakllaming kuzatuvchiga nisbatan chizmada korinishligi konkurent nuqtalardan foydalanib aniqlanadi. 4 – Chizm a geomelriya 49 www.ziyouz.com kutubxonasi
Tarif. Bitta proyeksiyaiovchi nurda (to ‘g ‘ri chiziqda) joylashgan nuqtalar konkurent nuqtalar deyiladi. A g a rk u z a tu v c h i p ro y ek siy a io v c h i n u ry o nalish ida k o n k u ren t nuq ta larga q a ra sa , u o ziga yaq in b o lgan n u q ta n i yoki proyeksiyalar tek islig idan uzoqroq jo y la s h g a n nuq tan i k o rad i. Masalan, 3.22-a rasmda berilgan bir proyeksiyaiovchi nurda joylashgan va V ga nisbatan konkurent boMgan A va nuqtalarga s yonaIsh boyicha qaralganda, kuzatuvchiga yaqin boMgan yoki Ktekislikdan uzoqroq joylashgan nuqta korinadi. Shuningdek, H ga nisbatan konkurent boMgan va D nuqtalarga 5| yonalish boyicha qaraisa, //tekislikdan uzoqroq joylashgan nuqta korinadi. Chizmada konkurent nuqtalaming korinishligini ulaming koordinatalari orqali aniqlash ham mumkin. Konkurent nuqtalarning H tekislikka nisbatan korinishligini z applikatasi, tekislikka nisbatan y ordinatasi va tekislikka nisbatan ; abssissasi aniqlaydi. H tekislikka nisbatan applikatasi eng katta boMgan konkurent nuqta kuzatuvchiga korinadi. 3.22-b rasmda (‘, “), (“, “), ( , “), D (>’, D”) konkurent nuqtalarningproyeksiyalari berilgan. B unday^^vaz^z^boM gan i uchunV tekislikka nisbatan nuqta, //tek islikka nisbatan nuqta korinuvchi nuqtalar boMadi. Fazoda turli vaziyatlarda joylashgan geometrik shakllaming chizmada k o rin ishlig i ularga teg ish li boMgan ayrim konkurent nuqtalam ing ko^rinishligini tekshirish yoMi bilan aniqlanadi. 3.22 va3.23-a rasmda a (d , d ‘)v & b (b \ b”) uchrashmastogri chiziqlar berilgan. Bu togri chiziqlar gorizontal proyeksiyalamingo4zarokesishgan va H ga nisbatan k onku ren t boMgan nuqtalari l ‘= 2 ‘ ustm a-ust proyeksiyalangan. Bu nuqtalardan qaysi biri korinishligini aniqlash uchun “=8” HO C’aD’ 3.22-. www.ziyouz.com kutubxonasi
ulaming gorizontal proyeksiyasidan proyeksiyalovchi chiziq o tkazib, to g ri chiziqlarning frontal a” va b” proyeksiyalarida 1 ” va 2″ nuqtalar belgilanadi va z> z2 ekaniigi aniqlanadi. Natijada a chiziqqa tegishli 1 nuqta kuzatuvchiga korinadi, b chiziqqa tegishli 2 nuqta esa uning ostida boladi. Demak, a (a’, a”) va b (b1, b”) togri chiziqlarga yuqoridan qaraganda, a tog4ri chiziq b to ‘g ‘ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqin joylashgan. 3.23-b rasmda ham (c\ ) va d (d\ d ) chiziqlarga V ga nisbatan qaraganda y 3>y4 bolgani uchun 3 nuqta kuzatuvchiga korinadi. Shuning uchun (cf, c ) va d (d\ d”) togri chiziqlarga oldidan qaraganimizda d to4gbri chiziq tog4ri chiziqqa nisbatan kuzatuvchiga yaqinroq joylashgan. Nazorat savollari 1. Tog ri chiziqning proyeksiyalari qanday hosil bo ladi?2. Umumiy vaziyatdagi to gri chiziq nim a?3. Tog ri chiziqning izlari nima?4. Qanday xususiy vaziyatdagi togri chiziqlami bilasiz?5. Umumiy vaziyatdagi togri chiziq kesmasininghaqiqiy uzunligi qanday yasaladi?6. 0 zaro parallel to g ri chiziqlarning proyeksiyalari qanday boladi?7. K esishuvchi va ayqash to g ri ch iz iq la rn in g proyeksiyalari b ir -b ir id a n qanday farqlanadi?8. Tog ri burchakning proyeksiyalanishi haqidagi teorem ani tushuntirib bering .9. K orinishlikni aniqlashda konkurent nuqtalardan qanday foydalaniladi? www.ziyouz.com kutubxonasi
IV bob. TEKISLIK VA UNING| ORTOGONAL PROYEKSIYALARJ’ 4.1-. Tekislikning berilishi Tekislik birinchi tartibli sirt hisoblanadi. Chunki u birinchi darajali algebraik tengiama bilan ifodalanadi, yani: x_+ y_+ z__ J a b c Ortogonal proyeksiyalarda tekislikning fazodagi vaziyaiuningberilishini taminlovchielementlaming proyeksiyalari orqali aniqlanadi. Umumiy holda tekislikning fazoviy vaziyatini bir togri chiziqqa tegishli bolmagan uchta nuqta aniqlaydi. Haqiqatan,4.1-rasmdagi A, B va C nuqtalar fazoda biror Q tekislikning vaziyatini aniqlaydi. Bu nuqtalardan har birining fazoviy omi ozgarishi bilan tekislikning vaziyati ham fazoda ozgaradi. Uchta nuqtaning ikkitasi orqali hamma vaqt bir to gri chiziq otkazish mumkin. Shuningdek, 4.1-rasm.u ch ta nuq ta y o rd am id a ikki para lle l vakesishuvchi chiziqlar o tkazish yoki tekis geometrik shakl (masalan, uchburchak) hosil qilish mumkin. Chizma geometriyada tekisliklar quyidagi hollar bilan beriladi: bir togri chiziqqa tegishli bolmagan uchta nuqtaning proyeksiyalari bilan (4.2-a rasm); bir togri chiziq va unga tegishli bolmagan nuqtaning proyeksiyalari bilan (4.2-b rasm); ikki parallel togri chiziq proyeksiyalari bilan (4.2-v rasm); ikki kesishuvchi to g ri chiziq proyeksiyalari bilan (4.2-g rasm); tekis geom etrik shakllarn ing ortogonal proyeksiyalari orqali (4 .2-d rasm).Shuningdek, tekislik proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishish chiziqlari orqali berilishi ham mumkin. Masalan, 4.3-rasmda P tekislik H, V va W proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan P ^ P^ Pw chiziqlar orqali berilishi korsatilgan. Agar biror tekislik proyeksiyalar tekisliklari bilan bir xil ogish burchagi hosil qilsa, uning ikkita izi bir to gri chiziqda yotadi. Uchinchi izi esa proyeksiyalarining oq bilan 45 burchak hosil qiladi (4.3-v rasm). www.ziyouz.com kutubxonasi
g) d)4.2-rasm. a) b) www.ziyouz.com kutubxonasi
4.2-. Tekislikning izlarini yasash Tarif. Tekislikning proyeksiyalar tekisliklari bilan kesishgan chiziqiari tekislikning izlari deyiladi. P tekislikning H tekisiik bilan kesishgan PH=Pr\H chizigi uning gorizontai izi, V tekisiik bilan kesishgan P ^ P n V c h m g ‘i frontal izi va W tekisiik bilan kesishgan P w=Pc\W chizigi profil izi deb ataladi. Tekisiik shu tarzda berilsa, izlari bilan berilgan tekisiik deb yuritiladi va P(PfP Py, Pw) tarzida yoziladi. Tekislikni chizmada izlari bilan tasvirlash ancha qulay va afzaldir. Tekislikning Ox, O yva O z koordinata oqlari bilan kesishgan nuqtalari Px, P ^ P_ bilan belgilanadi, yani P=Pr\O x,P=Pr\O y, P=Pr\Oz, Bu nuqtalar tekislikning ikkita izi kesisiiishidan hosil boMadi.Tekisiik qanday tarzda berilishidan qati nazar, uning izlarini ortogonal proyeksiyalarda yasash mumkin.Har qanday geometrik shakllar orqali berilgan tekislikning izlarini yasash mazkurtekislikkategishli boMgan togri chiziqlar izlarini yasash bilan bajariladi. Buning uchun tog*ri chiziqningtekislikkategishlilikxususiyatidanfoydalaniladi. 4.4-rasmda ar\b kesishuvchi chiziqlar bilan berilgan tekislikning gorizontai izini yasash uchun togri chiziqlar gorizontai izlarining d d ‘ ^ va b’H, b”H proyeksiyalarini topamiz. Agar togri chiziqlar gorizontai izlarining gorizontai d H va b’Hproyeksiyalarini o zaro tutashtirsak, tekislikning /^gorizontai izini hosil qilamiz. Xuddi shu tarzda tekislikning Py frontal izini yasash uchun kesishuvchi togri chiziqlar frontal izlarining d ya ” va b \ .b ” proyeksiyalarini yasaymiz. Songra togri chiziqlar frontal izlarining frontal a “y\ a by proyeksiyalarini tutashtirsak, tekislikning /^frontal izini hosil qilamiz. Tekisiik PH va P y izlarining Px kesishish nuqtasi Ox oqida boMishi shart. www.ziyouz.com kutubxonasi
Ikki m\\n parallel chiziqlar bilan berilgan tekislikning PH va P (. izlari ham togri chiziqlarining izlarini yasash y o i i bilan aniqlanadi (4.5-rasm ). Umuman, turli geometrikshakllar bilan berilgan tekisliklaming izlari mazkur shaklgategishli boMgan ikki kesishuvchi yoki parallel chiziqlaming izlarini yasash yoli bilan aniqlanadi. 4.3-. Tekisliklaming proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan vaziyatlari Tekislik fazoda proyeksiyalar tekisliklariga nisbatan umumiy va xususiy vaziyatlardajoylashishi mumkin. U m um iy v az iy a td ag i te k is l ik la r . Agar tekislik p ro y ek s iy a la r tekisliklarining birortasiga parallel yoki perpendikulyar boim asa, umumiy vaziyatdagi tekislik deyiladi (4.3-a rasm). Chizmada umumiy vaziyatdagi tekislikning izlari proyeksiyalar oqlari bilan ixtiyoriy burchak hosil qiladi. Agar biror P tekislik proyeksiyalar tekisliklari bilan bir xil burchak hosil qilsa, uning PH va Pv izlari Ox o qi bilan bir xil burchak hosil qiladi. Xususiy vaziyatdagi tekisliklar. Agar tekislik proyeksiyalar tekisligining birigaperpendikulyaryoki parallel boisa, xususiy vaziyatdagi tekislik deb ataladi. P royeksiya la r tek islig iga p e rpend iku lyar b o ig a n te k is l ik la r proyeksiyalovchi tekisliklar deyiladi. Gorizontal proyeksiyalovchi tekislik Gorizontal proyeksiyalovchi tekislikning A/,, frontal izi Oxoqiga perpendikulyar boladi (4.6-a, b rasm), MHgorizontal izi esa Ox o qiga nisbatan ixtiyoriy burchakda joylashgan boiad i. Bu tekislik gorizontal izi MH va Ox o q orasidagi burchak M va V tekisliklar orasidagi burchakning haqiqiy qiymatiga teng boiadi. G orizontal proyeksiyalovchi tek islikka tegishli tek is geom etrik shakllaming gorizontal proyeksiyalari to g ri chiziq boiad i va tekislikning gorizontal izi bilan ustma-ust tushadi (4.6-b rasm). Frontal proyeksiyalovchi tekislik Frontal proyeksiyalovchi N (N ^ N y) tekislikning gorizontal N H izi Ox oqiga perpendikulyar (4.7-a, b rasm), frontal N y izi esa ixtiyoriy burchakda Tarif. Frontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar tekislik frontal proyeksiyalovchi tekislik deyiladi. Tarif. Gorizontal proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar tekislik gorizontal proyeksiyalovchi tekislik deyiladi. www.ziyouz.com kutubxonasi
joylashgan boiadi. Frontal proyeksiyalovchi tekislik frontal jV^izining Ox o qi bilan hosil qilgan a burchagi N va H tekisliklar orasidagi burchakning haqiqiy qiymatigateng. Frontal proyeksiyalovchi tekislikkategishli boMgan tekis shakllarning frontal proyeksiyalari togri chiziq bo ladi va tekislikning frontal zi bilan ustma-ust tushadi.

Chizma geometriya

Chizma geometriya kitob pdf

chizma geometriya -.

Documents

Related posts: